Квазиоптимaльное по быстродействию управление числом Маха в компрессорной аэродинамической трубе Текст научной статьи по специальности «Математика»

___________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXIV 1993

№ 3

УДК 533.6.071.011.35 533.6.07:62—52

КВАЗИОПТИМАЛЬНОЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЕ ЧИСЛОМ МАХА В КОМПРЕССОРНОЙ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЕ

Н. А. Кудрин, В. В. Петроневич

Рассматриваются задачи оптимального по быстродействию управления числом Маха в трансзвуковой компрессорной аэродинамической трубе и стабилизации числа М при изменении положения модели летательного аппарата. Оптимальное по быстродействию управление с учетом ограничений на фазовые координаты и управление находится с использованием принципа максимума Понтрягина.

Возрастающие объемы и стоимость испытаний современных летательных аппаратов (ЛА) в аэродинамических трубах (АДТ) делают насущной задачу повышения экономичности трубного эксперимента, в особенности для мощных высокопроизводительных АДТ. Один из путей решения этой задачи состоит в сокращении длительности переходных процессов при реализации программы эксперимента, поскольку они составляют более 30% общей продолжительности эксперимента [1] и являются, как правило, неинформативными для типовой методики испытаний ЛА, предполагающей измерения на стационарных режимах.

Сокращение длительности переходных процессов может обеспечиваться оптимизацией по быстродействию алгоритмов управления параметрами потока АДТ (числом Маха, температурой потока в рабочей части, давлением в форкамере и др.). Вследствие нелинейности АДТ как динамической системы, наличия ограничений на фазовые переменные и управляющие воздействия оптимизация управления представляет собой сложную математическую задачу, решение которой может быть получено с использованием методов теории оптимального управления. Так, в работах [2—4] с помощью принципа максимума Понтрягина решены задачи оптимального по быстродействию программного управления давлением в форкамере эжекторных установок. Применение ЭВМ в системах управления современных АДТ дает реальную возможность для использования алгоритмов оптимального управления, реализация которых аналоговыми средствами, как правило, затруднительна.

В данной работе рассматривается задача синтеза квазиоптимально-го по быстродействию управления числом Маха в рабочей части компрессорной АДТ в диапазоне чисел М от 0 до 1, а также задача стабилизации числа М при изменении ориентации модели ЛА (угла атаки а или угла скольжения /?). Задача стабилизации числа М имеет важное практическое значение как для типовой технологии проведения эксперимента (благодаря сокращению времени на стабилизацию числа М при возмущении от ступенчатого изменения углов ориентации), так и для методики с непрерывным изменением углов а или р, поскольку качество поддержания числа М влияет на точность получаемых аэродинамических коэффициентов, в особенности на трансзвуковых режимах, где существенны производные этих коэффициентов по числу М.

Квазиоптимальное по быстродействию управление числом М. Задача синтеза квазиоптимального по быстродействию управления числом М рассматривается для трансзвуковой компрессорной АДТ с замкнутым контуром, скорость потока в которой определяется параметрами со — частотой вращения ротора компрессора и <р — углом установки лопаток направляющих аппаратов компрессора (НАК), рис. 1. Частота вращения ротора компрессора может принимать некоторое фиксированное значение из ряда допустимых: со = со ^ і = 1,2,...,N. В соответствии с этим диапазон реализуемых чисел М разбивается на N интервалов, в пределах каждого из которых управление числом М осуществляется с помощью изменения угла НАК <р.

АДТ как объект управления представляет собой сложную распределенную газодинамическую систему, характеристики которой зависят от ее внутреннего состояния и которая описывается нелинейной математической моделью [5]. Поскольку испытания моделей ЛА по числу М предполагают изменение числа М с небольшим интервалом (как правило, менее 0,1), то для решения задачи оптимизации управления можно воспользоваться линеаризованной моделью АДТ, приближенно описывающей динамику объекта в пределах этого интервала. Проведенные авторами работы по идентификации характеристик АДТ по экспериментальным данным (см. [8]) показали, что АДТ как объект управления

