CC BY
49
75/2011 Г^
Вестник Ставропольского государственного университета [¡вдН
шш
РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ КОЛИЧЕСТВЕННОЙ
ОЦЕНКИ ДОЛГОВРЕМЕННОЙ ПАМЯТИ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ДИСКРЕТНЫХ ПРОЦЕССОВ*
Ф. Б. Тебуева, В. А. Перепелица
THE ELABORATION OF QUANTITATIVE ASSESSMENT TECHNIQUE FOR LONG-TERM MEMORY OF EVOLUTIONAL DISCRETE PROCESSES
Tebueva F. B., Perepelitsa V. A.
A technique of qualitative assessment of time series memory is suggested. The occurrence of long-term memory is determined by the location of Hurst index in the black noise area. The algorithm of sequential R/S analysis is suggested for the determination of memory depth. The investigations have been fulfilled in the frames of the "Scientific and Scientific-Pedagogical Personnel of the Innovation Russia" Federal Designated Project.
Key words: time series, long-term memory, Hurst index.
Предлагается методика количественной оценки памяти временных рядов. Наличие долговременной памяти определяется нахождением показателем Херста в области черного шума. Для определения глубины! памяти предложен алгоритм последовательного R/S-анализа.
Нлючевы/е слова: временной ряд, долговременная память, показатель Херста.
УДК 519.86:510.6:681.3
Предметом исследования настоящей работы являются эволюционные дискретные процессы [1, 2], представляющие собой фрактальные процессы. Динамика этих процессов описывается временными рядами [3]. Методологические и содержательные аспекты исследуемой проблемы можно найти в [4]. Фрактальные временные ряды обладают важным фундаментальным свойством: значения (уровни) временного ряда являются зависимыми между собой. Это свойство называют персистентностью [5] временного ряда или временной ряд с долговременной памятью. В качестве эффективного инструментария для моделирования процессов с долговременной памятью зарекомендовали себя методы нелинейной динамики [4, 5]. В настоящей работе предлагается методика количественной оценки памяти эволюционных дискретных процессов с долговременной памятью, базирующаяся на таком методе нелинейной динамики, как фрактальный анализ.
Основным инструментарием фрактального анализа временных рядов является алгоритм Я / £ -анализа, который известен под названием «алгоритм нормированного размаха Херста» [5]. Целью фрактального анализа какого-либо временного ряда является обнаружение наличия в нем долговременной памяти, оценка ее глубины, а также значение показателя Херста Н [5].
'Исследования выполнены в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России».
Ф. Б. Тебуева, В. А. Перепелица
Разработка методики количественной оценки долговременной памяти эволюционных...
Обозначим произвольный временной ряд через
Z = (zf), i = 1n . (1)
Работа алгоритма R /S -анализа состоит из следующих шагов:
Шаг 1: Разбиение временного ряда Z на начальные отрезки Zt = z1;z2,...,zt, t = 3,4,...,n.
- 1 t
Шаг 2: Нахождение текущего среднего zt = — ^ zi для каждого начального отрезка Zt.
t i=i
Шаг 3: Вычисление накопленного отклонения для его каждого начального отрезка длины
т : Хм = Z(u< — ut)' 1 = 1,т .
i=1
Шаг 4: Нахождение разности между максимальным и минимальным накопленными отклонениями R = R(t) = max (Xt t)- min(Xt t), которую принято называть термином «размах R ».
4 7 1<i<t V '' ' 1<i<ТК '' '
Шаг 5: Нормировка размаха R, т. е. представление в виде дроби RS, где S = S(т) -стандартное отклонение для отрезка временного ряда Zt .
Шаг 6: Получение H -траектории, абсцисса которой равна xt = t, ордината -
y = H t )= ""R* f)).
Л v ' log(t/2)
Шаг 7: Получение R/S -траектории, абсцисса которой равна xt = log(t), ордината -Ут = log (R(t )/ S (t)).
Основанием для утверждения о том, что временной ряд Z обладает долговременной памятью является выполнение следующего условия: его H -траектория через несколько своих начальных точек оказывается в области черного шума, а для его R/S -траектории эти точки вхождения в черный шум демонстрируют собой наличие тренда. Глубину этой памяти определяет такой номер t = l, для которого выполняется следующее условие: в точке l H -траектория, находясь в области черного шума [7], получает отрицательное приращение, а R/S -траектория в этой точке демонстрирует так называемый «срыв с тренда» [5, 6], т. е. резкое изменение тренда предшествующих 1,2,...,l точек R/S -траектории. При этом, если H -траектория получала отрицательное приращение в некоторой точке t < l, то эта точка еще не достигала зоны черного шума: H(т) < 0,6.
Ниже приведена методика получения нечеткой оценки «глубины памяти временного ряда в целом», в основе которой лежит «алгоритм последовательного R/S -анализа». Работа алгоритма последовательного R / S - анализа состоит из следующих 3 этапов:
Этап 1. Формирование на базе временных рядов Z семейства S(Z)=\zr}, Zr = ,
i = 1,2,...,nr, r = 1,2,...,m , состоящего из m временных рядов Zr, где индексом i занумерованы элементы r -го ряда, получаемого из (r — 1) -го временного ряда Zr 1 путем удаления его первого элемента z1r—1. Здесь m определяется как наибольшее значение индекса r такое, что ряд Zm = {zm), i = 1,2,...,nm еще имеет точку смены тренда в его R/S-траектории; исходный временной ряд Z также принадлежит семейству S(Z) , в котором ему присвоено значение индекса r = 0 .
75/2011
Вестник Ставропольского государственного университета
Этап 2 осуществляет R / S -анализ временных рядов из семейства S(Z) и формирование нечеткого множества значений глубины памяти о начале ряда для каждого временного ряда из этого семейства.
