Развитие метода достижимых целей на случай непрерывных шкал критериев Текст научной статьи по специальности «Математика»

------------------------------------ © Д.К. Потресов, С.И. Сапожников,

2006

УДК 622.001.57:51

Д.К. Потресов, С.И. Сапожников

РАЗВИТИЕ МЕТОДА ДОСТИЖИМЫХ ЦЕЛЕЙ НА СЛУЧАЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ШКАЛ КРИТЕРИЕВ

Семинар № 14

У'Л дним из наиболее актуальных в современной прикладной математике является класс задач многокритериальной оптимизации (МКО) [4, 5,

8, 11, 12 и др.]. Приведём её математическое описание [8, 9].

1. Постановка задачи многокритериальной оптимизации

Рассмотрим некоторое пространство решений W, определённое на п-мерном линейном пространстве действительных

г»п

чисел К :

М = { ( х^, хп ) є Я },

хі є Я, і = 1,п ,? = 1, 2, ...

Пусть на W наложеної некоторые ограничения в виде областей Ох1, Ох2, ... Охп допустимых значений х1, х2, . х„:

хі є 0.хі, і = 1 ,п

(2)

Тогда, с учётом (1) и (2), множество допустимых решений X может быть записано в виде:

X = { Хч є М : х, єПхі, і = 1,п } ,

Я = 1, 2, ...

(3)

Будем считать, что совокупность критериев У, характеризующих качество решения Хч, является да-мерным вектором, определённым в т -мерном линей-

пт

ном пространстве К , и связь между ре-

шениями и значениями критериев устанавливается отображением £ действующим из пространства решений Ж в кри-

ПШ гр

териальное пространство К . Т .е. f : X ^ У с Кт

(4)

Таким образом, множество достижимости У в критериальном пространстве Кт может быть задано следующим образом:

У = { (к, у2, ■ ■■, уА е *т },

у, = ^ (Хч) е К, \ е и = 1 ,т , г = 1, 2, ...

(5)

Принимая во внимание то, что задачи многокритериальной оптимизации и максимизации могут быть сведены к задаче многокритериальной минимизации путём изменения знака некоторых критериев на противоположный [9], далее в статье будем рассматривать задачи многокритериальной минимизации, т.е.:

f (X) ^ тт (6)

Для решения задач МКО разработано большое количество методов [9, 13 и др.]. Целесообразность применения того или иного метода определяется типом решаемой задачи. В данной статье будем рассматривать тип задач, характеризуемый следующими положениями:

Рис. 1. Пример кривых объективного замещения

1) множества аргументов критериальных функций частично пересекаются, т. е. сложность задачи состоит в том, что при изменении значения конкретного аргумента для оптимизации решения по одному из критериев, значения других критериев также изменяются по неявной зависимости;

2) анализу подвергаются критерии, выраженные математическими функциями и формирующие невыпуклые множества достижимых целей;

3) функции критериев задачи не отвечают условиям унимодальности, что не позволяет использовать для их анализа хорошо разработанные градиентные методы оптимизации.

Условно назовём этот тип задач случаем непрерывных шкал критериев (НШК). В данной статье рассматривается развитие метода достижимых целей (МДЦ) [8] на этот случай.

2. Классический метод достижимых целей

МДЦ предполагает визуальное представление множеств достижимых целей в пространстве критериев через кривые объективного замещения между различными парами критериев в виде карт решений. Ниже, на рис. 1, представлен иллюстрирующий пример кривых объективного замещения между различными парами критериев для задачи с тремя критериями.

При фиксации значения одного из критериев строится область достижимых целей для пары других критериев, причём множество недоминируемых решений лежит на эффективной границе данной области.

Наиболее выигрышным случаем применения классического МДЦ является решения задач МКО с фиксированным количеством стратегий (вариантов решений), в которых возможно или представление лицу, принимающему решение (ЛПР), всего множества достижимых целей, или, по крайней мере, множество достижимых целей может

Рис. 2. Блок-схема общего алгоритма решения задачи МКО

быть получено перебором всех решений. В ряде же задач, как, например, в задачах, рассмотренных в [17] и [19], анализу подвергаются критерии, вы-

раженные математическими функциями и формирующие невыпуклые множества достижимых целей. Поэтому, целесообразным является развитие МДЦ на случай рассмотренного типа задач.

