Научная статья на тему 'РАЗРЕШЕНИЕ АЛГЕБРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ'

РАЗРЕШЕНИЕ АЛГЕБРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
26
6
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
АЛГЕБРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ / УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА / ФРЕДГОЛЬМОВ ОПЕРАТОР / БАНАХОВО ПРОСТРАНСТВО / РАЗРЕШЕНИЕ / ЗАДАЧА КОШИ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Усков Владимир Игоревич

Настоящая работа посвящена исследованию алгебро-дифференциального уравнения A (d^2 u)/〖dt〗^2 =B du/dt+Cu(t)+f(t), где A,B,C - замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства E_1 в банахово пространство E_2, с всюду плотными в E_1 областями определения. Оператор A фредгольмов с нулевым индексом (далее, фредгольмов), функция f(t) принимает значения в E_2; t∈[0; T]. Ядро оператора A полагается одномерным. Для разрешения уравнения относительно производной применяется метод каскадной декомпозиции, заключающийся в пошаговом расщеплении уравнения и условий к соответствующим уравнениям и условиям в подпространствах меньших размерностей. Рассматриваются одношаговое и двухшаговое расщепления, получены теоремы о разрешимости уравнения. Теоремы применяются для получения условий существования решения задачи Коши. Чтобы проиллюстрировать полученные результаты, решается однородная задача Коши с заданными операторными коэффициентами в пространстве R^2. Для этого рассматривается разрешенное дифференциальное уравнение второго порядка в конечномерном пространстве C^m (d^2 u)/〖dt〗^2 =H du/dt+Ku(t). Исследуется характеристическое уравнение M(λ):=det(λ^2 I-λH-K)-0. Для многочлена M(λ) в случае m=2, m=3 получены формулы Маклорена. Определено общее решение уравнения в случае единичной алгебраической кратности характеристического уравнения.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотр
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

SOLUTION OF A SECOND-ORDER ALGEBRO-DIFFERENTIAL EQUATION IN A BANACH SPACE

This article is devoted to the study of the algebro-differential equation A (d^2 u)/〖dt〗^2 =B du/dt+Cu(t)+f(t), where A,B,C are closed linear operators acting from a Banach space E_1 into a Banach space E_2 whose domains are everywhere dense in E_1. A is a Fredholm operator with zero index (hereinafter, Fredholm), the function f(t) takes values in E_2; t∈[0; T]. The kernel of the operator A is assumed to be one-dimensional. For solvability of the equation with respect to the derivative, the method of cascade splitting is applied, consisting in the stepwise splitting of the equation and conditions to the corresponding equations and conditions in subspaces of lower dimensions. One-step and two-step splitting are considered, theorems on the solvability of the equation are obtained. The theorems are used to obtain the existence conditions for a solution to the Cauchy problem. In order to illustrate the results obtained, a homogeneous Cauchy problem with given operator coefficients in the space R^2 is solved. For this, it is considered the second-order differential equation in the finite-dimensional space C^m (d^2 u)/〖dt〗^2 =H du/dt+Ku(t). The characteristic equation M(λ):=det(λ^2 I-λH-K)-0 is studied. For the polynomial M(λ) in the cases m=2, m=3, the Maclaurin formulas are obtained. General solution of the equation is defined in the case of the unit algebraic multiplicity of the characteristic equation.

