CC BY
15
ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕСУРСЫ И ЛУЧШАЯ ПРАКТИКА ИТ-ОБРАЗОВАНИЯ / EDUCATIONAL RESOURCES AND BEST PRACTICES OF IT-EDUCATION
УДК 378.147
DOI: 10.25559/SITITO.17.202102.415-422
Оригинальная статья
Развитие гибкости мышления студентов при вычислении константы Фейгенбаума с помощью информационных и коммуникационных технологий
В. С. Секованов1, В. А. Ивков1*, А. А. Пигузов1, Л. Б. Рыбина2
1 ФГБОУ ВО «Костромской государственный университет», г. Кострома, Российская Федерация 156005, Российская Федерация, г. Кострома, ул. Дзержинского, д. 17
2 ФГБОУ ВО «Костромская государственная сельскохозяйственная академия», Костромская область, Российская Федерация
156530, Российская Федерация, Костромская область, Костромской район, пос. Караваево, Кара-ваевская с/а, Учебный городок, д. 3
Аннотация
В предлагаемой статье рассматривается методика развития гибкости мышления студентов за счет объединения различных подходов к выполнению учебных математических заданий. Рассматривается задача вычисления константы Фейгенбаума с помощью символической динамики и с помощью метода Ньютона. Строятся математические модели вычислительного процесса. Приведены алгоритмы и их реализация на языке программирования. Показано, что при решении задачи различными методами, мы приходим к одному результату. Предполагается, что при решении поставленной задачи у студентов проявляется интерес как к математическим методам исследования, так и к их реализации с помощью средств программирования. Гибкость мышления формируется за счет объединения аналитических математических исследований и вычислительных алгоритмов, реализованных на компьютере. Предлагаемая методика проведения учебных занятий рассматривалась авторами ранее при реализации выполнения многоэтапных математико-информационных заданий. На каждом этапе решения поставленной задачи студент может почувствовать себя как в роли математика-исследователя, так и в роли математика-программиста, экспериментатора. Такая интеграция математических методов и информационно-коммуникационных технологий предоставляет возможность организовывать творческую математическую и творческую информационную деятельность студентов, нацеленную на формирование гибкости мышления и креативных качеств.
Ключевые слова: креативность, гибкость мышления, константа Фейгенбаума, символическая динамика, орбита точки, метод Ньютона
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Для цитирования: Развитие гибкости мышления студентов при вычислении константы Фейгенбаума с помощью информационных и коммуникационных технологий / В. С. Секованов, В. А. Ивков, А. А. Пигузов, Л. Б. Рыбина. - DOI 10.25559^ГЛТ0.17.202102.415-422 // Современные информационные технологии и ИТ-образование. - 2021. - Т. 17, № 2. - С. 415-422.
Секованов В. С., Ивков В. А., Пигузов А. А. Рыбина Л. Б., 2021
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License. The content is available under Creative Commons Attribution 4.0 License.
Modern Information Technologies and IT-Education
Development of Thinking Flexibility of Students when Calculating the Feigenbaum Constant Using Information and Communication Technologies
V. S. Sekovanova, V. A. Ivkova*, A. A. Piguzova, L. B. Rybinab
a Kostroma State University, Kostroma, Russian Federation 17 Dzerzhinskiy St., Kostroma 156005, Russian Federation * [email protected]
b Kostroma State Agricultural Academy, Kostroma region, Russian Federation
34 Training Town, Karavaevo Village, Kostroma District 156530, Kostroma region, Russian Federation
The proposed article examines the methodology for developing students' thinking flexibility by combining various approaches to the implementation of educational mathematical tasks. The problem of calculating the Feigenbaum constant using symbolic dynamics and using Newton's method is considered. Mathematical models of the computational process are being built. Algorithms and their implementation in the programming language are presented. It is shown that when solving the problem by different methods, we come to the same result. It is assumed that when solving the problem, students are interested in both mathematical research methods and their implementation using programming tools. Flexibility of thinking is formed by combining analytical mathematical research and computational algorithms implemented on a computer. The proposed methodology for conducting training sessions was considered by the authors earlier in the implementation of the implementation of multistage mathematical and informational tasks. At each stage of solving the problem, the student can feel himself both in the role of a mathematician-researcher, and in the role of a mathematician-programmer, experimenter. Such integration of mathematical methods and information and communication technologies provides an opportunity to organize creative mathematical and creative information activities of students, aimed at the formation of flexibility of thinking and creative qualities.