3. Развитие метода достижимых целей на случай непрерывных шкал критериев

Построим алгоритм решения произвольной задачи МКО с помощью МДЦ. Его блок-схема представлена на рис. 2.

В данном алгоритме наибольшую трудность представляет блок 2. Это обуславливается тем, что в задачах рассматриваемого типа число возможных вариантов решений стремиться к бесконечности. Это затрудняет фазу построения множества достижимых целей. Для уменьшения числа рассматриваемых ЛПР вариантов решений необходимо найти оптимальное количество фиксированных значений каждого из критериев, которое определяет число форми-

руемых областей для пары других критериев, а также сами эти значения. Алгоритм, предлагаемый в таком случае авторами МДЦ для отбора точек в пространстве критериев, существенных с точки зрения задачи построения /(X), основан на глобальном зондировании множества X [8]. Результатом работы этого алгоритма является набор небольшого числа точек /(X) объединение окрестностей которых даёт аппроксимацию /(X) заданной точностью и полнотой. Точность определяется как отклонение фактически полученной критериальной оценки /(х ) при допустимом решении х от выбранной точки у сформированного множества достижимых целей. Полнота определяется соотношением меры фактического множества критериальных оценок с мерой полученной выборки. Алгоритм базируется на идеях вариантного расчёта. Для зондирования множества X используется закон равномерного распределения. Рассмотрим отличный подход.

В качестве стратегий будем использовать классы целей, выявляемые путём анализа функции третьего (не рассматриваемого в текущем графике кривых объективного замещения) кри-терия. При этом, следуя исследованиям, проведённым Дж. Миллером [16], а позже, и Г. Саймоном [20], за оптимальное принимается количество класс-сов разбиения, равное 7±2, т.к. это число является максимальным количеством чанков для одновременного анализа в кратковременной памяти человека.

При формировании множества достижимых целей сначала будем выполнять разбиение функции анализируемого критерия на интервалы одним из методов Монте-Карло. Далее полученные интервалы рассматриваются как унимодальные. В каждом из полученных интервалов с помощью градиентного ме-

тода находится минимум [6]. Далее полученное множество максимумов интервалов сортируется, и его элементы

объединяются в классы целей таким образом, чтобы

Выбор первого критерия

Переход к следующему критерию

Рис. 3. Блок-схема алгоритма построения карт решений

итоговое количество полученных классов было равно 7±2. После этого для каждого класса целей строится область множества достижимых целей для двух других критериев. Наложение друг на друга областей, соответствующих различным классам целей, образует карту решений. На рис. 3 представлена блок-схема алгоритма построения карт решений.

Рассмотрим составляющие блоки алгоритма построения карт решений более подробно.

3.1. Генерация множества экспериментов

Генерация множества экспериментов основывается на законе равномерного распределения. Блок-схема этого процесса представлена на рис.

4.

3.2. Нахождение минимума по интервалу

Для нахождения минимума по интервалу используется метод скорейшего спуска с определением шага по правилу Армихо. Дадим его математическую формулировку [6].

Выбираем х0 е Я" и полагаем к = 0. Выбираем параметры а, е и в для правила Армихо (см. ниже).

1. Вычисляем ак в со-

Рис. 4. Блок-схема алгоритма генерации множества экспериментов

ответствии с правилом Армихо по направлению йк = - £(хк) (Г(хк) - градиент функции в точке хк; если £(х) = 0, то точка х является стационарной и работа метода заканчивается).

2. Вычисляется по формуле (7).

хк+1 = хк-ак1 '(хк ),к = 0,1,... (7)

3. Увеличиваем номер шага к на 1 и переходим к п. 1.

Рассмотрим правило Армихо. Фиксируются числа ак > 0, є, в є (0,1).

