РАЗРЕШИМОСТЬ НАЧАЛЬНОКРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ КВАЗИГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В СЛУЧАЕ СЛАБОСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

0 МАТЕМАТИЧЕСКОЕМОДЕЛИРОВАНИЕ > ИИНФОРМАЦИОННЫЕТЕХНОЛОГИИ

УДК 517.956 :004.9 DOI 10.18822/byusu20240297-106

РАЗРЕШИМОСТЬ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ КВАЗИГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В СЛУЧАЕ СЛАБОСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Евсеев Федор Александрович

аспирант,

Инженерная школа цифровых технологий,

Югорский государственный университет

Ханты-Мансийск, Россия

E-mail: fedor_evseev@rambler.ru

Предмет исследования: разрешимость первой начально-краевой задачи для квазигидродинамической системы уравнений в случае слабосжимаемой жидкости.

Методы исследования: доказательство основано на методе Галеркина с использованием априорных оценок.

Основные результаты исследования: доказана теорема существования обобщенных решений.

Ключевые слова: начально-краевая задача, квазигидродинамическая система, априорные оценки, теорема существования.

SOLVABILITY OF INITIAL BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR A QUASIHYDRODYNAMIC SYSTEM OF EQUATIONS IN THE CASE OF A WEAKLY COMPRESSIBLE FLUID

Fedor A. Evseev

Postgraduate Student, Engineering School of Digital Technologies, Yugra State University Khanty-Mansiysk, Russia E-mail: fedor_evseev@rambler.ru

Subject of research: solvability of the first initial-boundary value problem for a quasi-hydrodynamic system of equations in the case of a weakly compressible fluid.

Method of research: the proof is based on the Galerkin method using a priori estimates.

Main results of research: the existence theorem for generalized solutions is proven.

Keywords: initial-boundary value problem, quasi-hydrodynamic system, a priori estimate, existence theorem.

ВВЕДЕНИЕ

Система квазигидродинамических (далее, КГиД) уравнений в случае слабосжимаемой жидкости имеет вид:

Жлуй = , ( х) е 0 = (0, Т) X О,О с М3,

дй (л 1 „

--+ (й - w,\)й н—\р =

дг v р

/ + ц,Ый + ¡иУ(сИуй) +(й, V) + Wdivй,

Л -

ц = —, w = т

Р

(

(и, V)U + Р Vp - f

\

(1)

V н ;

где плотность р, динамическая вязкость № и характерное время релаксации ъ считаются заданными положи тел ьными константами. Векторное поле / = /(х,определяет массовую плотность внешних сил. Система (1) замкнута относительно неизвестных функций - вектора скорости й = й(х,и давления

р = р(х,0. Символы и V определяют

операции дивергенции и градиента соответственно. Уравнение рассматривается в ограниченной области О с границей Г е С2 .

Система (1) дополняется начально-краевыми условиями:

и \к= 0, w= 0, и |i=0=

и,

(х), Jp (t, x )dx = 0,

(2)

где У - единичный вектор внешней нормали к Г.

Система (1) в более общем виде была выведена в статьях [1], [2] на основе известной кинетической модели. Первые варианты системы называются системой квазигазодинамических (далее - КГД) уравнений. Посвященную ей теорию и ее вывод можно найти в монографиях [3],

[4]. Позднее, на основе более общего уравнения состояния, была предложена еще одна модель

[5], [6] (КГиД система уравнений). В частности, вывод этой модели и некоторые результаты можно найти в монографии [7]. Здесь в случае слабосжимаемой жидкости (т. е. для системы (1)) были доказаны теоремы о диссипации полной энергии, а также теоремы единственности для классических решений системы. В статьях [8, 9, 10] Злотником А.А. были получены результаты по части анализа некоторых неклассических задач для КГиД уравнений. Для линеаризованной КГиД системы им получены результаты о существовании и единственности обобщенных решений задач Коши и начально-краевых задач в случае реального и политропного газа на произвольном временном промежутке. Позднее на основе линеаризованной КГД системы уравнений на постоянном решении строилась система с общей регуляризующей скоростью, а также устанавливалось вырождение свойства парабо-личности исходной системы [11]. Для КГиД системы уравнений в случае слабосжимаемой жидкости авторами работы [12] были доказаны теоремы существования и единственности обобщенных и регулярных решений при некоторых условиях на данные. В работе [13] исследуется модель на основе КГД и КГиД уравнений в многомасштабных средах, которую можно использовать в приложениях с пористыми средами. В качестве

О

97

Евсеев Ф.А.

