CC BY
32УДК: 519.16 MSC2010: 90C27
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИСКРЕТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ТИПА МНОГИХ
КОММИВОЯЖЕРОВ
© М. С. Германчук
Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского Таврическая академия факультет математики и информатики просп. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация
e-mail: m.german4uk@yandex.ru
Information Exploration for Discrete Optimization Problems such as Multiple Traveling Salesman Problems.
Germanchuk M. S.
Abstract. The problem of analysis and synthesis of optimal flows like the flow of resources, information flow etc. have a vital importance for the real systems. As a rule, the mathematical models are given by different types of nets. These nets are graph structures with marked vertices and edges. They yield a number of Discrete Optimization (DO) problems most of which are NP-complete. If the information connected with a given DO problems is taken into account, then it is possible to design approximate and heuristic algorithms capable to manipulate complex large-scale data. The Multiple Traveling Salesman Problem (MTSP) and its more generalized version the Vehicle Routing Problem (VRP) are the most typical test problems. They are connected with the problems of the shortest path, Hamiltonian circuit, vertex-edge transformation, maximum cut etc. Real situations contain similar, rational, extreme statements of problems, which are important for both exact and approximate solutions. Approximate solutions are based on combinations of local heuristic algorithms. Extremal problems of analysis and synthesis on graphs should take into account knowledge, information, facts and precedents. A variety of problems is defined by the type of graphs simulating resource networks; the structure of graphs, their dimension, the possibility of decomposition; the nature of the objective functions and completeness of information concerning coefficients for the criteria; the ability to represent restrictions on the network as disjunctive normal forms. The problem is complicated by usage of additional information (knowledge) for restrictions and requires adaptation of existing algorithms.
In this work on the base of knowledge-oriented approach, we give an overview of existing results for discrete optimization problems such as TSP with restrictions, formulate new problems, and suggest algorithms to solve them. The preliminary classification is given. It is shown that the knowledge consideration about the network structure, salesmen objectives, and prohibitions leads to decomposition (cluster) algorithms. The further development is associated with the
approach based on the usage of controlled intelligent agents (in particular, salesman agents). We consider the generalized multi-agent traveler salesmen problems taking into account a variety of knowledge, information, data needed for both intelligent agents control and local agent control, the algorithms of decomposition, clustering, analysis and synthesis of networks. The preliminary numerical calculations confirm a necessity in a wide range of algorithms involved in the optimal composition of met heuristics and filling control systems.
Keywords: Multiple Traveling Salesman Problem,, knowledge-oriented models, approximation algorithms
Введение
Задачи моделирования сложных социальных, экологических, экономических систем требуют детального учета существующего в таких системах многообразия потоков. Информационные и ресурсные потоки связаны с различного типа сетями: транспортными, водо-, электро-, теплоснабжения; предоставления услуг; сбора, вывоза и переработки бытовых отходов; рекреационными и др. Такие сети представляются графовыми структурами, которым приписаны некоторые величины (длина, стоимость, время, интенсивность и т.п.). Задачи эффективного управления потоками в сетях носят как локальный, так и глобальный характер. Необходимость локального исследования непосредственно связана с естественной локальностью сетевых структур или является следствием сложности системы, необходимости ее кластеризации (декомпозиции). Практическая востребованость таких задач определяет актуальность исследования. Указанная проблематика наглядно проявляется в задачах маршрутизации, задачах типа многих коммивояжеров [6, 11, 16, 17, 18], имеющих широкие приложения.
Целью работы является разработка методов и алгоритмов приближенного решения знаниеориентированных сетевых задач типа многих коммивояжеров большой размерности и связанных с ними задач псевдобулевой оптимизации, служащих наполнением соответствующих интеллектуализированных систем управления или поддержки принятия решений.
При исследовании таких задач возникает многообразие математических моделей, определяемое необходимостью учета исходной (входной), априорной, поступаемой и извлекаемой информацией, ее полнотой, неопределенностью и т. п.
В работе [3] (и библиографии к ней) указывается на актуальность исследований сетевых транспортных задач, разнообразие их постановок. В [3, 4, 16, 17, 18], в зависимости от исходной информации и критериев, связанных с эффективностью структурных преобразований, рассматриваются задачи анализа и синтеза оптимальной
транспортной сети. Проблемы разработки прикладных алгоритмов интеллектуализации обработки информации в сетевых задачах обозначены в [9, 13, 24].
