РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ПСЕВДОБУЛЕВОЙ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ТИПА МНОГИХ КОММИВОЯЖЕРОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 519.16

MSC2010: 90C27 DOI: https://doi.org/10.37279/1729-3901-2020-19-4-30-55

РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ПСЕВДОБУЛЕВОЙ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ТИПА МНОГИХ КОММИВОЯЖЕРОВ

© М. С. Германчук

КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРсИТЕТ ИМ. В. И. ВЕРНАДСКОГО ТАВРИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

просп. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация

e-mail: m.german4-uk@yandex.ru

Solvability of pseudobulous conditional optimization problems of the type of many salesmen.

Germanchuk M. S.

Abstract. Formalizing routing problems of many traveling salesman (mTSP) in complex networks leads to NP-complete pseudo-Boolean conditional optimization problems. The subclasses of polynomially solvable problems are distinguished, for which the elements of the distance matrix satisfy the triangle inequality and other special representations of the original data.

The polynomially solvable assignment problem can be used to determine the required number of salesmen and to construct their routes. Uses a subclass of tasks in the form of pseudo-Boolean optimization with disjunctive normal shape (DNS) constraints to which the task is reduced mTSP. Problems in this form are polynomially solvable and allow to combine knowledge about network structure, requirements to pass routes by agents (search procedures) and efficient algorithms of logical inference on constraints in the form of DNS. This approach is the theoretical justification for the development of multi-agent system management leading to a solution mTSP.

Within the framework of intellectual planning, using resources and capabilities, and taking into account the constraints for each agent on the selected clusters of the network, the construction of a common solution for the whole complex network is achieved.

Keywords: Pseudo-Boolean optimization with DNS constraints, polynomially solvable problems of many salesmen, algorithms of solution

Введение

Задача одного или многих коммивояжеров на сетях большой размерности и сложной структуры в приложениях возникают в результате формализации, в ходе которой пренебрегают спецификой, особенностями и некоторыми ограничениями. Может оказаться, что более точный или избирательный учет всех знаний о задаче и сети,

позволит выделить индивидуальный экземпляр задачи, разрешимой за полиномиальное время или класс таких задач. Существует путь формализации задачи и организации структуры исходных данных, при котором полученный экземпляр будет полиномиально разрешимым.

Для задачи, в которой необходимо определить количество агентов-коммивояжеров полностью обслуживающих сеть и необязательно каждый агент посещает заданное количество вершин, достаточно воспользоваться полиномиально разрешимым алгоритмом решения задачи о назначении. Полученные m контуров потребуют m коммивояжеров. Дальнейшие преобразования найденных контуров улучшают решение общей задачи и удовлетворяют необходимым требованиям. Если коммивояжеры уже распределены по кластерам сети, то на отдельном кластере могут возникать полиномиально разрешимые экземпляры TSP, в которых исходные данные матрицы весов (расстояний) C представлены в специальном виде.

Прикладная теория задач маршрутизации на сложных сетях (типа многих агентов-коммивояжеров) базируется на точных решениях выделенных классов задач с полиномиальными алгоритмами решения, использовании приближенных алгоритмов решения (например, с гарантированной функциональностью) и декомпозиции (кластеризации) исходной задачи, т. е. сведения к задачам меньшей размерности и уточняющих преобразованиях для возврата к исходной задаче. Важным в этом процессе является учет всей имеющейся информации, знаний, фактов и прецедентов, как для построения иерархии моделей (извлечение моделей), так и для разработки практических алгоритмов решения [1, 4, 8, 9, 12-15, 24, 25].

Разнообразие алгоритмов решения задач типа многих коммивояжеров (mTSP) связано с наличием априорных знаний о решении или структуре сети, прецедентным характером знаний и требованиями к точности решения. Рационально использование, как точных, так и приближенных алгоритмов и их композиций.

Многоагентные системы (МАС) с роевым интеллектом используются для решения сложных задач дискретной оптимизации (в том числе и mTSP), которые нельзя эффективно решать классическими алгоритмами. Агентная модель для сложной сети задачи типа многих коммивояжеров mTSP становится интеллектуализированной системой, определяющей эвристические алгоритмы поиска оптимального решения реактивными агентами (следующих заложенным в них правилам).

Синтез МАС искусственного интеллекта (ИИ) по частичной, прецедентной, априорной информации базируется на результатах наблюдения над поведением МА С

на основе накопленной информации в виде «... вектора состояния, значения качества функционирования системы, бинарного индикатора допустимости этого состояния» [24]. В данной статье для МАС маршрутизации типа mTSP используется модель скалярной псевдобулевой условной оптимизации с ограничениями в виде дизъюнктивной нормальной формы (ДНФ). Такие модели естественным образом учитывают линейные ограничения по прохождению вершин сети, декларативные требования, требования предшествования, обязательного прохождения выделенного множества дуг и другую прецедентную информацию.

В разделе 2 задачи mTSP сводятся к псевдобулевым оптимизационным моделям с сепарабельными целевыми функциями и ДНФ ограничениями, имеющими ограниченную постоянной длину, которые являются полиномиально разрешимыми. Представляют интерес классы задач, которые приведены или легко приводятся к форме с ДНФ ограничениями, так как в общем случае такие приведения являются экспоненциальными. Синтез модели с ДНФ ограничениями из данных можно осуществлять приближенно и сложность такой аппроксимации оказывается полиномиальной. Можно воспользоваться результатами работы [24], где показано, что число конъюнкций в извлеченной ДНФ не превышает числа примеров в исходной прецедентной информации. При этом указывается, что для построения ДНФ ограничений целесообразно использовать решающие деревья. В случае монотонности и линейности частично заданной целевой функции в работах В. И. Донского [8, 24] и М. Г. Козловой [12, 13] предложены алгоритмы решения задач псевдобулевой скалярной оптимизации при наличии неполной, прецедентной начальной информации. Методология такого подхода далее будет применена для решения многоагентных задач типа многих коммивояжеров.

В статье приводятся результаты, которые анонсировались в декабре 2020 года на Международной конференции «Интеллектуализация обработки информации» [4]. Исторические аспекты по задачам коммивояжера, их обобщениям, точным и приближенным алгоритмам решения можно найти в работах [16-18].

1. ПОДКЛАССЫ ПОЛИНОМИАЛЬНО РАЗРЕШИМЫХ ЗАДАЧ КОММИВОЯЖЕРА

Рассмотрим случай mTSP, когда каждый коммивояжер решает свою задачу комбинаторной оптимизации на выделенном кластере. Будем предполагать, что исходные данные задачи коммивояжера представлены (или могут быть представлены) специальным образом так, что данный экземпляр полиномиально разрешим.

Метод, в котором исходные данные представлены определенным образом в работе [7], называется методом моделирования исходных данных. Метод, который основан

на распознавании структуры входных данных и заданном упорядочении комбинаторных комбинаций [21], называют методом структурно-алфавитного поиска оптимального решения задач комбинаторной оптимизации.

Пусть С — весовая матрица расстояний с элементами е^, г,] = 1,п из класса Яп симметричных п х п матриц над полем вещественных чисел К. Постановка ТБР, как комбинаторной задачи оптимизации, состоит в нахождении перестановки п на множестве индексов {1,2,... ,п}, которая минимизирует функцию расстояния

п

/ = ^2 ^м. (1)

'¡=1

Т. е. коммивояжер должен объехать все города (вершины) в произвольной последовательности и вернутся в исходный город кратчайшим путем 7 = (1, п(1), п(2),..., п(п) = 1).