Рис. 1. Схема компрессорной аэродинамической трубы

по числу М с достаточной для практики точностью может быть описана обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка с запаздыванием и коэффициентами, зависящими от состояния объекта. Для относительно малых приращений числа М это соответствует передаточной функции

В'м('’)=М^=7^еХ1,<-Гм;’)'

где коэффициент усиления Км является функцией <р и а, постоянная времени Тм зависит от числа М, а запаздывание г м можно считать постоянным. ,

Динамика привода НАК, посредством которого осуществляется изменение угла <р под действием сигнала и, подаваемого (см. рис. 1) с выхода цифроаналогового преобразователя (ЦАП), в рабочем диапазоне частот приближенно может быть описана передаточной функцией в виде интегратора с запаздыванием:

№(р) = ехр(— ТрР),

* о(р) Р 9

где Ку — коэффициент передачи привода, — запаздывание в приводе.

Для относительно небольших приращений числа М — порядка не-

скольких сотых — коэффициенты передаточной функции Жм (р) можно считать примерно постоянными. С учетом этого движение объекта управления (АДТ + НАК) во временной области описывается линейными дифференциальными уравнениями вида

М(0 + аМ(/) = с + Ь<рЦ- гм), (1)

*(/) = К94! - г,), (2)

м

<р= 0

1 , Ку[

где а = ——, Ь = -=?-, с =

1м -'м

По техническим условиям на входной управляющий сигнал и накладываются ограничения:

И0|^тах, ^3)

|«(0|^ «шах- ^

Второе из этих 01раничений можно учесть с помощью уравнения

"(О = «тах«(0, ^

где и(і) — управление, ограниченное условием

Ио| ^ і. (6)

Задача оптимального по быстродействию управления может быть сформулирована следующим образом: определить управление и($, переводящее систему уравнений (1), (2), (5) из некоторого произвольного начального состояния на режим с заданным стационарным значением числа М = Мад за минимальное время с учетом ограничений (3), (6).

Дифференцируя дважды уравнение (1), один раз уравнение (2) и проведя замену

л(0 = м(0-маад,1

у2(0 = м(0, (?)

у3(0 = м(0,

получим систему дифференциальных уравнений:

Уі(0 = 3>2(0,

У2І0 = Уз(0,

Уз (0 = -<%(*)+ •*&(*-*),.

(8)

где К — КТ — г М > причем ограничение (3) принимает вид

\уз +ау2\<К<рЬЬя

(9)

Запаздывание г, входящее в аргумент управления в (8), можно опустить при решении задачи синтеза оптимального управления, а найденное управление рассматривать не для текущего, а для прогнозируемого на интервал т состояния объекта.

Оптимальное по быстродействию управление и($, приводящее систему уравнений (8) из произвольного начального состояния в начало координат (^ = 0, у2 = 0, = 0) с учетом ограничений на управление

(6) и на фазовые координаты (9), будем искать с использованием принципа максимума Понтрягина [6].

Функция Гамильтона — Понтрягина для системы (8) имеет вид

Н(у, ¥,и) = (/О + п У2 + ¥2 Уз + ¥з(гаУЗ + к“).

(Ю)

где функции {{/,} при движении в открытой области фазового пространства {уI,у2,Уз) удовлетворяют уравнениям

щ(!) = 0, ф2(і) = - щ(і),

^з(0 = -Г2(0 + а^з(/).

(11)

Из условия максимума функции Н(у,у/,и) и учитывая (6), находим, что управление в открытой области допустимых значений {уі,у2 ,Уз) релейно:

и(0 = вдп[уг3.(0]- (12)

Из условия движения системы по границам #1 или

^£|М//Си,и) = киЦ) = о, = -Ки{0 = о,

■ М *У1 м

где ^(у) = Уз + °У2 - К<рЬишах = 0 и 82 (У) - "УЗ ~ аУ2 ~ Кч>Ь^таях = 0 — уравнения границ; /,(у,и)—правые части системы (8), следует:

ы(0 з О

при движении системы по ограничивающим поверхностям g1 или -Таким образом, для рассматриваемой задачи оптимальное управление в открытой области фазового пространства {у\,у2>Уз) релейно, причем число переключений не более двух, а при движении по границе области (9) тождественно равно нулю. Можно показать, что для системы (8) с ограничениями (6) и (9) существует оптимальное управление для любой начальной точки. Для его синтеза необходимо построить поверхность переключения. Для этого перейдем от переменных у к переменным х:

дЗ 1

*1 = -у(Уі - ~лУъ)> К а2

2.