Оптимизационные сетевые задачи приводят к моделям дискретной (ДО) и непрерывной оптимизации (НО) в условиях многокритериальности, большой размерности, с дополнительными ограничениями, связанными с требованиями к прохождению маршрутов, транспортным средствам (ТС) и т. п. Для разработки практического инструментария решения такого класса задач необходим учет информации, знаний, прецедентов; набор широкого класса точных, приближенных методов, мета-эвристик и их композиций, учитывающих специфику задачи. Решающую роль здесь играет соотношение между локальными и глобальными методами и алгоритмами решения задач. Анализ, синтез, изменение структуры сети, ее кластеризация, выявление главных компонент требуют разработки итерационных оптимизационных процедур. Развитие сети [3] предполагает наличие соответствующих декомпозиционных методов ДО и методов реоптимизации [10], связанных с изменением параметров существующих элементов сети, с введением новых элементов (вершины, дуги), изменяющих структуру сети, ее топологию, характеристики компонент, связность. Характерной для такого подхода является задача для многих коммивояжеров.
В работе приведен обзор существующих результатов по задачам ДО типа коммивояжера с ограничениями и получены новые постановки задач, предложены алгоритмы их решения. Приведена предварительная классификация. Показано, что учет знаний о структуре сети, целях коммивояжеров, запретах приводит к декомпозиционным (кластерным) алгоритмам. Частично результаты докладывались на научно-практической конференции «Молодая наука» [25].
Задача коммивояжера (ЗК) (Travelling Salesman Problem - TSP) - задача нахождения оптимального маршрута обхода вершин графа с заданной матрицей попарных стоимостей перемещения между вершинами является классической NP-трудной задачей с широкими приложениями [5, 8, 9, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27]. Рассматриваемый в работе класс задач является развитием классической ЗК. Обзор теоретических результатов, точных и приближенных алгоритмов решения ЗК содержится в работах [16, 17, 18] и библиографиях к ним. Приведем сетевую формулировку ЗК. Пусть G = (V, U) - ориентированный (неориентированный) граф, где V (\V| = n) - множество вершин, U - множество дуг (ребер). Для ориентированных графов приняты термины: дуга, путь, контур. Для неориентированных графов - ребро, цепь, цикл. Предполагается, что графы без петель и кратных дуг (ребер). Пусть C - матрица n х n действительных чисел, cj > 0, (i, j) Е U длин дуг (весовых коэффициентов,
стоимости). В ЗК требуется найти замкнутый маршрут (контур, цикл, т.е. начинающийся и заканчивающийся в одном городе) коммивояжера, проходящий через все города (вершины графа) по одному разу и имеющий минимальную стоимость (длину, если в] - расстояния).
Знаниеориентированная модификация ЗК зависит от исходной информации, дополнительных требований и условий.
В работе [14] предложен вариант решения задачи типа многих коммивояжеров с помощью построения максимальных разрезов. Декомпозиция задачи с помощью процедуры максимального разреза выделяет две компоненты, на которых решается ЗК. Тем самым определяется необходимое число коммивояжеров. Так как задача построения максимального разреза является КР-трудной, то в работе [14] проведен сравнительный анализ использования эвристических алгоритмов (ЭА) и показано, что лучшие результаты дает комбинация эвристик. Выбор наилучшей комбинации ЭА зависит от размерности задачи, полноты информации и возможности ее использования. Это предопределяет необходимость постоянного пополнения базы моделей задач типа коммивояжера, базы алгоритмов, базы знаний, в которой фиксируются знания о сети, коммивояжерах, ограничениях, критериях и целевых функциях в различных формах (ДНФ - дизъюнктивных нормальных формах, продукциях, фреймах и т. п.), а также прецеденты и результаты реальных и квазиреальных вычислительных экспериментах.
Задача построения максимальных разрезов, применяемая для решения задачи многих коммивояжеров, может рассматриваться как задача кластеризации или декомпозиции исходной задачи и наоборот. В зависимости от учета обязательных знаний о задаче могут применяться различные методы кластеризации (декомпозиции) [1], а не только методы построения максимальных разрезов.
Рассмотрим некоторые из ключевых моментов реализации программы исследований для указанного подхода на примере знаниеориентированной задачи двух коммивояжеров.
1. Обобщенный Алгоритм приближенного решения ЗК Большой
размерности
Алгоритм приближенного решения ЗК большой размерности, допускающий широкие обобщения в зависимости от привлечения различной информации, можно представить в следующем виде:
1°. Задать сеть < О, С > (граф и данные о распределении весовых коэффициентов С на дугах и информация о вершинах).