Keywords: creativity, flexibility of thinking, Feigenbaum's constant, symbolic dynamics, point orbit, Newton's method
The authors declare no conflict of interest.
For citation: Sekovanov V.S., Ivkov V.A., Piguzov A.A. Rybina L.B. Development of Thinking Flexibility of Students when Calculating the Feigenbaum Constant Using Information and Communication Technologies. Sovremennye informacionnye tehnologii i IT-obrazovanie = Modern Information Technologies andIT-Education. 2021; 17(2):415-422. DOI: https://doi.org/lQ.25559/SITITO.17.2Q21Q2.415-422
Abstract
Современные информационные технологии и ИТ-образование
Том 17, № 2. 2021 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru
V. S. Sekovanov, V. A. Ivkov, EDUCATIONAL RESOURCES AND BEST PRACTICES OF IT-EDUCATION
A. A. Piguzov, L. B. Rybina
Введение
В самом широком смысле креативность понимается как способность к творчеству. Важнейшим качеством креативности является гибкость мышления, связанная с исследованием объекта с разных сторон. При обучении математике и информатике положительную роль в развитии гибкости мышления оказывает решение задачи различными способами и разработка альтернативных алгоритмов, способствующих ее решению. Развитию гибкости мышления посвящены многочисленные работы, среди которых [5-10]. Во многих указанных работах рассматривалась методика обучения математике через выполнение многоэтапных математико-информационных заданий. Поставленные задачи решались аналитически, затем реализовывались с помощью алгоритмов, выполнялась визуализация результата. Последний этап не всегда присутствует при решении задачи [20-22].
Для развития гибкости мышления, на наш взгляд, полезно рассмотреть два альтернативных алгоритма вычисления константы Фейгенбаума, открытой во второй половине прошлого века и вошедшей в десятку знаменитых констант.
Теоретическая часть
Константа Фейгенбаума вычисляется с помощью итерирования функций, порождающих дискретные динамические системы, изучению которых в настоящее время уделяется большое внимание (см., например, [1-4])
Опишем первый алгоритм, связанный с символической динамикой.
Мы имеем последовательность значений параметра
ax, a2, a3,..., an,... при которых происходят бифуркации итераций функции , заданной на отрезке с параметром а е—0 4]. Как оказалось, существует предел 8= lim——-— =
п^ю a — a
n+2 "л+1
4,669201609... Данная константа называется константой Фейгенбаума.
Следуя М. Шредеру [11], введем понятие символической динамики для орбиты данной точки -¡х_,} = {/Хл'0)} . Вместо вычисления всех итераций функции часто бывает достаточно установить, куда попадает очередная точка xn+1: слева от максимума (центра) (L), или справа от максимума (R), либо в максимум функции (C), где под максимумом понимается глобальный максимум функции f (х) = a(1 - х)x на отрезке [0;l]. Найденная таким образом последовательность символов L, R, C называется символический динамикой. Сверхустойчивая орбита (орбита точки x = —) с длиной периода 2
2
будет иметь вид С R ■ Орбита с длиной периода 4 строится по следующей схеме. Выписываются два периода орбиты с длиной периода 2 : C R C R. Затем второе C заменяется на L, если число букв R слева от него нечетно. Если же это число четно, то второе C следует заменить на R . Например, переход от периода длины 2 порождает период длины 4; в терминологии символической динамики будет иметь вид: C R ^ C R L R, далее период длины 4 породит период длины 8 в рамках символической динамики по схеме: C R L R ^ C R L R3 L R, где R3 = R R R.
Данный алгоритм необычен и нов для студента, что мотивирует его к его разработке.
Будем находить константу Фейгенбаума для функции
a) Ç|troka(àX>
Скс^ец с^-ии
Р и с. 1. Блок-схема вычисления константы Фейгенбаума с помощью символической динамики F i g. 1. Block diagram for calculating the Feigenbaum constant using symbolic dynamics
Modern Information Technologies and IT-Education
f (x) = a■ x■ (1 -x) пошагово (см. также [3]). Сначала найдем такую замену переменных ф(x) = u ■ x + v, чтобы выполнялось равенство ф-i 0 g аф = f, где g (x) = 1-ju • x2, f (x) = a • x - a • x2. После несложных преобразований получим формулу перехода a = 1 + ij 1 + 4 • л между переменными .