Определение 1. Через РБ будем обозначать подкласс ЫР-полных задач коммивояжера, которые полиномиально разрешимы при дополнительных ограничениях (условиях) Б.

Приведем некоторые примеры ТБР из подкласса РБ. Для ТБР на плоскости полиномиально разрешимой является задача, элементы матрицы С которой удовлетворяют неравенству треугольника. Другие подклассы определяются через четыре различных элементам матрицы С. Пусть 1 ^ г < j < к < I ^ п, С € Яп произвольная матрица расстояний.

Симметричная матрица С € Яп называется матрицей Кальмансона (К) [32], если выполняется условия

01 = е'з + ек1 < е'к + = 02, 0з = е^- = е^к < е'к + е^ = 02. (2)

или 02 = тах{01,02,03.} Если С С К, то оптимальным маршрутом ТБР будет 7 = (1, 2,... ,п — 1, п).

Матрицы Супника (У) [34] удовлетворяют условиям

01 < 02, 03 > 02 (3)

или 01 = тгп{01,02, 03.} Для матриц Супника (У) оптимальным маршрутом будет 7 = (1, 3, 5, 7,..., 8, 6,4,2). Более мощным является класс матриц Демиденко [5, 6]

К и У € &.

Пирамидальным называется такой маршрут ТБР 7 = (1,г1,г2,... ,гк-1,п, гк+1,гк+2,... ,гп-2), в котором %1 < %2 < ... < %к+1, и гк+1 > «к+2 > ... > гг-2. В. М. Демиденко доказал, что для матрицы С С & существуют оптимальный

маршрут, который является пирамидальным. Число пирамидальных маршрутов не меньше 2п-2. Лучший из них можно найти полиномиальным алгоритмом порядка 0(п2) [20].

Произвольная матрица С € Яп называется матрицей Монжа, если в1 = с ^ + скь ^ ^ сц + сщ для всех 1 ^ г < к ^ п, 1 ^ 3 < I ^ п. Матрица С не обязательно симметрическая. Задача коммивояжера с переупорядоченной матрицей расстояний Монжа называется задачей Монжа [28].

Возникает задача распознавания, которая состоит в том, чтобы найти перестановку 5 элементов матрицы С такую, чтобы новая матрица с элементами с^)^) принадлежала бы к разрешимым ТБР (Демиденко, Кальмансона, Супника, ...). В [7] утверждается, что до сих пор не доказано существование такой перестановки для конкретной матрицы расстояний С.

Заметим, что подкласс разрешимых задач с матрицей Монжа найден в результате разной перестановки для строк и столбцов: сщ)т5 — перестановка для строк, а т — для столбцов.

Дальнейшее описание полиномиально разрешимых ТБР связано с функцией натурального аргумента <(Ь) [7, 20, 21], с помощью которой представляются элементы матрицы С. Для симметрической матрицы С достаточно использовать наддио-ганальные элементы, которые представляются построчно в виде одномерного массива с11,с13,..., с1п, с23, с24,..., с2п, с34,..., сп-1, п. Такой последовательности ставится в соответствии функция натурального аргумента <(Ь) = {<£>(1), <£>(2),..., <(т)},

1 тг г (г + 1) т = — п(п — 1). Для 3 > г имеет место соответствие <(Ь) = с^, Ь = п(г — 1)-----+ 3.

Справедливы утверждения [7]:

1. Если <(Ь) —линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом, то соответствующая ТБР принадлежит к классу разрешимых задач.

2. Если <(Ь) —выпуклая и невозрастающая функция, то соответствующая ТБР принадлежит подклассу разрешимых задач.

Матрица расстояний, представленная линейной функцией <(Ь), является одновременно матрицей Кальмансона и Супника. Впервые линейную функцию в качестве расстояний предложила Н. К. Тимофеева [21]. В [20] взята функция расстояний, удовлетворяющая условиям: \з — г| < \1 — к\ ^ с^ < скь, сз = сВ этом случае оптимальный маршрут является пирамидальным циклом.

В [21] для подклассов разрешимых задач ТБР доказано, что методом структурно-

алфавитного поиска построением не более чем — перестановок находится упорядоченная последовательность локальных экстремумов / = (/(51),/(52),...,/(5к*))

п2

таких, что /(5'*) = globextr/(6к), где к*, г* € 11,..., —, ) / € {1,... ,п!}, 5к — пере-

бк \ 2 /

становка, которая в ТБР является аргументом целевой функции.

На основании этого утверждения приводится полиномиальный алгоритм [21, 3435] («вычислительная схема») решения ТБР, если входные данные заданы функциями натурального аргумента, которые изменяются как монотонные, унимодальные (вогнутые или выпуклые), периодические или наименьшие элементы матрицы С одинаковые и образуют гамильтонов цикл. Соответствующие правила отсечения неэффективных вариантов основываются на закономерности изменения значений целевой функции / от упорядочивания комбинаторных комбинаций и от структуры входных данных.

Выбор алгоритма структурно-алфавитного поиска, наряду с алгоритмами метода ветвей и границ, динамического программирования, последовательного анализа вариантов для прикладных задач многих коммивояжеров обусловлен его быстродействием и сравнимой точностью.

Эффективность применения алгоритма связывается с выбором кластера (фрагмента сети), на котором решают задачу один из агентов-коммивояжеров, также с предварительным исследованием структуры входных данных ТБР на этом кластере. Прецедентные знания позволяют накапливать базу шаблонов, т. е. выделять случаи структур данных, на которых целевые функции изменяются и к таким ТБР применимы одинаковые схемы решения. Поиск шаблонов можно осуществить с помощью технологий машинного обучения (например, искусственных нейронных сетей). На входе: комбинации элементов матрицы С. На выходе: оценки принадлежности С к одному из классов комбинаторных функций <£>(£). Такой подход может привести к более широкому классу полиномиально разрешимых ТБР. Для тТБР на каждом кластере может быть свой алгоритм решения.

Для выделенных классов ТБР существуют приближенные полиномиальные алгоритмы. Представляют интерес связанные классы задач, допускающие полиномиально разрешимые алгоритмы. Это класс задач ТБР, к которым применимы итерационные алгоритмы локального улучшения; алгоритмы реоптимизации: задачи, для которых эффективно применять конструктивные алгоритмы, метаэвристики и на каждом направлении возникают свои трудности как в возможности применения, так и в эффективности реализации. Кроме того, необходимо иметь критерии принадлежности ТБР к тому или иному классу.

2. Модели псевдобулевой условной ОПТИМИЗАЦИИ с дизъюнктивными ограничениями для задачи многих

коммивояжеров

Задача тТБР с общими интересами соответствует одна целевая функция, выражающая минимум общего расстояния, как и в задаче для одного коммивояжера. Ограничения линейные. Задача приводится к задаче псевдобулевой оптимизации с дизъюнктивными ограничениями.

