CC BY
65
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. И. Э. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408
электронный научно-технический журнал
Разработка общих принципов оптимального управления
движением гусеничных машин
# 12, декабрь 2013
DOI: 10.7463/1213.0671078
Вязников М. В.
УДК 624
ООО «МИКОНТ», г. Чебоксары, РФ mv.vaznikov@tpl ants .com
Общие тенденции развития современных гусеничных машин на сегодня таковы, что для дальнейшего роста их эксплуатационных показателей требуется автоматизация рабочих процессов управления движением. Это в полной мере относится и к скоростным качествам, которые потенциально могут значительно возрасти за счет увеличения удельной мощности силовых установок. Однако такая возможность во многом ограничивается управляемостью машины. При существующих системах линейно-пропорционального и релейного управления исполнительными элементами без обратной связи по параметрам движения уже невозможно дальнейшее повышение тягово-динамических показателей.
Общие подходы к решению проблем управляемости быстроходных гусеничных машин рассматривались Е.Е. Александровым, А.А. Благонравовым, С.Е. Бурцевым, В.В. Гуськовым, В.Б. Держанским, Н.А. Забавниковым, А.М. Кауфманом, В.И. Красненьковым, Ф.А. Опейко и другими видными учеными в области транспортного машиностроения.
Достижения в области микроэлектроники, информационных технологий, теории обработки информации и управления привели к
возможности создания современных информационно-управляющих систем. Получая по различным каналам информацию об окружающей среде и собственном состоянии, такая система проводит экспертную оценку текущего управляющего воздействия со стороны водителя и синтезирует целевую функцию. В соответствии с ней синтезируется тот или иной алгоритм управления, который реализуется с помощью различных исполнительных органов и воздействует непосредственно на объект управления. Результаты этого воздействия сравниваются с прогнозируемыми на основе механизма обратной связи. При несоответствии результатов на базе повторной экспертной оценки принимается решение, вырабатывается и реализуется управление, устраняющее это несоответствие. Если соответствие недостижимо, то уточняется целевая функция. Данная структура инвариантна к объекту управления и носит универсальный характер.
Структура алгоритма системы управления движением гусеничной машины показана на рис. 1.
Рис. 1 . Структура алгоритма системы управления движением гусеничной машины
Для построения алгоритма управления составлена упрощенная математическая модель движения гусеничной машины, из которой исключены координаты и неголономные связи гусениц с грунтом.
X
X = —
2 . 2 т .Д/ х + у
• (к, + к2)+С08^ С08^
х
у=
V =
2 . 2 тЛ/ х + у
•(я, + Я2) +
• Р + Р . тт
51П V Р + 51П V Р . ■ Р1 + ' Р2.
т
т
М (0,5 • В + У1). р + (0,5 • В + У2). р
Т
т
т
2
1
Ф1 = 7 • (Р — к,) • гвк ;•
Ф2 = "Г1 • (Р2 — К2) • Гвк Т0
Введем следующие обозначения
X = Х1.
У = Х2.
¥ = Х3.
Ф1 = Х4.
(1)
[Ф2 = Х5 ,
и представим математическую модель объекта (1) в виде уравнений состояния следующего вида
Х1 = Хб;
Х2 = х7;
хз = х8;
Х4 = х9;
Х5 = Х10;
' х6 ^х3 cosx3
Х6 =--, 2 2 • + *2) +-3 • Р1 +—3 • Р2;
2 + Х2 "" ""
т • д/х2 + Х2 т т
Х7 ^х3 cosx3
Х7 =--'-- • (К1 + Я2) +-3• Р +-3 • р2;
т •д/ х2 + х2 т т
• М 1 (В ^ 1 (в ^
Х8 ="Т - Ц" ^ 1 + У + 1Г'( I + у2 )' Р2;
г
Х9 = (Р1 - Я,);
• г
Х10 = (Р2 - Я2).
(2)
Конфигурация рассматриваемой динамической системы определяется пятью обобщенными координатами. Положение машины на плоскости непосредственно описывается линейными координатами х, у, и угловой координатой у. Податливость гусенчиных лент не учитывается. Положение ведущих колес угловыми координатами ф1 и ф2, которые определяются на радиусе, величина которого равна радиусу ведущего колеса.
т - масса машины сосредоточенная в центре масс.
Р1,2 - силы тяги направленные вдоль продольных осей гусениц.
2 - силы сопротивления, направленные вдоль продольных осей
гусениц.
М - моент сопротивления повороту. 1ъ - момент инерции гусеничной машины относительно вертикальной оси ъ проходящей через центр масс.