Согласно символической динамике C R L R, имеем gR (& (1))) = 0 Из последнего равенства получаем: 1 = g -1 (g -1 (g . Умножим левую и правую части послед-
него уравнения на I,получим I l i— . Если мы рассмотрим функцию (т(и) _ I i ,— , по-
w yjv + ylv-W
строенную на базе символической динамики C R L R, то неподвижной точкой, найденной по вышеописанной схеме, будет точка ц= 1,3107026413... при первом приближении А> = 2.
Здесь полезно указать, что и для функции
, построенной
на базе символической динамики C R L R R R L R, неподвижной точкой будет ц = 1,381547484432061..., при первом приближении ^0 = 2 . Укажем на рисунке 1 блок-схему вычисления константы Фейгенбаума с помощью символической динамики (Рис. 1).
Отметим, что схема а) формирует «строку» (с помощью символической динамики); схема б) дает возможность вычисления I; схема в) вычисляет a, S (с использованием формулы перехода ).
P a 5
2 3,2360679774997897 -
4 3,49856169932770152 -
8 3,55464086276882487 4,68077099
16 3,56666737985626851 4,66295961
32 3,56924353163711034 4,66840392
64 3,56979529374994462 4,66895374
128 3,56991346542234852 4,66915718
256 3,56993877423330549 4,66919100
512 3,56994419460806494 4,66919947
1024 3,56994535548646858 4,66920113
2048 3,56994560411107844 4,66920150
4096 3,56994565735885651 4,66920158
Фейгенбаума c помощью метода Ньютона. Именно данным алгоритмом пользовался Фейгенбаум.
При нахождении универсальной константы Фейгенбаума нас будут интересовать сверхустойчивые орбиты периода 2" "=1,2... То есть при значениях параметров a = A мы имеем у'2 \Ап, х0) = ха где х0 = — - абсцисса вершины параболы .
Покажем, например, как вычисляется значение А3 (см. также [2]):
1) подбираются А1 = 2 и А2 = V5 +1. Затем вычисляется
А^ — А^ +
ч
2) А3 находится по следующей схеме:
2а) находятся 22 (четвертая) итерация функции /(х,а) = а- х- (1-х),ае[0;4] и производная данной итерации в точке х0 при начальном значении А = Ау
2б) по формуле А'+1 = (4.*о)~*о г = 1, 2,...,1000
(f(2\4,x 0))'
вычисляются А*... А1000 (проводится 1000 итераций); 2в) затем полагаем Аг= А} .
После произведенных действий вычисляется 8 по формуле
8=Аг~А1 .
Аз ~ А2
Для нахождения А4 в ячейкуАг записываем содержимое ячейки А2, а в ячейку А2 записываем содержимое ячейки А3 (А=А2 и А==
е применяется метод
I и вычисляется ^ _ ^
'Л. Дале
Ньютона (проводится 1000 итераций при начальном значении А\; х0 - фиксировано и равно —). После проведенных итераций
g _ Аъ А2
Л _ Л1000 .
полагаем А4 = А4 и находим новое значение А —А Аналогично находятся А5, А6,... Ап и соответствующие значения 8.
Подведем краткий итог. В тело программы вводится п, затем задается начальное приближение 8 (равное 4) и значения А для циклов периода 1 и 2 = 2 и А2 = л/б +1 соответственно); начиная с цикла периода 4 до цикла периода 4096, вычисляются значения А и 8 по приведенной выше схеме (формула АП+1 и А + (А„ - А„-1)! ^ взята из [1] ). Значения А и 8, приведены на рисунке 3.
Р и с. 2. Таблица результатов вычисления константы Фейгенбаума F i g. 2. Feigenbaum constant calculation results table
P означает период сверхустойчивой орбиты, то есть период точки x =1 ). 1 2
Второй алгоритм вычисления константы Фейгенбаума базируется на применении метода Ньютона. Отметим, что рассмотренный нами метод достаточно точен, прост универсален и
не требует вычисления производных итераций функций f2' ( - ).
Рассмотрим алгоритм нахождения универсальной константы
P А S
4 3,498561699327702 4.7089430
8 3,554640862768825 4.6807709
16 3,566667379856269 4.6629596
32 3,569243531637110 4.6684039
64 3,569795293749945 4.6689537
128 3,569913465422349 4.6691571
256 3,569938774233305 4.6691910
512 3,569944194608065 4.6691994
1024 3,569945355486469 4.6692011
2048 3,569945604111078 4.6692015
4096 3,569945657358857 4.6692016
Р и с. 3. Таблица вычисления б F i g. 3. Calculation table б
Современные информационные технологии и ИТ-образование
Том 17, № 2. 2021
ISSN 2411-1473
sitito.cs.msu.ru
При решении ряда задач мы использовали математические методы и проводили компьютерные эксперименты. Компьютерные эксперименты с применением математических методов при решении задач мы будем называть математико-ком-пьютерными экспериментами [12-15].
