Разрешимость краевой задачи для смешанного интегро-дифференциального уравнения со спектральными параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Физико-математические науки

УДК 517. 956.6

DOI 10.24411/2409-3203-2018-11680

РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СМЕШАННОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ СО СПЕКТРАЛЬНЫМИ

ПАРАМЕТРАМИ

Юлдашев Турсун Камалдинович

к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры высшей математики Сибирский государственный университет науки и технологии Красноярск, Россия

Аннотация: Рассмотрены вопросы разрешимости и построения решения нелокальной краевой задачи для однородного смешанного интегро-дифференциального уравнения четвертого порядка с вырожденными ядрами и спектральными параметрами. Использован метод Фурье, основанный на разделение переменных. Установлен критерий однозначной разрешимости поставленной задачи. Также изучены вопросы существования и построения решений в случае, когда нарушается единственность решения.

Ключевые слова: Краевая задача, интегро-дифференциальное уравнение смешанного типа, уравнение четвертого порядка, интегральные условия, вопросы разрешимости.

SOLVABILITY OF A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A MIXED INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION WITH SPECTRAL PARAMETERS

Tursun K. Yuldashev

PhD, Associate professor of the Higher Mathematics Department Siberian State University of Sciences and Technology Krasnoyarsk, Russia

Abstract: The problems of solvability and construction of the solution of a nonlocal boundary value problem for a homogeneous mixed fourth-order integro-differential equation with degenerate kernels and spectral parameters are considered. The Fourier method based on the separation of variables is used. A criterion for the unique solvability of the problem is established. Also studied the questions of existence and construction of solutions in the case when the uniqueness of the solution is violated.

Key words: Boundary value problem, mixed-type integro-differential equation, fourth-order equation, integral conditions, questions of solvability.

1. Постановка задачи

Теория смешанных и краевых задач в силу ее прикладной важности является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений. Изучение многих задач газовой динамики, теории упругости, теории пластин и оболочек приводит к рассмотрению дифференциальных уравнений в частных производных высоких порядков. Представляют большой интерес с точки зрения физических приложений и дифференциальные уравнения четвертого порядка (см., напр. [1 - 4]). В случаях, когда граница области протекания физического процесса недоступна для измерений, в качестве дополнительной информации,

достаточной для однозначной разрешимости задачи, могут служить нелокальные условия в интегральной форме [5, 6]. Представляют большой интерес с точки зрения физических приложений интегро-дифференциальные уравнения [7, 8]. Задачи, где меняется тип дифференциального уравнения в рассматриваемой области, имеют важные приложения (см., [9 - 11]). Дифференциальные уравнения смешанного типа изучались в работах многих авторов, в частности в [12 - 22]. Дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения со спектральными параметрами рассматривались в [23 - 26].

В настоящей работе изучается однозначная разрешимость нелокальной краевой задачи для смешанного интегро-дифференциального уравнения четвертого порядка с вырожденными ядрами и спектральными параметрами. Итак, в области О = {(г, х) | - Т < г < Т, 0 < х < I} рассматривается уравнение вида

Т

и« -иихх + ихх + V |к 1 (г,з)и(з,х)йз = о, г > о,

0 о (1)

ии -иихх -ш2ихх + V |к2 (г,*)и(з,х)йз = о, г < о,

-Т

где Т и I - заданные положительные действительные числа, Ш - положительный спектральный параметр, V - действительный ненулевой спектральный параметр,

к} (г, з) = а] (г) Ъ] (з), а] (г), Ъ] (з) е С [ - Т ;Т ], у = 1,2.

Задача. Найти в области О функцию

и (г, х) е С (О) п С1 (О')п С 2(О+иО_) п С 2+2(П+ иП ), удовлетворяющую уравнению (1) и следующим условиям

jU(t,x)dt = y(x), 0 < x < l, (3)

¡U(t,x)dt = 9(x), 0 < x < l, (2)

0 0

7(t,x)dt = y(x), 0 < x <,

—T

U(t,0) = U(t,l) = 0, 0 < t < T, (4)

где 9(x), y (x) — заданные достаточно гладкие функции, 9(0) = 9(l) = ^(0) = ^ (l) = 0,

Q' = Q^{x = 0}^{x = l}, = {(t,x)| — T < t < 0, 0 < x < l}, Q+= {(t, x)| 0 < t < T, 0 < x < l}, Q = {(t, x)| — T < t < T, 0 < x < l}.