2.1. Псевдобулевые модели задач многих коммивояжеров. Рассмотрим задачу коммивояжера, формализованную в виде модели линейной псевдобулевой условной оптимизации с неотрицательными коэффициентами (с^- ^ 0) целевой функции

п п

^ СгЭ ^ т1п> (4)

¿=1 ]=1

пп

^х^- = 1, ^х^- = 1, %,з = 1,п, (5)

¿=1 о=1

Щ — Щ + ПХц ^ п — 1, %,] = 2, п, % = j. (6)

Здесь щ — произвольные действительные числа (нумерация вершин маршрута коммивояжера). Ограничения (6) препятствуют образованию подциклов. Рассмотрим одну из постановок задачи тТБР.

Пусть дан граф С(У,и), где V — множество вершин V = 0,1,... ,п, и и — множество дуг (ребер) и С = (с^-) —матрица весов (расстояний), связанная с каждой дугой (%, j) € и. Пусть т коммивояжеров расположены в вершине-депо % = 0. Многоагент-ный подход к решению задачи коммивояжера при расположении всех агентов в одной вершине-депо включает в себя нахождение всех маршрутов для т коммивояжеров, таких, что они начинаются и заканчиваются в одной вершине. Все остальные вершины распределены по конкретным маршрутам. Количество вершин, посещаемых агентом, находится в пределах предопределенного интервала, и общая стоимость посещения всех вершин минимизируется. Пусть

{1, если агент проходит по дуге ),

0, в противном случае;

щ —количество вершин, посещенных от источника до вершины % (т. е. номер посещения %-й вершины); Ь — максимальное количество вершин, которые коммивояжер

может посетить; К — минимальное количество вершин, которые коммивояжер должен посетить, то есть К ^ щ ^ Ь.

Формализация многоагентной задачи коммивояжера в этом случае имеет вид:

шт сзх3, (7)

х1ч = т, (8)

3=2

^2 хз1 = т (9)

3=2

^Хгэ = 1,3 = 2, . . . ,п, (10)

■1=1

^2хг3 = 1,г = 2,... ,п, (11) 3 = 1

щ + (Ь — 2)хи — ха < Ь — 1, г = 2,...,п, (12)

щ + х1г + (2 — К)хг1 > 2,г = 2,... ,п, (13)

хи + Хг1 ^ 1,г = 2,..., п, (14)

щ — из + Ьхз + (Ь — 2)х^ ^ Ь — 1, 2 ^ г = 3 ^ п, (15)

хг] € {0, 1}, У(г,3) € и. (16)

Целевая функция (7) минимизирует общее пройденное расстояние в маршруте. Условия (8) и (9) гарантируют, что т коммивояжеров начинают и заканчивают свой путь в одной вершине. Уравнения (10) и (11) являются ограничениями посещения вершин. Условия (12) и (13) накладывают ограничение на количество вершин, которые коммивояжер посетит (при щ = 1, если г — первая вершина в маршруте). Ограничение (14) не позволяет коммивояжеру посещать только одну вершину. Неравенство (15) гарантирует, что и3 = и■ + 1, тогда и только тогда, когда х^з = 1. Таким образом, ограничения запрещают формирование каких-либо подмаршрутов между вершинами в V\{1} [33].

Многоагентный подход к решению задачи коммивояжера при расположении всех агентов в разных вершинах является обобщением рассматриваемой ранее задачи, при котором у каждого агента разные вершины-депо.

Пусть дан граф С(У,и), где V — множество вершин V = 0,1,... ,п, и и — множество дуг и = {(г,3) : г,3 € V,г = 3}, п — количество вершин. Множество всех вершин графа есть объединение V = Б и У, где Б — это множество стартовых позиций агентов— депо. В узле г расположен коммивояжер т■. И общее количество агентов — т.

i&V

X

ieV

Е

jeV

U ' "

fceD fceD

Пусть V/ = {( + 1,1 + 2,... ,п} будет множеством клиентов, где \В\ = 1. С — матрица стоимостей переходов из одной вершины в другую графа С, которая обладает свойствами: С] = С] и С] + С]к ^ сгк для каждого %2,к = 1, 2,..., п.

Пусть Хц, Ь, К определены, как и раньше. Тогда получим следующую формализацию многоагентной задачи коммивояжера:

шт ^ сцХц, (17)

(г,])еи

= шг,% € В, (18)

]еУ

= Ш] ,2 € В, (19)

ет?

^ Х] = 1,2 € V, (20)

геУ

^ Хг] = 1,% € V, (21)

зеУ

+ (Ь - 2)^2 хы - ^ хгк < Ь - 1,% € V, (22)

кев кев

Пг + ^ Хкг + (2 - К) ^ Хк > 2, % € У, (23)

кев кев

Хкг + ^ < 1, к € В,% € У, (24)

П] + ЬХ] + (Ь - 2)Х]г < Ь - 1,% = 2; %,] € V, (25)

Хг] € {0,1}, %,2 € V. (26)

Целевая функция (17) минимизирует общее пройденное расстояние маршруте. В данной формулировке для каждого % € В уравнения (18) и (19) гарантируют, что шг коммивояжер начинает путь в вершине %. Уравнения (20) и (21) являются ограничениями посещения вершин. Условия (22) и (23) накладывают ограничения на количество вершин, которые коммивояжер посетит, при иг = 1, если % — это первая вершина в маршруте. Ограничение (24) не позволяет коммивояжеру посещать только одну вершину. Ограничение (25) разбивает все подмаршруты между агентами [33].

В постановке задачи шТБР (7)-(16) и (17)-(26) агенты-коммивояжеры не конкурируют друг с другом, а обеспечивают минимальный по стоимости (расстоянию) маршрут. При помощи анной модели возможно добавлять ограничения в виде ДНФ [2]. Добавление ограничений и учет априорных знаний в виде ДНФ, позволяет уточнить псевдобулевую постановку задач (7)-(16) и (17)-(26).

Ui

2.2. Задачи псевдобулевой условной оптимизации. В предыдущем разделе приведены модели задач ТБР и тТБР в виде задач псевдобулевой условной оптимизации с линейной целевой функцией и линейными ограничениями относительно переменных х^ € {0,1}.

Приведем необходимые сведения, которые используются для представления задач ТБР и тТБР с ДНФ ограничениями. Далее обозначим через ж = (х1,... ,хп), хг € {0,1}, г = 1,п, вектор который зависит от одного индекса. С таким же успехом можно использовать Х = (х11,х12,..., хпп), х3 € {0,1} с двухиндексным обозначением булевых переменных, которые присутствуют в тТБР.

Оптимизационные задачи с булевыми переменными имеют широкие приложения [1, 8, 23]. В связи с задачами маршрутизации на графах особый интерес представляют задачи псевдобулевой оптимизации. Достаточно подробно такие задачи исследовались в работах [27, 31], где разработаны методы решения в случае аналитически заданных моделей псевдобулевой оптимизации. В работе [22] псевдобулевые функции рассматриваются, как отображения из семейства подмножеств конечного исходного множества действительных чисел. Оптимизация на графах в классе псевдобулевых функций представлена в работах [26, 29]. Базовые результаты содержатся в [10, 11].

Введем обозначения:

Вп = {0,1}п — единичный п-мерный куб, Р2(п) = {Р : Вп ^ {0,1}} — класс функций алгебры логики (ФАЛ), зависящих от п переменных, х = (х-^,,х2,..., хп) € Вп.

