CC BY
45
№ 3 (31), 2014 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника
УДК 621.396
Д. М. Ненадович
РАЗРАБОТКА ОБОБЩЕННОГО ПОДХОДА К ФОРМИРОВАНИЮ ПРОГНОЗНЫХ ОЦЕНОК СОСТОЯНИЙ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА ИЗМЕНЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ЭКСПЕРТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА, ПРОЕКТИРУЕМЫХ ИНФОКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМ
Аннотация.
Актуальность и цели. Объектом исследования являются перспективные инфокоммуникационные системы. Предмет исследования - процессы формирования прогнозных оценок выборочных значений (в общем случае) нестационарных процессов изменения состояний моделей функционирования перспективных инфокоммуникационных систем. Целью работы является разработка обобщенного подхода к формированию прогнозных оценок состояний нестационарного процесса изменения значений экспертных показателей качества проектируемых инфокоммуникационных систем.
Материалы и методы. Формирование обобщенного подхода основано на методах анализа временных рядов с использованием модели авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего.
Результаты и выводы. Реализация разработанного подхода в программноаппаратном комплексе инфокоммуникационной экспертной системы позволит существенно снизить степень субъективизма экспертных оценок качества проектно-технических решений, принимаемых в ходе разработки систем, а также в значительной мере повысить степень автоматизации экспертной деятельности.
Ключевые слова: инфокоммуникационные системы, экспертные показатели качества, инфокоммуникационные экспертные системы, качество проектнотехнических решений, стохастические разностные уравнения, процесс «рождения и гибели», нестационарные процессы, модель авторегрессии - проинтегрированного скользящего среднего, рекуррентные алгоритмы наименьших квадратов.
D. M. Nenadovich
DEVELOPMENT OF A GENERALIZED APPROACH TO FORMATION OF PREDICTIVE ESTIMATES OF CONDITIONS OF THE UNSTEADY PROCESS OF EXPERT Q-FACTOR VALUES CHANGE, THE PROJECTIBLE INFORMATION-COMMUNICATION SYSTEM
Abstract.
Background. The research object is the perspective information-communication systems. The research subject is the processes of formation of predictive estimates of sample values (in a general case) of the unsteady processes of condition change of models of perspective information-communication systems’ functioning. The aim of the work is to develop a generalized approach to formation of predictive estimates of conditions of the unsteady process of expert q-factor values change for the projectible information-communication systems.
Materials and methods. Formation of the generalized approach is based on the methods of time series analysis using a model of autoregression of an integrated moving average.
Engineering sciences. Electronics, measuring equipment and radio engineering 81
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Results and conclusions. Realization of the developed approach in a software-hardware complex of an information-communication system will allow to significantly lower the degree of subjectivism of expert estimates of design-engineering decisions’ quality, taken in the course of development of the system, and as well to significantly increase the degree of automation of the expert activity.
Key words: information-communication systems, expert estimation of quality, information-communication expert systems, quality of a project and technical decisions, stochastic difference equations, process of “die and birth”, unsteady processes, model of autoregression - integrated moving average, recurrent algorithms of least squares.