Блок-схема алгоритма нахождения минимума по интервалу представлена на рис. 5.

1. Проверяем выполнение неравенства (8).

^ (хк +акбк) < ^ (хк) + еак^ \хк), dk) (8)

Рис. 5. Блок-схема алгоритма нахождения минимума по интервалу

2. Если (8) не выполнено, то заменяем ак на вак и переходим к п. 1.

Блок-схема метода скорейшего спуска с определением шага по правилу Ар-михо показана на рис. 5.

3.3. Построение карты решения Блок-схема алгоритма построения карты решения представлена на рис. 6.

Определение границ классов целей производится на основании нормального распределения. Это обуславливается предположением о том, что для ЛПР наибольшим интересом является изучение взаимного влияния критериев друг на друга в центральной области пространства критериев, в то время, как предпочтения ЛПР в граничных крите-

риальных точках могут быть выявлены и без применения МДЦ.

Построение карты решений основано на использовании понятия эффективной границы множества. Дадим математическое описание эффективной границы.

В поставленной задаче предпочтения ЛПР, описываются квазипорядком Я0, который, в свою очередь, порождает систему бина+рных отношений квазипорядка Я] на значениях частных критериев у], ] є 3. В свою очередь, эта система частных бинарных отношений порождает на множестве У такой квазипорядок Я, что

у' Ry'' «. у\ < у], ] є Л (9)

Рис. 6. Блок-схема алгоритма построения карты решения

х' и х" «• ^(х') = Г(х") (10.2)

Квазипорядок Я, в свою очередь, порождает квазипорядок Ях на X с Ж, который является подмножеством исходного квазипорядка Я0. Квазипорядок Я порождает отношения эквивалентности 1и качественного порядка Р

Рассмотрим бинарное отношение эквивалентности 1(~) на У. Оно имеет следующий вид:

У и у «. у = у (10.1)

При этом на множестве допустимых решений X выделяются некоторые многообразия эквивалентных решений:

Строгий порядок Р = Я \ I есть доминирование по Парето, обозначаемое ур :

у >Р у"« у < у, у' Ф у] е Л (11.1)

Множеством Парето-оптимальных

критериальных векторов, определяющим недоминируемую, или эффективную, границу, будем называть множество МахрУ, введённое для бинарного отношения Р, и обозначаемое Р(У).

Рассмотрим бинарное отношение строгого порядка на множестве допустимых решений X:

х'урх"^ Г(х■)< Г(х") (11.2)

Через Р(Х) обозначается множество минимальных элементов на множестве X. Это множество принято называть множеством эффективных или Парето-оптимальных решений.

Для того чтобы узнать, принадлежит ли точка у множеству Р(У), достаточно выяснить, попадают ли другие точки множества У в { у + Ят- } \ { у }, где Ят-- отрицательный ортант пространства Я" . Другими словами, пересечение множества У и множества всех точек У+( у0), лучших чем у0, должно быть пусто:

У0 = {у0 е У : У+(у0)П У = 0}, (12)

У+ (у0) = {у е У : у < у0, у ф у0}

Оболочка Эджворта-Парето (ОЭП) определяется следующим образом:

Ур = У + (- иг) (13.1)

Множество УР можно представить в эквивалентном виде:

Ур = {у е : у > ^ (х), у ф Г (х),

х е X}

Важным свойством ОЭП является следующая теорема:

Р(Ур ) = Р(У) (14)

Выводы

Предложенное развитие МДЦ даёт следующие преимущества:

1) при зондировании пространства решений происходит более жёсткий от-

бор интересующих ЛПР точек за счёт применения градиентного метода;

2) как следствие п. 1, наблюдается снижение количества экспериментальных точек во множестве достижимых целей;

3) за счёт применения нормального закона распределения формируемая карта решений обладает боль-шей информативностью для ЛПР.

Изложенные в статье идеи могут применяться для решения задач многокритериальной оптимизации и анализа сложных многокритериальных моделей с непрерывными шкалами критериальных оценок в различных предметных областях.