Функция вида f : Вп ^ К, где К — множество действительных чисел, называется псевдобулевой [1, 8, 22]. Для обозначения класса таких функций будем использовать обозначение РБ2 (п), а для обозначения класса линейных псевдобулевых функций — ЬРБ2(п).

Задача вида

extrf (х), х € П С Вп, f € РБ2(п) (27)

называется задачей псевдобулевой оптимизации.

Введем характеристическую функцию множества ограничений

к (~\ I 1, х € П;

Рп(х) = <

Щ ; | 0, х € Вп\П.

Задачу (27) можно представить в эквивалентной форме:

extrf (х), Рп(х) = 1, f € РБ2(п), Рп € Р2(п), х € Вп, (28)

где Р2(п) —класс функций алгебры логики от п переменных.

Пусть К3 — элементарная конъюнкция, = У К3 — любая дизъюнктивная

3=1

нормальная форма функции Р^(х); тогда задача, эквивалентная задачам (27) и (28), имеет вид:

extr f (х), ВРп(х) = 1, х € Вп. (29)

Задача (29) называется задачей псевдобулевой оптимизации с дизъюнктивным ограничением, и форму ее представления называют канонической.

Определение 2. Переменная хг называется существенной для f € РБ2(п), если найдется такой набор значений переменных а1,..., аг-1, аг+1,..., ап, что f (а1,..., аг-1, 0, аг+1,..., ап) = f (а1,..., аг-1,1, аг+1,..., ап). В противном случае переменная называется фиктивной.

Определение 3. Псевдобулевые функции f1 и f2 называются равными, если функция f2 может быть получена из f1 путем введения или удаления фиктивных переменных.

Каноническая форма псевдобулевой функции f аналогична совершенной дизъюнктивной нормальной форме в Р2(п) и имеет вид:

гр | - X П ~ 1 • • • •

. ¿и -v) ) - 7 ix гт ¿и 1 • • • ¿и ' • • • ¿и „..

f (хи ..., хп) = ^ аа хЧ1 • ... • <г • ... • хПп (30)

стеБ"

{х а — 1 х, а = 0.

Каждая псевдобулевая функция может быть представлена в полиномиальной

форме над полем действительных чисел

%

f (х1,..., хп) = ^ с3 х31 • ... 3 + со, С3 € К, 3 = 1,..., к}. (31)

3 = 1 3

Задача псевдобулевой оптимизации в форме слабых неравенств имеет вид: extr f (хъ...,хп), д3 (х1,...,хп) < 0, 3 = 1, 2,...,т,

(32)

(хъ...,хп) € Вп, € РБ2(п).

Определение 4. Две формы представления оптимизационной задачи называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Теорема 1 ([9]). Для любой задачи псевдобулевой оптимизации в форме (27) существует эквивалентная форма представления

вхгг f (х), Н(х) < 0, х е вп (33)

с единственным ограничением в виде нестрогого неравенства, где е Р£2(п) есть некоторые полиномы.

Полиномиальное представление для функции f е Р£2(п) существует всегда.

Теорема 2 ([9]). Любая задача оптимизации псевдобулевой функции с ограничениями, определяющими непустое множество допустимых решений ^ задачи (27), может быть представлена в эквивалентной форме с дизъюнктивным условием (29).

Доказательство теоремы следует из существования эквивалентной формы задачи с характеристическими функциями на наборе допустимых значений Га (X) и полноты представления функций алгебры логики в виде дизъюнктивных нормальных форм.

Определение 5. Представление задач класса Z в форме Г называется полным в Z, если любая задача этого класса может быть представлена в форме Г.

Следствие 1. Представление задач условной оптимизации псевдобулевой функции в форме с дизъюнктивным условием является полным.

Область допустимых решений задачи (29) и эквивалентной ей задачи (27) может

т

быть представлена в виде: ^ = ^ , где NK. — интервал ранга т3-, соответству-

3 = 1 ' '

ющий элементарной конъюнкции К = х^1 &... , что приводит к еще одной

эквивалентной форме задачи (27):

вх1т вхЬт f (х). (34)

х ёNкj

Действительно, учитывая, что область допустимых решений есть объединение интервалов NKj, j = 1, т, легко убедиться, что экстремальное решение задачи можно определить путем его выбора из предварительно найденных допустимых решений, являющихся экстремальными в интервалах NKj.

Рассмотрим основной алгоритм решения задачи псевдобулевой оптимизации. Пусть дана задача псевдобулевой оптимизации с линейной целевой функцией

т

тах У^ с,х,, \! К3 (х) = 1, х е Вп, (35)

¿=1 3=1

где К, (ж) = х^ & ■ ■ ■ , ] = 1, т. Приведем к эквивалентной форме:

п т

шах егхг, X Е , (36)

г=1 3=1

где МКз — интервал в Вп, соответствующий конъюнкции К,; интервал МКз определяется набором значений {]]_, ■ ■ ■ ,]г.} (направление) и множеством , ■ ■ ■, } (код интервала).

Решение (36) сводится к решению задачи

п

max max > с,;х,; 3 i=l

егхг, (37)

'¡=1

которое, в свою очередь, требует решения т задач вида:

п

шах N егхг, X: (хз1 = а~1 )&■ ■■ &(х~г. = а~г, )■ (38)

х А—^ 3 3

'=1

Задача (38) решается следующим образом: допустимыми являются только те булевы наборы х, у которых зафиксированы координаты х,1 =3,..., =о"3г., а остальные могут иметь любые значения из множества {0,1}. Свободные переменные (вне множества номеров {^1, ■ ■ ■ }) можно назначать единичными или нулевыми в зависимости от значения ег,г Е {1, 2, ■■■, п}\{^'1, ■ ■ ■ .,3,3} —коэффициентов целевой функции. Экстремальные решения х* задачи (38) будут определяться формулой [30]:

'з

где

х- Л 6 {З1::-3^, (39)

1, ег > 0, р(ег) = < 0, ег < 0, а, ег = 0,

а — любое значение из {0,1}. В случае, когда все ег = 0, задача (38) имеет единственное решение, а исходная задача (37) —не более т решений.

На каждом интервале МКз при вычислении х*, согласно (39), просматривается п значений, а интервалов всего т, поэтому сложность решения О(тп).

Теорема 3 ([9]). Если задача условной оптимизации линейной псевдобулевой функции с ограничениями-неравенствами приводится к эквивалентной форме с дизъюнктивным ограничением за число шагов, ограниченное полиномом от размерности задачи, то она разрешима за полиномиальное время.

Так как любую задачу псевдобулевой оптимизации можно представить в эквивалентной форме с ДНФ ограничением, то это справедливо и для задач с линейной целевой функцией. Следовательно, решение тТБР можно осуществлять по схеме, представленной на рис. 1.

Задача коммивояжера на выделенном кластере Формализация в виде модели псевдобулевой оптимизации Преобразование к псевдобулевой модели с дизъюнктивным ограничением Решение задачи полиномиальной сложности (|0{пт))

Рис. 1. Схема решения задачи

3. ПСЕВДОБУЛЕВАЯ МОДЕЛЬ С ДИЗЪЮНКТИВНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

ЗАДАЧИ МНОГИХ КОММИВОЯЖЕРОВ

Для того, чтобы упростить выкладки и применить результаты раздела 2, будем использовать обозначение двухиндексных величин через одноиндексные: х=(х1, х2,..., хN)=(хп, х12,..., хпп) е В-, с=(с1, С2,..., с-)=(сп, С12,..., спп), где N=п2. Ограничениям можно поставить в соответствие функции Г (х) е Р2 (N), j = 1,М, где М — число ограничений. Можно в х использовать и другую нумерацию элементов: х¿з, i,j = 1,п. Удельная перестановка п элементов матрицы С может привести к одной из полиномиально разрешимых задач раздела 1.

