CC BY
21
ТЕХНОЛОГИЯ ЗАГОТОВКИ И МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ
ДРЕВЕСИНЫ
УДК 630.377.4
Хвойные бореальной зоны. 2020. Т. XXXVIII, № 3-4. С. 160-165 РАЗРАБОТКА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ МАНИПУЛЯТОРА Е. В. Авдеева, В. Ф. Полетайкин
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газеты «Красноярский рабочий», 31
В различных отраслях промышленности, (лесное машиностроение, транспорт) широкое применение находят комбинированные манипуляторы, в конструкцию которых входят телескопические стрелы и опорно-поворотные устройства с подвижными в продольно-вертикальной плоскости колоннами, обеспечивающими увеличение вылета рабочих органов и обслуживаемого пространства. Статья посвящена вопросу разработки математической модели движения кинематических звеньев комбинированного манипулятора с подвижной в продольно-вертикальной плоскости колонной. Рассмотрен режим подъема груза при синхронном движении стрелы и колонны из положения набора груза в транспортное положение.
Ключевые слова: комбинированные манипуляторы, расчетные схемы, динамические системы, математические модели.
Conifers of the boreal area. 2020, Vol. XXXVIII, No. 3-4, P. 160-165 DEVELOPMENT OF THE EQUATIONS OF THE MOVEMENT OF THE MANIPULATOR
E. V. Avdeeva, V. F. Poletaykin
Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarsk^ rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation
In various industries, (forest mechanical engineering, transport) broad application is found by the combined manipulators which design telescopic arrows and basic and rotary devices with the mobile columns in the longitudinally vertical plane providing increase in a departure of working bodies and the served space enter. Article is devoted to a question of development of mathematical model of the movement of kinematic links of the combined manipulator with a mobile column in the longitudinally vertical plane. The mode of lifting of loads at the synchronous movement of an arrow and column from the provision of set offreight in transport situation is considered.
Keywords: the combined manipulators, settlement schemes, dynamic systems, mathematical models.
ВВЕДЕНИЕ
При создании подъемно-транспортных, погрузочных и других машин широко применяется технологическое оборудование в виде комбинированных гид-рофицированных манипуляторов. Работы по созданию и совершенствованию таких машин целесообразно проводить на основе изучения динамики элементов конструкции. При этом методы математического моделирования являются наиболее эффективными. Исходя из этого, исследования на математических моделях динамики режима движения звеньев комбинированного манипулятора, направленные на обоснование параметров кинематики и конструкции технологического оборудования, следует считать актуальными.
ОБОСНОВАНИЕ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ
Расчетная схема системы «технологическое оборудование - груз» представлена на рис. 1. Рассматри-
ваемый режим может иметь место при работе манипулятора в качестве технологического оборудования лесных, дорожно-строительных, грузоподъемных и других машин.
После захвата рабочим органом груз подтягивается к машине телескопической стрелой втягиванием секций, затем включением гидроцилиндров поворота колонны (МПК) и подъема стрелы (МПС) груз устанавливается в транспортное положение. При этом стрела совершает поворот относительно оси К, а колонна относительно оси О. Угол поворота стрелы - ф (относительное движение), угол поворота колонны -а (переносное движение). Отсчет начала угла ф - от крайнего нижнего положения стрелы; отсчет угла а -от крайнего правого положения колонны.
На рис. 1 приняты следующие обозначения: С2, С3 - силы тяжести наружной, средней и внутренней секций стрелы; С/,,,. Оц2, О0 - силы тяжести гидроци-
Хвойные бореальной зоны. XXXVIII, № 3-4,2020
линдров выдвижения секций и механизма выдвижения секций стрелы; G3, Gn>, GP - силы тяжести захвата, груза, ротатора; G^, G, ,1 - силы тяжести гидроцилиндров поворота колонны и подъема стрелы; Gnp с -суммарная сила тяжести элементов конструкции стрелы и груза, приведенная к точке С; Р, Рс - усилия на штоках гидроцилиндров поворота колонны и подъема стрелы; L - размер стрелы при втянутых секциях; С i. Со, f з. С 4, (s - расстояния от оси вращения стрелы К до центров тяжести элементов конструкции; (6, í 7, С8, (9, Сю, Сц - размеры элементов конструкции манипулятора.
