Разработка математической модели для компьютерного исследования характеристик надежности аппаратно-избыточной технической системы, участвующей в конфликтной ситуации Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 004.94:519.711.3

В. И. ПОТАПОВ

Омский государственный технический университет

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ КОМПЬЮТЕРНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ АППАРАТНО-ИЗБЫТОЧНОЙ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, УЧАСТВУЮЩЕЙ

В КОНФЛИКТНОЙ СИТУАЦИИ_

В статье предложены алгоритмы для разработки новой математической модели аппаратно-избыточной технической системы, участвующей в конфликтной ситуации, которая, в отличие от известных моделей, более адекватно отражает реальные процессы замены отказавших основных блоков резервными и учитывает конечную надежность системы контроля и диагностики отказавших в процессе конфликта блоков технической системы. Это дает возможность с большей точностью вычислять характеристики надежности технической системы, исследовать ее поведение в процессе конфликта и решать задачу оптимального распределения резервных блоков между основными для максимизации надежности системы в процессе конфликта. Ключевые слова: математическая модель, техническая система, алгоритм, надежность, аппаратная избыточность, конфликтная ситуация.

Введение. Известно, что конфликтные ситуации возникают тогда, когда сталкиваются интересы двух или нескольких враждующих сторон, преследующих различные, а иногда прямо противоположные цели, и между ними возникает противоборство за достижение собственных целей в создавшемся конфликте с использованием имеющихся у каждой из сторон средств нападения и защиты. Такие ситуации чаще всего возникают в военном деле, технике, экономике, бизнес-процессах и других областях деятельности.

Вопросам поведения технических систем в конфликтных ситуациях и проблемам оптимизации их надежности в процессе конфликта за счет целенаправленного использования для защиты от атак противника аппаратной избыточности посвящено большое количество научных работ отечественных и зарубежных авторов [1 — 10], из которых наиболее близкой к рассматриваемым в данной статье вопросам является работа [10]. Поэтому при дальнейшем рассмотрении проблем разработки математической модели аппаратно-избыточной технической системы, участвующей в конфликтной ситуации, будем использовать основные положения, понятия, определения, аппаратно-структурные решения технической системы и по мере возможности обозначения из [10].

В указанных выше работах — для упрощения моделей конфликтующих технических систем — считалось, что система контроля и диагностики работы технической системы для подключения резерв-

ных блоков вместо функциональных, отказавших в процессе конфликта у атакуемой системы, крайне мала, и ее реальная надежность, влияющая на работоспособность технической системы, не учитывалась. В этих работах также полагалось, что любой резервный блок, относящийся к соответствующей группе взаимосвязанных основных и резервных блоков, может подключаться для замены любого подряд стоящего отказавшего функционального блока из этой группы. В реальных технических системах это не всегда возможно в силу конструкторско-технических или технологических причин, а также в силу ряда причин, вызванных особенностями подключения основных и резервных блоков и их взаимодействия друг с другом.

В данной статье сделана попытка устранить указанные выше пробелы в известных трудах и разработать новую математическую модель аппарат-но-избыточной технической системы, участвующей в конфликтной ситуации, более адекватно отражающую реальные процессы замены отказавших основных блоков резервными и конечную надежность системы контроля и диагностики отказавших в процессе конфликта блоков. Это позволит с большей точностью вычислить характеристики надежности технической системы, исследовать ее поведение и оптимизировать надежность в процессе конфликта за счет рационального распределения резервных блоков между основными.