Текст научной работы на тему «РАЗРЕШЕНИЕ АЛГЕБРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ»

Том 27, № 140

2022

© Усков В.И., 2022

DOI 10.20310/2686-9667-2022-27-140-375-385 УДК 517.922, 517.925.4

nQ

OPEN fil ACCESS

Разрешение алгебро-дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве

Владимир Игоревич УСКОВ

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный лесотехнический университет имени Г. Ф. Морозова» 394613, Российская Федерация, г. Воронеж, ул. Тимирязева, 8

Аннотация. Настоящая работа посвящена исследованию алгебро-дифференциального уравнения

= + + > (')■

где А, В, С — замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства Е\ в банахово пространство Е2, с всюду плотными в Е\ областями определения. Оператор А фредгольмов с нулевым индексом (далее, фредгольмов), функция ](£) принимает значения в Е2 ; £ € [0; Т] . Ядро оператора А полагается одномерным. Для разрешения уравнения относительно производной применяется метод каскадной декомпозиции, заключающийся в пошаговом расщеплении уравнения и условий к соответствующим уравнениям и условиям в подпространствах меньших размерностей. Рассматриваются одношаговое и двухшаговое расщепления, получены теоремы о разрешимости уравнения. Теоремы применяются для получения условий существования решения задачи Коши. Чтобы проиллюстрировать полученные результаты, решается однородная задача Коши с заданными операторными коэффициентами в пространстве К2 . Для этого рассматривается разрешенное дифференциальное уравнение второго порядка в конечномерном пространстве Ст

сРи и , „

Ж = + Ки(г)-

Исследуется характеристическое уравнение М(Л) := det(Л2/ — АН — К) = 0 . Для многочлена М(Л) в случае т = 2, т = 3 получены формулы Маклорена. Определено общее решение уравнения в случае единичной алгебраической кратности характеристического уравнения.

Ключевые слова: алгебро-дифференциальный, уравнение второго порядка, фредголь-мов оператор, банахово пространство, разрешение, задача Коши

Для цитирования: Усков В.И. Разрешение алгебро-дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Вестник российских университетов. Математика. 2022. Т. 27. № 140. С. 375-385. БО! 10.20310/2686-9667-2022-27-140-375-385.

© V. I. Uskov, 2022

DOI 10.20310/2686-9667-2022-27-140-375-385

3

Solution of a second-order algebro-differential equation

in a BanaCh space

Vladimir I. USKOV

Voronezh State University of Forestry and Technologies after named G.F. Morozov 8 Timiryazeva St., Voronezh 394613, Russian Federation

Abstract. This article is devoted to the study of the algebro-differential equation

, d?u „ du „ , ,

Adtu = BTt + Cu(t) + f (t)

where A, B, C are closed linear operators acting from a Banach space Ei into a Banach space E2 whose domains are everywhere dense in Ei . A is a Fredholm operator with zero index (hereinafter, Fredholm), the function f (t) takes values in E2 ; t G [0; T] . The kernel of the operator A is assumed to be one-dimensional. For solvability of the equation with respect to the derivative, the method of cascade splitting is applied, consisting in the stepwise splitting of the equation and conditions to the corresponding equations and conditions in subspaces of lower dimensions. One-step and two-step splitting are considered, theorems on the solvability of the equation are obtained. The theorems are used to obtain the existence conditions for a solution to the Cauchy problem. In order to illustrate the results obtained, a homogeneous Cauchy problem with given operator coefficients in the space R2 is solved. For this, it is considered the second-order differential equation in the finite-dimensional space Cm

d2 u du

dtu = Hdu + Ku(t).

The characteristic equation M(A) := det(A2I — AH — K) = 0 is studied. For the polynomial M(A), in the cases m = 2, m = 3, the Maclaurin formulas are obtained. General solution of the equation is defined in the case of the unit algebraic multiplicity of the characteristic equation.

Keywords: algebro-differential, second-order equation, Fredholm operator, Banach space, solution, Cauchy problem

Mathematics Subject Classification: 34A09.

For citation: Uskov V.I. Razreshenie algebro-differencial'nogo uravneniya vtorogo poryadka v banahovom prostranstve [Solution of a second-order algebro-differential equation in a Banach space]. Vestnik rossiyskikh universitetov. Matematika - Russian Universities Reports. Mathematics, 2022, vol. 27, no. 140, pp. 375-385. DOI 10.20310/2686-9667-2022-27-140-375-385. (In Russian, Abstr. in Engl.)