Разработанные [1] модели позволяют формировать экспертные оценки Ka4ecTBa того или иного технического решения, принимаемого в ходе проектирования инфокоммуникационной системы (ИКС) с учетом динамики моделируемых процессов (подпроцессов) функционирования системы на основе наблюдения за изменениями состояния моделируемой системы или изменениями значений ее экспертных показателей качества (ЭПК). Вместе с тем анализ динамики процесса функционирования ИКС в ходе проведения экспертизы качества проектно-технических решений (ПТР) не может быть ограничен рассмотрением только лишь процессов «рождения и гибели» [2]. Несмотря на очевидные достоинства данного класса процессов (достаточно ясный физический смысл, хорошо апробированный аппарат математического описания), основным недостатком процесса «рождения и гибели», по нашему мнению, для решения задач в рассматриваемой постановке является невозможность учета на его основе особенностей нестационарных (отличных от стационарных в широком смысле) процессов. В этом смысле большой интерес для организации процесса формирования экспертных оценок представляют авторегрессионные методы, позволяющие осуществлять оценку и прогнозирование состояний нестационарных процессов, реально протекающих в перспективных ИКС реализующих различные ПТР. При реализации авторегрессионных методов (в качестве оценочных) исходная математическая модель изменения состояния сети (изменения значений ЭПК) может быть описана в виде следующей системы стохастических разностных уравнений:
п(к ) = С (к )0 (к), (1)
0 (к +1) = ПТ (к +1, к, r (к ))0 (к) + Г (к )V (к), (2)
где С (к) - М-мерная матрица-строка возможных состояний процесса п(к); 0m - вектор индикаторов состояния моделируемых последовательностей:
2 [1 при ц(к) = Пт,m = 1,...,M,
0т = |0
[U в остальных случаях;
П( +1,к,r(к)) - матрица одношаговых переходных вероятностей (ОПВ), значения элементов которой зависят от принятых ПТР r(к) и которая опре-
82
University proceedings. Volga region
№ 3 (31), 2014 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника
деляется в соответствии с соотношениями Пml ( + 1,k,r (x)) = )mlT, Пmm = qmmT +1, T - период изменения состояния; Г(к) - M-мерная диагональная матрица возбуждения процесса 0(к) с элементами
Гтт (k)= Л/2a2Qmqmm / Rvm , ^Bm - априорная дисперсия; RVm - спектральная плотность мощности белого шума возбуждения V(k) (Vm (k) - ступенчатый мартингал, удовлетворяющий условию M{Vm(к)/(5)} = Z(т), s <т, Vk> т) при условии использования в качестве матрицы ОПВ полнозаполненной матрицы, описывающей вероятностно-временной механизм перехода цепи из любого начального положения в любое конечное. Различия в характере процессов изменения состояния моделируемых на основе «ленточной» и полнозаполненой матрицы ОПВ можно проследить на примерах результатов моделирования, представленных в виде графиков пошаговых изменений значений индикаторов на рис. 1, 2. Нетрудно видеть, что в отличие от реализации процесса «рождения и гибели» либо не меняющего своего состояния, либо осуществляющего переход в соседние состоянии в определенный момент времени, процесс, моделируемый на основе полнозаполненой матрицы ОПВ, может (до достижения установившихся состояний) на достаточно широких временных интервалах менять свои состояния с известной степенью произвольности. В этом случае есть все основания полагать, что условия стационарности (в широком смысле) не будут выполнены и использование дискретного фильтра Калмана [3] для получения состоятельных, несмещенных и эффективных оценок состояний системы (значений ЭПК) с минимальной дисперсией будет существенно затруднено. С целью анализа путей преодоления проблемы нестационарности в ходе формирования оценочных значений состояний системы (значений ЭПК) рассмотрим возможности авторегрессионных моделей. К основным задачам моделирования временных рядов и прогнозирования их параметров в классической постановке относятся: выбор подходящей параметрической модели временного ряда, оценивание ее параметров, диагностику ее качества, а также получение выражения для прогноза параметров ряда (экстраполяции значений на упреждающий момент времени). Для обеспечения состоятельности, достаточности, минимума дисперсии и эффективности результатов обработки имеющихся статистических данных необходимо выполнение ряда условий для модели, например: стационарности и обеспечения времени оценивания значения ЭПК, меньшего, чем интервал корреляции значений временного ряда, моделирования временных рядов и прогнозирования их параметров в классической постановке относятся: выбор подходящей параметрической модели временного ряда, оценивание ее параметров, диагностика ее качества, а также получение выражения для прогноза параметров ряда (экстраполяции значений на упреждающий момент времени). Для обеспечения состоятельности, достаточности, минимума дисперсии и эффективности результатов обработки имеющихся статистических данных необходимо выполнение ряда условий для модели, например: стационарности и обеспечения времени оценивания значения ЭПК, меньшего, чем интервал корреляции значений временного ряда.