*2 =-р-(У2 +-Уз)> К а

*з=;|уз,

(13)

удовлетворяющим системе уравнений:

XI (0 = о»2(0 - а«(0,

х2 (О = аи(0, х3(0 = -ах3(0 + ам( О-

Решение этой системы уравнений имеет вид

*і(0 = *ю + хюа{ + -|«(0а2^2 - «(0а/,

*2(0 = *20 + и(0«*>

*з(0 = (*зо - «(О)ехр(-аО + и(0.

(14)

где ы(0 = сопві = ±1, *ю,*2о» *30 — начальная точка траектории.

Исключив время из этих уравнений, получим уравнение траектории в трехмерном фазовом пространстве:

*1 = *10 - (х2 -Х2о) + ^“(х2 - *20)’

*з = (*зо - «)ехр[-ы(х2 - х20)] + и.

Поверхность переключения представляет собой геометрическое место траекторий системы (14), попадающих при движении с управлением и = +А (А = ±1) на траекторию, при движении по которой с управлением и = -Д система (14) приходит в начало координат. Уравнение этой поверхности в открытой области имеет вид [7]

х3 = и - и ехр -их2 +. где

^х2 ~ Фі + *2> 2 “ ЄХР^*2 ““(*1 +Х2)

,(15)

и =

XI + ^ЩП(х2)х% +Х2

— вІ£П [х2 ],

,ПрИ X! +у8ІЗП(Х2)х| +Х2 * 0,

При Хі + -^-8ЩП(х2)х| +Х2 = 0.

(16)

С помощью найденной поверхности переключения оптимальная по быстродействию траектория в открытой области синтезируется следующим образом. Для начальной точки (х10,х20,х30), для которой х30 >х3 (х3 вычисляется ПО (15) при подстановке х10, И Х20 вместо X! и х2),

выбирается управление и = -1, под воздействием которого траектория попадает на поверхность переключения. Движение по поверхности происходит, согласно (16), сначала с управлением и = +1, а затем и = -1 до попадания в точку (0, 0, 0), после чего и = 0.

Для начальной точки с х30 < х3 управление и = +1 приводит на поверхность переключения, движение по которой осуществляется с управлением сначала и = -1, а затем и = +1.

Ограничение фазовых координат для переменных х имеет вид

|х2(/)| итах / ^тах ~ *2

тах-

При попадании на эти ограничивающие поверхности управление принимает значение 0 и траектория движения системы (14) начинает скользить по ограничивающей поверхности. В этом случае возможны такие последовательности управлений на оптимальной траектории: +1,0, —1, +1 или -1,0,+1,-1 — при выходе только на одну ограничивающую поверхность х2 =*2тах 11111 *2 = ~*2тах соответственно, а также: +1,0,—1,0,+1 или — 1,0, +1,0, —1 — при выходе траектории на обе ограничивающие плоскости. В первом случае управление синтезируется

подобно управлению в открытой области, за исключением участка траектории, проходящего по ограничивающей поверхности. При этом, если х2 = х2тах, то и - тт(0,и0), если же х2 = -х2тах, ТО и = тах(0>мо)> где и0 — управление, рассчитанное без учета ограничения на х2.

Предельная траектория с одним нулем касается второй ограничивающей поверхности в точке xt, из которой управление и - -1 (для х2* = х2шах) или “ = +1 (для х2„=-х2тах) переводит систему (14) в точку (0, 0, 0). Координаты точек х, следующие:

Проекция на плоскость (х1(х2) траекторий, приходящих в точки х* с управлением ±1, имеет вид

Следовательно, точкам фазового пространства, проекция которых на (х1;х2) лежит внутри области

соответствует поверхность переключения (15).