Следует отметить, что программа вычисления константы Фейгенбаума методом Ньютона универсальна в том смысле, что меняя только функции в первом блоке программы, приведенной ниже, мы получим для каждой из них значения константы. Можно рассмотреть и другие квадратичные функции [16-19]. Укажем ниже компьютерную программу вычисления константы Фейгенбаума с помощью метода Ньютона.
var df:real;n:integer; function func(a:real;i:integer):real; var j:integer;ilast:longint;f0,f1,fd0,fd1:real; begin ilast:=1;
for j:=1 to i do ilast:=ilast*2; f0:=0.5; fd0:=0; for j:=1 to ilast do begin f1:=a*f0-a*f0*f0; fd1:=a*fd0+f0-f0*f0-2*a*f0*fd0;f0:=f1; fd0:=fd1; end; df:=fd1; func:=f1; end;
function ai(a0:real;i:integer):real;
var a1,f:real; j:integer;
begin
for j:=1 to 1000 do begin f:=func(a0,i); a0:=a0-(f-0.5)/df; end; ai:=a0; end;
var a1,a2,a3,sigma:real; i:integer; begin readln(n); sigma:=4;a1:=2; a2:=1+sqrt(5); for i:=1 to n do begin
a3:=ai(a2+(a2-a1)/sigma,i+1); sigma:=(a2-a1)/(a3-a2); writeln(i/)',sigma:18:15,a1:18:15,a2:18:15,a3:18:15); a1:=a2; a2:=a3; end; readln; end.
Заключение
В заключение отметим, что при нахождении константы Фейгенбаума у студентов появляется интерес как к математическим методам, так и к программированию, развивается интуитивное мышление, формируется толерантное отношение к новизне. Такая методика применима к целому классу математических задач [23-25].
Гибкость мышления формируется за счет исследования нового математического объекта с помощью различных математических методов и альтернативных компьютерных алгоритмов.
Список использованных источников
[1] Кроновер, Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах / Р. М. Кроновер. - М.: Постмаркет, 2000. - 352 с.
[2] Секованов, В. С. О вычислении универсальной константы Фейгенбаума методом Ньютона / В. С. Секованов, В.
С. Забара // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2006. - Т. 12, № 9. -С. 11-13. - URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=28284831 (дата обращения: 16.04.2021).
[3] Секованов, В. С. Элементы теории фрактальных множеств / В. С. Секованов. - 5-е изд. - М.: URSS, 2013. - 248 c.
[4] Секованов, В. С. О некоторых дискретных нелинейных динамических системах / В. С. Секованов // Фундаментальная и прикладная математика. - 2016. - Т. 21, № 3. - С. 185-199. - URL: https://elibrary.ru/item. asp?id=36548986 (дата обращения: 16.04.2021).
[5] Секованов, В. С. Использование кластера при исследовании фрактальных множеств на комплексной плоскости / В. С. Секованов, А. Л. Салов, Е. А. Самохов // Актуальные проблемы преподавания информационных и естественнонаучных дисциплин. - Кострома: КГУ 2011. - С. 85-103. - URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=36755347 (дата обращения: 16.04.2021).
[6] Смирнов, Е. И. Повышение учебной мотивации школьников в процессе освоения понятий самоподобного и фрактального множеств на основе принципа фундирования / Е. И. Смирнов, В. С. Секованов, Д. П. Миронкин // Ярославский педагогический вестник. - 2015. - № 3. -С. 37-42. - URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=24835437 (дата обращения: 16.04.2021). - Рез. англ.
[7] Секованов, В. С. Выполнение многоэтапного матема-тико-информационного задания Топологическая и фрактальные размерности множеств как средство развития креативности и формирования компетентности студентов / В. С. Секованов, С. Ф. Митенёва, Л. Б. Рыбина // Вестник Костромского государственного университета. Серия: Педагогика. Психология. Социокинети-ка. - 2017. - Т. 23, № 2. - С. 140-144. - URL: https://www. elibrary.ru/item.asp?id=30462356 (дата обращения: 16.04.2021). - Рез. англ.
