Разработка модели квантового вычислителя Текст научной статьи по специальности «Математика»

О.К. Евсеев, СМ. Гушанский, В.Ф. Гузик РАЗРАБОТКА МОДЕЛИ КВАНТОВОГО ВЫЧИСЛИТЕЛЯ

Классические компьютеры строятся на принципах использования конечных множеств состояний и последовательного выполнения операций. Это приводит к фундаментальным ограничениям возможностей их развития.

По другим принципам организуется работа квантовых компьютеров. Квантовый компьютер или, что корректнее, вычислитель [1] - вычислительное устройст-, -ний и имеющее экспоненциальную производительность за счёт квантового парал-. -ния по экспоненциальным алгоритмам при полиномиальных затратах времени, т.е., ,

неразрешимой за конечный интервал времени.

Одна из отличительных особенностей квантового вычислителя - принципиально иные способы алгоритмического описания способа решения задачи [4]. Квантовые алгоритмы имеют крайне мало общего с классическими и, несмотря на , .

, , -ется очень трудоёмким процессом при отсутствии специализированного ПО. Использование же немногих существующих физических моделей не доступно для .

В данный момент существует множество программных моделей квантовых вычислителей, обладающих той или иной степенью универсальности. Задача подобных моделей - математически просчитать работу квантовой вычислительной системы под действием последовательности специфических управляющих воздей-

.

Целью данной работы является синтез универсальной программной модели , -ладки квантовых алгоритмов. В её основу положен матричный метод математического моделирования квантовых вычислений [2] и общепринятый подход к представлению алгоритмов квантовых вычислений в виде схем.

В отличие от классического компьютера, работающего с состояниями из конечного числа битов, квантовый компьютер работает с конечными наборами элементарных состояний, называемых q-битaми. Каждый q-бит имеет два выделенных состояния (к примеру, для спинов то это состояния «спин вверх» и «спин вниз»). Выделенные (б^исные) состояния определяют только базовые состояния системы, но также возможны и любые линейные комбинации базисных состояний с ком. -[3] и описывается выражением:

Эта запись в точности соответствует разложению вектора двумерного ком-

(1)

плексного пространства по базису І0) и I1) (рис.1).

в

щ = а\ 0) + в 1)

а

Рис.1. Квантовый бит

Величины а и в в выражении (1.1) являются амплитудами вероятности состояния логического нуля и логической единицы. Определить, в каком именно состоянии находится бит, можно, измерив его пси-функцию. Измерение даст нам

состояние |о) с вероятностью а , либо Ц с вероятностью |в| . Это накладывает на амплитуды нормирующее ограничение:

а+\в\=1. (2)

Для реализации вычислительного процесса может использоваться несколько д-битов, образующих q-битoвый ансамбль [3]. Состояние д-бита можно представить вектором в двухмерном комплексном векторном пространстве с выделенным

ортонормированным базисом {I о>,|1>} . Возможные состояния систем из п д,

, 2п. -

водит к экспоненциальному росту пространства состояний и гипотетическому экспоненциальному увеличению эффективности вычислений.

Пространство состояний системы нескольких микрочастиц описывается через тензорное произведение пространств состояний частиц системы [1], причём размерность полученного пространства состояний будет равна произведению размерностей пространств стояний микрочастиц, образующих систему.

Тензорное произведение 2-х пространств с базисами {I.} и {т}} даёт пространство с базисом из элементов (. ® т} и, соответственно размерностью IX ] . В случае квантового бита базис выглядит как С2 ={| 0^, Ц} , для 2-х квантовых

бит (С2) ={|00),|01),|10),|П)}, для п -

(с2) ={|^ Х2, ...хп)}, X е{0,1). Так для двух д-битов, с базисом {|°)®|О^О)®|®|О)^)®Ю} , те.

{| 0^.|0^.|!^.|1^}.

Пси-функция такой системы будет иметь вид:

{°| а (°| а { 01| а0в1

.< 1 в. чУ _< 1 в. (10| в0а1

_(111 м.

В общем случае состояние ансамбля из п q-битoв описывается пси-функцией

(00| а0а1

(3)

вида:

где

* п = І к\к).

к=0

2п -1

X |А| = 1 и к = 0,2п -1.

(4)

(5)

к=0

Существуют наборы операторов, отражающих формализованные воздействия на квантовую систему. Размерность оператора соответствует размерности рас.

Приведу пример: воздействие оператора СМ, называемого квантовым мультиплексором приводит к обмену состояниями 3-го и 4-го бита подсистемы.