Определение 6. Вершина а куба Вп называется верхним нулем монотонной функции f (х), если f (о5) = 0, и для всякой вершины / из а / следует, что f (/) = 1 [19].

Лемма 1. Если

n n ^

Xij = 1, Xij = 1, i,j = 1, n, ui — Uj + nxij ^ n — 1, i = j > ^ {Fj(X) = 0} Kj=1 i=i J

то Fj — монотонные ФАЛ и задачу (4)-(6) можно записать в виде

м

(c, X) ^ min, F0(X) = У Fj(X) = 0, (40)

j=1

где c = (c11, c12,..., cnn), (c, X) — скалярное произведение, F0(X) — монотонная ФАЛ.

Доказательство. Покажем монотонность функций (х). Пусть а, / е В- такие, что а ^ /, т. е. а¿3 ^ /¿3, ^^ = 1,п. Тогда

{п п ^

а^ — 1, а3з — 1, i,j = 1, п, щ — и3 + па¿3 — (п — 1), i,j = 2, п > ^ 3=1 ¿=1 )

{и п ^

— 1, ^/¿3 — 1, i,j = 1,п, щ — щ + п/ц — (п — 1), i,j = 2,п\ = 5(/).

3=1 ¿=1 )

Неравенства выполняются покомпонентно, в силу а^3 ^ /¿3, '^i,j = 1,п.

По условию леммы (5(а) < 0) ^ (^ (а) = 0), (5(/) < 0) ^ (^ (/) = 0). Учитывая, что 5(а) ^ Б (в3), имеем (а) = 1) ^ (¥3 (/3) = 1), поэтому ^ (аз) ^ ¥3 (/3). Следовательно, ¥3 (х) — монотонная ФАЛ.

Функция Ро(х) = УМ=1 ¥3 (х) является монотонной. Это следует из того, что класс монотонных ФАЛ является замкнутым и содержит дизъюнкцию. Функция ^о(х) равна нулю тогда и только тогда, когда выполняются все ограничения (4)-(6), так как дизъюнкция \/М=1 ^3 (х) равна нулю только при ¥3 (х) = 0 для всех j = 1, М. □

Результаты полученные для одного коммивояжера остаются справедливыми и для тТБР. В выражении для Б (а) будут ограничения (8)-(15) или (18)-(25) в случае нескольких депо.

Теорема 4. Задачи тТБР представимы в виде задач псевдобулевой условной оптимизации с ДНФ ограничениями.

Из теоремы 4 следует, что если область допустимых решений П = {х е В- : ^о(х) = 0} = 0, то решением задачи является верхний ноль функций ^о(х). Задача (40) сводится к задаче расшифровки монотонной ФАЛ или к поиску ее верхних нулей [9].

Псевдобулевая задача линейного программирования (40)

шт(с,х), П = {х е В- : ¥0(х) = 0} (41)

с ДНФ ограничениями позволяет учитывать знания о решении задачи коммивояжера, которые представимы в ДНФ форме. Например, если необходимо включить прохождение дуг хкь и хрт, тогда к ограничениям добавляется условие (хкь — 1)У V(xpm — 1) = 0. Если, наоборот, не включать, то хкь V хрт = 0 [3].

Полученный формализм позволяет учитывать знания о модели и решениях, а также использовать их в теоретических обоснованиях и конкретных алгоритмах решения.

Задача каждого коммивояжера на выделенном кластере является задачей скалярной псевдобулевой условной оптимизации, т. е. может быть представлена в канонической форме с дизъюнктивными ограничениями (35):

{nk nk шк Л

fk (X) = (ck,x) = ^Yl ckjXij 'Vj & ■■■ = 1, к = (42)

i = 1 j = 1 j=1 r )

Каноническая модель является исчерпывающей в своем классе в силу полноты. Левая часть ограничения (42) является ДНФ характеристической функции множества Qk-ограничений искомой задачи на к-ом кластере, в которой может быть учтена дополнительная информация о структуре кластера и искомого решения (запреты, предписания и др.).

В случае общих интересов модель будет однокритериальной:

m M

min fo (x) = min ^ fk (x), \j xjj1 & ... &xjj = 1. (43)

k=i j=i 3

Процессом выбора решения будем называть поиск такого набора значений а G XN, X G {0,1} признаковых предикатов, чтобы (одновременно или по отдельности) :

— обращался в единицу один или несколько целевых предикатов;

— достигала экстремального значения несколько (или одна в однокритериальной постановке) псевдобулевых функций fk,к = 1,m.

Единственное ограничение канонической модели (43) в виде ДНФ характеристического множества ограничений задает И/ИЛИ граф, которому соответствует логическая система продукций. Существование логической системы продукций (ЛСП)

xj31 & . . . &x-3rj —У qj,

jl jrj ^J 1

9] ^ 9о, 3 = 1,М

позволяет выводить целевой факт д0 =«х — допустимое решение». Граф И/ИЛИ ограничения канонической модели задачи тТБР является трехярусным. Любой граф ЛСП, не имеющий циклов, может быть сведен к трехярусному и представлен в виде ДНФ. Откуда следует, что соответствующая база знаний (БЗ) системы построения допустимого решения тТБР должна удовлетворять следующим требованиям:

1) решения тТБР должны удовлетворять ограничениям задачи, следовательно, ЛСП должна обеспечивать возможность вывода целевых предикатов, соответствующих этим ограничениям;

2) группа ограничений, которые должны выполняться одновременно, задаются вершиной типа «И», связывающей эти ограничения вместе.

Заметим, что ДНФ ограничение может быть получено с помощью обучения по прецедентной (эмпирической) информации [12, 24]. Для синтеза ДНФ по заданным ЛСП можно использовать Б- и ББ-алгоритмы [8], реализующие, соответственно, стратегии «сверху вниз» и «снизу вверх». То есть реализуется синтез областей допустимости решений в знаниеориентированных продукционных системах моделей псевдобулевой условной оптимизации, соответствующих тТБР (в этих же работах можно найти оценки сложности алгоритмов).

Вопрос полноты знаний об ограничениях в БЗ задачи коммивояжера является важным и рассматривается самостоятельно в теории знаниеориентированных систем.

4. Выбор решения задачи многих коммивояжеров в условиях

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

При большой размерности задачи (сложность сети) условной псевдобулевой оптимизации с ДНФ ограничениями прямо применять полиномиальные алгоритмы, предназначенные для такого класса задач может быть нерационально. Требуется упрощение задачи (применение приближенных, эвристических методов) с помощью отсечения излишних вариантов перебора на основе имеющихся знаний. Прежде всего снижение сложности (размерности) достигается с помощью кластеризации сети. При этом количество агентов и депо, их расположение, количество кластеров может быть задано, искомо или быть произвольным.

Следуя идеологии сведения исходной задачи к нескольким задачам меньшей размерности, рассмотрим следующий подход к решению задачи маршрутизации для многих агентов. Пусть т = 2 (два агента).