[8] Смирнов, Е. И. Многоэтапные математико-информа-ционные задачи как средство развития креативности учащихся профильных математических классов / Е. И. Смирнов, В. С. Секованов, Д. П. Миронкин // Ярославский педагогический вестник. - 2014. - Т. 2, № 1. - С. 124-129. - URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=21361686 (дата обращения: 16.04.2021). - Рез. англ.
[9] Ивков, В. А. Изучение аттракторов нелинейных отображений в рамках многоэтапных математико-информа-ционных заданий как средство развития креативности студентов / В. А. Ивков, В. С. Секованов, Е. И. Смирнов // Математический форум (Итоги науки. Юг России). -2018. - Т. 12. - С. 150-164. - URL: https://elibrary.ru/item. asp?id=37346952 (дата обращения: 16.04.2021). - Рез. англ.
[10] Секованов, В. С. Выполнение многоэтапного математи-ко-информационного задания «Построение фрактальных множеств с помощью L-систем и информационных технологий» как средство развития креативности сту-дентов / В. С. Секованов, В. А. Ивков, А. А. Пигузов, А. С. Фатеев // CEUR Workshop Proceedings. - 2016. - Т. 1761. - С. 204-211. - URL: http://ceur-ws.org/Vol-1761/
Modern Information Technologies and IT-Education
paper26.pdf (дата обращения: 16.04.2021). - Рез. англ.
[11] Шредер, М. Фракталы, хаос, степенные законы: (миниатюры из бесконечного рая) / М. Шредер. - Ижевск: НИЦ «РХД», 2001. - 528 с.
[12] Visual Modeling and Fractal Methods in Science / V. S. Se-kovanov, E. I. Smirnov, V. A. Ivkov, E. M. Selezneva, S. M. Shlyahtina. - DOI 10.1109/MCSI.2014.28 // 2014 International Conference on Mathematics and Computers in Sciences and in Industry. - Varna, Bulgaria, 2014. - Pp. 94-98.
[13] Watson, A. Themes and Issues in Mathematics Education Concerning Task Design: Editorial Introduction / A. Watson, M. Ohtani. - DOI 10.1007/978-3-319-09629-2_1 // Task Design In Mathematics Education. New ICMI Study Series; ed. by A. Watson, M. Ohtani. - Springer, Cham, 2015. - Pp. 3-15.
[14] Designing Anticipation Activity of Students When Studying Holomorphic Dynamics Relying on Information Technologies / V. Sekovanov, V. Ivkov, A. Piguzov, Y. Seleznyova. - DOI 10.1007/978-3-030-46895-8_4 // Modern Information Technology and IT Education. SITITO 2018. Communications in Computer and Information Science; Ed. by V. Suk-homlin, E. Zubareva. - Springer, Cham. - 2020. - Vol. 1201.
- Pp. 59-68.
[15] Vrscay, E. R. Iterated function systems: theory, applications and the inverse problem / E. R. Vrscay. - DOI 10.1007/978-94-015-7931-5_10 // Fractal Geometry and Analysis. NATO ASI Series (Series C: Mathematical and Physical Sciences); ed. by J. Belair, S. Dubuc. - Springer, Dordrecht. - 1991. - Vol. 346. - 405-468.
[16] Alligood, K. T. Chaos: An Introduction to Dynamical Systems / K. T. Alligood, N. D. Sauer, J. A. Yorke. - DOI 10.1007/ b97589 // Textbooks in Mathematical Sciences. - Springer, New York, NY, 1996. - 603 p.
[17] Sinha, S. Chaotic Dynamics in Iterated Map Neural Networks with Piecewise Linear Activation Function / S. Sinha. - DOI 10.3233/FI-1999-371202 // Fundamenta Informaticae. -1999. - Vol. 37, No. 1, 2. - Pp. 31-50.
[18] Souza, P. V. S. A simple and didactic method to calculate the fractal dimension - an interdisciplinary tool / P. V. S. Souza, R. L. Alves, W. F. Balthazar - DOI 10.48550/arX-iv.1804.01038 // arXiv:1804.01038. - 2018.
[19] Sekovanov, V. S. Visual Modeling of Nonlinear Mappings of Fractals and Chaos / V. S. Sekovanov, E. I. Smirnov, V. A. Ivkov. - DOI 10.5593/SGEMSOCIAL2015/B11/S1.035 // 2nd International Multidisciplinary Conference on Social Sciences and Arts (SGEM2015). Conference Proceedings. -Book 1, Vol. 1. - Albena, Bulgaria, 2015. - Pp. 263-272.