2. Формальное разложение в ряд Фурье

Решение уравнения (1) в области Q разыскивается в виде ряда Фурье

¡2 х

U(t,x) = Un (t)sin^nx, (5)

V l n=l

[2 .

где функции & n (x) =J — sin p, nx определены как собственные функции спектральной

задачи У (x) + 2 $(x) = 0, $(0) = $(l) = 0, 0 <р, и образуют полную систему ортонормированных функций (x) }" в пространстве L 2[0, /],

а ^ п = —

n=i i

соответствующие собственные значения и

Í2 1

un (t) = J — ¡U(t,x)sinp,nxdx, n = 1,2, ... . (6)

• l 0

T

Подставляя ряд (5) в уравнение (1), получаем

T

u"n (t)-X\un (t) = vjai(t) b^s)un (s)ds, t > 0, (7)

0

0

u"n (t) + x2n ю 2 un (t) = vj a 2(t) b 2(s) un (s) ds, t < 0, (8)

-T

2

, 2 _ ^n ж n

где x- ■ ' * -=—■

С помощью обозначений

a n = j bi(s)u-(s)ds, (9)

0 0

pn = j b2 (s)u-(s)ds (10)

'2 '

-T

уравнения (7) и (8) перепишутся так

u"n (t)-X\un(t) = v a j (t) a n , t > 0, (11)

u'n (t) + X2n ю 2u-(t) = v a2(t) p n , t < 0. (12)

Дифференциальные уравнения (11) и (12) решаются методом вариации произвольных постоянных

un (t) = An exp{Xn t} + Bn exp{-Xn t} + л 1и(t), t > 0, (13)

un (t) = Cn cosXnrnt+Dn sinXnrnt + л 2n(t), t < 0, (14)

где An, Bn, Cn, Dn - пока произвольные постоянные, подлежащие к определению, Л 1n (t) = va nhn (t), Л 2n (t) = vpn 8 n (t),

1 * 1 '

hn (t) = ^ j sh X n (t - s) a1 (s) ds> 8 n (t) = T- j sin X n (t - s) a 2 (s) ds.

X « 0 X « 0

Из характера постановки задачи следует, что U(0 + 0,x) = U(0-0,x). Отсюда с учетом формулы (6) имеем

Í2Í

un (0 + 0) = J— j U(0 + 0,x) sin xdx =

■ l n

if j

2

U(0-0,x) sinxdx = u„ (0-0). (15)

0

Дифференцируя функций (6) один раз по t, аналогично (15) получаем u'n (0 + 0) = |Jut (0 + 0,x) sinр,nxdx =

2 i-

J U (0-0,x) sin^ xdx = u'n (0-0). (16)

1 0

_Cn +ш Dn

Из (13) и (14) с учетом условий (15) и (16) получаем, что An =--- и

_Cn -ю Dn

Bn =---. Тогда функции (13) и (14) принимают вид

Un (t) = Cn ch Xn t + юDn sh Xn t+Л in(t), t > 0, (17)

un (t) = Cn cos X n ш t + Dn sin X n ш t2 n (t), t < 0. (18)

Условия (2) и (3) с учетом формулы (6) принимают следующий вид

т ¡2 1т

J ии (t) dt = — JJU (t, x) dt sin д и xdx =

П V I A A

2 г

' 4 sinдnxdx = 9n, (19)

д/2 JФ(x)si

v i о

о [2 i о

J un (t) dt = — J JU (t, x) dt sin д nxd

_т V I n _т

V— J V (x)sin Д nXdx = yn. (20)

V l о

Для нахождения неизвестных коэффициентов Cn и Dn в (17) и (18) воспользуемся

условиями (19) и (20)

т т

Jun (t)dt = J \cnch X nt + шDn sh X nt + ^ 1n (t) ]dt =

о 0

= [Cn sh X я T + шDn (ch X я T-1 )]+£ in (t) = Фя, (21)

X n

о о

Jun (t)dt = J [Cn cos Xnш t + Dn sin Xnш t + ^ 2n(t) ]dt

-T -T

— [Cn sin Xnш T + Dn (cos X„ш T-1 )]+£ — „(t) = V„, (22)

n sin X n ш T + Dn (cos X n ш т -1 )]+£ 2 n (t) = V n

X n ш

т о

где S in = J^ in (t) dt, E, 2 n = Jл 2 n (t) dt.