основы для такой модели был предложен вычислительный многомасштабный метод, основанный на идее минимизаций энергии связи, для решения задач КГД и повышения точности моделирования. Стоит отметить, что в последнее время регуляризованные уравнения гидродинамики КГиД-типа широко используются для построения численных методов. Некоторые последние результаты представлены в [13-17]. Несмотря на обширные исследования, посвященные решению задач квазигидродинамики, работы, посвященные доказательству теоремы о существовании и единственности глобального решения начально-краевой задачи для нелинейных систем КГиД уравнений, вероятно, отсутствуют. В данной работе будет предпринята попытка восполнить этот пробел.

В настоящей работе устанавливается, что при определенных условиях на данные КГиД системы уравнений существует обобщенное решение первой начально-краевой задачи и его можно найти как предел приближенных решений, вычисляемых по методу Галеркина с использованием априорных оценок.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Вспомогательные результаты

и определения

Пусть u,Р - достаточно гладкое решение задачи (1), (2). Первое и второе ура чение системы умножим на функции р и у соответственно, такие что

ре4 (о,Т; Ж,1 (С)), {р(х),йх = 0,

уе 4 (о, ТЖ (С)), = 0.

Интегрируя по С , придем к равенствам: {и-Урйх = {и-V рек = т((и, V) и, Ур) +

где точка ' означает скалярное произве-

дение в и (u,= {иу(х для скалярных

С

функций и (и,V) = {и' для векторных. Ин-

С

тегрируя по частям, имеем:

((и, V) и, у) = {(и, V) и - уйС =

С

-{(¡уии - у (С - {(и, V)У - ийС (4)

С С

Используя это равенство в (3), получаем равенства:

(ди Л ((ур) = (ур), I — I-

((и - и, и) + -1 (Ур,у) ч ¿и ((и, Уу) + ¿((¡у и, (¡уу)

+ ((й, V) у, и) = (( ,

(5)

справедливые при п.в. 1. Равенство (5) может служить основой для определения обобщенного решения задачи. Пусть ро е[1,3/2], %о = 2Ро /(4Ро -3 , Р1 = 5/4.

Функции

и е Ь2 (0, ТЖ (С))п4,(0, Т; Ь2 (С), и, е Ьр1 (0,ТЖ- (С)), р е Ьр1 (ТЖ (С))

^(Vp, Vр(-т(f, Vр),

ди _ Л дг

,Щ+(((

и - и

), V) и

^ (Vp,У) = ( -¿(и, -¿¿((¡уи, (¡уу) + ((и, V) и, су) +

Vp

такие, что ' V)и е 4 О , удовлет-

воряющее (2) называются обобщенным решением задачи (1), (2), если

Т Т Т

{(и, Vр) йг = { (и, Vр) йг, {[(^,

дг

у

((и - и, v)у, и) + -1 (^у) + ¿(и, vу) + и ((¡у и, (¡уу) +

О

Евсеев Ф.А.

1

((й, V)у w )) ] Жг = |(/у Жг,

0

для всех функций Фе ¿2 ( Т;^2 (О)) ¡р(г, х)Жх = 0, уе Ь5 (0, Т;^1 (О)) и

О

у}^=0

Пусть а

дй

(й'^) = 1"д7'У]-((й -W' й) +

—(Vp, у) + № (Vй, V у) + л (уй, Жгу у) +

((й, V) у, W).

Основные результаты

Теорема. Пусть / е ¿2 (0) , й е ¿2 (О) .