СЫ

"1 0 0 0' ( С Л ^00 00 (С Л 00

0 1 0 0 х С01 N = С01

0 0 0 1 |С10 и С11

0 0 1 0 Сц 1 V—ш у 11 V С10 у

И

и

И'

|11>

(6)

Если А - множество (унитарных) операторов, то квантовая схема в базисе А - это последовательность операторов и1 [А,], и2 [А2], ...и, [А,] , где иі є А и

А}. - множество q-битoв. Параметры выбранной квантовой системы вместе с квантовой схемой и задают квантовое вычисление.

.2.

( . .2) .

Рис.2. Условное обозначение оператора Квантовая схема может иметь вид (рис.3):

1 / \ь)

•4 г) г/ 3—\$

Рис.3. Квантовая схема оператора Тоффли

Данная схема реализует оператор Тоффли, выполняющий перестановку значений бита | ^ под управлением битов О и Ь .

1 1 I \ I \ I \&* ®\£), при а = Ь = 1

-iXYX-lY-l 0 а) 0 Ь) .л . (7)

1 ' 1 ' |Ь/ [ 10|£), иначе

Для квантового вычисления может также временно задействоваться условно пустая память, реализованная в том же квантовом регистре [2]. Дополнительная память возвращается в исходном виде после окончания вычисления.

Произвольная функция Б(х) вычисляется данной квантовой схемой, если после применения последовательности операторов и к начальному состоянию системы

/, 0^~п^ , на 1-ых т q-битax с большой вероятностью будет получено её значение

[2]. (Остшгьные q-биты участвуют в вычислении в качестве временной памяти.)

Очевидно, что квантовый алгоритм решения задачи будет выглядеть, как последовательность квантовых схем, применяемая к начальным условиям дан.

Разрабатываемая программная модель производит моделирование квантового вычисление по принципу: «определение набора q-бит - инициализация пси-функций - выбор базиса квантовой схемы - графическое построение схемы в выбранном базисе - организация пошаговой эволюции квантовой схемы - интерпре-

тация результатов моделирования в виде выходной пси-функции»

Программа состоит из 3-х компонентов:

1. .

2. .

3. .

Редактор библиотек (рис.4) позволяет создавать матрицы, используемые при построении квантовых схем и описывающие формализованные воздействия на q-биты вычислительной системы. Матрицы сохраняются в файл библиотек, подключаемый к модели.

Моделирующая подсистема состоит из средства инициализации q^итoв (рис.5), схемопостроителя (рис.6) и, непосредственно, подсистемы реализующей работу мате, .

Рис. 4. Окно редактора матричных библиотек

Рис. 5. Окно инициализации квантовых бит

Квантовая схема набирается из операторов, включённых в библиотеку, выбранную в качестве базисной. Сама схема задаётся графически по общепринятым правилам. Горизонтали представляют q-биты. Эволюция системы организуется посредством применения операторов к подсистемам квантовых бит и может быть представлена конечной последовательностью состояний пси-функций системы.

Процесс моделирования, фактически, определяется последовательностью « » , . . -нием временных срезов, характеризующих эволюцию пси-функции системы q-.

Рис. 6. Редактор квантовых схем

Результат вычисления представляется последним из серии значений последовательности пси-функций, получаемых в ходе работы моделирующей подсистемы. Амплитуды выходной пси-функции могут быть использованы для построения гистограммы выходной вероятности.

Данная модель реализует общепринятый математический подход к описанию квантовых вычислительных процессов и может служить универсальным инструментом синтеза и проверки квантовых алгоритмов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Квантовый компьютер и квантовые вычисления // Регулярная и хаотическая динамика / Под ред. Садовн ичего В А. - Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 1999. - 262 с.

2. Риффель Э., Полак В. Основы квантовых вычислений // Квантовый компьютер и квантовые вычисления. - Москва: Квантовый компьютер и квантовые вычисления, 2000. т. 1, № 1.

3. Гузик В.Ф., Гушанский СМ., Погорелое РА. Моделирование работы квантового кода коррекции с многократным использованием кодирующей ансциллы // УСиМ, №5(205). - С. 3-7.

4. Гузик В.Ф., Гушанский С.М. Моделирование квантовых схем // Известия ТРТУ. - Таган-

: - , 2005, 9(53). - . 66.

Ю.В. Чернухин, М.В. Крамарь

ПРОБЛЕМЫ СИНТЕЗА ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОГО ТРАНСЛЯЦИОННОГО МОДУЛЯ МУЛЬТИТРАНСЛЯТОРА ДЛЯ ОБРАБОТКИ РЕЧЕВЫХ

СООБЩЕНИЙ

В науке и технике повсеместно используются различные формальные языки и прежде всего языки программирования. Все они построены по образу и подобию естественных языков со значительным упрощением, а именно с помощью формальных грамматик. Большинство используемых грамматик - контекстнонезависимые (контекстно-свободные). Это означает, что правило для такой грамматики имеет вид: <символ1> -> <символ2> <символ3>, где в левой части находится всего один символ. Такие грамматики достаточно просты, однако они не