2°. Провести кластеризацию сети (множество вершин графа разбить на два V = V и V, V П V = 0, Ог = (V, и), г = 1, 2).
3°. Построить кратчайшие маршруты обхода вершин VI и V2 полученных сетей.
4°. Представить решение задачи для двух коммивояжеров.
5°. Используя 4, найти решение задачи для одного коммивояжера (если необходимо), как задачи обхода множеств.
Реализация каждого шага алгоритма существенно зависит от наличия доступной и обязательной информации (знаний о структуре, модели, целях и т.д.). Приведем некоторые варианты.
1. Задан граф О = (V, и) (ориентированный, неориентированный) и матрица стоимостей (расстояний) С (в] > 0, (г,]) € и, г,] € V).
2. Граф задан частично и существует информация для восстановления составляющих, необходимых для решения ЗК.
3. Сеть меняется с течением времени:
- матрица С зависит от времени С] = С] (¿); множество вершин и дуг не меняется;
- множество вершин и дуг меняется с течением времени.
4. Сеть доступна локально:
- по мере продвижения агента-коммивояжера;
- из-за большой размерности сети для реализации решения задачи доступна только часть сети.
5. Сеть находится в развитии (синтез сети, старение сети, аварийное (катастрофическое) изменение сети).
6. Сеть задается с помощью процедуры распознавания сети (алгоритмически).
7. Задание сети зависит от целей, поставленных при решении исходной прикладной задачи, сводящейся к задаче типа т-коммивояжеров (ЗтК):
- цели определены полностью, непротиворечивы, иерархии целей соответствует иерархия критериев;
- цели определены не полностью и необходима процедура устранения неопределенности.
8. Цели и критерии разные у каждого коммивояжера или общие. Определена информация о критериях достижения целей.
9. Данные в сети полностью доступны каждому коммивояжеру или разная информация для каждого с непустым пересечением информационных множеств. Например, известна статистика о данных сети: распределение весов, длин дуг, стоимости, характеристики для вершин и т. п.
10. Учет знаний и прецедентов. Задание обязательных ограничений:
- по прохождению дуг (очередность) для каждого коммивояжера;
- по запретам на прохождение дуг каждым коммивояжером;
- по очередности посещения вершин;
- по сохранению оптимальных фрагментов маршрута, используемых ранее коммивояжером. Такие знания, как правило, можно формализовать в виде ДНФ ограничений. Приведем пример такой формализации.
Если дуга (г,]) Е К С и принадлежит множеству дуг обязательных для включения в маршрут, то соответствующая переменная х^ = 1. Для дуг, входящих в
вершину г и выходящих из ], справедливы формулы: V х^ =1 и V х?-т = 1.
(к,г)еи 0,т)еи
Объединение приводит к ограничениям
В работах [22, 23, 24] отражены направления, связанные с ограничениями, внутренними потерями и с условиями предшествования (задача курьера). Другие обобщения связаны с обходом конечной системы множеств и дополнительными затратами, связанными с выполнением работ. Для решения применяется оптимальный алгоритм на основе экономичной версии динамического программирования, в рамках которого и учитывается дополнительная информация. Заметим, что для такого класса задач метод ветвей и границ также позволяет учитывать локальную информацию (ограничения).
Возможные приложения связаны с транспортными перевозками, логистическими задачами, для которых характерны ограничения в виде условий предшествования. Транспортное средство по прибытию в пункт может принимать груз или корреспонденцию для доставки в другой пункт. Образуется пара: отправитель - получатель. Информация о таких парах формирует ограничения необходимые для исполнения, что усложняет выбор маршрута коммивояжера.
Примером учета знаний о вершинах в задаче двух коммивояжеров с множеством вершин V графа С является выделение множества V С V(|VI| = к; IV| = п). Требуется построить маршрут коммивояжеров, обязательно проходящий через множество выделенных вершин VI точно один раз, а через остальные (п — к) вершин - не более одного раза [6, 11].
Указанная постановка задачи допускает дальнейшие обобщения. Выделяются два множества вершин VI и V2 '-VI и V2 С V. Нужно найти два гамильтоновых контура Г^ и Г2 такие, что агент вершины VI посещает по одному разу, а остальные не более
одного, аналогично для другого агента-коммивояжера (вершины V по одному разу, а остальные не более одного).