В - ширина колеи.
гвк - радиус ведущего колеса.
Решение задачи синтеза цели требует получения информации об окружающей среде, диагностики текущего состояния как объекта управления, так и самой системы управления. Динамическая экспертная система выполняет расчет, оптимизацию, прогнозирование, что требует высокого быстродействия. В основе функционирования таких систем должны лежать алгоритмы паралельной обработки информации. Источником возмущающего воздействия для интеллектуальной системы является окружающая среда, а функционирование системы должно обеспечивать в конечном итоге компенсацию этого воздействия.
Внешнее управляющее воздействие задается водителем с помощью органа управления поворотом, положение которого определяет текущую цель а = f (t), которая распознается и формализуется модулем распознавания и оценки в виде целевой функции Y. На основе Y синтезируется закон управления исполнительными элементами объекта.
Система классифицирует действия водителя по определенным признакам. В зависимости от линейной скорости движения машины V и управляющего сигнала со стороны водителя а = f(t) интеллектуальная система выбирает следующий управляемый параметр:
- в нейтральном положении органа управления поворотом (ОУП) при а =0 и линейной скорости машины | V | ^0 управление осуществляется из условия постоянства курсового угла у = const;
- при отклонении ОУП от нейтрального а ^0 и линейной скорости машины | V | ^0 регулируемым параметром является радиус поворота R;
- при отклонении ОУП от нейтрального а ^0 и линейной скорости
машины | V | =0 регулируемым параметром является угловая скорость —.
dt
Линейная скорость движения гусеничной машины задается органами управления двигателем и трансмиссией (механизмом передач и поворота).
Рассматривается задача оптимального управления динамическим объектом, находящимся под действием случайных возмущений. Параметры состояния объекта определяются с помощью измерительной системы, которая также подвержена действию случайных возмущений, приводящих к ошибкам измерения. Выходом измерительной системы являются результаты измерения у, связанные с состоянием объекта соотношением вида у = §(х, п), где п - случайные шумы, ведущие к ошибкам измерений. Для выработки управляющего воздействия u используется как априорная, так и текущая информация у , которую выдает измерительная система. Априорной информацией является математическая модель объекта и измерительной системы.
Для синтеза оптимального управления гусеничной машиной можно использовать принцип максимума П.С. Понтрягина [1], который позволяет решать задачи в том числе для релейных систем управления. Принцип заключается в следующем. Математическая модель объекта оптимизации задана в виде уравнений состояния
х = Лхг>и]■) (г = 1,...>п;] = 1,...>г)> (3)
где сигналы управления имеют ограничения вида < UJ.
При оптимизации объекта требуется найти вектор управляющего воздействия u(t) с учетом указанных ограничений из условия минимума функционалов, выражающих заданные критерии
I. = |^ (х^) (s = 1.....р). (4)
В соответствии с критериями оптимизации вводятся дополнительные переменные х0., определяемые уравнениями
Хо. = Го. (х,и), (5)
и задача рассматривается в пространстве (п+р) координат.
Принцип П.С. Понтрягина является обобщенным вариационным методом и основан на понятии игольчатой вариации [2], которая представляет собой приращение варьируемой функции оптимального управления и(г) на бесконечно малом отрезке времени в виде импульса ограниченной величины. Приращение функционала при игольчатой вариации обращается в нуль (выполняется условие экстремума функционала (4)), когда игольчатая вариация производится относительно оптимального управления и(г).
Для определения оптимального управления необходимо составить функцию Гамильтона в форме, принятой для неклассических вариационных задач [1]
Н = р1 (-)•Г (х,и), (6)
1=о
где в 1 - вспомогательные переменные.
Используя выражение (6) и уравнения состояния объекта управления (3) с учетом (5), можно составить канонические уравнения Гамильтона для неклассических вариационных задач
ёХ1 = дН („)
"ёГ ( )
^ = — (8)
ёг дХ1
Уравнения (7) и (8) при г координатах управления дополняются следующими уравнениями
^ = 0, г1,.„,т (9)
По теореме П.С.Понтрягина [2], управления и (1) являются оптимальными при выполнении следующих условий: при г0 < г < ^
функция Гамильтона достигает максимума по переменным Р12 (силам тяги на ведущих колесах) которые в данной моделе являются управляющими координатами; в конечный момент времени г = г1 выполняется соотношение р0. (г) < 1.
При решении задачи оптимального управления гусеничной машиной возможны следующие показатели качества: быстродействие; точность движения с заданными параметрами траектории.
