CC BY
14
УДК 517.958:533.7
КВАЗИГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА С ВНЕШНИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА
Т. Г. Елизарова*^, А. А. Хохлов
(.кафедра математики) E-mail: hohlov@afrodita.phys.msu.ru
Построена система жвазигазодинамичесжих уравнений для течений в присутствии внешних сил и источнижов тепла. Выведено уравнение баланса энтропии, демонстрирующее диссипативный харажтер вознижающих дополнительных слагаемых.
Введение
Актуальными задачами численного моделирования газодинамических течений являются задачи с внешними источники энергии. В качестве таких проблем укажем, в частности, задачи горения, исследование возможностей управления потоками с помощью энерговложения, расчеты активных сред в резонаторах газовых лазеров и течения излучающего газа [1].
Для численного решения задач динамики вязкого газа разработаны эффективные разностные алгоритмы, использующие специальный вид регуляризации. Регуляризаторы строятся на основе квазигазодинамических уравнений (см., напр., [2-4]), которые отличаются от уравнений Навье-Стокса дополнительными слагаемыми дивергентного вида. Эти слагаемые имеют диссипативный характер, что демонстрируется справедливостью теоремы о неубывании полной термодинамической энтропии в замкнутом объеме, доказанной для этих уравнений. Однако построенные алгоритмы не охватывали задач с внешними источниками энергии.
В настоящей работе на основе подхода [2] построены квазигазодинамические уравнения при наличии в потоке тепловых источников. Показан диссипативный характер возникающих добавок.
КГД уравнения при наличии внешних сил
и тепловых источников
Следуя методике, изложенной в [2], заметим, что из системы уравнений Эйлера
д д
-р+—рщ = О, ^рщ+Орщщ+^рЪ,
(1) (2)
д (и
dip\т + е
д (и2 р\
d^ri\-2+£ + -p)=pUlFl + Q
(3)
для идеального политропного газа с уравнением состояния
р = pRT, £ = -^Т (4)
7-1
следуют тождества
д 1 д 1 1 д -7Г,- + Щ ъ----—Щ = 0,
at р oxi р р oxi
д
д
-Uj + Ui
■p~Fi = О,
_ ]_д_
I И-, Щ + -
at ' oxj р oxl д д р д Q п
тт-i + Щ 77— i + - Щ--= О,
at oxi р oxi р
(5)
(6) (7)
|р + и^Р + 7Р^-(7-1)0 = 0. (8)
Здесь и далее использованы обычные обозначения: р — удельная плотность, щ — компонента скорости, р — давление, — компонента внешней силы, е — удельная внутренняя энергия, <2 — мощность тепловых источников. В формулах подразумевается суммирование по повторяющимся индексам. Справедливость тождеств (5)-(8) можно проверить непосредственной подстановкой в них выражений для производных по времени из уравнений Эйлера (1)-(3) с последующим приведением подобных слагаемых.
Запишем интегральные законы сохранения для малого объема V в конечно-разностном виде, заменяя производные по времени разностным отношением для моментов времени t и t + At, где № — малый промежуток времени. Тогда законы сохранения массы, импульса и полной энергии можно представить в виде соответственно:
Р-
At
■ d х -
р*и* den = О,
(9)
рщ - рщ з
At
dax■
р*и*и* d<jj
P* doi =
Институт математического моделирования РАН.
р(й2/2
р*Р{ с1Ах ■
р(и2/2
"хь// ^а/'
(10)
(1АХ
р*и*
Р* и* Р{ (I X ■
г/"г*
=
Я*(1ЪХ. (11)
Здесь вектор теплового потока и тензор вязких напряжений вычисляются как
д „ дх{
Щ5Ц = '0
д
1,~ч\ дхГ1
д_
дХ;
2г 9
з8ч дъ*
(12) (13)
7} и ж — коэффициенты вязкости и теплопроводности. Величинами со звездочками в (9)-(11) обозначены значения газодинамических параметров в момент времени t < ^ < t + At. Обозначим At/2 = т и определим параметры газа в средней точке 1 = 1*, ограничиваясь первым порядком малости по т:
др дщ
Р
Р+ г-
р =р + Т■
т
др 'д.V
(14)
(15)
(16)
Подставим эти выражения в формулы (9)-(11). Величины и <2 считаем мало меняющимися за время т, поэтому звездочки возле них просто отбросим. Заметим также, что фактически использованное нами соотношение
ф-ф д 1 Ы д2 £
~Ж=тф + ТдГ2ф
(17)
верно с точностью до членов второго порядка по поэтому в получающихся формулах слагаемыми порядка 0(т2) можно пренебречь. Возвращаясь вновь к дифференциальному виду производной по времени в интегралах по объему, получим
9 л -рс1х-
Г д_ д1
рщй X
рщ + т^рщ) й<л = 0, (18)
9 X ; рщ + Т -^рщ ) Щ й(Т)
9 И трщ —Щ йсГ/
р + т§-{р) ^=
Г д
ж
й X
Пнвг/йЦ', (19)
рщ
8
ттрщ
(1а;
трщ ( щ
д
Ж
д
ж
^Ыв! (¡-01 —
рщ
д 1 1 д \ , рт-р + -ртр)
т Ъ1рщ) ^ ^х +
Пив ц Щ ¿о!