Видоизменение данной постановки заключается в выделении множества вершин которые коммивояжеры посещают не более одного раза: VI и V и Vз С V.
10.1. Известна прецедентная информация прохождения маршрутов (для всей или части сети) предпочтительная для лица, принимающего решение (ЛПР).
10.2. Есть дополнительная информация: априорная о решении, прецедентная, о необходимой точности решения и т. д.
11. Условия согласования по выбору: оптимальных маршрутов между коммивояжерами; обмену информацией; характеру взаимодействия (кооперативному, некооперированному, пошаговому и т. п.).
12. Известна или неизвестна информация о полноте знаний по всем сетевым компонентам.
Следующим вариантом является обобщенная ЗК; она состоит в построении полного кратчайшего контура, в котором на посещение вершины не накладывается условие точно один раз. Для обобщенной ЗК в такой формулировке возможны указанные выше обобщения.
В ЗК с условиями на дуги, выделяется фиксированное множество дуг и С и. Требуется построить маршрут коммивояжера, обязательно проходящий через это множество дуг. Такие условия ставятся в задаче о сельском почтальоне, в задаче о сборе мусора.
В ЗК с несколькими весовыми матрицами кроме матрицы С задается еще одна или несколько других матриц весов дуг (ребер) [16]:
1) матрицы задают ограничения сверху и (или) снизу на вес маршрута коммивояжера и требуется найти решения ЗК с матрицей С, удовлетворяющие ограничениям на веса/маршрут (кроме длины маршрута, могут быть ограничения на время прохождения маршрута, общие затраты и т. п.);
2) матрицы задают дополнительные ограничения на части маршрута коммивояжера;
3) матрицы содержат критерии и ограничения.
2. Кластерная задача многих коммивояжеров
В практических задачах может быть неизвестно, какую необходимо иметь информацию о сети, что является следствием неудачных постановок задач, спецификаций, моделей и т. п. Роль адекватной, рациональной, целевой информации возрастает для многокомпонентных сетей.
2.1. Варианты обхода множества вершин. Например, в кластерной задаче многих коммивояжеров множество вершин V разбито на кластеры (компоненты) V;, г = 1, к, VI и V2 и ... и Vk С V. Возможны различные варианты обхода вершин:
1) ]-й коммивояжер посещает все вершины кластера V подряд и только после этого переходит к межкластерному маршруту;
2) на маршрут в кластере V и между кластерами могут быть заданы условия предшествования и другие условия;
3) требуется посетить в каждом кластере только часть вершин (или одну, минимальный маршрут между V;, г = 1, к);
4) находится представительная вершина кластера V;, такая, что расстояние до непосещаемых вершин кластера не превышает заданной величины;
5) требуется определить кластеры, удовлетворяющие условиям 4);
6) между коммивояжерами возможна конкуренция и т.д. (игровые обобщения).
Выделение блоков в задачах ДО типа многих коммивояжеров можно интерпретировать как процесс кластеризации, который определяется спецификой задачи. В том случае, когда явно присутствуют кластеры (иерархическая инфраструктура города, региона и т.д.), можно использовать известные алгоритмы кластеризации [1]. Декомпозиция задачи с помощью процедуры максимального разреза выделяет две компоненты, на которых решается ЗК. Тем самым определяется необходимое число коммивояжеров. Если размерности полученных компонент велики, процедура повторяется. Для приближенного решения используются эвристики, как в задаче о максимальном разрезе, так и для решения ЗК на кластерах. Например, приближенное решение задачи о максимальном разрезе предполагает предварительное извлечение информации:
1) по статистике распределения весовых коэффициентов, расстояний (ранжирования);
2) по грубому распределению кластеров, качественной информации о компонентах, экспертной и прецедентной информации.
В работе [19] предлагается использовать декомпозиционный алгоритм, в котором с помощью какой-нибудь кластеризации множество вершин разбивается на некоторое число компонент (групп). Далее отыскивается рациональный обход этих множеств (компонент) и устанавливаются вершины входа и выхода для смежных компонент. Для каждой компоненты определяется кратчайший маршрут, соединяющий точки входа и выхода. Затем эти маршруты объединяются.
В задаче кластеризации учитывается удаленность вершин друг от друга. Предполагается что число кластеров и центры группирования (вершины) заданы. Процедура кластеризации проводится итерационно.