Введение

Рассматривается задача Коши:

^ = + + / (*), (0.1)

и(0) = и0, и'(0) = и1, (0.2)

где А, В, С — замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства Е1 в банахово пространство Е2, а<эш А = а<эш В = а<эш С = Е1; оператор А фредголь-мов; заданы элементы и0 Е Е1, и1 Е Е1 и функция /(£) со значениями в Е2; £ Е [0; Т].

Под решением задачи (0.1), (0.2) подразумевается дважды дифференцируемая функция и(£) Е Е1 такая, что — Е Е1, и удовлетворяет (0.1), (0.2) на [0; Т].

Уравнениями второго порядка описывается вращение жесткого тела (уравнение Ламе) [1], считывание информации с диска [2]; они встречаются в теории вязко-упругих процессов [3] и т. д.

Уравнения (0.1) с вырожденным коэффициентом А называется алгебро-дифферен-циальными. Такие уравнения исследовались другими авторами: в работе [4] А, В, С являются матрицами п -го порядка; в [5] А — нормально разрешимый фредгольмов оператора, имеющий относительно некоторой оператор-функции полный биканонический жор-данов набор. Автором настоящей работы в [6] для уравнения

А^ = Ви(£) + / (£),

применялся метод каскадной декомпозиции (далее, МКД) в случае обратимости некоторого оператора, построенного с помощью коэффициентов А, В.

Цель работы: разрешить уравнение (0.1) относительно старшей производной; получить условия существования решения задачи Коши.

Исследуется случай одношагового и двухшагового расщепления уравнения. С применением МКД получены результаты о сведении к равносильной системе, сформулированные в виде теорем. Они применяются к исследованию задачи Коши; определены условия, при которых решение существует.

Чтобы проиллюстрировать полученные результаты, приводится пример нахождения решения задачи Коши с заданными операторными коэффициентами в пространстве К2.

Для этого рассматривается разрешенное дифференциальное уравнение второго порядка

Ж = нл +

с некоторыми линейными операторами Н, К, действующими в пространстве Ст; £ Е [0; Т]. Уравнение исследуется с помощью характеристического уравнения

М(А) := ае^А21 - АН - К) = 0.

Для многочлена М(А) получены формулы Маклорена в случае т =2 и т = 3.

1. Необходимые сведения

Фредгольмов оператор А : Е ^ Е2 вполне определяется свойством [7]:

Е = Кег А ф Со1т А, Е2 = 1т А ф Сокег А,

'1.1)

где Кег А — ядро оператора А, Со1ш А — прямое дополнение к Кег А, 1т А — образ оператора А, Сокег А — прямое дополнение к 1т А, ^тКег А = Сокег А < то. Сужение А оператора А на Со1т А П ёот А имеет ограниченный обратный А-1.

Положим ядро оператора А одномерным. Введем проектор Q на Сокег А, полуобратный оператор А- = А-1(/ — Q), где I — единичный оператор в соответствующем подпространстве. Зафиксируем элементы е £ Кег А, е = 0, ^ € Сокег А и в одномерном подпространстве Кег А введем скалярное произведение (•, •) так, что

= 1.

Имеет место следующее утверждение [8]. Лемма 1.1. Линейное уравнение

Ау = и>, V € Е1 П ёот А, т € Е2,

'1.2)

равносильно системе

V = А-и> + се для любого с € С, = 0.

Будем обозначать через Р(г1; ¿2;...; ¿т) полиномиальный коэффициент, т. е.

(¿1 + ¿2 + ... + гт)!

Р(¿1; ¿2;...; ¿т) =

Известны следующие утверждения.

(¿^(¿2)! ... (¿т

Предложение 1.1. Имеет место следующее равенство:

Р(¿1; ¿2;...; ¿т) = Р(¿1 — 1; ¿2;...; ¿т) + Р(¿1; ¿2 — 1;...; ¿т) + ... + Р(¿1; ¿2;...; ¿т — 1).