Введем обозначения: N(l) - количество всех рядов Zr из семейства S(Z), у каждого из которых номер точки смены тренда lr равен числу l; l0 = min l ; l' = max l r;
л ^ ^ Г 1<r<m
1 < r < m
r N (l)
m = V N(l) ; d(l) =--доля таких рядов в S(Z), у каждого из которых потеря памяти
П0 m
произошла на глубине l; iL = {l} - множество носителей [6], т. е. множество значений номеров точек смены тренда в рядах из семейства S(Z); L(Z) = {(l, j(l) )}, l e L0, L(Z) - нечеткое множество «глубины памяти для временного ряда Z в целом», j(l) - это значения функции принадлежности «глубины l» нечеткому множеству L(Z). Значения j(l) пропорциональны числам d(l), l e L0; они получаются путем нормирования значений долей d (l) так, что jj(l) < 1 для всякого l e L(Z).
Этап 3. Формирование нечеткого множества для семейства S(Z) осуществляется путем попарного объединения элементов: носитель - функция принадлежности.
Обобщенную оценку глубины памяти временного ряда можно получить, выполнив дефа-зификацию нечеткого множества глубины памяти по формуле центра тяжести:
1цт = fe l ■ m(l ))/fl m (l)). (2)
l
i
Рассмотрим конкретный временной ряд недельных объемов осадков, выпавших в г. Став-
рополе за период с 01.01.2008 по 28.12.2009 гг. Обозначим его через X = (х^, I = 1,105, на рисунке 1 дано его графическое представление.
мм
10
кУЛ
П.
А
, , Ш......чГ1
Ч'Р-"-,
! ЬI
II II
fj
Vi
£ 1? Г 21 :: SS
э »j sr. :i -so '?. " s- s: 89 i;s ^ iu с: портздюэвый номер недели
Рис. 1. Графическое изображение временного ряда X недельных объемов осадков
Ф. Б. Тебуева, В. А. Перепелица
Разработка методики количественной оценки долговременной памяти эволюционных...
Глубина памяти временного ряда X, вычисленная согласно описанной выше методики, представляет нечеткое множество
I (X ) = {(; ,(;))}={((4;0-42))((5;0Д8)((б'0'68))((7;0'90)'}. <3)
[(8;0,54),(9;0,42),(10;0,12),(11;0,0б) ]
Визуализация нечеткого множества Ь (X) дана на рисунке 2.
и и - ЛР. . : 1 ■ ш ■.м степень принэдляжности 1 Г УЗ т а -г-■
г> Я - ~У2 ■ ] ' Г I : ''. Гг5 ■ - 4 т К- 1 1 я 1 -, ■ — = с 11 1 ■
глубина памяти
Рис. 2. Нечеткое множество глубины памяти временного ряда X
Из рисунка 2 можно сделать вывод, что типичной глубиной памяти является I = 7. Это означает, что в большинстве случаев намечающиеся тенденции во временном ряде могут развиваться в течение ближайших 7 недель. Обобщенная оценка представляет величину 4,5 недели.
Классическая математическая статистика базируется на центральной предельной теореме (Закон больших чисел), которая утверждает, что по мере проведения все большего числа наблюдений, предельное распределение случайных значений будет нормальным распределением. Последнее означает, что события должны быть независимыми, т. е. не должны влиять друг на друга, и при этом все они должны иметь одинаковую вероятность наступления. Доя большинства реальных временных рядов не выполняются условия «нормальности». Для таких временных рядов применима бурно развивающаяся в последние десятилетия новая статистика, называемая фрактальной. В основу настоящей статьи положен алгоритм Херста определения наличия долговременной памяти. Предложенная методика позволяет получить оценку глубины долговременной памяти, которая может меняться дифференцированно вдоль временного ряда. Данная оценка имеет вид нечеткого множества, которое при необходимости можно свернуть в число.
75/2011 Г^
Вестник Ставропольского государственного университета [¡вдН
ЛИТЕРАТУРА
1. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. — М.: Наука, 1980. — 454 с.
2. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. — М.: Мир, 1999. — 335 с.
3. Копцик В. А. Синергетическая парадигма. Нелинейное мышление в науке и искусстве. — М.: Прогресс-Традиция, 2002. — 496 с.
4. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Нелинейность. Новые проблемы, новые возможности. В кн. Новое в синергетике. Загадки неравновесных структур. — М.: Наука, 1996. (Серия «Кибернетика: неограниченные возможности и возможные ограничения»). — С. 165—190.
5. Перепелица В. А., Тебуева Ф. Б., Темирова Л. Г. Структурирование данных для двухуровневого моделирования методами нелинейной динамики. — Ставрополь: Ставропольское книжное издательство, 2006. — 284 с.
6. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: Применение теории Хаоса в инвестициях и экономике. — М.: Интернет-Трейдинг, 2004. — 304 с.
7. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — 528 с.
Об авторах
Тебуева Фариза Биляловна, ГОУ ВПО «Ставропольский государственный университет», кандидат физико-математических наук, доцент кафедры организации и технологии защиты информации. Сфера научных интересов - методы нелинейной динамики для моделирования социально-экономических процессов, оптимизация дискретных процессов в условиях неопределенности.
1еЪиеуа @81аУ8и.ги
Перепелица Виталий Афанасьевич, ГОУ ВПО
«Ставропольский государственный университет», доктор физико-математических наук, профессор-консультант кафедры компьютерной безопасности. Сфера научных интересов - методы нелинейной динамики для моделирования социально-экономических процессов, оптимизация дискретных процессов в условиях неопределенности, экономическая кибернетика. регере12@ yandex.ru