о -T

Уравнения (21) и (22) рассмотрим как систему алгебраических уравнений (САУ)

относительно неизвестных коэффициентов C n и D

Cn sh Xn T + ®Dn (ch Xn T - 1 )=Xn Фп -Xn S in , Cn sin X n ш T + Dn (cos X n ш T - i )=X n ® Vn -X n ® S 2n .

Если положим

a n = sh X nT (cos X n шТ-l)-шsin X n шТ (ch X nT -i)^ о, (23)

то САУ относительно C n и Dn однозначно разрешима. Решая эту систему из (17) и (18) приходим к следующим функциям

Un (t, ш) =— [ф nM in (t, ш) + V nM 2 „ (t, ш) + £, inM 3 „ (t, ш) + £, 2 ИМ 4 „ (t, ш)] + a,

n

+ Л in(t), t > о, (24)

Xn a,

+ Л 2n(t), t < о, (25)

(t, ш) [ф n Ж in (t, ш) + V n N 2 n (t, ш) + £, in N 3 n (t, ш) + £, 2 n N 4 и (t, ш)] +

n

где

M 1n (t, ю) = (cosX n юТ -1) ch X nt - sin X n юTsh X nt,

M 2 n (t, ю) = ю (1 - ch X nT) ch X nt + ю sh X nT sh X nt,

M3n (t,ю) = (1-cosXnюТ) ch Xnt + sinXnrnTsh Xnt,

M4n (t,ю) = ю2(chXnT-1) ch Xnt-ю shXnTsh Xnt,

N 1n (t, ю) = (cos X n юТ -1) cos X n rot - sin X n юТ sin X n юt,

N2 n (t, ю) = ю(1 - ch X nT) cos X n Qt + ю shX nT sin X n Qt,

N 3 n (t, ю) = (1 - cos X n юТ) cos X n rnt + sin X n юТ sin X n rnt,

N4n (t,ю) =ю2 (chXИТ-1) cos Xnot-ю sh XпТ sin Xnot.

В силу того, что Л 1n (t) = va nhn (t), Л 2n (t) = vpn 8 n (t), представления (24) и (25) записываются в следующем виде

un (t,©) = Pn(t,ю) + vanP2n(t,ю) + vp-Рзn(t,ю), t > 0, u-(t, ю) = QX n (t, ю) + va-Q 2 n (t, ю) + vp-Q3 n (t, ю), t < 0,

в котором

X

(26) (27)

P1- (t, ю) = — [ф-M1- (t,ю) + v -M2- (t, ю) ], CT„

X

X,

P2 - (t, ю) =-^M 3 - (t, ю) j h- (t) dt + h- (t), P3 - (t, ю) = ——M 4 - (t, Ш) j8 - (t) dt,

ct _ n ct „

-Т

Qrn (t,ю) = —[ф- N1- (t,ю) + v- N2- (t,ю)], Q2- (t,ю) = N3- (t,ю) jhn (t)dt,

CT„ CT „ n

X,

X 0

Q3- (t,ю) = -^N4- (t,ю) j8- (t)dt + 8- (t), 0<X- =.

ct,

-Т

2

M- - л Ж n

<1, Ц - =—

1+ Ц

2

Подставляем (26) и (27) в (9) и (10), соответственно. Тогда получаем счетную систему двух алгебраических уравнений (ССДАУ)

ап (1 Еп) -рп Vр(ю) = Фп(ю),

где

-a-v Hn(ю) + p- (1 -vGn) = W„(ю),

Т

En = j bx (t)P2- (t)dt, F- (ю) = j b (t)P3- (t,ю)dt, 0 0

0 0

Hn (ю) = j b2(t)Q2„ (t,ю)dt, G- = j b2 (t)Q3- (t)dt,

-Т

0

(28)

Фп(ю) = | ^(г)Рщ(г,ю)^^, Уп(ю) = | Ь2(г)(г,ю)аг. (29)

0 -г

Для однозначной разрешимости ССДАУ (28) требуется выполнение следующего условия

^Еп ^ Рп (ю) -VНп (ю) 1

А - (v) =

(E-Gn - Hn (ю) Fn (a>))v 2 -(En + Gn )v +1 * 0.