Алгоритм решения задачи для двух коммивояжеров (АтТБР)

Вход: сеть Б = (О, С), О = (и, V), п = ¡V|, и — множество дуг,

С — матрица расстояний (весов); информация о структуре сети.

Выход: маршруты коммивояжеров, длина общего маршрута.

1: Провести кластеризацию сети: Б = Б1 иБ2, О = О1 иО2, V = V1 иV2 (V ПV2 = 0)

2: На сетях Б1,Б2 сформировать задачи коммивояжеров, выписать все основные и дополнительные ограничения.

3: Трансформировать задачи коммивояжеров к задачам псевдобулевой оптимизации с ДНФ ограничениями.

4: Найти решения задач с ДНФ ограничениями.

5: Провести локальные преобразования, обмениваясь вершинами множеств V1,V2. Добавление вершины приводит к изменению ДНФ ограничений (добавление интервалов конъюнкций). Алгоритм остается полиномиальным.

б: Выбрать лучший вариант (или провести заданное число итераций).

7: Получить решение исходной задачи.

Каждый шаг алгоритма AmTSP конкретизируется в зависимости от структуры (сложности) исходной сети и всей имеющейся информации (знаний).

Уточним шаги 4, 5 алгоритма AmTSP с точки зрения преодоления неопределенности (для m = 2, аналогичная ситуация для m > 2). Задачи псевдобулевой оптимизации для каждого кластера имеют вид:

min f1(x) = min(c1,x), F1(x) = 0,

min f2(x) = min((?,x), F2(x) = 0,

k _ ( Л Л yk \ _ (Jk Л Л Л \

(44)

c = (c11, c12, . . . , cnn) — (C1 ,C2, . . . ,cj , . . . , cN),

x G BN, N = n2, Fk(x) G P2(N), к = 1, 2.

В том случае, когда кластеры определены единственным образом, а целевые функции и ограничения заданы точно, решение полученных задач на кластерах сводится к расшифровке монотонной функции алгебры логики (или к поиску ее верхних нулей). В более общем случае модели mTSP получены как неполное представление исходной задачи mTSP, когда в результате кластеризации (или при другом сведении к задаче меньшей размерности) при исследовании линейной модели не удалось получить полную информацию об ее ограничениях. Но, по доказанному выше, Fj (x) являются монотонными функциями алгебры логики.

Будем предполагать, что существуют множества

MFk = {х G BN : Fk(х) = 0} ; И^к = {х G BN : Fk(х) = 1} ;

(45)

Mfk = {x G BN : fk(x) = 0} ; Mf = {x G BN : fk(x) = 1} , к = 1, 2.

С позиции первого коммивояжера (к = 1) Fk(x) — функция, определяющая допустимые решения, задана частично с помощью указания множеств наборов Mfk, Mf (прецедентов или фактов), т. е. заданы некоторые частичные функции алгебры логики fk, к = 1, 2.

Пусть Фк — множество монотонных функций алгебры логики из Р2 (п), принимающих значение «0» на множестве М ^ и значение «1» на множестве М(к, а Zk(Фк) — множество всех верхних нулей всех функций из Фк.

Непротиворечивым решением задач (44) называется такой набор ¿1 € Zk(Фк), что

N N

Ус* = шт V ск ¿з.

3 = 1 3=1

Не теряя общности, можно считать, что булевы переменные упорядочены так, к

N.

что с1 > ... > ск^г. Это легко выполнить для любой исходной задачи.

Теорема 5. Функция ]к € Р2 ^), не являющаяся константой, монотонна тогда и только тогда, когда для любых пар вершин х,у € ВN таких, что ]к (X) = 1, 1к(У) = 0, найдется переменная с номером г € {1, 2,..., N} такая, что хг = 1, уг = 0.

Доказательство. Необходимость. Докажем необходимость методом от противного. Пусть € Р2^) не константа, монотонна и не существует переменной с номером г € {1,2,...^} такой, что хг = 1, у = 0, т.е. хг ^ уг, г = . Тогда X ^ у, но (X) > (у), что противоречит условию монотонности функции fk.

Достаточность. Рассмотрим три множества пар наборов х,у € ВN:

Wkl = {(X, у) : fk(X) = 1, fk(у) = 0};

Wk2 = {(X, у) : fkф=0, fk(у) = 1}; Wkз = {(X,у) : fk(X) = fk(у)}.

Пусть X € Wk1. Тогда fk (X) > fk (у) и по условию теоремы Зг : Xi > уг. Следовательно, либо X У у, либо наборы X и у — несравнимы. Для всех сравнимых наборов из Wkl имеем: X У у и fk(X) > fk(у).

Аналогично проверяется выполнение условия монотонности функции fk на множества Wk2.

Пусть X € Wk3, тогда fk(X) = fk(у), в том числе всегда, когда X ^ у. Учитывая, что объединение Wk1 и Wk2 и Wk3 содержит любую пару вершин куба BN, получаем, что fk — монотонная функция: если X ^ у, то fk(X) ^ fk(у). □

На основании теоремы 5 можно сделать следующий вывод. Если во множествах М[к и М^ частичной функции алгебры логики fk найдутся такие наборы а € М ^ и ¡3 € М[к, что не существует переменной с номером г € {1,...^}, для которой аг < /Зг, то fк не может быть доопределена монотонной функцией.

Пусть частичная функция f к доопределена монотонной функцией <к. Необходимо, чтобы МС МЦ, М[к С Мдо , следовательно, любой набор из М должен

покрываться некоторым интервалом С МЦ, но N не должен содержать точек из М^, каждый набор из должен покрываться некоторым интервалом С М^к, но не должен содержать точек из М^ . Класс монотонных функций ук, доопределяющих , обозначим Фк С Мк • Функции класса Фк определяют множество:

Фк = [Як е Р2(Х) : дк(х) = у к(х), ук е Фк} .

Любая функция может быть представлена сокращенной ДНФ так, что может быть указан набор максимальных вне интервалов, покрывающих все точки из множества М^.

Рассмотрим любой максимальный интервал С МЦ произвольной функции дк е Фк и соответствующую ему элементарную конъюнкцию Ь = хг1 & ... &хгт. Вхождение переменных в простую импликанту только с инверсиями доказывается с учетом монотонности функции Як(х).

Любой набор а е N^1 является допустимым решением и в этом наборе аг1 =0, ..., агт = 0. Среди всех наборов а е N1 наибольшее значение целевой функции будет достигаться на наборе, в котором а^ = 1 для всех j из множества [1, 2,..., N} \ [гх,г2,..., гг}. Назовем такой набор экстремальным.

Если теперь для каждой простой импликанты всех функций из множества Фк выбрать экстремальный набор, то в полученном множестве будут содержаться все непротиворечивые решения задачи.

Различные доопределения функции функциями ук е Фк отличаются значениями у к (х) на множестве Бм\| М^ и , поэтому простые импликанты различных функций дк из Ф к могут отличаться рангом. Экстремальная постановка задачи требует из всех простых импликант всех функций дк е Фк выделить кратчайшие. Для построения таких простых импликант с инверсиями, необходимыми для любых доопределений, можно использовать следующий

Алгоритм построения простых импликант

1: Для каждого набора а е М^ выписать конъюнктивную нормальную форму (КНФ) Кк(а), каждая дизъюнкция которой состоит из переменных хг (с инверсиями) таких, что аг < в для одного из наборов в е М[к; КНФ Кк(а) будет содержать

к

m k =

Mt

дизъюнкций — число наборов в множестве Mf.