Разработка математической модели. Будем считать по аналогии с [10], что в конфликтной

ситуации участвует аппаратно-избыточная техническая система, состоящая из п (п = п1 + п2 +...+ п) основных функциональных и т (т = т{ + т +...+ р^;зе]звт1х )локов, разбитых на ь групп, в каждой из которых находится ок (В X] X е) основных и Ы] (В X] X е) резервных блоков, представляющих целочисленный вектор резервирования 5 = (Ив, 52,...,5е), используемых для замещения отказавших основных блоков только в соответствующей группе. С целью устранения указанных выше недостатков известных моделей, участвующих в конфликтных ситуациях аппаратно-избыточных систем, введем в разрабатываемую математическую модель дополнительное ограничение на заменх отеазавших ос но хные блоков резервными, сводящееся к тому, что, в силу имеющихся в реальныы твхнихеских си-стевхх кенструкторских и иных, в частности технологических, особенностей и причин, обенпечива-ет=я возмыжностьподключения резервных блоков в г-й группе вместо не более чем (1 X г, X оВ) расположенных подряд отказавших в течение конфликта основных блоков в этой группе. Очевидно, чтопри е = 1 л, =л=1хг хы), а п основных и т резервных функциональных блоков рассматриваемой технической системы объединены в одну группу. В работах по теории надежности [11] рассматриваемые в данной статье аппаратно-избыточные системы при е > 1 иногданазывают системами с распределенным скользящим резервом, при е = 1 — системами с сосредоточенным скользящим резервом.

Для большей адекватности разрабатываемой математической модели реальным техническим си- 0 стемам будемучитывать конечную надежностьси-стемы контроля и диагностики работы технической системы для подключения резервных блоков вместо отказавших функциональных в процессе конфликта у атакуемой системы и обозначим ее Скп. Система контроля и диагностики, так же как и тех- ( ническая система в целом, подвержена атакам про-тивника,стремящегося дестабилизировать ее работу, то есть увеличить интенсивность отказов Я (Ц этой системы в процессе конфликта. Система Скп в работоспособном состоянии обнаруживает и диагностирует отказы работающих функциональных блоков сразу же после их возникновения и выдает команду на замену отказавшево блока резервным. Временем контроля и диа] ностики в данной модели будем пренебрегать, поыагах, хто контроль и диагностика проводятся параллельно с работой технической системы по прямому наз на)ению, то есть считая, что временная избыточ ность в дан-н] й технической системе отсутл (вуел . о ) )

Отказ системы Сп не вызывает немедленно отказ участвующей в конфликтов литуавхи х ас-сматриваемой аппаратно-избыточной технической системы, которую обозначим 5"(о,ы,И,Сш), но по-слв ег о воз никновения последующий отказ любого рабочтго тлока приводит к отказу всейтехнической сит темы.

Будем считать, что в какестае средства атаки протывнск имеет возможность влиять на увеличение в процессе конфликта интeнcивнoстей отказов (В) (1 X к X о) основных функциональных блоков и интенсивностей откалов, не включенных в работу резервных блоков технической системы, а также на увеличенее инттнсввнохты отказов Яс(Ц системы Скп контроля работы и диагностики технической системы П(о,ы,И,С0о) и подключения резервных блоков вместо отказавших. При этом, в зависимостиот стратегии атакующего противни-

ка, закон возрастания интенсивности отказов мо-жет взвеняться, например от линейного до экспоненциального.

Учитывая вероятностньш характер поведения участвующей в конфликтной ситуации S(n, ж, Я, Си )-системы, сабавначии[ через p.(t) вероятность нахождения системы в состоянии с з (0 В з В ж) отказамив ра-иотающих фуняцсонаиьных блоках, а через pkn(t) — вероятность нахождения рассмвтриьаемойсистемы в состожнии зтквиа системы Ckn контроля ее работы и подключения резервных бсоков вместо отказавших осяовтыя сВт1зк1)ызнасьных блоков.

О3ызсетим череи Ak (1 В k В ж) интенсивность пе-резссда И)пзж,Я,Сь)-системы из состояния с (k—1) откавамв в основных работающих функциональ-жых блина в шсуоыние с k подобными отказами; Dk (0 В k В ж + 1) — суммарная интенсивность переходу Б(р,ж,Я,С,)-вистемы из состояния с k отказами в основных работающих функциональных Злок ах в (оь то я ние р ((х+ 3 ) анатзсгичными отказами в состояние оаказа системы жонтрюля и диагностики ЗзС, и в сясто5В1^],1е; «гиOeли», то есть полно-

kn

го отказа системы; Bkn — интeнруунocвь иерехода S(р, ж,Я, Си )-системы и) совтояния отказа иистемы Ckn контроля (т работы и подалювение )^езервных блоков вместо отказавших в востояние «гибели» системы.