МАТЕРИЛЫ И МЕТОДЫ
ИССЛЕДОВАНИЙ
Стрела совершает вращение в плоскости /КХ. колонна - в плоскости /, ()\]. Углы поворота а и ф однозначно определяют положения данных элементов системы в плоскостях вращения. При известных размерах стрелы L и колонны Ьк положение любой точки может быть определено через указанные параметры. Исходя из этого, систему можно рассматривать как систему с двумя степенями свободы (К = 2) с обобщенными координатами а и ср.
Рис. 1. Расчетная схема системы «технологическое оборудование - груз»:
1 - опорно-поворотное устройство; 2, 3, 4- наружная, средняя, внутренняя секции телескопической стрелы; 5 - гидроцилиндр подъема стрелы; 6,7- гидроцилиндры механизма выдвижения секций; 8 - механизм поворота манипулятора в горизонтальной плоскости; 9 - гидроцилиндр поворота колонны; 10 - колонна; 0,Л = С; 00г= 18"= С1!
Для составления уравнений движения данной механической системы воспользуемся уравнениями Лагранжа 2-го рода. В соответствии с числом степеней свободы системы записываем два уравнения Лагранжа
-{-)-{-) = оа.
Л\да ) \да )
-{-] ~(-) = о (1)
где Оч. О - обобщенные силы, соответствующие
обобщенным координатам, соответственно, а и ср.
Кинетическая энергия рассматриваемой системы равна сумме кинетических энергий колонны и стрелы, т. е. сумме кинетических энергий в относительном и переносном движении
Т=Т\ + Т2. (2)
где Т\ - кинетическая энергия приведенной массы колонны вместе с приведенными массами элементов конструкции, смонтированных на ней (гидроцилиндров поворота колонны и подъема стрелы и других частей гидропривода); Т2 - кинетическая энергия приведенной массы стрелы и груза.
В процессе поворота телескопической стрелы ее секции не выдвигаются, размер стрелы Ь не изменяется, следовательно, положения центров масс элементов конструкции стрелы относительно оси К (радиусы инерции масс) остаются постоянными. В этом случае с целью упрощения определения кинетической энергии системы массы элементов конструкции телескопической стрелы приводим к точке С - к точке подвеса ротатора к стреле. Массу элементов конструкции колонны приводим к оси крепления стрелы К. При определении приведенной массы элементов конструкции стрелы /ипр.с исходим из условия равенства кинетической энергии приведенной массы сумме кинетических энергий масс, которые она заменяет. Следовательно,
^пр.сф l 2 g
2g
(GXL\ +G2£ 2 +G3l 2 +Ощ£22 +Л +gq^4 +gp + g3 +gj-p
.(3)
Отсюда приведенная к точке С масса стрелы
g
пр.с
ПР. с
g L2 g L2 g L2
, Gm % , °Ц2 ¿1 , Go , Gp+^+GrP (4)
g L2 g L2 g L2
Или
it
2g 2g 0,5Gq3d2(0,5^)2 0,5Gq4d2(0,5^8)2
2g
2g
GK (0,51k)2 0,5G43 (0,5l)2
4
4
g4
s 4
ei
Или
+ 0,125шЦ4
4
(7)
H
пр.к
= 0,25дак +0,125дацз • —+ 0,125даЦ4 -^f. (8)
Ц4
В соответствии с (2) кинетическая энергия систе-
мы
т = тл+т,=-° а
+ |Крс^с (9)
I2 (2
+тЦ2 +т3 +тГР> (5)
где Ш] - масса наружной секции стрелы; т2 - масса средней секции стрелы; т3 - масса внутренней секции стрелы; т-щ, тщ - массы гидроцилиндров механизма вьщвижения секций; т0 - масса механизма выдвижения секций; тР, т3, тур - массы ротатора, захвата, груза.
Приведенная к точке К масса колонны и элементов конструкции, закрепленных на ней может быть определена из следующего выражения:
■2 Г Т \2
2 2'
где /0 - момент инерции колонны относительно оси О; /с - центральный момент инерции стрелы в сборе; I '|С - скорость абсолютного движения точки С -точки приведения массы стрелы.
Применим теорему о сложении скоростей, в соответствии с которой абсолютная скорость точки С равна геометрической сумме ее переносной и относительной скоростей
К2с=К2С+КС+2КС-^С08Г,
где Уес, I- скорости переносного и относительного движения точки С; у - угол между направлениями векторов переносного и относительного движения точки С.
На рис. 2 показана схема для определения скорости абсолютного движения точки С - Уъс - точки приведения массы стрелы и груза.