2.2. Учет знаний о принадлежности выделенной дуги одному из коммивояжеров. В задаче т-коммивояжеров принадлежность дуги (г,^) одному из них приводит к ситуациям:
а) дуга (г,^) принадлежит искомому пути одного из коммивояжеров, но (г,^) не принадлежит другим коммивояжерам;
б) одновременно принадлежит к-му и р-му коммивояжерам;
в) одновременно принадлежит всем коммивояжерам;
г) только одна из вершин — г и/или ] принадлежит кому-то из других коммивояжеров.
2.3. Алгоритм кластеризации задачи. Алгоритм состоит из следующих шести шагов.
1°. В кластер первого коммивояжера включаем вершины г и ]. Для второго коммивояжера выбираем вершину к максимально удаленную от вершин г и ].
2°. Находим максимальный разрез между вершинами г,^ и вершиной к.
3°. Находим минимальный разрез, отделяющий вершины г,^ от вершины к.
4°. Если цели коммивояжеров не противоположны, то кластеризацию проводим по максимальному разрезу. Тем самым в искомые маршруты не войдут дуги с максимальным суммарным весом.
5°. На кластерах строим пути (контуры) каждого из коммивояжеров.
6°. Если цели коммивояжеров противоположны, то второй коммивояжер может использовать вершины минимального разреза, тем самым, удлиняя путь первого коммивояжера. Здесь возможна различная тактика агентов-коммивояжеров в зависимости от целей и доступной информации (игры на графах).
Приведем применение одного из простых алгоритмов построения разрезов, который содержит следующие преобразования: найти максимальное значение (расстояние) С] > 0, если на дугу (г,]) не наложено ограничений, то вершину г включить в маршрут первого коммивояжера, а вершину ] - в маршрут второго коммивояжера, иначе, взять следующую по рейтингу дугу (к,р) и повторить процедуру, а дугу (г,]) включить в маршрут одного из коммивояжеров и т. д. Параллельная работа трех агентов, два из которых коммивояжеры, а третий осуществляет декомпозицию ЗК для двух коммивояжеров позволяет упростить решения задачи.
При реализации такой схемы с обязательными ограничениями, дополнительной информацией на компонентах (множество меньшей размерности) и построении маршрута обхода множеств в качестве моделей ставится в соответствие ряд задач псевдобулевой условной оптимизации, в частности с дизъюнктивными ограничениями, для которых можно использовать результаты многокритериальной условной псевдобулевой оптимизации [12].
Реальные ситуации содержат близкие, рациональные, экстремальные (оптимизационные) постановки задач, для которых важны как точные, так и приближенные решения. Приближенные решения, как правило, базируются на комбинациях локальных эвристических алгоритмов. В экстремальных задачах анализа и синтеза на графах, как указывалось, необходимо учитывать знания, факты и прецеденты. Разнообразие задач диктуется классами графов, моделирующих ресурсные сети; структурой графов, их размерностью, возможностью декомпозиции; характером целевых функций и полнотой информации о коэффициентах критериев; возможностью представления знаний об ограничениях на сети в виде ДНФ. Использование дополнительной информации (знаний) по обязательным ограничениям усложняют задачу и требуют адаптации существующих алгоритмов.
Известные алгоритмы, реализующие построение кратчайшего пути, гамильто-нового контура, максимального разреза, решения обобщенной задачи коммивояжера, вершинно-реберных преобразований, нахождения потоковых характеристик сети требуют модификаций, удовлетворяющих обязательным ограничениям, извлекаемым и возникающим в процессе решения задачи знаниям.
Исходя из сочетания локального и глобального характера знаний о задаче типа ТБР в работах [6, 11], приведен подход по рациональному рассмотрению многокритериальных задач нескольких коммивояжеров как агентных в самоорганизующейся системе. Агентная задача многих коммивояжеров на изменяющейся сети естественно возникает, когда в рамках большой сетевой системы реализуется оптимальная сеть (синтез сети). На базе известных решений проводится реоптимизация относительно добавления вершин, дуг, внутренних условий (ДНФ ограничений), знаний, по количеству коммивояжеров-агентов. Устойчивость задач или оптимальных решений позволяет строить эффективные алгоритмы.
Заметим, что количество агентов-коммивояжеров связано с декомпозицией исходной задачи большой размерности, с выделением характерных кластеров (город, район и т.п.). С другой стороны решение задачи кластеризации может осуществляться с помощью агентов-коммивояжеров (задача распознавания конечных графов несколькими агентами).