Предложение 1.2 (Обобщенная формула Лейбница). Пусть функции /¿(ж), г = 1, 2,...,т, действующие в Е, дифференцируемы п раз. Тогда справедлива формула дифференцирования произведения:

(/1(ж)/2(ж) . . ./т(ж))

(п)

£ Р(¿1; ¿2; ... ; ¿т)/^)/^) . . . /тт)(ж)

т —П

2. Формула производной определитель-функции

Пусть заданы функции /у (ж) : Е ^ Е, ¿,] = 1, 2,... , т. Определим функции

^ (ж) = ае1

^ /11 (ж) /12 (ж) /21 (ж) /22 (ж)

У/т1 (ж) /т2 (ж)

/1т(ж) ^

/2т (ж)

Утт(ж) /

Рг1,%2,...,гт (х) — ¿е!

(/п1)(х) /1(21)(х) /212)(х) /222)(х)

/1т)(х) ^

/зт (х)

\/т2 (х) Ут2 (х) Справедливо следующее предложение.

/'тт (х) ,У

Предложение 2.1. Пусть функции /^ (х), г, — 1, 2,..., т, дифференцируемы п раз. Тогда имеет место следующая формула:

^ (п)(х)

^ р(г1; г2;...; гт)^¿1 ,%2,...,%2п(х).

¿1,12 ,...,¿2^0

2 —П

Предложение доказывается методом математической индукции по п с применением предложения 1.2.

Далее, пусть Н — (кг^), К — (кг^), г,^ — 1,2,...,т, — линейные операторы из Ст ^ Ст, задаваемые квадратными матрицами. Рассмотрим многочлен

М(А) — ¿е^А2/ - АН - К).

Нетрудно видеть, что его можно представить в виде:

М (А) — ^ АгМ(т).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(2.1)

¿—0

Обозначим !г А — след некоторой матрицы А.

Коэффициенты Мг(т) при т — 2 и т — 3 определяются в следующем предложении.

Предложение 2.2 (Формула Маклорена для многочлена М (А)). 1. Пусть т —2. Тогда

М02) — ¿е! К, М12) — ае^ ^ М + ¿е! Г к11 ^

V к21 к22 / \к21 "22

М

(2)

2 — ¿е! Н - !г К, М3

(2)

Н, М4(2) — 1.

2. Пусть т — 3. Тогда

М03) — - ¿е! К,

М

(3)

,к:

31

к12 3 к11 к12 1к 3 к11 к12 1к 3

к22 к23 I - ¿е! I к21 к22 к23 I - ¿е! I к21 к22 к23

к32 к33 к31 к32 к33 к31 к32 к33,

М

(3)

аеК'к22 Ч к11 Ч к11 к12

кз2 кз^ \кз1 кз^ \к21 к22

кц ^12 к

<-13

кц Л.12 к

¿13

к11 к12 к

- ¿е! I Л-21 ^22 ^23 I - ¿е! I к21 к22 к2з I - ¿е! I к21 к22 к

13

к31 к32 к

32

33

кз1 кз2 к

32

33

М

(3)

¿е! ( Н22 к2] + ¿еЦ к11 Ч + ¿е!

к32 к33 к31 к33

+4*1 к22 нк11 ки)к-

. к32 к33/ \к31 к33/ \ к21

23

к31 к32 к33,

к11 к^ к21 к22

к12 к22у

- ¿е! Н,

м<3) = — к + <ы('22 М + л* ('13) + а* (''12

\'32 '33/ \'31 '33/ \'21 '22

м53) = —^ Я, м63) = 1.

Доказательство этого предложения основано на формуле Маклорена, а для вычисления производных применяется предложение 2.1.