Для оптимальности траекторий, выходящих за область (17), необходимо, чтобы они при скольжении по второй ограничивающей поверхности приходили в точку х, на этой поверхности, т. е. скользили бы по траектории

Тогда уравнение поверхности переключения для области, дополнительной к (17), будет представлять собой геометрическое место траекторий, приводящих на линии (18):

XI* = -:^п(х2„)х2, - х2„, х3, = 818п(х2,)[ехр(х2тах) -1],

где

х2, = ±х2

тах *

х2 тах - х2 - х2 тах >

(17)

X! = X- Х2* 1п(х3 / Х3,).

(18)

х3 = и[-1 + ехр(х2тах)]ехр

-XI - х2 +-х|и-х2х2тах

+ и{ 1 - ехр[-и(х2 - х2.)]},

+1

1

где

и = -

-1

Учитывая, что при решении задачи оптимального управления было сделано упрощение (коэффициенты уравнения (1) приняты постоянными), найденное управление для реального объекта будет квазиоптималь-ным.

Использование изложенного алгоритма в цифровой системе управления должно учитывать эффекты, связанные с квантованием времени (расчет и выдача управляющего сигнала производятся в моменты времени пД/, где Д/ —шаг квантования, и= 1,2,...), и амплитуды управляющего сигнала и(пДО, подаваемого с ЦАП на вход привода НАК. Квантование времени приводит к «проскакиванию» поверхности переключения. Этого можно избежать, если прогнозировать движение системы на лишний шаг вперед (по отношению к прогнозу на интервал т) и при переходе прогнозируемой траектории через поверхность переключения подобрать такое управление на текущем шаге (|и|<1), которое обеспечивает попадание на поверхность на следующем шаге. Квантование амплитуды управляющего сигнала приводит к ступенчатому характеру изменения ь>(/) вместо линейного. Тем не менее дискретная и непрерывная системы практически совпадают, если учесть, что дискретное управление опережает непрерывное на половину шага квантования по времени.

Структура квазиоптимальной по быстродействию цифровой системы управления числом М, построенная по принципу предиктора Смита, представлена на рис. 2. Отклонение реального значения числа М от прогнозируемого (из-за неточной идентификации объекта или влияния возмущений) подается на вход регулятора в виде дополнительной обратной связи и отрабатывается системой. На рис. 3 приведен пример поверхности переключения и оптимальной траектории в фазовом пространстве {х1,х2,х3} с участками, лежащими на обеих ограничивающих поверхностях. Представлен также соответствующий оптимальный переходный Процесс при ступенчатом ВХОДНОМ воздействии ДМад =0,1, полученный в результате численного моделирования. Исследования устойчивости полученной системы управления числом М при отклонениях параметров модели АДТ от расчетных проводились путем численного моделирования и показали, что при ошибках в значениях коэффициента усиления, постоянной времени и запаздывания на 10 — 15% поведение системы близко к оптимальному, а устойчивость сохраняется при ошибке до 50%.

Рис. 2. Структура системы управления

Дбитение системы 8 (разабеп пространстве

Рис. 3. Пример численного моделирования оптимального переходного процесса

Рис. 4. Переходные процессы для различных законов управления

Для сравнения качества управления полученной системы и системы управления с регуляторами вида

на рис. 4 представлены графики переходных процессов отклика систем на ступенчатое входное воздействие ДМЩ = 0,1, полученные путем численного моделирования. Для регуляторов с передаточными функциями Wx(p),W2(p) была проведена оптимизация их параметров по критерию минимизации времени переходного процесса при заданной точности управления, соответствующей 0,001 числа М. При этом из двух ограничений на управление (3) и (4) учитывалось только (3). Для первого регулятора оптимизация проводилась по параметрам К, Т2 и Т^(Т^ = Гм), а для второго по параметрам К и Т2- Из представленных на рис. 4 процессов видно, что оптимальный по быстродействию алгоритм управления обеспечивает выигрыш по времени примерно 30%.