Тогда существует обобщенное решение задачи (1), (2) что ^ (й Vй) и е (Т; ¿р0 (О) ) для любого Р0 е[ 3 / 2], где 40 = 2Р0 / (4Р0 - 3) •

Доказательство. Вначале для гладких решений задачи получим п ;рвую априорную оценку. Пусть <Р = Р и у = и в (5), тогда:

т((й, V) й, Vp) +—(р, Vp) -р

т((, Vp) -(й, Vp) = 0,

дй

й ]-((й - W, V) й, й) +

— (р, й) + л^й, Vй) + л(уй, Ж\уй) + р

д р | й

|1—— Жх + л(й, Vй) -

дгО 2

л(уй, Ж^й) +—- (Vp, Vp) +

((й,V)й,Vp)- Р((,Vp)-Р(й,Vp)

Р (Vp, й)+ т((й, V)й, (й, V)й) +

р

р

(р,(й,V)«)- т((й,V),/)) = ((,й), (7)

Приводя подобные, заключаем, что

д г | й

|1—— Жх + л(й, Vй )-

дгО 2

¡(уй, Ж^й )+—- (Vp, Vp ) + т ((й, V)й, (й, V)й)+ —((й, V), Vp )-

р

(( Vp )-т((й, V)й,/) = (/, й), (8)

д г|й12

| ^—— Жх + л((й, Vй)+ л(уй, Ж^й)-

дгО 2

^ + (й, V)й + (й, V) 1 = V Р Р )

Vp

(

/, Р + (й, V)й ] + ((, й),

(9)

Оценим правую часть, используя неравенство Коши:

( Т л ^

(й,V)й, т(й,V)й + —Vp-т/

:(Л й) • (6)

V ^ /у

Разделив первое из равенств в (6) на р и сложив его со вторым равенством и используя равенство ((й - w, V)й, й) = 0 в силу первого уравнения в (1) и интегрирования по частям, получим

\аЪ\ < —а + — Ь , (е> 0). 1 1 2 2е

(10)

Имеем, что

/, ^Р + (й, V)«

V р

<

— Г Жх + — Г |

О 2 2 О

т

т

г

г

г

Евсеев Ф.А.

Vp

—+(и, V) |2 ех, р

(11)

Отсюда получим оценки шах( {| и (г) |2 йх < М,

(16)

(f, и )<8 {| и |2 йх + {| ] |2 > (12)

2 с с 28

Используя эти неравенства в (9), получим

д | и |2

— {-йх + u(Vй, Vй )+ ¿((¡уи, (¡уи ) +

дг С 2

+ (и, V), ^ + (и, V) !< V Р Р I

2

{¿22 (и, Vй )+и(е¡vй )2

2

Vp

Vp

+ ,V)й,^ + (и,V) <М (17) V Р Р I

Как следствие, имеем априорные оценки для решений:

Iи II / ,, ,\ + II Шуи II. +

1 "¿2 (о,Т Ж (с )) 11 "¿2 (е)

Г{|Л2ех + -1-|^|2ех +82о{|Vй|2ех, (13)

2 С 28 о 2 с

где постоянная С0 взята из неравенства Пуанкаре {| и |2 йх < Со{| Vй |2 йх,

С С

справедливого для всех Ж1 (с ) , таких, что и |а = 0. Возьмем 8 = ~, тогда получим

п

д | и |2

{ —— йх + ¿22(и, Vй)+ ¿((¡уи,(¡уи)+ | (и, V)

+ (, V)й >¿2 (е )< С1 (М )•

(18)

где С1 (М) - некоторая постоянная, зависящая от М, и,т,

и

4„(0,Т ;42 (С))

< С (М )•

(19)

Оценим все слагаемые, входящие в определение обобщенного решения. Покажем, что

дг С 2

) С, Ро е [1,3/^. (20)

. (

2

Vp

Vp

+ , V) + (и, V) 1<

V р р I

Ч (0,Т ;4Р0 (С))