Уес=ОС-а; Кс=1-ф.
Из треугольника ОКС
ОС2 =1?к +1? -2Ьк-Ьсоъ(фн +ф).
Из этого же треугольника
ь2к =1? +ОС2 -И-ОС-секС.
Из рис. 2 следует, что углы у и С равны, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно,
cosC= cosy =
1} +ОС2 -L2k
При составлении выражения (6) исходим из допущения о том, что силы тяжести гидроцилиндров Оц3 и Оц4 равномерно распределены между стрелой и колонной, а так же между колонной и основанием опорно-поворотного устройства; точки их приложения находятся, соответственно, 0,5£ и 0.5 (х от оси крепления стрелы к колонне - точка К.
Из выражения (6) приведенная к точке К масса колонны и элементов конструкции равна
2 L-OC
Скорость абсолютного движения
V2 = а? ■ОС2 +ф2 -L2 +2d-q>-L-OC-cosy. Выразим cosy = cos С через cos(cpH +ср).
cosy =
L2 +ОС2 -L2k
2 L-OC
i} +L2k +L2 -2LK -L-cos(cpH +Ф)-L]
L -LK-L
L-OC
2 L-OC
cos(9H +ф).
Хвойные бореальной зоны. XXXVIII, № 3-4,2020
После подстановки получим
V2 =ог •ос2 +ф2 -ь2 +
+ 2а -ср-Ь-ОС
ь- -Ьк-Ь Ь-ОС
сое
(Фн+Ф). (10)
С учетом (10) выражение кинетической энергии принимает вид
г=отпр.к -4--а2 ! отпр.с -ОС2-а2 /»пр.с'^'ф2 |
2 2
+ отПР с • • ОС • а • ф •
Ь2-Ьк-Ь Ь-ОС
2
сое
(11)
РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Дифференцируя выражение кинетической энергии (11) по составляющим уравнений Лагранжа (1), получаем систему уравнений движения динамической системы манипулятора в следующем виде
тш К-Ь2К • а + отПр с • ОС2 ■ а +
+ отПРС -ОС-Ь- ф
ь- -Ьк-Ь Ь-ОС
сое
(Фн+Ф)"
-тт с -ОС-Ь-^
ь- -ьк-ь
Ь-ОС
■яп(фн +ф)=(?а
Опр.с1" +1с )ф + '"пр.с
ОС-а-Ь-
Ь~ -Ьк-Ь Ь-ОС
•сое
(фн +ф) = (?ф- (12)
Определение обобщенных сил и Оа, соответствующих обобщенным координатам системы ф и а.
Для определения обобщенных сил О,, и Оа воспользуемся принципом возможных перемещений системы в направлении возрастания обобщенных координат ф и а - Дф и Да. При этом при вычислении обобщенной силы О,, принимаем Да = 0, а при вычислении Оа Дф = 0.
Рис. 2. Схема для определения скорости абсолютного движения точки С при синхронном движении стрелы и колонны: ф„ - начальный угол менаду осями стрелы и колонны; ф - угол поворота стрелы (относительное движение); а - угол поворота колонны (переносное движение); а, ф - угловые скорости колонны и стрелы, соответственно
Рис. 3. Схема для определения ускорения Кориолиса и кориолисовой силы инерции: сос- кориолисово ускорение; /> - корполпсова сила инерции; 11с, Кс ~ линейные скорости переносного и относительного движения точки С
В качестве активных сил принимаются силы тяжести элементов конструкции и груза С/,, усилия на штоках гидроцилиндров Рс и Р. Обобщенная сила принимается в виде коэффициента в выражении суммы элементарных работ активных сил в направлении возможного перемещения:
&4ф =Оф-ДФ;&4а =Оа-Да. (13)
Определим сумму элементарных работ активных сил в направлении обобщенной координаты ф. При этом Дф^ 0, Да = 0.
При определении обобщенной силы О,, используем выражения (4), (5) приведенной к точке С массы стрелы »/пр с при горизонтальном положении стрелы.
Тогда
=Р(5тр-тшс8Ь. (14)
Определим сумму элементарных работ активных сил и сил тяжести элементов конструкции в направлении обобщенной координаты а. При этом Дф = 0;
Да Ф 0. В направлении обобщенной координаты а совершают работу активная сила Рс и силы тяжести элементов конструкции стрелы и колонны. С целью упрощения выражения обобщенной силы Оа приведем силы тяжести элементов конструкции стрелы, груза и колонны к точке К. При этом рассматриваем горизонтальное положение стрелы. Приведение сил к выбранным точкам выполняем исходя из условия равенства моментов приведенной силы сумме моментов приводимых сил относительно любой точки на плоскости (теорема Вариньона).