Заключение
Базируясь на классической задаче типа многих коммивояжеров и применяя зна-ниеориентированный подход, удалось описать как известные, так и новые постановки задач дискретной оптимизации. Показано, что учет знаний, фактов, прецедентов может реализоваться в моделях условной псевдобулевой оптимизации. Обоснование алгоритмов может опираться на точные методы (ветвей и границ, динамического программирования). Эти методы позволяют учитывать различные условия предшествования, обязательного включения в оптимальный маршрут выделенного множества дуг и другие. Размерность сети и NP-сложность задач требуют эвристических подходов, основанных на различных алгоритмах декомпозиции и кластеризации. Такие алгоритмы предложены в работе. Также рассмотрены обобщенные многоагентные задачи типа коммивояжера, в которых учитываются разнообразные знания, данные, необходимые для интеллектуального управления агентами и локального управления, осуществляемого самим агентом, алгоритмы декомпозиции, кластеризации, анализа и синтеза сети. Предварительные численные расчеты подтверждают необходимость создания широкого комплекса алгоритмов, участвующих в оптимальной композиции метаэвристик и наполняющих системы управления.
Список литературы
1. Айвазян, С. А. Прикладная статистика и основы эконометрии. Учебник для вузов. — М.: ЮНИ-ТИ, 1998. — 1022 с.
AYVAZIAN, S. A. (1998) Applied Statistics and Econometrics fundamentals. Textbook for high schools. Moscow: UNITY.
2. Барханов, И. Ф. Об оптимальном приведении матрицы стоимостей / И. Ф. Барханов, В. Р. Фазылов // Ученые записки Казанского государственного университета. Физико-математические науки. — 2006. — Т. 148, кн. 2. — C. 18-22.
BARKHANOV, I. F. and FAZYLOV, V. R. (2006) On the optimal present value matrix. Scientific notes of the Kazan State University. Physics and mathematics. Т. 148, b. 2. p. 18-22.
3. Белоусова, Н. И. Оценка экономии от структуры в задачах анализа и синтеза транспортных сетей / Н. И. Белоусова, С. П. Бушанский, Е. М. Васильева // Анализ, моделирование, управление, развитие экономических систем: сборник научных трудов VIII Международной школы-симпозиума АМУР-2014, Севастополь, 12-21 сентября 2014 / под ред. доцента А. В. Сигала. — Симферополь: ТНУ им. В. И. Вернадского, 2014. — 360 с.
BELOUSOVA, N. I., BUSHANSKIY, S. P. and VASIL'YEVA, Ye. M. (2014) Evaluation of the structure of the economy in the analysis and synthesis of transport systems. Analysis, modeling, management, development of economic systems: Proceedings of the VIII International Symposium school-AMUR 2014. Simferopol: TNU.
4. Белоусова, Н. И. Информационная технология синтеза сложных сетевых структур нестационарной российской экономики: модели, алгоритмы, программная реализация / Н. И. Белоусова, С. П. Бушанский, Е. М. Васильева, В. Н. Лившиц, Э. И. Позамантир // Аудит и финансовый анализ. — М.: ЗАО 1с: Компьютерный аудит. - Вып. 1. - 2008. — C. 50-88.
BELOUSOVA, N. I., BUSHANSKIY, S. P., VASIL'YEVA, Ye. M., LIVSHITS, V. N. and POZAMANTIR, E. I. (2008) Information technology is the synthesis of complex network structures unsteady Russian economy: models, algorithms, software implementation. Audit and financial analysis. 1. p. 50-88.
5. Гаращенко, И. В. Метод решения гамильтоновой задачи коммивояжера / И. В. Гаращенко, А. В. Морозов, А. В. Панишев // Искусственный интеллект. — 2008. — Вып. 3. — C. 630-637. GARASHCHENKO, I. V., MOROZOV, A. V. and PANISHEV, A. V. (2008) A method for solving the traveling salesman problem Hamiltonian. Artificial Intelligence. 3. p. 630-637.
6. Германчук, М. С. Использование информации в задачах типа многих коммивояжеров / М. С. Германчук, М. Г. Козлова // XXV Крымская осенняя математическая школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам (КР0МШ-2014). Тезисы докладов. - Симферополь: ТНУ, 2014. — № 1. — C. 65.
GERMANCHUK, M. S. and KOZLOVA, M. G. (2014) Using the information in problems such as many business travelers. KROMSH-2014. 1. p. 65.