Оцениваем по неравенству Гельдера:

|(и, V)

СII Vй

и

^С) (21)

|2 ех

(г С Л 2 2и

(14)

Пусть 3 = ■¿2- , Vй ) + и^уи, (¡у и) +

гГ^Р + (и, V) ^Р + (и, V) V Р Р

2

и

Интегрируем от 0 до I:

(г)

{-— йх + {{Мхйг

<

0С

i ^

С1 {{| f |2 йхйг + {йх = М

(15)

где % =

. Далее, используем теорему

вложен

2 - Ро

ия: Ж2' (С )с 4 (С) . Возьмем

Ро % = г = тогда

Ро =

6

3 - 2''

3 => 5 = 3 (Ро - О,

2 - Ро 3 - 25 Ро

Необходимое неравенство ' < 1 эквивалентно неравенству Ро <3/2. Из (21) вытекает оценка:

Н (и, V)й (с)< С1 Н Vй

(С )

ж (С ) • (22)

2

0 С

О

Евсеев Ф.А.

Последний множитель оцениваем, используя интерполяционное неравенство:

^(О) - ~ 11" (о) |й (О)'

п-0

11 й ^ (О )< С 11 й ^ где $ = ©. Из (22) получаем оценку:

й,У)й ^(о)< С 1 й ^

(23)

(24)

Воспользовавшись (19), получим

¿40 (0,Т ;1Р0 (О))

й,У)и11 , .

С (м)(/IIйМ&*?4 < С (м), (25)

0

где выберем:

40 (1 + $) = 2, т.е., 40 = 2Р0 / (4Р0 - 3) • (26)

Легко увидеть, в силу условий на параметр р0, что 40 - 1. Имеем из оценки (18), что

Vp

11 р+(й, У)й|12 (0 )< С. Отметим, что

Iй ^ (еС 1 й ^ (0,Т (О)) •

(27)

(28)

|( Г | й |Р Жх)Р0 Жг ]40 < С0

0О

се % —

|(Г | й |2 Жх)2 Жг]40 < С1

Отсюда получим:

''¿2 (е)

(29)

С (м)> I I + (й, V) р

й ^(е)>

-

С || + (йй, V) р

— II ( / л - || (й У)й|| ( . ч)>

р ¿40(0,Т;^Р0(О)) 4 ; ¿40(0,Т(О))

N РР м

р ¿40 (0,Т ;ЬР0 (О))

Получаем оценки:

N Vp

-Сз (м )•

(30)

11 (й, ^Л^О)^ С4 (М), (31)

Как следствие, при р0 = р1 = 5/4, поскольку р0 = 4), в этом случае, имеем:

11 УР МЬе) +11 (й У)й 1 ¿Ле )< С4(м). (32)

Так как

(

W = т

Ур + ( у)й - /

V р

Ме)-Л

(33)

]

то отсюда имеем равенство для нормы : ( Ур

w

¿2 (е)

<11 ^ + V)

г/

'¿2 (е)

V р

+ II Як (е )< С5 (М )•

(34)

Действительно, используя неравенство Гельдера, получим:

40

Оценим слагаемые из определения обобщенного решения. Имеем:

(( - w, у) у, й)= - ^^г Уй ^ (35)

О г, У

Используем неравенство Гельдера:

1 = {ЧУАИ < м ^ ^ (О) •11 у

1 ¿4(0) , 1/ Р0 + 1 / 4 = 1 •

(36)

Показатель р0 тот же. Далее, аналогично получаем (см. (19)):

Iх = [{(>йг)Р0(й; )Р0 Жх]

Р0 <

^г'1 ¿2(ОК1 ¿Р0, < Сб!К1 12(ОК1 (о)<

w,

г "¿2(О) •!1 йУ 1 Ь(О) -| 1 йУ 1 ^(О)<

С7 1 К 1 к (ОГ1 |йу 1 Ьо )

(37)

О

101

0О

Евсеев Ф.А.