(30)

Т

0

Т

Т

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицательный. Поэтому из условия (30) придем к следующему условию

(En — Gn )2 + 4Hn(o)FH(о) < 0. (31)

Пусть выполняется условие (31). Тогда решаем сначала ССДАУ (28)

а n = т^[ф n (о) + v (Чn (о) Fn (о) — ф n (о) Gn)], A n (v)

Р n =Т~Г\[Х¥n (о) + v (ф n (о)Hn (о) — Чn (о)En)].

A n (v)

Подставляя это решение ССДАУ (28) в (26) и (27), получаем

P2 п (t, о)

un (t,о,v) = - n (t,о) + v [Фn (о)(1 —vGn ) + v4n (о)Fn (о)] 2 n +

A n (v)

+ v ^Фn (о)Hn (о) + Чn (о)(1 — vEn )] , t > 0, (32)

A n (v)

Q 2 n (t, о)

Un (t,о,v) = Qi n (t,о) + v [Фn (о)(1 — vGn ) + v Чn (о)Fn (о)Г2\ л +

A n (v)

+ v [уфn (о)Hn (о) + Чn (о)(1 — vEn )] Q3n (t,о) , t < 0. (33)

A n (v)

Для получения критерия однозначной разрешимости нам нужно будет накладывать условия на величины 9 n и W n . С этой целью с учетом (29) и того, что

-1n (t, о) = — [9 nM 1n (t, о) + y nM 2 n (t, о) ], a n

Q1n (t, о) = — [9 n ж 1n (t, о) + y n N 2 n (t, о) ], a n

представления (32) и (33) перепишем в следующем виде

Я-

Un (t, о, v) = (9 nV1n (t, о, v) + y n V2 n (t, о, v)), t > 0, (34)

a n

Un (t, о, v) = (9 n W1n (t, о, v) + W n^2 n (t, о, v)), t < 0, (35)

a n

P2 n (t, о) P3 n (t, о)

где V (t,о,v) = Mjn (t,о) + v p (о) + v т Jn (о) ,

j J J A n (v) J A n (v)

W Г* Л ЛГ f+ Л / AQ2 n (t, о) , 4Q3 n (t, о)

Wjh (t, о, v) = Njh (t , о) + vP jn (о) -2--- + vT Jn (о) 3 , Л ,

J j J A n (v) J A n (v)

P Jn (о) = (1 — vGn ) оjn (о) + vFn (о) X jn

T jn (о) = vHn (о) оjn (о) + (1 — vEn )X jn T 0

о jn (о) = j b1(t)Mj (t, о) dt, X jn (о) = j b 2 (t) Nj (t, о) dt, j = 1,2.

0 —T

Теперь (34) и (35) подставляем в ряд Фурье (5)

U(t,x,о, v) = 2 jj — [9 nV1n (t,о, v) + y n V2n (t,о, v)] sin^x, t > 0, (36) V l n=1 ^ n l

U (t, л, ю, V) = Í2 [Ф „Жы (t, ю, V) + у nW2 „ (t, ю, V)] sin х, t < 0. (37)

V 1 п=1 п 1

3. Регулярный случай

Пусть нарушается условие (23), то есть предположим, что

а „ = sh X nT (cos X „ юТ-l)-юsin X „ юТ [ch X nT-1)= 0 (38)

при некоторых ю. Из равенства (38) относительно спектрального параметра ю приходим к квадратному тригонометрическому уравнению

.2 У„ , , У„

(an +1)tgу + 2bn ш tg^ + (an -1) = 0,

в котором

Уп = X n шТ, an = sh X nT, b„ = cth X nT - sh -1 X „T . Множество положительных возрастающих решений этого уравнения относительно спектрального параметра Ш обозначим через 3 j. Числа ше 3 j назовём иррегулярными,

так как для них нарушаются условия (23). Множество Aj = (0; да)\3j назовём множеством

регулярных значений спектрального параметра Ш и для них выполняются условия (23).

Если условие (31) нарушается, то ядра смешанного интегро-дифференциального уравнения (1) имеют для каждого значения n максимум два значения V j и V 2 . Эти

действительные отличные от нуля числа назовём характеристическими (иррегулярными) числами ядра смешанного интегро-дифференциального уравнения (1) и их множество

{v j, V 2} обозначим через 3 Значения V j и V 2 спектрального параметра V отнимем из

множества ненулевых действительных чисел (-да;0) и (0; да). Полученное множество

A2 = (-да;0)и(0; да) \{vj,V2} назовём множеством регулярных значений параметра V.