7. Дорн, Ю. В. Поиск неэффективных ребер в транспортных сетях // Труды МФТИ. — 2014. — Т. 6. - № 1. — C. 162-168.
DORN, YU. V. (2014) Search inefficient edges in transport networks. Proceedings of MIPT. T. 6, b.1. p. 162-168.
8. Иванко, Е. Е. Минимаксная задача мультикоммивояжера с плавающим центром в исследовании эволюционной изменчивости // Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах. Материалы конференции. Под ред. С. Н. Васильева, И. А. Каляева, Д. А. Новикова, Г. Г. Серебрякова. — 2012. — C. 1164-1167.
IVANKO, Ye. Ye. (2012) Minimax multi Salesman problem with floating center in the study of evolutionary variability. Management of Engineering, ergatic, organizational and network systems. p. 1164-1167.
9. Иванко, Е. Е. Задача курьера как эвристика для решения задачи коммивояжера // Проблемы оптимизации и экономические приложения. Материалы VI Международной конференции. — 2015. — C. 124.
IVANKO, Ye. Ye. (2015) Task carrier as a heuristic for solving the traveling salesman problem. Problems of optimization and economic applications. Proceedings of the IV International Conference. p. 124.
10. Иванко, Е. Е. Маршрутно-распределительные задачи: теория и приложения // Дисс. на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. - Екатеринбург, 2015.
IVANKO, Ye. Ye. (2015) Routing and distribution tasks: Theory and Applications. The thesis for the degree of Doctor of Physical and Mathematical Sciences. Ekaterinburg.
11. Козлова, М. Г. Обобщения задачи коммивояжера: знаниеориентированный подход / М.Г.Козлова, М. С. Германчук // 1нформатика та системш науки (1СН-2013): матер1али IV Всеукр. наук.-практ. конф., (м. Полтава, 21-23 берез. 2013р.) / за ред. 6мця О. О. - Полтава: ПУЕТ, 2013. - C. 147-150.
KOZLOVA, M. G. and GERMANCHUK, M. S (2013) Generalized traveling salesman problem: knowledge-oriented approach. Computer and System Sciences. Proceedings of the IV All-Ukrainian scientific-practical conference. р. 147-150.
12. Козлова, М. Г. Многокритериальные модели принятия решений с линейными псевдобулевыми функциями и дизъюнктивными ограничениями / М. Г. Козлова // Искусственный интеллект. — 2000. — № 2. — C. 67-73.
KOZLOVA, M. G. (2000) Multicriteria decision model with linear pseudo-disjunctive functions and limitations. Artificial Intelligence. 2. p. 67-73.
13. Козлова, М. Г. Прикладные алгоритмы интеллектуализации обработки информации в моделировании задач типа коммивояжера / М. Г. Козлова, М. С. Германчук // Анализ, моделирование, управление, развитие социально-экономических систем: сборник научных трудов IX Международной школы-симпозиума АМУР-2015, Севастополь, 12-21 сентября 2015 / Под ред. доцента А. В. Сигала. - Симферополь: КФУ имени В. И. Вернадского, 2015. - С. 161-164.
KOZLOVA, M. G. and GERMANCHUK, M. S (2015) Applied algorithms intellectualization information processing tasks such as simulations of a Salesman. Analysis, modeling, management, development of socio-economic systems: Proceedings of the IX International Symposium school. р. 161164.
14. Козлова, М. Г. Приближенное решение задачи о максимальном разрезе и ее применение / М.Г.Козлова, М. С. Германчук, Э. Д. Куртнебиев // 1нформатика та системш науки (1СН-2013): матерiали IV Всеукр. наук.-практ. конф., (м. Полтава, 21-23 берез. 2013р.) / за ред. 6м-ця О. О. - Полтава: ПУЕТ, 2013. - С. 150-153.
KOZLOVA, M. G., GERMANCHUK, M. S and KURTNEBIYEV, E. D. (2013) An approximate solution of the problem of the maximum cross-section and its application. Computer and System Sciences. Proceedings of the IV All-Ukrainian scientific-practical conference. р. 150-153.
15. Левченко А. Ю., Морозов А. В., Панишев А. В. Быстрый алгоритм решения задачи о назначениях для нахождения нижней границы стоимости маршрута коммивояжера // Искусственный интеллект. — 2011. — № 4. — C. 406-416.
LEVCHENKO, A. YU., MOROZOV A. V. and PANISHEV A. V. (2011) Fast algorithm for solving the assignment problem to find the lower limit value of the traveling salesman route. Artificial Intelligence. 4. p. 406-416.