Я (рх. (20)
Считаем, что в нулевом по т приближении для нашего газа справедливы уравнения Эйлера (1)-(3). Используем эти уравнения и следующие из них тождества (5)-(8) для того, чтобы исключить производные по времени в слагаемых, линейных по т. Приведем подобные члены, сгруппируем однотипные слагаемые и используем произвольность объема V, чтобы перейти от интегральной формы уравнений (18)—(20) к дифференциальной. Получим систему квазигазодинамических уравнений в виде законов сохранения:
д д . А Ъ1Р+ а?' '
д_
д1 д_ д1
рщ
р
д .
д_
дх!
р = р*ъ
д , / щ-
2 ) дхГ V 2
д
= ПР; + —П/Я/. + <2, где введены обозначения
д_
дх1
Р Р
Ш
(21) (22)
д_
дх!
41
п = р(щ - щ),
щ р*
Щ = п
т ( д д
-р\щрщи^жгрр1
"у
(23)
(24)
(25)
(26)
ЫЭ г/ '
трщ +
\_д_
р сЦ
д
д
тбц Щ —р + 7р —щ - (7 - 1)0
д д 1
<7/ = ШI - трщ I щ—е+ рщ —
(27)
(28)
дхи дхи
V Р Р,
При т = 0 квазигазодинамическая система уравнений совпадает с системой уравнений Навье-Стокса.
Уравнение баланса энтропии
В работе [4] было показано, что в случае <2 = 0 производство энтропии для системы (21)—(23) является неотрицательным. Обобщим этот результат на случай <2 ф 0.
Обозначим полную производную по времени оператором
(29)
Будем считать, что параметры рассматриваемого газа удовлетворяют тождеству Гиббса
77)л'-£>•:••+ /)£>-. (30)
Р
Используя систему (21)—(23), получим из этого равенства уравнение для энтропии я. Перенесем в уравнении (22) все слагаемые в левую часть и домножим на щ:
( д д д д \ 0= Ч &рщ + р*р1 - а^П/7 =
.и2 д
Т + и'д~Х1
Отсюда следует соотношение
~ д О—+ Щ —р - р^щ - щ — Щ. (31)
и2 д д
О— = -щ -7^-р + р^щ + щ о^гЩ- (32)
Уравнение (23) можно записать в виде
д . р д
д
° Иг +е + ТГ7П- + -гг-т = пЪ + я-Щщ + <Э
дх{ р дх.
дх;
(33)
откуда, используя предыдущее равенство, получаем
8
д
Ое— ¡¡Р, + ^^ Пуг'Ыг'
д . р д д
Т{ /г Р*' г'^г Щ "К И/г "I" Щ "К
0X1 р ОХI ' 0X1
д д д . р д
= {п-р*ит+щ щщ-шн-+щ
Заметим, что О^ = — шг-), поэтому
1 р 1 1
д
Г) Б — £)•:'•' + £) — I (/; /'*£/;) Р; + 11/; и• Т Т р Т \ ' ОХ]
д qi 0 1,1
д
(н - Р*Щ) Ъ + Щ —щ
дх;Т "" дх;Т 'ТУ11 ' /г дхГ
Получаем уравнение баланса энтропии в виде
(34)
О* = X,
дх{ Т
где производство энтропии X имеет вид
Х = Я1
1
Ох, Т + Т д-Р ,
(й - Р*Щ) Ъ +11,
д_
дХ;
8
д
р + Я+р—{щ-т{) . (35)
о
0X1 р 0X1 0Х1
Критерием физической корректности теории является неотрицательность X ^ 0 при <3 ^ 0. Из полученного выражения (35), на первый взгляд, неотрицательность X не следует.