тппвоксимируя ио]Е!сд^:^т6] yчaзтвсющей в конфликте технcчeскoй сивтемы S(p,ж,Я,Смарков-^ким процессом в рредЯвсожении простейшего потока откавов) нeайylвю ролучить по известной методике ]12( 13] систему дифферьнциальных узав-нений Колv[тeр«ювk, опив:^1вающих функционирование рассматриваемой тегениьеской систеиы в ;с-ловиях конфеикна;

^7;(г) = -]íBoJPo(е ), Л-а Ре; (В -d «рk(t)в k = i, 2, ;ж m

рB](С = вc(p;[Рo(t;+

+РlBt)+■■■+Рж(t;]-в+рpй) (i)

с начрлывыми уно+иями

-Рн(0) т1,РlO0«тр2(0) т,.. т

тртВ0 ) = в Ц0) = B],

где

Вв жР-Ви, (-),

Теперь необходимв pовpaOoтать алгориин(o« идя ор^д^еим тоэффициентов Ak и Dk из систеиы уравн ен (й ( 1).

Обожначим через z.r коэффициент, вчитывв-вщий чаить из оещтго чиста всех возможных j-кратных отказов рабочих блоков в i-й (i В 3 В и) гавзне (n.+m.) блоков рассмаириваемой сеxтхчe-ской системы. Тогда инт нсивность переходов Ak (i В k В ж) технической системы S(м, ж, Я, Си ) из состояния с (к — 1 ) отеазами в основныхработа-ющих функциональных блоках в состояние с k подобными отказаме можно зтисать в виде

Ak т (Р) - a) В) (Е).

Определение коэффициентов z.r сводится к решению следующей комбинаторной задачи: найти

число расстановок ] единицу на п. местах таких, что в каждой расстановке нет г + 1 подряд стоящих единиц. Искомое число расстановок обозначим

£ (п, ])■ Тогда

z,r=fr (зJVQ (1 а о а m),

(2)

чиссо сочетании с n. по j.

ской системы S(n, m, S,Cfa) пар воздействием атак; противника, представвеыных ]в состеме урнвнений (1) коэсТЯмциентом 661 (ОаМаот);

Из анали1 а рассматриваемой структуры S (т, —, S, Со)-ти етом ы и описанных выше прино в -пов ее р а боты амеер

гДе (

Для нахождения вида функции f (n, j) при любых n, j, r ве с по ль зуе мся м ето до м тро изводящей функции, подробно изложк нным в [14, 15].

Для произвольного r нетрудно получить следующую рекуррентную форм(лу

f (n, j)=f (п° - 1, j) + к з - о, с - 11 +... -о

+ ./Г (с т - г, р и составить проиоводящую функцою в виде

бм - ds м

(( Т1 В Р вМ ))-Св

ем. е° (-)

Ш,

где й(С) — коаичесвос все^зс возможньнх комбинаций из к < т отказов в с группах технической системы 5"(и,от,о,Сп} ери устовии, что в каждой группе число отказов непревышает т..

Отсюса слесует, пто ве(к) есть число неотрица-тельныхцелочисленных решеней уравнения

М В е2 В-----см„ - М

(аааар)

(5)

где

евЛхм)--оВ?а Ро1з,е(м"'Tj, i<h (3)

з-г н—1

ов, (глл з —ТоеГ)в, в>1,

овег, (СЛЛ Т' — (те1(в В1) в>0,

ов В 2, если з — (ое1)ве2, в>0,

ов В г, если з — (о В 1)вВ о, в > 0.