Обратимся к задаче синтеза оптимального по быстродействию управления. Система является оптимальной по быстродействию, если обеспечивается минимальное время переходного процесса с учетом ограничений, наложенных на координаты управления и выхода. Для уменьшения времени протекания переходного процесса следует принимать принцип форсирования динамических процессов на отдельных интервалах времени посредством увеличения сигнала управления в пределах заданного диапазона < и. При этом управление и(г) и координаты
системы х имеют разрывы первого рода.
При оптимизации объекта управления из условия минимума времени переходного процесса (максимальное быстродействие) принимается ^ (х,и) = 1, ро = -1. Функционал (4) будет иметь вид [1]
11
I = |1. ёг = ^ - г0 = Аг.
Поэтому функция Гамильтона будет определяться выражением
Н = -1 + £ Р1 (г)-Г (х,и). (10)
1=1
Оптимальное управление с учетом ограничения координат |и(г)| < итаХ определяется из условия максимума функции (10) и для
линейных объектов может быть записано в виде
и(г ) = ит3Х.1вп(Ни), (11)
тт dH
гДе Hu = —.
du
Полученный закон управления (11) является релейным. Сигнал управления меняет знак, если функция Hu, проходя нулевое значение,
меняет знак. Аналитическое выражение функции переключения Hu и релейный закон управления (11) определяют структуру оптимального по быстродействию алгоритма.
Далее рассмотрим задачу оптимального управления гусеничной машиной для обеспечения движения с заданными параметрами траектории, в частности с постоянным радиусом поворота R = const. Задача решается в неподвижной системе координат.
Для формализации критерия оптимизации (R = const) правую часть выражения (5) представим следующей зависимостью
fo (X,u)= xj: •(хб] + 2-x6-x7-X6-X7 + x^ •[хт] - R2 • xjj • (xj: + x^ Цo. (12)
В соответствии с (12) вводится вводятся дополнительная переменная, определяемая уравнением вида (5).
Вводятся вспомогательные переменные в 1 и составляется функция Гамильтона для системы (1) в соответствии с уравнением (6)
H = вЛ + £2x7 + Pbx8 + £4x9 + £5x10 + вб
(Rj + R2K P P2
—-+—^cosx3 +—2cosx3
Wx2+x2 m
m
+
(R1 + R2)X7 P^ P2 . —1. 27 + —sinx3 + —sinx2
m^/x2 + x72 m m
M B
P ( B
+ P8 - — --(R2 - R1)cosx3 --11 - + Y1I +1 - + Y2
P ( B
-f (P1 - R1)
т^(P2 - R2)
V I2
P11 • fo (X,U).
(13)
в
+
7
в
9
Введем следующие обозначения вспомогательных переменных и дополнительной координаты
С учетом Гамильтона для следующего вида
в,=
Р1 = Е1; в 2 = Е2;
Рз = Хи; в 4 = Е3; в 5 = Е4;
в6 = Х12; в7 = Х13; в8 = Х14;
в9 = -Е3 • г; вю = -Е4 • г;
в11 = Х15.
(14)
(12)...(14) составляются канонические уравнения системы (1 ), образующие расширенную систему
xi = Хб;
x 2 — x7 ; Х 3 = Х8 ;
x 4 — x9 ;
Х 5 = Х10 ; x б — -
x 7 — -
x6
m • л/x! x7 H x 72
m • H x 72
M i Í в
I I, [2
i Ri + R2) + i Ri + R2) +
cos x3 ^ cos x3 ^
-3 • P H--3 • P '
1 2 '
m cos x
m
• Pi H
m cos x
m
• P2;
h [ 2
•P
x 9 — • i Pi - Ri);
Л
• r
Х10 — f- • i P2 - R2); I
f
Х11 — - x.
Х12 — - E1 - x
PL
m
P
P
• sin x
m
-x
P
2
— cos x H---cos x I - x
дA(x ),
12
(Ri HR2)• x72
í 2 2 \3 / 2
m • x б H x 7
-x
[ m
(Ri hR2)•
m
x6 • x7
дx,
13
i дM P
дУ1 , P2
---+
I дxб I дxб
P2 дУ2
I дж.
m
-x
•fá + x72 ) дA(x ),
б у
дгй
xi3 — -E2 - x
(Ri + R2 )•
12
i 2 2V/2 m • x + x7 j
14
i дM P
дУ1 + * 2
P2 дУ
Л
I ôxn I ôxn I дx
-x
(Ri + R2 )• x
m • (x6 + x^ )
a4(x).
f
x 14 — xn x,4
x 15 — /0 ( X ,U ).
i дM P
7 у
дУк + p2
дx.7
дУ2
I I дг„ I âx.