[20] Секованов, В. С. Мотивации в изучении нелинейных отображений фрактальности и хаоса методом наглядного моделирования / В. С. Секованов, Е. И. Смирнов, В. А. Ивков // Евразийское научное объединение. - 2015.
- Т. 2, № 2. - С. 302-305. - URL: https://www.elibrary.ru/ item.asp?id=23326459 (дата обращения: 16.04.2021).
[21] Секованов, В. С. О вычислении константы Фейгенбаума / В. С. Секованов, А. Л. Салов, Е. А. Самохов // Современные информационные технологии и ИТ-образование.
- 2010. - Т. 6, № 1. - С. 364-371. - URL: https://elibrary ru/item.asp?id=24172805 (дата обращения: 16.04.2021).
[22] Кирик, В. А. Развитие педагогической креативности студентов в процессе образовательного форсайта / В. А. Кирик, И. Э. Куликовская. - DOI 10.18522/2658-69832020-08-33-39 // Мир университетской науки: культура, образование. - 2020. - № 8. - С. 33-39. - Рез. англ.
[23] McCartney, M. Computing Feigenbaum's б constant using the Ricker map / M. McCartney, D. H. Glass. - DOI 10.1080/0020739X.2014.920534 // International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. -2014. - Vol. 45, issue 8. - Pp. 1265-1273.
[24] Briggs, K. M. A precise calculation of the Feigenbaum constants / K. M. Briggs. - DOI 10.1090/S0025-5718-1991-1079009-6 // Mathematics of Computation. - 1991. - Vol. 57. - Pp. 435-439.
[25] Hertling, P. Computing a Solution of Feigenbaum's Functional Equation in Polynomial Time / P. Hertling, Ch. Spandl. - DOI 10.2168/LMCS-10(4:7)2014 // Logical Methods in Computer Science. - 2014. - Vol. 10, issue 4. -Pp. 1-9.
Поступила 16.04.2021; одобрена после рецензирования 28.05.2021; принята к публикации 09.06.2021.
|об авторах:|
Секованов Валерий Сергеевич, заведующий кафедрой прикладной математики и информационных технологий, Институт физико-математических и естественных наук, ФГБОУ ВО «Костромской государственный университет» (156005, Российская Федерация, г. Кострома, ул. Дзержинского, д. 17), доктор педагогических наук, профессор, ORCID: https://oгcid. oгg/0000-0002-8604-8931, [email protected] Ивков Владимир Анатольевич, доцент кафедры прикладной математики и информационных технологий, Институт физико-математических и естественных наук, ФГБОУ ВО «Костромской государственный университет» (156005, Российская Федерация, г. Кострома, ул. Дзержинского, д. 17), кандидат экономических наук, доцент, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1014-9381, [email protected]
Пигузов Алексей Александрович, доцент кафедры прикладной математики и информационных технологий, Институт физико-математических и естественных наук, ФГБОУ ВО «Костромской государственный университет» (156005, Российская Федерация, г. Кострома, ул. Дзержинского, д. 17), кандидат педагогических наук, доцент, ORCID: https://oгcid. org/0000-0001-5378-3326, [email protected] Рыбина Лариса Борисовна, доцент кафедры высшей математики, ФГБОУ ВО «Костромская государственная сельскохозяйственная академия» (156530, Российская Федерация, Костромская область, Костромской район, пос. Караваево, Караваев-ская с/а, Учебный городок, д. 3), кандидат философских наук, доцент, ORCID: https://orcid.org/ 0000-0001-7891-9373, [email protected]
Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.
Современные информационные технологии и ИТ-образование
Том 17, № 2. 2021
ISSN 2411-1473
sitito.cs.msu.ru
References
[1] Crownover R.M. Introduction to Fractals and Chaos. First Ed. Jones & Bartlett, Boston; 1995. 306 p. (In Eng.)
[2] Sekovanov V.S., Zabara V.S. O vychísleníí uníversal'noj kon- [11] stanty Fejgenbauma metodom Njutona [On the calculation
of the universal Feigenbaum constant by Newton's meth- [12] od]. Vestník of Kostroma State University. 2006; 12(9):11-13. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=28284831 (accessed 16.04.2021). (In Russ.)