Engineering sciences. Electronics, measuring equipment and radio engineering 83
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
s
4 1) ю
5
и
84
University proceedings. Volga region
№ 3 (31), 2014 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Под этапом выбора модели понимается обоснование некоторого класса стохастической модели и идентификации ее параметров на основе знания автокорреляционных функций элементов временного ряда, а также метода диагностической проверки модели. Кроме того, параметры модели могут определяться и уточняться непосредственно в ходе оценивания. Простая модель временного ряда имеет следующий вид:
0t = b + et, (3)
где b - константа; є - случайная ошибка. Константа b относительно стабильна на каждом временном интервале, но может также медленно изменяться со временем. Один из интуитивно ясных способов выделения b состоит в том, чтобы использовать сглаживание скользящим средним, в котором последним наблюдениям приписываются большие веса, чем предпоследним, предпоследним большие веса, чем предшествующим и т.д. Именно так устроено простое экспоненциальное сглаживание. Здесь более старым наблюдениям приписываются экспоненциально убывающие веса, при этом, в отличие от скользящего среднего, учитываются все предшествующие наблюдения ряда, а не те, что попали в определенное окно. Формула простого экспоненциального сглаживания имеет следующий вид:
St = a0t + (1 - a) St-1. (4)
Когда эта формула применяется рекурсивно, то каждое новое сглаженное значение (которое является также прогнозом) вычисляется как взвешенное среднее текущего наблюдения и сглаженного ряда. Очевидно, результат сглаживания зависит от параметра a. Если a равно 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются. Если a равно 0, то игнорируются текущие наблюдения. Значения a между 0, 1 дают промежуточные результаты. Эмпирические исследования [4, 5] показали, что простое экспоненциальное сглаживание дает достаточно точный прогноз. На практике параметр сглаживания часто определяется посредством реализации поиска на сетке. Возможные значения параметра разбиваются сеткой с определенным шагом. Например, рассматривается сетка значений от a = 0,1 до a = 0,9 с шагом 0,1. Затем выбирается a , для которого сумма квадратов (или средних квадратов) остатков (наблюдаемые значения минус прогнозы на шаг вперед) является минимальной. Рекомендуется брать начальное значение S0, дающее наилучший прогноз. С другой стороны, влияние выбора уменьшается с увеличением длины ряда и становится некритичным при большом числе наблюдений. Таким образом, модели временных рядов позволяют описывать динамику стационарных случайных процессов. Учитывая тот факт, что большинство процессов, реально протекающих в ИКС, не являются строго стационарными, большой интерес для организации экспертной деятельности представляет такая разновидность моделей временных рядов, как модель авторегрессии -проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС (р, d, q)), предложенная Боксом и Дженкинсом [4]. Модель включает три типа параметров: порядок операторов авторегрессии (р), порядок оператора разности (d) и порядок параметров скользящего среднего (q). Порядки операторов р и q, а также их значения вычисляются для ряда после взятия разности с лагом d. Расшире-
86
University proceedings. Volga region
№ 3 (31), 2014 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника
ние области моделирования в этом представлении достигается путем перехода к моделированию не самих значений процесса ц(к), а разности между значениями ряда до d -го порядка включительно, обладающей стационарными свойствами, что означает постоянство ее среднего и неизменность во времени соответствующих выборочных дисперсии и автокорреляции. Для того чтобы определить необходимый порядок разности, обычно проводят исследования графика исходного ряда и автокоррелограмму. Сильные изменения уровня (сильные скачки вверх или вниз) обычно требуют взятия несезонной разности первого порядка (лаг = 1), а сильные изменения наклона требуют взятия разности второго порядка. Вместе с тем порядок разности может быть определен в ходе реализации начальных процедур оценивания по результатам анализа выполнения условий стационарности. При организации экспертной деятельности большой интерес вызывает подход к формированию прогнозных значений временного ряда значений ЭПК проектируемой ИКС. Так, например, для эвентуальной модели временного ряда прогнозные значения ЭПК на l шагов вперед могут быть получены при выполнении условий q > р + d, l > q — p — d . Рассмотрим различные формы представления модели АРПСС. Общее выражение для модели АРПСС, временного ряда (m-го индикатора значения элемента векторного ЭПК, состояния модели системы (0т) и т.д.) может быть представлено в следующем виде:
ф(В)Дd0m (к) = Х(B)Vt + ф(В)Дdwt, (5)
где ф( B) - оператор авторегрессии, определяемый в соответствии с выражением
ф(В) = 1 — фіВ —... — фрВр ; (6)
В - оператор сдвига назад (B0t =0t—і); Д - разностный оператор со сдвигом назад (Д = 0t —0t—і); wt - значения шума наблюдения за индикаторами (погрешность измерения); Vt - значение шума возбуждения процесса 0t; Х(В) -оператор скользящего среднего, определяемый в соответствии с выражением
X(В) = 1 — Х1В —... — ХВ . (7)
Необходимо особо отметить, что частным случаем авторегрессионной модели при р = 1 является рассматриваемый нами ранее марковский процесс изменения значений индикаторов состояния системы (значений ЭПК)
0cm.t =ф(і / f — 1)0cm.t—1 + Vt. (8)
При p = 0 смешанная модель преобразуется в модель скользящего среднего, реализующую только механизм учета динамики изменения значений возбуждающей последовательности Vt. В отличие от процесса авторегрессии, в процессе скользящего среднего текущее наблюдение ряда представляет собой сумму случайного компонента Vt в данный момент и линейной комбинации взвешенных значений случайных воздействий в предыдущие
Engineering sciences. Electronics, measuring equipment and radio engineering 87
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
q моментов времени. Определение оптимального значения параметров
скользящего среднего основано на учете корреляций значений случайных воздействий на глубину q шагов. Общая структурная схема устройства оценки-экстраполяции, аппаратно реализующая общую форму представления выражения (5), представлена на рис. 3. Очень часто для получения оценок коэффициентов авторегрессии и скользящего среднего, а также текущих значений дисперсии шума возбуждения в модели АРСС(р, q), используют раздельные субоптимальные процедуры их определения [4, 5]. Вначале оценивают коэффициенты авторегрессии на основе реализации процедуры наименьших квадратов или решения уравнения Юла - Уолкера, затем на их основе формируют модель временного ряда и получают разностный ряд между принятым и смоделированным. Последовательность остаточных ошибок (разностный ряд) используется в дальнейшем для определения коэффициентов скользящего среднего. Однако необходимость реализации высокой степени автоматизации процесса экспертной деятельности на основе инфоком-муникационной экспертной системы требует построения алгоритмов определения параметров авторегрессии в виде, удобном для реализации на ЭВМ. С этой целью воспользуемся рекуррентным алгоритмом наименьших квадратов (РНК), который позволяет производить анализ ошибок фильтрации по выборке наблюдаемых значений объемом N и при поступлении новых текущих данных 0(N +1) переходить от вектора коэффициентов линейного предсказания typ n к вектору typ n+1, не решая уравнение Юла - Уолкера [4].
Рис. 3. Общая структурная схема фильтрации-экстраполяции значений ЭПК
Для получения алгоритма РНК выражение для ошибки линейного предсказания вперед при использовании выборки размером N для k-го временного шага и глубины регрессииp запишем в следующем виде:
88
University proceedings. Volga region
№ 3 (31), 2014 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника
ep,N (k) =Qp ,N (k )(Pp, N (k ), (9)
где QTp n = (0(k); 0(k-1) ... 0(k- p)) - вектор значений временного ряда
размерностью p + 1; фp n (r) = (1; фp n W -1)... фp n (k - P)) - вектор значений коэффициентов авторегрессии размерностью p + 1. Так как суммирование в выражении для ошибки осуществляется с учетом отрицательного знака при коэффициентах авторегрессии, то в результате получаем разность между значением ряда в момент времени k и взвешенными значениями регрессии на прошлые значения ряда глубиной p. Введем понятие суммы экспоненциально взвешенных квадратов ошибок предсказания на всей длине выборки N
pp n = YWN-k (ep N (n))2 . Можно показать [5], что вектор коэффициентов
k=1
линейного предсказания фp n , минимизирующий сумму экспоненциально
взвешенных с весом WN k квадратов ошибок pp n , удовлетворяет решению уравнения
Rp, N ф p, N
(10)
где Rp,N
T
rp, N (0,0) rp,M
rp, N Rp-1, N-1
рекуррентная матрица коэффициентов авто-
корреляции; rp ,n (0,0) = ^ wN n (0(n) )2
n=1
взвешенная дисперсия наблюдае-
мой последовательности.