2: В полученных КНФ Kk(ai),... ,Kk(amk), где mk = |Mf | (число наборов в Mf) раскрыть скобки и выполнить операции поглощения, получая ДНФ Di,... ,Dmk. 3: Записать ДНФ Di V ... V Dm0 и выполнить все возможные операции поглощения. Будет получена ДНФ D(^k).

Множества М[к и Ы[к, являющиеся частью исходной информации в задаче (44) и содержащие (тк + тк[) двоичных наборов, можно рассматривать как стандартную обучающую информацию задачи Zk распознавания: в обучающей таблице Тк к тк = Мк и Ы1Ч, наборы х е М^ относятся к классу Кк допустимых решений

т0 т-

задачи (44), а х е М[ —к классу К недопустимых решений.

Обозначим через А^ = Ак(Ттктк,х) алгоритм распознаван ного набора х е Вм \Ттктк; пусть Ак£ —корректный алгоритм

Ak* (T к к x) =

1Lz Hmiтк' J

u

^ . . ^ _]1- x e Kk = Bn\ttk,

0 , x e Kk = Qk, k = 1 ,2.

Очевидно, что если информация в Ттктк достоверна, и алгоритм Ак* относит экстремальный набор х*, являющийся непротиворечивым решением задачи (44), к классу К = Ок, то х* является решением задачи

n

min^^ ckxi/x e Qk. i=1

Пусть алгоритм Ак — экстремальный в некотором классе алгоритмов распознавания или построен с применением корректирующих (алгебраических) методов, т. е. является в некотором смысле наилучшим для решения задачи Zk (Ттктк ,х).

Подход к решению тТБР, как задачи линейного псевдобулевого программирования с частично заданными ограничениями с применением алгоритмов распознавания образов, состоит в следующем:

1) при помощи алгоритма находится множество экстремальных наборов Кк = {х*} для задачи (44-45);

2) алгоритм Акк определяет принадлежность экстремальных наборов из Кк к классу Кь КА с Кк; КА = {х* е Кк : А(Ттктк ,х*) = о} ;

3) если КА = 0, то входящий в него экстремальный набор, которому соответствует наибольшее значение целевой функции, объявляется решением задачи;

4) если Кк =0, то к множеству Мдобавляются наборы Кк, т. е. М:= М[к иКк, и повторяется п. 1), внутри которого обеспечивается проверка монотонности, обеспечивающая линейность модели.

Замечание 1. Добавление к множеству М[ множества экстремальных наборов Кк равносильно переопределению для некоторых функций алгебры логики верхних нулей единицами.

Линейность задачи тТБР позволила эффективно «сузить» область поиска решения, что обеспечивается указанным алгоритмом (см. [14] по сужающим запросам).

Заключение

Представлена методика решения задач маршрутизации многих агентов-коммивояжеров на сетях большой размерности и сложной структуры. Предлагается использовать для подзадач меньшей размерности методику сведения к полиномиально разрешимым задачам и применять полиномиальные алгоритмы с учетом специфики класса таких задач. Приведена формализация задач mTSP к задачам псевдобулевой условной оптимизации и получено представление в виде задачи псевдобулевой оптимизации с ДНФ ограничениями. В такой постановке решение задач mTSP на сложных сетевых структурах можно отнести к задачам интеллектуального планирования, в которых сочетаются стратегии поиска и логического вывода на знаниях. Выбранный подход позволил моделировать неопределенность задачи. Действительно, действия по кластеризации сети с учетом ее структуры не является окончательным для каждого агента, так как присутствует неопределенность в определении границ кластера. Процедура нахождения маршрутов итерационная, для оптимальности mTSP необходимо уточнять вершины сети, принадлежащие конкретному агенту. Представленные теоретические результаты и алгоритмы могут быть использованы для прикладных задач mTSP и в разработках по интеллектуальному управлению в многоагентных системах совместного построения маршрутов многими агентами-коммивояжерами.

Список литературы

1. Антамошкин, А. А. Поисковые алгоритмы псевдобулевой оптимизации / А. А. Антамошкин, И. С. Mасич // Системы управления, связи и безопасности. - 2016. - № 1. - C. 10З-145.

ANTAMOSHKIN, A. A. and MASICH, I. S. (2016) Pseudobulous optimization search algorithms. Management, communications and security systems. № 1. p. 10З-145.

2. Германчук, M. С. Использование дополнительной информации в задачах дискретной оптимизации типа многих коммивояжеров / M. С. Германчук // Таврический вестник информатики и математики. — 2016. — № 4 (ЗЗ). — C. 68-82. GERMANCHUK, M. S. (2016) Information exploration for discrete optimization problems such as multiple traveling salesman problems. Taurida Journal of Computer-Science Theory and Mathematics. № 4 (ЗЗ). p. 68-82.

3. Германчук, M. С. Задачи практической маршрутизации / M. С. Германчук, M. Г. Козлова, В. А. Лукьяненко // Анализ, моделирование, управление, развитие социально-экономических систем. — 2017. — C. 116-120.

GERMANCHUK, M. S., KOZLOVA, M. G. and LUKIANENKO, V. A. (2017) Practical routing tasks. Analysis, modelling, governance, socio-economic development. p. 116-120.

4. Германчук, М. С. Знаниеориентированные модели маршрутизации многих коммивояжеров / М. С. Германчук, М. Г. Козлова, В. А. Лукьяненко // Интеллектуализация обработки информации: Тезисы докладов 13-й Международной конференции, г. Москва. - 2020. - C. 352-353.

GERMANCHUK, M. S., KOZLOVA, M. G. and LUKIANENKO, V. A. (2020) Knowledgeoriented routing models for many traveling salesmen. Intelligent Data Processing: Theory and Applications: Book of abstract of the 13th International Conference. p. 352-353.

5. Демиденко, В. М. Специальный случай задачи о бродячем торговце / В. М. Демиденко // Весщ акад. навук Беларус. ССР. — 1976. — № 5. — C. 28-32.

DEMIDENKO, V. M. (1976) Special case of a traveling salesman. News of the Academy of Sciences of the Belarusian SSR. № 5. p. 28-32.

6. Демиденко, В. М. Условия полиномиальной разрешимости задачи о коммивояжере и верхние оценки ее оптимума / В. М. Демиденко, В. С. Гордон, Ж.-М. Прот // Докл. НАН Беларуси. - 2003. - № 1 (47). - C. 36-40.

DEMIDENKO, V. M., GORDON, V. S. and PROT, Zh.-M. (2003) Terms of polynomial decision of the travelling salesman problem and top estimates of its optimum. Reports of the NAS of Belarus. № 1 (47). p. 36-40.

7. Донец, Г. А. Метод моделирования структуры исходных данных и подклассы разрешимых задач комбинаторной оптимизации / Г. А. Донец, И. В. Сергиенко // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — № 1. — C. 3-10.

DONETS, G. A. and SERGIENKO, I. V. (2014) Method of modelling input structure and sub-class of solvable combinatorial optimization problems. Cybernetics and system analysis. № 1. p. 3-10.

8. Донской, В. И. Дискретные модели принятия решений при неполной информации / В. И. Донской, А. И. Башта. — Симферополь: Таврия, 1992. — 166 c.