Замечание 2.1. Нетрудно видеть, что при любом т выполнено:

1) М0т) = (—1)т К, М2т) = 1;

2) если хотя бы одна координата в наборе (¿1; ¿2;...; ¿т) больше двух, то соответствующее слагаемое в (2.1) равно нулю.

3. Теоремы о разрешении уравнения относительно старшей производной

Применив лемму 1.1, сведем уравнение (0.1) к равносильной системе:

Т27/ ^7/

— = А-В— + А-СМ*) + А-/(*) + к(*)е, (3.1)

Т71

^В—, р) + ^СЗД, р) + (Q/(*), р) = 0, (3.2)

где — некоторая непрерывная функция, которую надлежит вычислить. Пусть /(*) дифференцируема. Продифференцируем (3.2) и подставим выражение (3.1):

(^ВА-В+QC)+ ^ВА^^Ж^А-/), ^Н^^Ве, = 0. (3.3) Разберем два случая разрешимости уравнения (3.1).

Случай 1

Пусть

^Ве,^) =0. (3.4) Выразив из (3.3) и подставив в (3.1), получим уравнение

£ = К^1) ^ + КГ«,) + , С)(, (3.5)

обозначениях:

К-.)(.) = А-В (•) — е,

К01)( • )=А-С ( • )—е.

(1) (^ВА-/(*) + 05 Тт* ),^) В (1)(*) = А-/(*)---е.

Тем самым, доказана следующая теорема.

Теорема 3.1. Пусть выполнено (3.4), и функция /(*) дифференцируема. Тогда уравнение (0.1) равносильно системе (3.5), (3.2).

в

Случай 2

Пусть теперь

^Ве, р) = 0, (^ВА-В + QC)e,р) = 0. (3.6)

Вернемся к равенству (3.3). Поскольку ^Ве,^) = 0, имеем:

(^ВА-В + QC)Ти, р) + ^ВА-^), р) + ((QBA-/(*) + Q/), р) = 0. (3.7)

Теперь предположим, что функция /(*) дважды дифференцируема. Продифференцировав (3.7) и подставив (3.1), получим уравнение относительно функции к(*). В силу условия (^ВА^е + QCe),р) = 0 выражение и подстановка в (3.1) приводит к уравнению:

$ = К<2) * + + В (2)(0, (3.8)

в обозначениях:

к (2) ()= А-В ()- ((QB (А-В)2 + QBA-C + РСА-В )(•), р) К1 (0 = АВ ((QBA-B + QC)e,р) ,

к(2)() = А-С() _ (^ВА^А^ + РСА-С)0,р) Ко (0 = АС() ((QBA-B + QC)е,р) ,

(2) ((QBA-BA-/(*) + QCA-/(*) + QBA-/ + Qddtf), Р)

В 2 (*) = А-/(*) (____ .

Тем самым, доказана следующая теорема.

Теорема 3.2. Пусть выполнено (3.6), и функция /(*) дважды дифференцируема. Тогда уравнение (0.1) равносильно системе (3.8), (3.2), (3.7).

4. Теоремы существования задачи Коши (0.1), (0.2)

Применив теоремы 3.1, 3.2, получим следующие утверждения.

Теорема 4.1. Пусть выполнено (3.4), и функция /(*) дифференцируема. Тогда решение задачи (0.1), (0.2) существует при выполнении условия

(^Ви1 + QCu0 + Q/(0)),р) = 0. (4.1)

Теорема 4.2. Пусть выполнено (3.6), и функция /(*) дважды дифференцируема. Тогда решение задачи (0.1), (0.2) существует при выполнении условий

(^Ви1 + QCu0 + Q/(0)),р) = 0,

(^ВА^и1 + QBA-Cu0 + QCu0 + QBA-/(0) + Q/'(0)), р) =0.

5. Решение дифференциального уравнения второго порядка, разрешенного

относительно старшей производной

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка

§ = я^ + *«('). ^

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где Я, К — линейные операторы, действующие в пространстве Ст; £ € [0; Т].