Результаты проведенных исследований качества управления синтезированной квазиоптимальной системы управления на реальном объекте с ЭВМ типа СМ-4 в контуре управления показали хорошее согласование экспериментальных данных с расчетными. На рис. 5 и 6 приведены примеры экспериментальных и соответствующих расчетных переходных процессов для ДМ = 0,05 и AM = -0,02.

Стабилизация числа М при изменении положения модели JIA. Изменение угла атаки или угла скольжения модели JIA ведет к изменению числа М в рабочей части АДТ. С помощью экспериментальных исследований [8] было получено, что динамика АДТ по числу М при изменении положения модели описывается дифференциальным уравнением первого порядка, аналогичным уравнению (1), с той же постоянной времени, нулевым запаздыванием и правой частью, зависящей от координат положения модели:

ДМ(/) + а ДМ(/) = а АМ[а(/),Д/)1,

где ДМ(а,>б) — стационарная зависимость ДМ от а и Д Пример зависимости ДМ(а,0) при р = const приведен на рис. 7.

Считая динамическую модель АДТ аддитивной по отношению к возмущениям со стороны НАК и модели ЛА, имеем

М(/) + оМ(0 - с + b<p(t - гм) + оД М[а(0,Д0]-

Для стабилизации числа М при изменении положения модели необходимо, чтобы правая часть этого уравнения была постоянной. Тогда, учитывая (2), получим

Рис. 5. Реализация оптимального управления в эксперименте

Рис. 7. Пример стационарной зависимости Л Мот а

и(і-т) = -К-л}К-ІАМ[а(і),№),

т. е. управление, поступающее на НАК, должно опережать возмущение со стороны модели на время запаздывания г.

Возмущение числа М в зависимости от положения модели ЛА заранее может быть неизвестно. В этом случае характеристика А М(а,у0) определяется экспериментально в первых испытаниях модели и используется в последующих испытаниях для компенсации возмущения от изменения положения модели. Кроме того, для разных чисел М характеристики АМ(а,/3), как правило, подобны. Поэтому зависимость ДМ(а,0) для одного числа М может быть использована (с соответствующей поправкой) в качестве начального приближения для другого числа М.

Рис. 8. Стабилизация числа М без учета изменения сопротивления модели ЛА

Рис. 9. Стабилизация числа М с учетом изменения сопротивления модели ЛА

На рис. 8 и 9 приведены осциллограммы переходных процессов при стабилизации числа М без учета информации о характеристиках сопротивления модели (рис. 8) и при использовании такой информации (рис. 9). Из рисунков видно, что учет зависимости сопротивления модели от ее положения позволяет существенно улучшить качество стабилизации числа Маха (максимальное отклонение от заданного числа М уменьшается в два-три раза и в среднем не превышает 0,001).

1. Morel J. P., Mereau P. Optimun control of the European transonic

wind tunnel//Proceedings of the 1st International symposium on cryogenic wind tunnels.—Southampton. — 1979. •

2. Тепля шин В. А. Некоторые вопросы оптимального управления в системах регулирования давления аэродинамических труб//Груды ЦАГИ. — 1970. Вып. 1203.

3.Шумилкин В. Г., Кифоренко Б. Н., Злацкий В. Т. Оптимальное программное управление эжекторной установкой с системой регулирования дросселем на основе электрогидравлического преобразователя //Труды ЦАГИ. — 1984. Вып. 2208.

4.Анисимов Э. И., БойковВ. В., ЗлацкийВ. Т., КифоренкоБ. Н., Мартынов В. А., Шумилкин В. Г. Оптимальное управление эжекторной аэродинамической установкой //Труды ЦАГИ. — 1984. Вып. 2208.

5.Лебсак В. А., Лыжин О. В. Математическая модель переходных процессов в компрессорных трубах//Ученые записки ЦАГИ. — 1985. Т. 16, № 2.

6. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов //М.: Наука. — 1983.

7. Атанс М., Фал б П. Оптимальное управление //М.: Машиностроение. — 1968.

8. Кудрин Н. А., Петроневич В. В. Идентификация математической модели компрессорной аэродинамической трубы как объекта управления// Ученые записки ЦАГИ. — 1993. Т. 24, № 2.

Рукопись поступила 24/VI 1991