Имеем оценку интеграла:

I/,

1 (°,т)

[J

< N \\ w.

i "L,(G) ' W U1

&)]q°. (38)

Применим неравенство Гельдера с q = :

— г — Sq°2— "2—

l/1 HLq° (°,Т) <W WiH2 (Q) ' [ j W q° dt ]2q°. (39)

2 2—q°

Отметим, что

2Sq° 2 — q°

< 2. Тогда

/l\ Lq° (°,T) < Q (M) .

(40)

Воспользуемся неравенством (см. (36)):

I < С7| ^^ ¿ро (с) |у| Ж.(С) • (41)

Выражение

1 (У) = и1йх = ^ У (42)

', 1 С

- есть линейный непрерывный функционал над (С). Из (37), (41) вытекает, что

I I1 (У ) Ж-.ГС )= 8иР

"P<l\^> 01

фчШ (G)

ф\ Ш-

^|и| ¿2(С)'||и| Ж(С), % = Ро/(Ро -0 (43) Используя (40), получим

| |1 (У)| ¿0(о,ТК(С))< С10 (М). (44)

Обозначим

(■Vp, у)= ¡1 (у) V е ¿%о ( Т; ¿Ро (С)) • (45)

Выражение имеет смысл для

е ¿%о(0, Т; (С)) • Тогда имеем

¡1 (у)< | ^Р| ¿Р0 -||у|^(С) • (46)

Значит, имеем оценку:

| |11 У)| ¿%о(0,Т;<(С))< С11 (М)• (47)

Для интегралов вида

Т

¡2 (У) = {((г}, V)У, и) йг =

о

Т Т

{^{иЩх и]йхег ,¡3 (У) = {((и, V) у, и) йг

о г, 1 С 0

аналогично оценке (46) получим оценку:

" 1 У)|ко(;<(С))< С12 (М),г = (48)

Пусть {р} - базис в подпространстве пространства Ж (С) , состоящего из функций <Р, удовлетворяющих условию {р(х = 0.

С

В качестве вектор-функций {у} выбираем собственные функции задачи:

-Ау = ДуУ,уУ |а = 0, у =

(ф,ф2,фз Ш22 (G )п Ш01 (G).

(49)

Они образуют ортонормированный базис в l2 (G) (после нормировки) и ортогональный базис в пространстве V = W2 (G )п ш;1 (G) если в последнем взять в качестве скалярного произведения выражение

< u, v >V = (Au, Av ).

Пусть Pn - ортопроектор в L2 (G) на подпространство VN = Lin {ф,ф2,"-,ф^} .

Очевидно, что PN G L(,V) и в силу двойственности и самопряженности он допускает продолжение до ограниченного оператора

класса L(V',V'), где V' - двойственное пространство, построенное по L2 (G) и V как пополнение L2 (G) относительно нормы

\\u\V-= sup |< u, v >v / W v \V .

veV

В частности, имеем, что (u, pNv) = (PNU'v) для всех v eV,u eV'. Отметим, что

W2 (G )n Ш01 (G )е Ш01 (G) и вложение плотно. Это следствие теорем вложения. Поскольку V е Ш501 (G), имеем, что W5—4 (G) е V'. Пусть Д - соответствующие собственные значения.

т 1

Евсеев Ф.А.

Ищем приближенное решение задачи в виде:

N N

йы = ТСг (гМ (х) РN = ЕО (г)« (х),

где

сг (г) и О (г)

есть решение системы:

(( -WN,) = 0 а(UNУ) =

((^ ) Сг (0 ) = (йй0,Уг ) У = 1,••, N• (50)

Первое уравнение системы можно переписать в виде

(

л

т —йN V)UN + fт, У«г = 0. (51) р]

Имеем, что

(—р» , V« '

N

V р у

ёе (V«,, V«) * 0

рЕо, (г)(«,, )

^ 1=1

(52)

второе уравнение системы (50) на О и на С, соответственно, и суммируем равенства по г . Тогда получим:

(( - WN , VРN ) = 0 а (йN , UN )=(У, %) • (54)

Для решений мы имеем уже доказанную оценку (18), (19), и, таким образом,

I UN 1 ¿2(0,Т^(О)) + 11 Ж1Л> UN 1 ¿2(е) +

р

+ (%, ^^ ¿2 (е )< С1 (м)

(55)

где С> (М ) - некоторая постоянная, зависящая от м, л,т,

й

'¿„(0,Т ;£2 (О))

< С! (м).