Преобразуем выражение (35), учитывая (24)-(28). Рассмотрим отдельно каждое слагаемое, выделяя, где это возможно, неотрицательные комбинации величин.
Для первого слагаемого получим
41
дх I Т
= ( ( и>
д_
дх;
дх; р р д
дхТ
\Т )
трщ | щ — е + рщ
д 1 <?\ 1 д
дх; р р ) Т2 дх,
-Т =
к
VI
~Т
щщ ( д \( д
Лу
тщщр / д \ ( д
Те р\ дх1£) \ дх,Р
д
Те дх,
■е.
Преобразуем второе слагаемое: у ((/г - Р*Щ)Ъ) = у - (Р - Т
д
т ^ -рш1 + тщ—рщ
Р(Т ( д и,
_ _ д_
Т У1ЩРЩ дХ;
= -
/гр I I
рщщ - -Ц^р + рр^ =
трр( д д
р.
Заметив, что
Лшг/Лнз;; _'П_ {дщдщ _ 2дщдит | дщ дщ 2г/Т Т \ дх; дхI 3 дх^ дхт дху дх{
преобразуем следующий фрагмент в формуле для X:
\ -г д \ ( ( д
д
+трщ | щ д
_д_и _ 2$ _д_
дх( 1 3 г/ дх^ 1 д
дхъ
Р дх,
■Р - Р(
д
+тёи ик —р + тр —ик - (7 - 1)0
дх,
дхь
д_
дХ;
■и/ =
Пив г/Пне г/
2 г/Т
триj ( д 1 д —L uk — щ + -ТТ \ dxk р dxi
т ( д д . ..Л д
Наконец рассмотрим оставшиеся слагаемые:
ld.pl д р д , .
TTli- + тгР + ~ - wi) =
/ OXi Р I OXi I OXi
д_
pT \ dxj
8
рщщ + — р - pFi —р
дх,
8
dxi
Собирая все фрагменты исходной формулы вместе, получаем
тр ( д 1 д Т \ дхк р дх{
трщи; ( д
д_
Те V 9xi ) \ dxj
трщиI ( д \ ( д \ тщЯ д -- ' —е I I — р I--— е
Тер \ дх{ ) \дх
Те дхi
т ( д д . ..Л д
f[Ukwkp+7PwkUk-b-l)Q) WtUr
д
д
д
д \ Q
+ 7тщи\щр)\Щр) + т- (36)
Для краткости здесь и далее использовано обозначение (щ)2 = Ьцща^.
Используя соотношение
р = (у- 1 )ер,
можно записать (36) в виде
/УГ\2 ПМ5 ¿;Пм5 и Х = Ж\—) + 2г,Т +
тр ( д 1 д
+ \ик "Б—+ _ "Б—Р Т \ дхк р дх{
тр_ Те
д_
дх<
р д Р dxi тр f д
щ--
где
71 = Г ( 1
1 д
■Т i -и.
е
р2Т \ дх,
-рщ
д
'6 + (7 - 1) -х-Щ - —
OXi dxi ер
(37)
Как видно из полученного выражения, при Q > О (при Q < 0 энтропия может убывать) производство энтропии является неотрицательным, если величина г является достаточно малой. При г = 0 величина производства энтропии (37) совпадает с еоответ-свующей величиной, вычисленной для уравнений Навье-Стокса.
Выводы
В работе построена система квазигазодинамических уравнений в случае, когда система находится под влиянием внешних сил и источников тепла. Для этого случая построено уравнение баланса энтропии. Показано, что при условии малости параметра г производство энтропии является неотрицательным.
Полученный результат позволяет расширить область применения квазигазодинамических уравнений и соответствующих им численных алгоритмов для расчета течений вязкого сжимаемого газа в присутствии внешних тепловых источников.
Литература
1. Четверушкин Б.Н. Математическое моделирование задач динамики излучающего газа. М., 1985.
2. Шеретов Ю.В. Математическое моделирование течений жидкости и газа на основе квазигидродинамических и квазигазодинамических уравнений. Тверь, 2000.
3. Елизарова Т.Г., Соколова М.Е., Шеретов Ю.В. 11 Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2005. 45, № 3. С. 545.
4. Елизарова Т.Е., Серегин В.В. 11 Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2005. № 4. С. 15 (Moscow University Phys. Bull. 2005. N 4. P. 17).
Поступила в редакцию 22.05.06