При определении приведенной к точке К силы тяжести стрелы используем выражения приведенной массы стрелы к точке С при горизонтальном положении стрелы (4), (5) отПр с-
Составим уравнение моментов приведенной силы тяжести стрелы к точке С Gnp с и приведенной силы
тяжести стрелы к точке К - (r'lu, к относительно оси О.
тш cg(L + LK ■ cosaj) = к • LK • cosaj.
Хвойные бореальной зоны. XXXVIII, № 3-4,2020
Отсюда
а
_ тпр.сg(L + LK -cosai) ПР.К ~~ J
LK -cosaj /wnpcgL + /wnpcgLg - cosa! = LK -cosaj
- 2тшс ■á-q>-L-LK -cosyj.
zgL
+ mn
(15)
Gn
= дап
(16)
Тогда
m
jjp * L^s' ос ^^jjp q * ' ос
+ mnp c • ОС ■ L ■ ф
- mupC • OC-L • ф2
L -LK -L L-OC
U -LK -L
•cos(9H +ф)-
sin(9H +cp) =
L-OC
= PC -sina2 -£9 -(GnPK +GnPK)L^ -eos04 ■
(тш CL +IC)ф + mup c • ОС -Ö.-L
L -Lr-L
Lк •С05а1
Определим приведенную к точке К силу тяжести элементов конструкции колонны и гидроцилиндров привода исполнительных механизмов Ос, Оц4, С/, При этом воспользуемся выражениями (7), (8) определения приведенной массы указанных элементов конструкции к точке К:
Е5Аа =[рс -sina2 -£9 "(Gnp.K +спрк)^: -cosa^-ot.
6a = рс -sina2 -е9 -(GgpK +G^pk)lk • cosaj.
Так как переносное движение системы является вращательным и при одновременном вращении колонны и стрелы расстояние ОС (рис. 3) постоянно возрастает, возникает поворотное (кориолисово) ускорение со с и кориолисова сила инерции Fc.
Кориолисово ускорение определяется по формуле
сос =2á-Vrc = 2á - ф • L.
С учетом момента от кориолисовой силы инерции обобщенная сила Qa принимает вид
6a = рс -sina2-е9 -(g£pk +G^pk)lk -cosaj -
- 2дапрс -á -q>-L-LK -cosyj. (17)
С учетом выражений (14) и (17) уравнения движения рассматриваемой динамической системы принимают следующий вид:
L-OC
соз(фн +ф) = Wsinß-ffjjjpQgZ. (18)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате выполненной работы получена система неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка, являющихся основой математических моделей комбинированного манипулятора при работе в режиме подъёма груза при синхронном движении стрелы и колонны. Полученная система уравнений позволяет в процессе моделирования исследовать влияние на уровень нагрузок на технологическое оборудование параметров кинематической схемы (ф, ä, L, LK, ф, ф, а, а, ОС, /9, a2, ß, /, У]), а также величины массы груза и технологического оборудования {ттс, ии). Кроме этого, изменяя частоту вращения валов насосов гидросистемы, изменяем скорость движения штоков гидроцилиндров и, следовательно, величину абсолютной скорости точек приведения массы стрелы и груза (точки С), угловой скорости и углового ускорения стрелы и колонны. Уравнения позволяют также оценить влияние этих факторов на величину нагрузок на элементы конструкции технологического оборудования S.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ
1. Канунник И. А., Килина М. И. Основы механики роботов. Динамика промышленных роботов. Разд. II ; Сиб. технологич. ин-т. Красноярск, 1992. 64 с.
2. Яблонский А. А. Курс теоретической механики. Ч. II. Динамика. М. : Высш. шк., 1966. 411 с.
REFERENCES
1. Kanunnik I. A., Kilina М. I. Fundamentals of mechanics of robots. Dynamics of industrial robots. Section II ; Sib. technologich. in-t. Krasnoyarsk, 1992. 64 p.
2. Yablonsky A. A. Kurs of theoretical mechanics. Part II. Dynamics. M. : The higher school, 1966. 411 p.
) Авдеева E. В., Полетайкин В. Ф., 2020
Поступила в редакцию 17.03.2020 Принята к печати 05.10.2020