(56)

Оценка имеет тот же самый вид, поскольку

11 PNf ^(О)<М f 1IL2(О) , 11 рй0 "ц(О)<М й0 11ц(О)

Последний определитель - определитель Грама и он отличен от нуля. Действительно, напомним, что имеет место оценка:

11 УР ^(о)> С0 М Р (О)

(0, х) = PN

N Ур

N '¿40(0,Т;^Р0(О))

+ М (,

Ур еЖ,1 (О): ГрЖх = 0

Это неравенство гарантирует, что в искомом подпространстве функций можно ввести эквивалентное скалярное произведение

{u,= (й,что и гарантирует утверждение. Пусть А - матрица с элементами

а1 = («, .Тогда система (51) перепишется в виде

с? р1

(( -T(йN , V)гЛN ,«1 )

( т (UN, ^^ ,«N )

• (53)

Подставляя О во вторую систему, получим нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для функций

Сг (г). Априорная оценка ниже гарантирует, что задача Коши для этой системы имеет решение на всем промежутке [ Т].

Далее получим априорные оценки для приближенных решений. Умножим первое и

"¿40(0,Т;^Р0(О))< С4 (м), (57)

Как следствие из (25), (27), (32), (34), имеем:

11 ^ ^ (е) + 11 УРл

"(,"¿5/4(е)< С4(м),

(58)

Получим оценку на производную по времени от решения. Перепишем второе уравнение системы в виде:

'_дйл дг

]= (( - WN , йN )

рр (VРN )+ Л ( VUN , )-л (N, divУ)-((uN, V) у, ^ЛN ) -

((,у ) = ¿0 (У?),

(59)

т

Евсеев Ф.А.

где у е Гм . Выражение ¿0 (у есть линейный непрерывный функционал над пространством (С) в силу оценок (46), (47), (48) (где вместо и используется вектор им) и, следовательно, и над пространством Г . Следовательно, найдется ём (г )еГ' такой, что

¿0 (у) = (ём,у) для всех У еГ • В силу оценок (46), (47), (48), (54)-(58) имеем, что

I ём

где

1 ¿5/4 (0,Т Г

¿5/4 (о,Т ;Ж-4 (с,

,< С12 (М),

С12 - некоторая постоянная, завися-

щая от величины

М

и не зависящая от

М . Ра-

венство (59) можно переписать в виде:

имг Рмём •

Тогда из предыдущей оценки и ограни-

ченности оператора неравенство

М в

V'

и

мг иг (т г

,)< С12 (М )•

(60)

Далее мы воспользуемся теоремой о компактности (теорема 5.1 в [18]). Отметим, что

вложение Ж2 1 (С)^ ¿2 (С) компактно (теоремы вложения). Последовательность им ограничено в пространстве с нормой

и ||=|| и

(0,Т; Ж, (С )

+ I и

"¿5/4 (0,Т ;Г')

и, следовательно, по теореме о компактности, существует подпоследовательность

имк и функция и е ¿2 (е) такие, что имк ^ и в

¿2 (е) и п. в. в е. Выделяя еще подпоследовательности из этой подпоследовательности, если необходимо, без ограничения общности можем считать, что

и е ¿2 (о, Т(С)), и

мл

слабо в ¿2 (е), иМк( ^ и(

слабо в ¿5/4 (о,Т;Г') , (¡уимк ^ (¡уг

слабо в ¿2 (0), им ^ и,

слабо в ¿2 (°), Рм ^ Р в ¿5/4 (е) ,

VРм ^Vp и (им, V) им ^ и1

слабо в ¿5/4 (е) , им ^

и

слабо в ¿ш(0, Т; ¿2 (С)) . Покажем,

что

вытекает

V» }

и = —+ (и, V) - f, и = (и, V), (61)

Имеем, что VpМk ^Vp слабо в ¿5/4(е),

покажем, что (м, V)Мl V)й в некото-

ром слабом смысле. Действительно, рассмотрим

{((имк, ^м, - ( ^ и)'у (е =

е

{(( - и), ^мь + ( - ^ )) (е .