Рассмотренное в статье развитие МДЦ было успешно применено при решении задачи многокритериального прогноза качества взрывных работ на карьере [19]. Использование описанных методов и алгоритмов при многокритериальном прогнозировании качества взрывных работ на карьере позволило в визуальной форме исследовать зависимости между достижимыми значениями критериев технико-экономи-ческих показателей взрыва в условиях непрерывности шкал критериев и выбирать из них наиболее оптимальные с точки зрения ЛПР. Выбранные при составлении модели технико-экономических показателей критерии позволили при относительно небольших вычислительных затратах формировать решения, обеспечивающие оптимальную кусковатость и состояние развала горной массы с соблюдением необходимого уровня безопасности.

---------------------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Батищев Д.И. Методы оптимального 2. Бахвалов Л.А. «Компьютерное моде-

проектирования.: Учеб. пособие для вузов. - лирование систем», учебное пособие, элек-М.: Радио и связь, 1984. - 248 с., ил. тронная версия.

3. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. Издание четырнадцатое. М., ООО «Большая медведица» АПП «Джангар», 1998, 864 с.

4. Вычислительные методы исследования и проектирования сложных систем. Миха-левич В.С., Волкович В.Л. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982.

5. Дубов Ю.А., Травкин С.И., Якимец В.Н. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 296 с. - (Теория и методы системного анализа.)

6. Измаилов А.Ф., СолодовМ.В. Численные методы оптимизации: Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 304 с. - КВЫ 5-92210045-9.

7. Каменев Г.К., Чернов А.В. Алгоритм построения контура объединения изотетичных прямоугольников// Исследование операций. М.: ВЦ РАН, 1996.

8. Компьютер и поиск компромисса. Метод достижения целей / Лотов А. В., Бушен-ков В.А., Каменев Г.К., Черных О.Л. - М.: Наука, 1997 - 239 с. (Серия «Кибернетика: неограниченные возможности и возможные ограничения»).

9. Конспект курса лекций по дисциплине «Методы оптимальных решений», проф., д.ф.-м.н. Лотов А.В., кафедра Высшей математики, Государственный университет - Высшая школа Экономики, 2004.

10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., 1974 г., 832 стр. с илл.

11. Куприянов В.В., Исаев А.Б. «Теория принятия решений», уч. пособие, часть I, М., МГГУ, 2000 г.

12. Ларичев О.И. Объективные модели и субъективные решения. - М.: Наука, 1987.

13. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в Волшебных странах: Учебник. Изд. второе, пе-рераб. и доп. - М.: Логос, 2002. - 392 с.: ил.

14. Ларичев О.И., Мошкович Е.М. Качественные методы принятия решений. Вербальный анализ решений. - М.: Наука. Физматлит, 1996. - 208 с.

15. Лотов А.В. Численный метод построения множеств достижимости в линейных системах ИЖВМиМФ. - 1972. - Т.12, N 3.

16. Миллер Дж. А. Магическое число семь плюс или минус два. О некоторых пределах нашей способности перерабатывать информацию // Инженерная психология. М.: Прогресс, 1964.

17. Ниязбаева С.В. «Моделирование и многокритериальная оптимизация зарядов буровзрывной скважины на карьере», магистерская диссертация, руководитель проф., д.т.н. Потресов Д.К., М.: МГГУ 2004.

18. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. - М.: Наука, 1982.

19. Потресов Д.К., Белин В.А., Сапожников С.И. «Виртуальное моделирование взрывных работ на карьере». Москва. Изд-во МГГУ. Горный информационно-аналитический бюллетень, № 5, 2005 г., с. 165 - 169.

20. Simon H.A. How big is a chunk // Science. 1974. № 183.

21. Systems simulation - the art and science. Robert E. Shannon. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1975.

— Коротко об авторах ------------------------------------------------------------

Потресов Дмитрий Кириллович - профессор, доктор технических наук,

Сапожников Станислав Игоревич - магистрант

кафедра «Автоматизированные системы управления», Московский государственный горный университет.