[3] Sekovanov V.S. Jelementy teoríí fraktal'nyh mnozhestv [Elements of the theory of fractal sets]. 5th Ed. URSS, Moscow; 2013. 248 p. (In Russ.) [13]
[4] Sekovanov V.S. O nekotoryh dískretnyh nelínejnyh dínamích-eskíh sístemah [On some discrete nonlinear dynamical systems]. Fundamentalnaya í Príkladnaya Matematíka = Fundamental and Applied Mathematics. 2016; 21(3):185-199. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=36548986 (accessed 16.04.2021). (In Russ.) [14]
[5] Sekovanov V.S., Salov A.L., Samokhov E.A. Ispol'zovaníe klas-tera prí íssledovaníí fraktal'nyh mnozhestv na kompleksnoj ploskostí [Using the cluster in the study of fractal sets on the complex plane]. Proceedíngs of the Conference on Actual Problems of Teachíng Information and Natural Díscíplínes. KSU, Kostroma; 2011. p. 85-103. Available at: https://eli-brary.ru/item.asp?id=36755347 (accessed 16.04.2021).
(In Russ.) [15]
[6] Smirnov E.I., Sekovanov V.S., Mironkin D.P. Increase of schoolchildren's educational motivation in the course of development of self-similar and fractal sets concepts on the basis of the funding principle. Yaroslavl Pedagogícal Bulletin. 2015; (3):37-42. Available at: https://elibrary.ru/ item.asp?id=24835437 (accessed 16.04.2021). (In Russ., [16] abstract in Eng.)
[7] Sekovanov V.S., Mitenyova S.F., Rybina L.B. Solving the multistage task in mathematics and informatics "Topological and Fractal Dimensions of Set" as means of creativity [17] development and competences formation in students. Vestník of Kostroma State University. Seríes: Pedagogy. Psychology. Socíokínetícs. 2017; 23(2):140-144. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=30462356 (accessed [18] 16.04.2021). (In Russ., abstract in Eng.)
[8] Smirnov E.I., Sekovanov V.S., Mironkin D.P. Multi-stage mathematic-information tasks as a means to develop pupils' creativity in profile mathematical classes. Yaroslavl Peda- [19] gogical Bulletin. 2014; 2(1):124-129. Available at: https:// elibrary.ru/item.asp?id=21361686 (accessed 16.04.2021).
(In Russ., abstract in Eng.)
[9] Ivkov V.A., Sekovanov V.S., Smirnov E.I. Attractors of nonlinear mappings in the framework learning of multi-stage mathematical and information tasks as a means of stu- [20] dents' creativity developing. Mathematical Forum. (Results
of Science. South of Russia). 2018; 12:150-164. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=37346952 (accessed 16.04.2021). (In Russ., abstract in Eng.)
[10] Sekovanov V.S., Ivkov V.A., Piguzov A.A., Fateev A.S. Execution of mathematics and information multistep task "Building a Fractal Set with L-systems and Information Technolo- [21]
gies" as a means of creativity of students. CEUR Workshop Proceedings. 2016; 1761:204-211. Available at: http:// ceur-ws.org/Vol-1761/paper26.pdf (accessed 16.04.2021). (In Russ., abstract in Eng.)
Schroeder M. Fractals, Chaos, Power Laws: Minutes from an Infinite Paradise. Dover Publications; 2009. 448 p. (In Eng.) Sekovanov V.S., Smirnov E.I., Ivkov V.A., Selezneva E.M., Shlyahtina S.M. Visual Modeling and Fractal Methods in Science. 2014 International Conference on Mathematics and Computers in Sciences and in Industry. Varna, Bulgaria; 2014. p. 94-98. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1109/ MCSI.2014.28
Watson A., Ohtani M. Themes and Issues in Mathematics Education Concerning Task Design: Editorial Introduction. In: Ed. by A. Watson, M. Ohtani. Task Design In Mathematics Education. New ICMI Study Series. Springer, Cham; 2015. p. 3-15. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-09629-2_1
Sekovanov V., Ivkov V., Piguzov A., Seleznyova Y. Designing Anticipation Activity of Students When Studying Holomor-phic Dynamics Relying on Information Technologies. In: Ed. by V. Sukhomlin, E. Zubareva. Modern Information Technology and IT Education. SITITO 2018. Communications in Computer and Information Science. 2020; 1201:59-68. Springer, Cham. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-46895-8_4
Vrscay E.R. Iterated function systems: theory, applications and the inverse problem. In: Ed. by J. Bélair, S. Dubuc. Fractal Geometry and Analysis. NATO ASI Series (Series C: Mathematical and Physical Sciences). 1991; 346:405-468. Springer, Dordrecht. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1007/978-94-015-7931-5_10