е

Для удобства считаем, что у е ¿ш (е). Для первого интеграла имеем оценку

{((( - й, ^^ 'у ее

< С13 Н имк и 1¿2(е)

\Vй„

о при к ^ш

-м 1^2 (е)^" при Для второго интеграла имеем:

{(г!, v)(и-г?мк))(е ^ 0 при к

^ ш

в силу слабой сходимости Vuмt в ¿2 (е).

Возьмем набор функций (г) е С([ Т]) , сг (г)е С([Т]), умножим соответствующие равенства (50) с м = мк на эти функции, просуммируем результат по г от 1 до п (п <мк) и проинтегрируем полученные равенства по г. В результате имеем:

1

{(имк - , VР) ег =

1 1 о, {а ( , У) ег = {(}, у) ег,

где ¥ = ¿У и р = ¿ар.

г=1

г=1

Евсеев Ф.А.

Рассмотрим последовательно все слагаемые. По уже доказанному мы можем перейти к пределу в первом равенстве и получим предельное равенство:

1

J(U - w, Vp) dt = 0,

w = т

(и, V)U + Р Vp - f

(63)

V И у

Во втором равенстве мы рассмотрим только нелинейные слагаемые, поскольку в линейной части переход осуществляется за счет слабой сходимости. Возьмем слагаемое:

1

JNt = J((( - wNt , V) UNt ) dt-

Покажем что

1

JNl ^ J = J((u -w, V)y,и)dt,

Составим разность:

1

JNt - J = J((üNt - wNt, V)y ищ - и) dt +

J((

nNt - wNt ,

V)y), и ) dt

Р

((и, V) y,w)dt =е t0T ((y) dt

Второй интеграл стремится к нулю в силу слабой сходимости, а для первого интеграла имеем оценку

Т

| {(( - WNi , UNk - й)

0

Жг |< с N й^ - й Щ2(е) ^ 0 при к ,

Аналогично показываем, что

Т Т

{(((, V) У, WNt) Жг ^ |((й, V) у, W) Жг

00

при к . Переходя к пределу

при к , придем к тому, что выполнено интегральное тождество

т дй 1

¡и(Уи, Vy) + ju(divü, divy) +

силу базисности выбранных функций

Р, y мы получим, что и есть обобщенное решение задачи. Доказательство последнего утверждения теоремы, т. е. включений

Vp, Vw) и е Lqo (0, T;Lpo (G) для любого

Р0 е[[,3/2], мы фактически уже провели в первой половине доказательства.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ

В работе рассмотрена разрешимость первой начально-краевой задачи для квазигидродинамической системы уравнений в случае слабосжимаемой жидкости. Доказана теорема существования обобщенных решений. Доказательство было основано на методе Галеркина с использованием априорных оценок.

ЛИТЕРАТУРА

1. Elizarova, T. G. On a computational algorithm for the calculation of gas-dynamic flows / T. G. Elizarova, B. N. Chetverushkin // Soviet Physics. Doklady. -1984. - V. 29. - P. 907-909.

2. Елизарова, Т. Г. Использование кинетических моделей для расчета газодинамических течений / Т. Г. Елизарова, Б. Н. Четверушкин. - Текст : непосредственный // Математическое моделирование: процессы в нелинейных средах.

- М.: Наука. - 1986. - C. 261-278.

3. Elizarova, T. G. Quasi-Gas Dynamic Equations / T. G. Elizarova // Springer Science & Business Media, Berlin, Heidelberg.

- 2009.