16. Меламед, И. И. Задача коммивояжера. Вопросы теории / И. И. Меламед, С. И. Сергеев, И. Х. Сигал // Автоматика и телемеханика. — 1989. — № 9. — C. 3-34.
MELAMED, 1.1., SERGEYEV, S. I. and SIGAL, I. KH. (1989) The traveling salesman problem. Questions of theory. Automation and Remote Control. 9. p. 3-34.
17. Меламед, И. И. Задача коммивояжера. Точные алгоритмы / И. И. Меламед, С. И. Сергеев, И. Х. Сигал // Автоматика и телемеханика. — 1989. — № 10. — C. 3-29.
MELAMED, 1.1., SERGEYEV, S. I. and SIGAL, I. KH. (1989) The traveling salesman problem. Exact algorithms. Automation and Remote Control. 10. p. 3-29.
18. Меламед, И. И. Задача коммивояжера. Приближенные алгоритмы / И. И. Меламед, С. И. Сергеев, И. Х. Сигал // Автоматика и телемеханика. — 1989. — № 11. — C. 3-26. MELAMED, 1.1., SERGEYEV, S. I. and SIGAL, I. KH. (1989) The traveling salesman problem. Approximate algorithms. Automation and Remote Control. 11. p. 3-26.
19. Серая О. В., Бачкир Л. В. Стохастическая задача коммивояжера // Вестник НТУ ХПИ. — 2006. — №40. — C. 169-173.
SERAYA, O. V., and BACHKIR, L. V. (2006) Stochastic Traveling Salesman Problem. Bulletin NTU KHPI. 40. p. 169-173.
20. Сергеев, С. И. Гибридные системы управления и динамическая задача коммивояжера // Автоматика и телемеханика. — 2008. — № 1. — C. 45-54.
SERGEEV, S. I. (2008) The hybrid control system and dynamic traveling salesman problem. Automation and Remote Control. 1. p. 45-54.
21. Сигал И. Х., Иванова А. П. Введение в прикладное дискретное программирование: модели и вычислительные алгоритмы. — М.: Физматлит, 2007. — 304 c.
SIGAL, I. KH. and IVANOVA, A. P. (2007) Introduction to Applied Discrete Programming: models and computational algorithms. Moscow: Fizmatlit.
22. Ченцов А. А. Обобщенная модель курьера с дополнительными ограничениями / А. А. Ченцов, А. Г. Ченцов // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. — 2016. — Т. 9. — № 1. — C. 46-58. CHENTSOV, A. A. and CHENTSOV, A. G. (2016) The generalized model of the courier with additional restrictions. Bulletin of South Ural State University. Series: Mathematical modeling and programming. Т. 9. № 1. p. 46-58.
23. Ченцов А. Г. Экстремальные задачи маршрутизации и распределения заданий: вопросы теории. — Москва-Ижевск: РХД, 2008. — 238 c.
CHENTSOV, A. G. (2008) Extreme problems in routing and distribution of tasks: Theory. Moscow-Izhevsk: RKHD.
24. Ченцов А. Г. Эффективный метод решения задачи обхода мегаполисов при ограничениях предшествования специального типа / А. Г. Ченцов, Д. М. Хачай // Современные проблемы математики и ее приложения. Труды 47-1 Международной Всероссийской школы-конференции. — 2016. — C. 191-199.
CHENTSOV, A. G. and KHACHAY, D. M. (2016) Effective method for solving the problem of megacities crawl under the constraints of precedence of a special type. Contemporary Mathematics and its Applications. Proceedings 47-1 of the International School of the All-Russian conference. р. 191-199.
25. Германчук М. С. Система интеллектуального управления в прикладных сетевых задачах / М. С. Германчук // Научно-практическая конференция «Молодая наука»: сборник трудов / под общей редакцией Н. Г. Гончаровой. — Симферополь: ИТ «АРИА». — 2015. — C. 46-48. GERMANCHUK, M. S (2015) Intelligent control systems in the application of network problems. Scientific-practical conference «Young Science». р. 46-48.
26. GUTIN, G., PUNNEN, A. P. (2007) The travelling salesman problem and its variations. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
27. VORONIN, A. N., KOZLOV, A. I. (1994) Multiobjective problems solution under uncertainty Multiple criteria problems under uncertainty. Abstracts of The Third International Workshop. p. 99.