После зуммиы0вания выpтжввио (3) оjjíihим^—о

вид

^ _ ч 1 1 -В вт В зстс В-----В зо V

е (е, т) — -я--е- '

J0](тl,бм,■) =

аа

(з-я j -1)!

взсв—сзrе] — з-.н 3i!33c!'*'3гВ1 1

при следующем тгзaвиоeнии:

О ^ е, а з

(' — 1,1),

(6)

1яз 1 - е(1 ВеоВ з Т В-----в *°T°)

Разлежмв F--, y) в ряд по степеням ы. у. деri-о получ игь н^о эфф 1^цм^ент^1 пр не в"'до"'', к ото рые пред-ставляюе соНой и-кoмрыы ф—нкцию f (n., ]).

Проводя указанные выше преобразсватия, получим

где х. — число отказовблоков в .-й группе системы

5 m, I0, Сти у.

Число всех неотрицательных решений уравне-ния(5)известно[14]и равно С,,.

Обозначим через (1) число неотрицательных целочисленныхрешений уравнения (5) с ограничениями (6) при

Л е \ущ + V, (V + )}пв + у],

V = о,е,.. „\п,(с - е}/(И;+ еу],

где [х] означает целою часть ^т;^.

Поскольку в еаждой группе содержится т. резервных блоков, то цетес-обраоно уравнение (5) привести квиду

О < w< m-1, 0 < в в

(7)

(4)

Тогдо решение поктевленней задачи нахождения djk) сводится к нахвждечию рекррре^нтной формулы длм d В) ив тpeанeтие (в').

Опуская премежутомные вычисления, приведем окончателрное евфежени))

Исполкзуя вьфожетия (2) и (4), неврудно с помощью комонютнта тыкислитс аначение коэффициенте в Н0 () он Т Н вт}, если известны интенсивности отказов о((Кт), еовисящие о1, суепени воздействия противокка на уаиптвуютую в коефликтной ситуации 5 (п, от, 0, Сп }-си стему.

Перейдем к разра-отое алгорттма доя вычисления суммарной интс нсивностипереходов техниче-

d^(') д ^-"^т прч е^.оСодсоеМ-1,

где

если рр > в, р -1, ерли ре < в,

а фуЕ!кция f (]) о^еделя^'зся слчдуюдидс образом:

f (] )ит]!СТ "" eи-lмг,l)(wт, -Ь w- Ср1 - qic-----С(),))--)

91)92)-----))р^ д]Р' е

Р^Рс ^^^Р]

вП' еw

е Сб СТ É ea-пзa) (оТ■ )с w - 2)Р1 " )1)c ^ •'

С2, С ))1^Р]с)-----ер^и]— ею2

Ш' ew

~СТ É d0_],м(],_) (вз )(w •_ ■7'Р>1 _ Ри • ^ •

tj- )Тl 1)Фс е-• ■ 1)Р]_7е1 и]—' ер1 J

_Р)_ce))e■•• +

[( vn, + w)/ j]

+ С j

Z d

g-j,u(j,j)

(vn, + w -j ф),

ф| =m, )

где

со ,=( j - 1) + )j -j-j -,+ 1) ) 2, u(t, j) j(vn,+w - -CP! -

Ф2

Pj -,/ 1)/n, •

Зак лючение. Зная, как вычислить коэффициента: Ak, Dk и Бы системы уравнений (1), представляющие с об о й лоо лветствующие интенсивности переходов аппаратно-избыточной технической системы S(n, m, J, Cfa) из одного состояния в другое (указанные выше), а также законы изменения интенсив-ностей отказов h.(t), X(t) и Xjt) соответствующих компонентов подверженной атакам противника системы, тучаствующей в конфликтной ситуации, и используя метод дискретизации [1, 10] для решения дифференциальных уравнений (1) с переменными во времени коэффициентами, можно с помощью компьютерного моделирования исследовать поведение рассматриваемой аппаратно-избыточной технической системы в процессе конфликта, определить любые характеристики надежности этой системы и решить задачу оптимального распределения резервных блоков между основными как средство защиты от атак противника, для максимизации вероятности безотказной работы системы или среднего времени ее работы до отказа в процессе конфликта в зависимости от действий атакующей стороны и поставленной задачи перед защищающейся стороной.