Под решением уравнения (5.1) подразумевается дважды дифференцируемая функция ди

и(£) € Ст такая, что — € Ст, и удовлетворяет (5.1) на [0; Т]. Предложение 5.1. Пусть Л € С — корень уравнения

ав^А2/ - ЛЯ - К) = 0, (5.2)

а Л — ненулевой вектор, являющийся решением уравнения

(Л2/ - ЛЯ - К)Л = 0. (5.3)

Тогда функция

и(£) = еЛ4Л (5.4)

является частным решением уравнения (5.1).

Предложение доказывается подстановкой (5.4) в (5.1). Назовем (5.2) характеристическим уравнением для (5.1). Из этого предложения вытекает следующее утверждение.

Следствие 5.1. Пусть А1, Л2, ..., Л2т — действительные корни уравнения (5.2) единичной алгебраической кратности, а Л4, Л-2, ..., Л,2т соответствующие им решения уравнения (5.3). Тогда общее решение уравнения (5.1) равно

ЛЛг

и(£) = X]Сг еЛ^>

г=1

где сг — произвольные скаляры.

6. Пример

Рассмотрим задачу Коши:

д2и1 д2и2 ди1 ди2 . . . /-. . .

Ж + 2 Ж = ди1 + Д2 + <М*> + <95 + О.^Ы*),

д2и1 , д2и2 ди1 ди2 . /-. . .

2 Ж + 4 "Ж = ^ + "дТ + (95 - 0^)и1(£)>

(6.1)

(6.2)

и1(0) = а1, и2(0) = а2, м1(0) = 61, и'2(0) = 62 ■ Система (6.1) является уравнением вида (0.1) с операторами А, В, С, действующими в Е1 = Е2 = К2, где

А = (12) ■ (6.3)

(1 Л С = / 8 9.5 + 0.5у/385\

= 1) , =^9.5 — 0.5/385 0

функцией /(*) = 0, начальными элементами и0,«1 £ Е2 :

и0=(:;), =(6.4)

Предложение 6.1. Оператор А, определяемый формулой (6.3), фредгольмов. Доказательство. Действительно, возьмем элементы V = ( 1 ) £ Е2, и> =

-2

^М £ Е2. Имеют место разложения (1.1) пространства Е2, где ^2/

КегА = {(—,У2 = 0} , Со.тА = {(*

'тА = {(^ • Соке,А = {(^

Элемент Кег А равен

2

е1

Элемент Сокег А, равен

0

Р = ( 1 ) . (6.5)

Нетрудно видеть, что Л1тКег А = Л1т Сокег А = 1. Проектор на Сокег А равен

0 0)

« -.—2 1

Далее, взяв элементы V £ Со1т А и и> £ 1т А и решив уравнение Ау = и>, убеждаемся, что между Со1т А и 1т А имеется взаимно однозначное соответствие. Полуобратный оператор равен ( )

а- - с:

Тем самым, предложение доказано. □

Далее, элемент (6.5) удовлетворяет условию (1.2)

< QBe, р >=1 = 0,

следовательно, по теореме 4.1 решение задачи (6.1), (6.2) существует при выполнении равенства:

(13 + л/385) а1 + (38 + 2/385)а2 + 2Ь1 + 2Ь2 = 0. (6.6)

Вычисления показывают, что

в = , —14 — /385 —39 — 2/385) ^ = (—8 —9.5 — 0.5//385)

7.5 + 0.5/385 20 + /385 / ' 0 I 8 9.5 + 0.5/385 /

Возьмем в (6.2) значения

а1 = а2 = 61 = 1, 62 = -26.5 - 1.5^385, (6.7)

удовлетворяющие условию (6.6).