Тогда основу базового РНК-алгоритма составляют следующие выражения для векторов коэффициентов предсказания, коэффициентов усиления и дисперсии ошибки фильтрации:
ф p, N+1
фp,N - PN0N 0mp-1(N)(0p-1(N)фp,N +0mp-1(N + 1)) :
p-
p,N ^p,Nv' ' v^p-
: фp,N - ejp,N (N +1)PN0N 0m p-1(N) :
= фp,N -epN (N + 1)cp-1,N;
(11)
cp-1, N = PN-10 p -1
( N )/ (
W + 0Tmp-1(N)Pn-1 0N-1 0m p-1 (N)
N-i mp-
(12)
Pn = W-1 W - Cp-1, N 0m p -1 (N) )Pn-1 0n-1,
(13)
где epN(N +1) = 0mp-1T(N)фp,N +0mp-1(N + 1) - вектор остаточных ошибок фильтрации, так как, в отличие от ошибки предсказания, здесь использу-
Engineering sciences. Electronics, measuring equipment and radio engineering 89
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ется вектор typ n , а не фpN+1; Cp- n = Pn®mp-\(N) - вектор коэффициентов компенсации остаточной ошибки фильтрации-экстраполяции;
Pn-i = R--1N-1 - матрица дисперсий ошибок фильтрации;
N-1
Rp-1,N-1 = Z WN-1-nKp-l(nWmp-l(n) -
n=1
матрица размерностью (p -1) X (p -1) взвешенных с весом 0 < W < 1 вторых моментов процесса на шагах (p -1), усредняемых по выборке объемом (N -1). Исходные данные для работы фильтра задаются в виде фо и Pp о = Є, где I - единичная матрица, а є - некоторая положительная величина, обеспечивающая обратимость матрицы Pp о .
Таким образом, последовательно реализуя выражения (11)-(13) в соответствии со схемой, представленной на рис. 3, возможно наиболее просто формировать состоятельные, несмещенные и эффективные прогнозные оценки состояний (значений ЭПК) модели функционирования, проектируемой ИКС, что позволит существенным образом минимизировать степень субъективности экспертной оценки качества ПТР, принимаемых в ходе проектирования.
Список литературы
1. Ненадович, Д. М. Методологические аспекты экспертизы телекоммуникационных проектов / Д. М. Ненадович. - М. : Горячая линия - Телеком, 2008. - 272 с.
2. Ненадович, Д. М. Синтез дискретной математической модели процесса функционирования управляемой инфокоммуникационной системы со случайной скачкообразной структурой / Д. М. Ненадович // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2006. - № 2-3. - С. 9-13.
3. Ненадович, Д. М. Методы теории линейной фильтрации и экстраполяции в задачах оценки состояния управляемой инфокоммуникационной системы со случайной скачкообразной структурой / Д. М. Ненадович // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2006. - № 6. - С. 16-21.
4. Бо кс, Дж. Анализ временных рядов. Прогноз и управление / Дж. Бокс, Г. Дже-кинс. - М. : Мир, 1974. - 402 с.
5. Марпл мл., С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения /
С. Л. Марпл мл. - М. : Мир, 1990. - 584 с.
References
1. Nenadovich D. M. Metodologicheskie aspekty ekspertizy telekommunikatsionnykh proektov [Methodological aspects of expert assessment of telecommunication projects]. Moscow: Goryachaya liniya - Telekom, 2008, 272 p.
2. Nenadovich D. M. Elektromagnitnye volny i elektronnye sistemy [Electromagnetic waves and electronic systems]. 2006, no. 2-3, pp. 9-13.
3. Nenadovich D. M. Elektromagnitnye volny i elektronnye sistemy [Electromagnetic waves and electronic systems]. 2006, no. 6, pp. 16-21.
4. Boks Dzh., Dzhekins G. Analiz vremennykh ryadov. Prognoz i upravlenie [Analysis of time series]. Moscow: Mir, 1974, 402 p.
5. Marpl ml. S. L. Tsifrovoy spektral'nyy analiz i ego prilozheniya [Digital spectral analysis and applications thereof]. Moscow: Mir, 1990, 584 p.
90
University proceedings. Volga region
№ 3 (31), 2014 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника
Ненадович Дмитрий Михайлович
доктор технических наук, менеджер проектов Департамента управления проектами Корпоративного центра
Nenadovich Dmitriy Mikhaylovich Doctor of engineering sciences, project manager, Department of Project Management, Corporate Center "Rostelecom" plc. (14 1-ya Tverskaya-Yamskaya street,
Moscow, Russia)
ОАО «Ростелеком» (Россия, г. Москва, ул. 1-я Тверская-Ямская, 14)
E-mail: nend@mail.ru
УДК 621.396 Ненадович, Д. М.
Разработка обобщенного подхода к формированию прогнозных оценок состояний нестационарного процесса изменения значений экспертных показателей качества, проектируемых инфокоммуникацион-ных систем / Д. М. Ненадович // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2014. - № 3 (31). - С. 81-91.
Engineering sciences. Electronics, measuring equipment and radio engineering 91