Для всех значений V е A 2 выполняется условие (30). Если условие (31) выполняется, то все множество действительных ненулевых чисел (-да;0) и (0; да) состоится из регулярных значений ядер смешанного интегро-дифференциального уравнения (1).

Примем следующие обозначения К j = {(n, ш, v)| n е N; шеА j; veA 2 j;

К2 = {(n, ш, v)| n е N; ше 31; v е (-да;0) и (0; да) };

К3 = {(n,ш, v)| n е N; шеА ; v е 32 |, где N - множество натурального чисел.

Для всевозможных (n,ш, V) е^ имеют место представления (36) и (37). Это тот случай, когда все значения спектральных параметров ш и V регулярные. Поэтому в данном случае решение краевой задачи в области Q представляется в виде рядов (36) и (37).

Покажем, что при определенных условиях относительно функций ф (x) и у (x)

ряды (36) и (37) сходятся абсолютно и равномерно. Для всевозможных (n,ш, V) еК1 справедливы оценки

\un (t, ш, v)| < С j (|ф n | + |у n |), (39)

\u"n (t,ш,V)| <С2 (фn |+|уn I), (40)

где С = const, i = i,2 .

2 2

Условия А. Пусть функции ф(x) е С [0;l], у(x) е С [0;l] на сегменте [0;/] имеют

329

кусочно-непрерывные производные третьего порядка и ф (0) = ф(/) = у (0) = у (I) = 0,

ФXX (0) = фXX (1) = ^XX (0) = ^XX (/) = 0

Тогда справедливы

Ф п =

I

л у п

V п =

I ? я

л У п

где

да 4 1 Г "I ш 4 Г 1

2 РП < ТГ | [ф XXX (X) Г dx, X Я2 < -7ТI [У XXX (X) Г dX •

п=1 1 0 п=1 1 0

да 2 4 1 Я2 <

(41)

(42)

Воспользовавшись формулами (41) и (42) с учетом (39) и (40) докажем, что ряды (36) и (37) сходятся абсолютно и равномерно в области О. Действительно, учитывая формул (39), (41) и (42) и применяя неравенство Коши-Буняковского, для рядов (36) и (37) в области О получим следующую оценку

12 да I I

|и (г, X, ш, у)| < ЛуХ К С, ш, V)

» I п=1

дат Л

. л п

81П-X

I

<

« 1 Vп=1

С Х|фп|+Ек

V п=

пп

п=1 у

<

(

<У 1

дада

Е"з| Рп |+Е"з

V п=1п п=1п

я

<

2 У1

I V

да 1

п=1 п

(

V

|[ф XXX(x) ]2dx + д XXX(x) ]2d

0 V 0

x < да,

(43)

гх\3

где У1 = С

Аналогично (43) с использованием оценок (39) и (40) нетрудно показать, что возможно почленное дифференцирование рядов (36) и (37) по переменным г и X и полученные ряды будут сходиться абсолютно и равномерно в области О . Следовательно, в области О функция и (г, X, ш, V), определенная рядами (36) и (37), удовлетворяет условиям задачи.

Для установления единственности решения покажем, что при нулевых интегральных т 0

условиях | и (г, X, ш, V) dt = 0, |и (г, X, ш, V) dt = 0, 0 < X < I краевая задача имеет только

0 - т

тривиальное решение. Предположим, что ф(X) = 0, V(X) = 0. Тогда фп = 0, уп = 0 и из

формулы (36) и (37) в области О следует, что

/

л п

I и (г, X, ш, v)sin-X

dx = 0, п = 1,2, ... .

Отсюда в силу полноты систем собственных функций

2 . л п

— Sln -X

/ /

в Ь 2

Ь2[0,1 ]

заключаем, что и (г, X, ш, V) = 0 для всех X е [0,1 ] и г е [—Т ;Т]. Следовательно, при всевозможных (п, ГО, V) е К1 для задачи существует решение и это решение единственно в области О.