Применив теорему 3.1, следствие 5.1 и предложение 2.2, получим решение задачи (6.1), (6.2), (6.7):

ич

i=1

4

t(t) = X сг eXithi,

где

_ _ 101 + 5^385 _ -275 - 11^385 _ 77 + 3^385

C1 = 0, C2 = 1s , C3 = 40 , C4 = 32 ,

Ai = 0, A2 = 1, A3 = 2, A4 = 3,

/19 + V385\ _/ 97 + 5^385 \ _/ 175 + 9^385 \ _/ 253 + 13^385 Л hl = ^ -16 ) , h2 = V-46 - 2^385/ , h3 = y—80 - 4^385J , h4 = ^-118 - 6^385,

References

[1] Н.Д. Копачевский, С. Г. Крейн, Нго Зуй Кан, Операторные методы в линейной гидродинамике, Наука, М., 1989. [N. D. Kopachevsky, S.G. Krein, Ngo Zuy Kan, Operator Methods in Linear Hydrodynamics, Nauka Publ., Moscow, 1989 (In Russian)].

[2] R. C. Dorf, R. H. Bishop, Modern Control Systems, Pearson Education International, England, 2008.

[3] M.M. Cavalcanti, V.N. Domingos Cavalcanti, J. Ferreira, "Existence and uniform decay for a non-linear viscoelastic equation with strong damping", Mathematical Methods in the Applied Sciences, 24 (2001), 1043-1053.

[4] М.Н. Ботороева, O.C. Будникова, Л. C. Соловарова, "О выборе краевых условий для дифференциально-алгебраических уравнений второго порядка", Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика, 2019, №3, 32-41. [M.N. Botoroeva, O.S. Budnikova, L. S. Solovarova, "On the choice of boundary conditions for second-order differential-algebraic equations", BSU Bulletin. Mathematics, Informatics, 2019, № 3, 32-41].

[5] С. С. Орлов, "Непрерывные решения вырожденного интегро-дифференциального уравнения второго порядка в банаховых пространствах", Известия Иркутского государственного университета. Серия «Математика», 2:1 (2009), 328-332. [S. S. Orlov, "Continuous solutions of a second-order degenerate integro-differential equation in Banach spaces", The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2:1 (2009), 328-332].

[6] В.И. Усков, "Разрешение алгебро-дифференциального уравнения второго порядка относительно производной", Вестник российских университетов. Математика, 26:136 (2021), 414-420. [V. I. Uskov, "Solving a second-order algebro-differential equation with respect to the derivative", Russian Universities Reports. Mathematics, 26:136 (2021), 414-420].

[7] С. М. Никольский, "Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах", Известия Академии Наук СССР. Серия математическая, 7:3 (1943), 147-166. [S. Nikolsky, "Linear equations in normed linear spaces", Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 7:3 (1943), 147166].

[8] С. П. Зубова, В.И. Усков, "Асимптотическое решение задачи Коши для уравнения первого порядка с малым параметром в банаховом пространстве. Регулярный случай", Математические заметки, 103:3 (2018), 393-404; англ. пер.^.Р. Zubova, V.I. Uskov, "Asymptotic Solution of the Cauchy Problem for a First-Order Equation with a Small Parameter in a Banach Space. The Regular Case", Mathematical Notes, 103:3 (2018), 395-404.

Информация об авторе

Усков Владимир Игоревич, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры математики. Воронежский государственный лесотехнический университет им. Г. Ф. Морозова, г. Воронеж, Российская Федерация. E-mail: vum1@yandex.ru ORCID: https://orcid.org/0000-0002-3542-9662

Поступила в редакцию 07.07.2022 г. Поступила после рецензирования 28.10.2022 г. Принята к публикации 24.11.2022 г.

Information about the author

Vladimir I. Uskov, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Lecturer of the Mathematics Department. Voronezh State University of Forestry and Technologies named after G. F. Morozov, Voronezh, Russian Federation. E-mail: vum1@yandex.ru

ORCID: https://orcid.org/0000-0002-3542-9662

Received 07.07.2022 Reviewed 28.10.2022 Accepted for press 24.11.2022

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.