4. Четверушкин, Б. Н. Кинетически согласованные схемы в газовой динамике / Б. Н. Четверушкин. - Текст : непосредственный. - Москва, МГУ. - 1999. - 232 с.

5. Шеретов, Ю. В. Об одной новой математической модели в гидродинамике / Ю. В. Шеретов. - Текст : непосредственный // В книге Применение функционального анализа в теории приближений (Тверь: Тверской государственный университет). - 1996. - С. 124-134.

6. Шеретов, Ю. В. Квазигидродинамические уравнения как модель течений сжимаемой вязкой теплопроводной среды / Ю.В. Шеретов. - Текст : непосредственный // В книге Применение функционального анализа в теории приближений. (Тверь: Тверской государственный университет).

- 1997. - С. 127-155.

7. Шеретов, Ю. В. Регуляризованные уравнения гидродинамики / Ю. В. Шеретов. - Текст : непосредственный // Тверь: Тверской государственный университет. - 2016. - 222 с.

8. Злотник, А. А. О параболичности квазигидродинамической системы уравнений и устойчивости малых возмущений для нее / А. А. Злотник. - Текст : непосредственный // Матем. Заметки. - 2008. - Т. 83, № 5. - С. 667-682. - DOI: 10.4213/mzm4722

Евсеев Ф.А.

9. Злотник, А. А. О критериях параболичности квазигидродинамической системы уравнений в случае реального газа / А. А. Злотник, В. А. Гаврилин. - Текст : непосредственный // Вестник Московского энергетического института (Вестник МЭИ). - 2009. - № 6. - С. 116-126.

10. Злотник, А. А. Линеаризованная устойчивость равновесных решений квазигазодинамической системы уравнений / А. А. Злотник. - Текст : непосредственный // Доклады Академии наук. - 2010. - Т. 433, № 6. - С. 599-603.

11. Zlotnik, A. A. On properties of aggregated regularized systems of equations for a homogeneous multicomponent gas mixture / A. A. Zlotnik, A. S. Fedchenko // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 2022. - V. 45. No. 15.

- P. 8906-8927. - DOI: 10.1002/mma.8214

12. Evseev, F.A. On Some Properties of a Linearized Quasi-Hydrodynamical System of Equations / F.A. Evseev, S.G. Pyatkov // Lobachevskii J Math. - V. 44, 3266-3276 (2023). - DOI: 10.1134/S1995080223080139

13. Chetverushkin, B. Chung E, Efendiev Y, Pun SM, Zhang Z. Computational multiscale methods for quasi-gas dynamic equations / B. Chetverushkin, E. Chung, Y. Efendiev, SM. Pun, Z. Zhang // Journal of Computational Physics. - 2021.

- V. 440. P. 110352. - DOI: 10.1088/1361-6420/ac99f9

14. Балашов, В. А. Регуляризованная модель типа фазового поля для описания системы «жидкость-твердое тело» с учетом химических реакций / В. А. Балашов, Е. Б. Савенков. - Текст : непосредственный // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2021. - № 82. - С. 1-20.

15. Kraposhin, M. V. Numerical algorithm based on regularized equations for incompressible flow modeling and its implementation in OpenFOAM / M.V. Kraposhin, D.A. Ryazanov, T.G. Elizarova // Computer Physics Communications. - 2022. - V. 271, № 1. - ID 108216.

16. Chetverushkin, B. N. Numerical solution of high-temperature gas dynamics problems on high-performance computing systems / B. N. Chetverushkin, O. G. Olkhovskaya, I. P. Tsigvintsev // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2021. - V. 390. - P. 113374.

- DOI: 10.1016/j.cam.2020.113374

17. Елизарова, Т. Г. Численное моделирование газовых смесей в рамках квазигазодинамического подхода на примере взаимодействия ударной волны с пузырьком газа / Т. Г. Елизарова, Е. В. Шильников. - Текст : непосредственный // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2021. - Т. 61, № 1. - С. 124-135.

18. Лионс, Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж. Л. Лионс. - Текст : непосредственный. - М.: Мир. - 1972. - 588 с.