DONSKOY, V. I. and BASHTA, A. I. (1974) Pattern recognition theory. Moscow: Nauka.

9. Донской, В. И. Задачи псевдобулевой оптимизации с дизъюнктивным ограничением / В. И. Донской // Журнал выч. математики и матем. физики. — 1994. — № 4. - C. 461-472.

DONSKOY, V. I. (1994) Pseudobule optimization problems with disjunctive constraint. Journal subtract. Mathematics and Mathematics. Physics. № 4. p. 461-472.

10. Журавлев, Ю. И. О локальных алгоритмах над дизъюнктивными нормальными формами / Ю. И. Журавлев // Докл. АН СССР. - 1979. - 245:2. - C. 289-292.

ZHURAVLEV, YU. I. (1979) On local algorithms over disjunctive normal forms. Reports of the USSR Academy of Sciences. 245:2. p. 289-292.

11. Журавлев, Ю. И. Реализация булевых функций с малым числом нулей дизъюнктивными нормальными формами и смежные задачи / Ю. И. Журавлев // Докл. АН СССР. - 1985. - 285:4. - C. 795-799.

ZHURAVLEV, YU. I. (1985) Implementation of boolean functions with small number of zeros disjoint normal forms and related problems. Reports of the USSR Academy of Sciences. 285:4. p. 795-799.

12. Козлова, М. Г. Знаниеориентированные модели принятия решений / М. Г. Козлова // Ученые записки СГУ. - 1998. - № 7. - C. 76-83.

KOZLOVA, M. G. (1998) Knowledge-based decision-making models. SSU Science Notes. № 7. p. 76-83.

13. Козлова, М. Г. Многокритериальные модели принятия решений с линейными псевдобулевыми функциями и дизъюнктивным ограничением / М. Г. Козлова // Искусственный интеллект. — 2000. — № 2. — C. 67-73.

KOZLOVA, M. G. (2000) Multi-criteria decision-making models with linear pseudobular functions and disjunctive constraint. Artificial Intelligence. № 2. p. 67-73.

14. Козлова, М. Г. Синтез сужающих запросов / М. Г. Козлова // Динамические системы. - 2000. - № 16. - C. 208-211.

KOZLOVA, M. G. (2000) Synthesis of narrowing queries. Dynamic Systems. № 2. p. 208-211.

15. Масич, И. С. Поисковые алгоритмы условной оптимизации: монография / И. С. Масич. - Красноярск: СибГАУ, 2013. - 160 c.

MASICH, I. S. (2013) Conditional optimization search algorithms: monograph. Krasnoyarsk: SibSAU.

16. Меламед, И. И. Задача коммивояжера. Вопросы теории / И. И. Меламед, С. И. Сергеев, И. Х. Сигал // Автомат. и телемех. — 1989. — № 9. — C. 3-33.

MELAMED, I. I., SERGEEV, S. I. and SIGAL, I. H. (1989) Traveling salesman's problem. Theory issues. Automatics and telemechanics. № 9. p. 3-33.

17. Меламед, И. И. Задача коммивояжера. Точные алгоритмы / И. И. Меламед, С. И. Сергеев, И. Х. Сигал // Автомат. и телемех. — 1989. — № 10. — C. 3-29.

MELAMED, I. I., SERGEEV, S. I. and SIGAL, I. H. (1989) Traveling salesman problem. Precise algorithms. Automatics and telemechanics. № 10. p. 3-29.

18. Меламед, И. И. Задача коммивояжера. Приближенные алгоритмы / И. И. Меламед, С. И. Сергеев, И. Х. Сигал // Автомат. и телемех. — 1989. — № 11. - C. 3-26.

MELAMED, I. I., SERGEEV, S. I. and SIGAL, I. H. (1989) Traveling salesman problem. Approximate algorithms. Automatics and telemechanics. № 11. p. 3-26.

19. Сапоженко, А. А. О поиске максимального верхнего нуля монотонных функций на ранжированных множествах / А. А. Сапоженко // Ж. вычисл. матем. и ма-тем. физ. - 1991. - № 12 (31). - C. 1871-1884.

SAPOZHENKO, A. A. (1991) On finding the maximum upper zero of monotone functions on ranked sets. J. calculates. math. and math. physical. № 12 (31). p. 1871-1884.

20. Супруненко, Д. А. К задаче о бродячем торговце / Д. А. Супруненко // Кибернетика и системный анализ. — 1975. — № 5. — C. 121-128.

SUPRUNENKO, D. A. (1975) To the problem of the traveling salesman. Cybernetics and systems analysis. № 5. p. 121-128.

21. Тимофеева, Н. К. Метод структурно-алфавитного поиска и подклассы разрешимых задач из класса задачи коммивояжера / Н. К. Тимофеева // УСиМ. — 2008. - № 4. - C. 20-36.

TIMOFEEVA, N. K. (2008) Method of structurally alphabetic search and subclass of solvable problems from the class of the salesman problem. USiM. № 4. p. 20-36.

22. BOROS, E. and HAMMER, P. (2002) Pseudo-Boolean optimization. Discret. Appl. Math. (123). p. 155-225.

23. CRAMA, Y. and HAMMER, P. (2011) Boolean Functions: Theory, Algorithms, and Applications. New York: Cambridge Universuty Press.

24. DONSKOY, V. (2018) A synthesis of pseudo-Boolean empirical models by precedential information. Vestnik YuUrGU. Ser. Mat. Model. Progr. 2 (11). p. 96-107.

25. DONSKOY, V. and PEREKHOD, I. (1997) Multiple criteria models with the linear pseudoboolean functions and disjunctive restrictions. Multiple Criteria Decision Making. p. 13-21.

26. EBENEGGER, C., HAMMER, P. and WERRA, D. (1984) Pseudo-Boolean functions and stability of graphs. North-holland Mathematics Studies. (95). p. 83-97.

27. FOLDES, S. and HAMMER, P. (2000) Disjunctive and conjunctive normal forms of pseudo-Boolean functions. Discret. Appl. Math. (107). p. 1-26.

28. GILMORE, P. and GOMORY, R. (1964) Sequencing a one state-variable machine: a solvable case of the traveling salesman problem. Operations Research. № 5 (12). p. 655-679.

29. HAMMER, P. L. (1977) Pseudo-Boolean remarks on balanced graphs. Numerische Methoden bei Optimierungsaufgaben Band 3: Optimierung bei graphentheoretischen und ganzzahligen Problemen. p. 69-78.

30. HAMMER, P. and RUDEANU, S. (1966) Pseudo-Boolean methods for bivalent programming. Warsaw: Institute of Management Sciences and of the Econometric Institute.

31. HAMMER, P. and RUDEANU, S. (1968) Boolean methods in operations research and related areas. Springer-Verlag Berlin Heidelberg.

32. KALMANSON, K. (1975) Edgeconvex circuits and the traveling salesman problem. Canadian Journal of Mathematics. № 5 (27). p. 1000—1010.

33. KARA I. and BEKTAS T. (2006) Integer linear programming formulations of multiple salesman problems and its variations. Eur. J. Oper. Res. (174). p. 1449-1458.

34. SUPNICK, F. (1957) Extreme hamiltonian lines. Annals of Mathematics. № 1 (66). p. 179-201.