4. Иррегулярный случай

Рассмотрим случай (п, ш, V) еК 2 . Здесь значения спектрального параметра

3

п

V

да

Ш иррегулярные, а значения спектрального параметра V любые действительные числа, отличные от нуля. В данном случае из (17) и (18) приходим к следующему результату

ип (г,Ш,т) = Лп (ек Xп г+Шззк Xпг^апкп(г), г > о, (44)

un (t,ш,т) = An (cosXп ш t+sinXn ш t)+vpn5 n (t), t < о, (45)

где An - произвольные постоянные. Необходимым условием справедливости

представлений являются: фn = о, Vn = о. Подставляя представления (44) и (45) в формулы (9) и (10), находим

— m, — m 2

a n = A --Р и = A --^ , (46)

1 -v тх 1 -v т2

где m =J b (s)(ch Xn s + шsh Xn s)ds, tx=J bx (s)hn (s)ds,

о о

m2 = J b2 (s)(cosXnш s + sinX nш s)ds, т2 = J b2 (s)5 n (s)ds.

-T -T

Здесь покажем, что 1 - V т 1 * о и 1-Vт2 * о Предположим, что одновременно 1 -V тi = о и 1 -V т2 = о. Тогда приходим к тому, что т 1 = v-1 и т2 = v-1, т.е. тi = т2. Этого быть не может, так как т j и т 2 разные числа. Теперь предположим, что 1 - V т i = о , но 1 -V т2 * о . Тогда рассмотрим квадратное уравнение

(1 -VIi)(1 -VI2) = V т 1 т2 -V (т 1 +т2) + 1 = о.

Решая его получаем, что v 1 = — v 2 = -— . Но, по нашему предположению:

т 1 т 2

1 -V т 2 * о. Мы пришли к противоречию. Следовательно, 1 -V! i * о и 1 -V! 2 * о.

Подстановка значений a n и Рn из (46) в (44) и (45) даёт нам следующее представление решения уравнений (11) и (12)

u„ (t,ш,т) = Лп fi (t,ш,т), t > о, (47)

un (t,ш,т) = An f2 (t,ш,т), t < о, (48)

mr

где f (t,ш,т) = ch Xn t + шsh Xn t + v-h n(t),

1 -v ^

m2

f 2 (t, ш, т) = cos X n ш t + sin X n ш t + v-5 n (t).

1 -v т2

Подставляя (47) и (48) в ряд Фурье (5), получаем бесконечное множество решений

задачи

12 х — ж n

U(t,x,ш, v) = J-£ Anf1(t,ш,т) sin—x, t > о, (49)

■ l n=1 l

Í2 x — ж n

U (t, x, ш, v) = J-£ Anf2(t, ш, т) sin—x, t < о, (50)

V l n=1 l

где An - произвольные числа.

Рассмотрим случай (n, ш, v) е К 3. Здесь значения спектрального параметра W

регулярные, а значения спектрального параметра V иррегулярные. В данном случае решения задачи имеют вид

- ¿1 —

/ и = 1 I а ,

U(t,X,Ш, V) = Í2¿J — [ф пмХп (t,ш) + V nM2n (t,Ш) ] +

V / n=l n

+ v ßn [P2 n (t,ш) + P3 n (t,ш)]}sin™X, t > 0, (51)

U(t,X,Ш, V) = 2f J — [ф n Nin (t,Ш) + V n N2n (t,Ш) ] +

V l n=1 I ^n

+ v Bn [ö2 n (t, ш) + 03 n (t, ш)]} sin ^ x, t < 0, (52)

где Bn - произвольные числа. Таким образом доказано, что справедлива следующая

Теорема. Пусть выполняются условия А. Тогда задача однозначно разрешима в области Q для всевозможных (n, ш, v) е к . Решение этой задачи представляется в виде

рядов Фурье (36) и (37). В случаях всевозможных (n, ю, v) ек 2 и (n, ю, v) ек 3 задача

имеет бесконечное множество решений в области Q. Эти решения представляются в виде рядов (49), (50) и (51), (52), соответственно. Список литературы

1. Турбин М. В. Исследование начально-краевой задачи для модели движения жидкости Гершель-Балкли // Вестник ВоронежГУ. Сер.: Физика. Математика. - 2013. - № 2. - С. 246-257.

2. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. - М.: Мир, 1977. - 622 с.

3. Шабров С. А. Об оценках функции влияния одной математической модели четвертого порядка // Вестник ВоронежГУ. Сер.: Физика. Математика. - 2015. - № 2. - С. 168-179.