Alligood K.T., Sauer N.D., Yorke J.A. Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. Textbooks in Mathematical Sciences. Springer, New York, NY; 1996. 603 p. (In Eng.) DOI: https:// doi.org/10.1007/b97589
Sinha S. Chaotic Dynamics in Iterated Map Neural Networks with Piecewise Linear Activation Function. Fundamenta In-formaticae. 1999; 37(1,2):31-50. (In Eng.) DOI: https://doi. org/10.3233/FI-1999-371202
Souza P.V.S., Alves R.L., Balthazar W.F. A simple and didactic method to calculate the fractal dimension - an interdisciplinary tool. arXiv:1804.01038. 2018. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.48550/arXiv.1804.01038 Sekovanov V.S., Smirnov E.I., Ivkov V.A. Visual Modeling of Nonlinear Mappings of Fractals and Chaos. In: 2nd International Multidisciplinary Conference on Social Sciences and Arts (SGEM2015). Conference Proceedings. Albena, Bulgaria. 2015; 1-1:263-272. (In Eng.) DOI: https://doi. org/10.5593/SGEMSOCIAL2015/B11/S1.035 Sekovanov V.S., Smirnov E.I., Ivkov V.A. Motivacii v izuchenii nelinejnyh otobrazhenij fraktal'nosti i haosa metodom na-gljadnogo modelirovanija [Motivation in the study of nonlinear mappings of fractality and chaos by the method of visual modeling]. Eurasian Scientific Association. 2015; 2(2):302-305. Available at: https://www.elibrary.ru/item. asp?id=23326459 (accessed 16.04.2021). (In Russ.) Sekovanov V.S., Salov A.L., Samokhov E.A. O vychislenii kon-
Modern Information Technologies and IT-Education
stanty Fejgenbauma [On the calculation of the Feigenbaum constant]. Sovremennye informacionnye tehnologii i IT-obra-zovanie = Modern Information Technologies and IT-Education. 2010; 6(1):364-371. Available at: https://elibrary.ru/ item.asp?id=24172805 (accessed 16.04.2021). (In Russ.)
[22] Kirik V.A., Kulikovskaya I.E. Developing students' pedagogical creativity via educational foresight. The world of academia: culture, education. 2020; (8):33-39. (In Russ., abstract in Eng.) DOI: https://doi.org/10.18522/2658-6983-2020-08-33-39
[23] McCartney M., Glass D.H. Computing Feigenbaum's S constant using the Ricker map. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 2014; 45(8):1265-1273. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1080/ 0020739X.2014.920534
[24] Briggs K.M. A precise calculation of the Feigenbaum constants. Mathematics of Computation. 1991; 57:435-439. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1090/S0025-5718-1991-1079009-6
[25] Hertling P., Spandl Ch. Computing a Solution of Feigenbaum's Functional Equation in Polynomial Time. Logical Methods in Computer Science. 2014; 10(4):1-9. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.2168/LMCS-10(4:7)2014
Submitted 16.04.2021; approved after reviewing 28.05.2021; accepted for publication 09.06.2021.
EtEE
Valeriy S. Sekovanov, Head of the Department of Applied Mathematics and Information Technology, Institute of Physics and Mathematics and Natural Sciences, Kostroma State University (17 Dzerzhinskiy St., Kostroma 156005, Russian Federation), Dr.Sci. (Pedagogy), Professor, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8604-8931, [email protected]
Vladimir A. Ivkov, Associate Professor of the Department of Applied Mathematics and Information Technology, Institute of Physics and Mathematics and Natural Sciences, Kostroma State University (17 Dzerzhinskiy St., Kostroma 156005, Russian Federation), Ph.D. (Economics), Associate Professor, ORCID: https://orcid. org/0000-0002-1014-9381, [email protected] Alexey A. Piguzov, Associate Professor of the Department of Applied Mathematics and Information Technology, Institute of Physics and Mathematics and Natural Sciences, Kostroma State University (17 Dzerzhinskiy St., Kostroma 156005, Russian Federation), Ph.D. (Pedagogy), Associate Professor, ORCID: https://orcid.org/0000-0001-5378-3326, [email protected]
Larisa B. Rybina, Associate Professor of the Higher Mathematics Department, Kostroma State Agricultural Academy (34 Training Town, Karavaevo Village, Kostroma District 156530, Kostroma region, Russian Federation), Ph.D. (Philosophy), Associate Professor, ORCID: https://orcid.org/ 0000-0001-7891-9373, [email protected]
All authors have read and approved the final manuscript.
Современные информационные технологии и ИТ-образование
Том 17, № 2. 2021
ISSN 2411-1473
sitito.cs.msu.ru