Библиографический список

1. Потапов, В. И. Новые задачи оптимизации резервированных систем / В. И. Потапов, С. Г. Братцев. — Иркутск : Изд-во Иркут. ун-та, 1986. — 112 с.

2. Nartov, B. K. Conflict of Moving Systems. - AMSE Press, France, 1994. - 87 p.

3. Конфликт сложных систем. Модели и управление / Б. К. Нартов [и др.]. - М. : Изд-во МАИ, 1995. - 120 с.

4. Нартов, Б. К. Управление подвижными объектами. Формализация и модели / Б. К. Нартов. - Омск : Изд-во ОмГУ, 2002. - 83 с.

5. Лефевр, В. А. Конфликтующие структуры / В. А. Ле-февр. - М. : Советское радио, 1973. - 159 с.

6. Потапов, В. И. Модель и алгоритм численного решения задачи противоборства двух избыточных, восстанавливаемых после отказов технических систем / В. И. Потапов // Проблемы управления и информатики : междунар. науч.- техн. журн. — 2015. - № 4. - С. 70-78.

7. Потапов, В. И. Математическая модель и алгоритм оптимального управления подвижным объектом в конфликтной ситуации / В. И. Потапов // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2014. - № 7. - С. 16-22.

8. Потапов, В. И. Задачи и численные алгоритмы оптимизации надежности аппаратно-избыточной технической системы в конфликтной ситуации при различных стратегиях защиты от атак противника / В. И. Потапов // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2015. - Т. 16, № 9. - С. 617-624.

9. Potapov, V. I. Model and Numerical Solving Algorithm of Counteraction Problem for Two Restored after Failure Redundant Engineering Systems // Journal of Automation and Information Sciences. 2015, v. 47, p. 41-51.

10. Потапов, В. И. Противоборство технических систем в конфликтных ситуациях: модели и алгоритмы / В. И. Потапов. -Омск : Изд-во ОмГТУ, 2015. - 168 с.

11. Гнеденко, Б. В. Математические методы в теории надежности. Основные характеристики надежности и их статистический анализ / Б. В. Гнеденко, Ю. К. Беляев, А. Д. Соловьев. - Изд. 2-е, испр. и доп. - М. : Кн. дом «ЛИБРОКОМ», 2013. - 584 с.

12. Вентцель, Е. С. Исследование операций / Е. С. Вент-цель. - М. : Советское радио, 1972. - 550 с.

13. Козлов, Б. А. Справочник по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики / Б. А. Козлов, И. А. Ушаков. - М. : Советское радио, 1975. - 472 с.

14. Риордан, Дж. Введение в комбинаторный анализ / Дж. Риордан. - М. : Изд-во иностр. лит., 1963. - 287 с.

15. Холлб, М. Комбинаторика / М. Холлб. - М. : Мир, 1970. - 424 с.

ПОТАПОВ Виктор Ильич, доктор технических наук, профессор (Россия), заведующий кафедрой информатики и вычислительной техники, заслуженный деятель науки и техники РФ. Адрес для переписки: ГУ! @ omgtu.ru

Статья поступила в редакцию 12.04.2016 г. © В. И. Потапов

Книжная полка

004/Н56

Нестерук, В. Ф. Информатика : учеб. текстовое электрон. изд. локального распространения : конспект лекций / В. Ф. Нестерук. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2016. - 1 о=эл. опт. диск (CD-ROM).

Приводятся краткие теоретические сведения по терминологии алгебры логики и минимизации логических функций с помощью карт Карно. Рассматриваются примеры графического представления алгоритмов выполнения арифметических операций над двоичными кодами чисел и примеры машинной реализации этих операций в системе инструкций гипотетического операционного устройства. Предназначен для студентов, обучающихся по направлению подготовки «Информатика и вычислительная техника».