4. Benney D. J., Luke J. C. Interactions of permanent waves of finite amplitude // Journ. Math. Phys. - 1964. - Vol. 43. - P. 309-313.

5. Гордезиани Д. Г., Авалишвили Г. А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды // Мат. моделирование. - 2000. - Т. 12. - № 1. - С. 94-103.

6. Пулькина Л. С. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с интегральными условиями 1 рода с ядрами, зависящими от времени // Изв. вузов. Математика. - 2012. - №10. - С. 32-44.

7. Ушаков Е. И. Статическая устойчивость электрических цепей. - Новосибирск: Наука, 1988. - 273 с.

8. Cavalcanti M. M., Domingos Cavalcanti V. N., Ferreira J. Existence and uniform decay for a nonlinear viscoelastic equation with strong damping // Math. Methods in the Appl. Sciences. - 2001. - Vol. 24. - P. 1043-1053.

9. Гельфанд И. М. Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений // УМН. - 1959. - Т. 14. - № 3. - С. 3-19.

10. Франкль Ф. И. Избранные труды в газовой динамике. - М.: Наука, 1973. - 711

с.

11. Уфлянд Я. С. К вопросу о распространении колебаний в составных электрических линиях // Инженерно-физический журнал. - 1964. - Т. 7. - № 1. - С. 8992.

12. Джураев Т. Д., Сопуев А., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. - Ташкент: Фан, 1986. - 220 с.

13. Джураев Т. Д., Сопуев А. Об одной пространственной задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // Дифференц. уравнения. - 1981. - Т. 17. -№: 1. - С. 50-57.

14. Моисеев Е. И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи // Дифференц. уравнения. - 2001. - Т. 37. - № 11. - С. 1565-1567.

15. Репин О. А. Аналог задачи Нахушева для уравнения Бицадзе-Лыкова // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т. 38. - №10. - С. 1412-1417.

16. Сабитов К. Б. К теории уравнений смешанного типа. - М.: Физматлит, 2014. -

301 с.

17. Уринов А. К., Нишонова Ш. Т. Задача с интегральными условиями для эллиптико-параболического уравнения // Мат. заметки. - 2017. - Т. 102. - № 1. - С. 81-95.

18. Рузиев М. Х. О краевой задаче для одного класса уравнений смешанного типа в неограниченной области // Мат. заметки. - 2012. - Т. 92. - №1. - С. 74-83.

19. Сопуев А., Джураев Дж. Т. Краевые задачи для вырождающегося параболо-гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. - 1989. - Т. 25. - № 6. - С. 10091015.

20. Юлдашев Т. К. Смешанное дифференциальное уравнение типа Буссинеска // Вестник ВолГУ. Сер. 1. Математика. Физика. - 2016. - № 2(33). - С. 13-26.

21. Юлдашев Т. К. Об одном смешанном дифференциальном уравнении четвертого порядка // Изв. ИМИ УдГУ. - 2016. - Т. 47. - № 1. - С. 119-128.

22. Юлдашев Т. К., Багрова А. В. Нелокальная задача для смешанного дифференциального уравнения четвертого порядка в трехмерной области // Журнал СВМО. - 2016. - Т. 18. - № 3. - С. 70-79.

23. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. - М.: МГУ, 1988. - 150 с.

24. Салахитдинов М. С., Уринов А. К. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром. - Ташкент: Фан, 1997. - 165 с.

25. Юлдашев Т. К. О разрешимости одной краевой задачи для дифференциального уравнения типа Буссинеска // Дифференц. уравнения. - 2018. - Т. 54. - №10. - С. 14111419.

26. Юлдашев Т. К. Об одной нелокальной краевой задаче для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма с вырождением ядра // Дифференц. уравнения. - 2018. - Т. 54. - № 12. - С. 1687-1694.

УДК 517. 956.6

DOI 10.24411/2409-3203-2018-11681

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ КУБИЧЕСКОЙ СТЕПЕНИ

Юлдашев Турсун Камалдинович

к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры высшей математики Сибирский государственный университет науки и технологии Красноярск, Россия

Аннотация: Рассмотрены вопросы обобщенной разрешимости смешанной задачи для линейного интегро-дифференциального уравнения с псевдопараболическим