-x
дA(x )
i15)
15
8 У
дг0
i Í B
sin x3 -
x
14
2
x6 ' x7
б
В соответствии с (9) управляющие координаты Р1 и Р2 определяются из следующих уравнений
dH cosx3 sinx3 1 (B ] E3 • r df0 (X,u)
-= x12--3 + x13--3-x14 — •! — + y, I---• t + x15 • 0V , (16)
cPj 12 m 13 m 14 I V 2 J Ij 15 cPj
dH cosx3 sinx3 1 (B ] E4 • r df0 (X,u)
-= x12--3 + x13--3-x14 — •!— + y2 I--^• t + x15 • 04 \ (17)
dP2 12 m 13 m 14 I V 2 J I2 15 dP2
Решение расширенной системы (15) является решением задачи об оптимальном управлении в соответствии с заданным критерием R = const. При синтезе оптимального управления начальные условия для системы (1) однозначно определены вектором измеряемых параметров y и вектором внешних возмущений о для текущего шага At управления объектом. Для расширенной системы (15) начальные значения вспомогательных переменных x11...x14 и дополнительной переменной x15 неизвестны и определяются итерационной процедурой, на основе заданной целевой функции для текущего шага At управления объектом.
Аналогичным образом решается задача синтеза при условии R ^ const.
Для управления реальным сложным объектом, функционирующим в условиях неопределенности, целесообразно использовать адаптивное управление.
Особенностью адаптивных систем управления является возможность получения информации в процессе функционирования и использование этой информации для управления. В отличие от робастных систем в адаптивных системах всегда используется априорная информация о неопределенности в системе.
Для функционирования системы необходимо иметь информацию о частотном спектре полезного сигнала помехи и об отношении сигнал/шум. Кроме того, требуется предварительная информация о частотном спектре,
в котором работает адаптивная система, и о частотных характеристиках объекта на границах области неопределенности.
Список литературы
1. Куропаткин П.В. Оптимальные и адаптивные системы. М.: Высшая школа, 1980. 287 с.
2. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976. 392 с.
3. Вязников М.В. Исследование криволинейного движения гусеничной машины // Материалы XXIV Российской школы по проблемам науки и технологий. Т. 3. Миасс: УрО РАН, 2004. С. 302-311.
SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MSTU
SCIENCE and EDUCATION
EL № FS77 - 4S211. №0421200025. ISSN 1994-0408
electronic scientific and technical journal
Development of general principles for optimal control of caterpillar machine movement # 12, December 2013 DOI: 10.7463/1213.0671078 Vyaznikov M.V.
Russia, Cheboksary, Limited Liability Company "MIKONT"
mv.vaznikov@tpl ants .com
The article deals with a problem of optimal control of caterpillar machine movement with regard to the driver as a feedback loop of the dynamic system. In order to build a control algorithm a mathematical model of caterpillar machine motion which takes into account non-holonomic links between caterpillars and soil was used. External control action was formalised in the form of an objective function. State parameters of an object were determined by the measuring system which was also subject to random perturbations. The maximum principle of P.S. Pontryagin was used for synthesising optimal control of a caterpillar machine. During optimization of an object one wants to find a vector of control action considering constraints from the minimum of composed functions expressing specified criteria. A problem of synthesizing time optimal control was considered. It was noticed that a system is time optimal if minimal transition time is provided, considering restrictions imposed on control and output coordinates. The principle of forcing dynamic processes at certain time intervals by increasing control signal within the specified range was used to reduce duration of the transition process.
Publications with keywords: dynamics, algorithm, path, caterpillar machines Publications with words: dynamics, algorithm, path, caterpillar machines
References
1. Kuropatkin P.V. Optimal'nye i adaptivnye sistemy [Optimal and adaptive systems]. Moscow, Vysshaya shkola, 1980. 287 p.
2. Pontryagin L.S., Boltyanskiy V.G., Gamkrelidze R.V., Mishchenko E.F. Matematicheskaya teoriya optimal'nykh protsessov [Mathematical theory of optimal processes]. Moscow, Nauka, 1976. 392 p.
3. Vyaznikov M.V. Issledovanie krivolineynogo dvizheniya gusenichnoy mashiny [Study of curvilinear motion of tracked vehicle]. In: Materialy 24-y Rossiyskoy shkolypo problemam nauki i tekhnologiy [Proc. of the 24th Russian School on Science and Technology]. Vol. 3. Miass, Publ. of UB RAS, 2004, pp. 302-311.
