Разработка математической модели БПЛА на базе квадрокоптера с рамой DJI f-450 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Разработка математической модели БПЛА на базе квадрокоптера с

рамой БЛ Р-450

В.С. Лазарев, А.А. Лащев Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону

Аннотация: В статье разрабатывается трехмерная математическая модель БПЛА на базе квадрокоптера как наиболее распространенного типа БПЛА на данный момент. Квадрокоптер базируется на раме БЛ Б-450. При разработке модели учитывались кинематические и динамические характеристики, тяга приводов и матрицы поворота в трехмерной системе координат.

Ключевые слова: квадрокоптер, БПЛА, модель кинематики, модель динамики, трехмерная среда, БЛ Б-450, двигатель, матрицы поворота, тяга, подвижный объект.

1. Введение

История применения БПЛА насчитывает более полувека. На сегодняшний день актуально использование беспилотных летательных аппаратов (БПЛА) для решения широкого круга задач: как военных, так и гражданских [1]. Например, в задачах, связанных с групповым управлением подвижных объектов [2,3].

Но при том, что в нашей стране и мире разрабатывается и исследуется большое число различных видов БПЛА [4], обычно объектом исследования зарубежных [5-7] и отечественных [8, 9] ученых выступает квадрокоптер. Этому есть несколько причин. Одна из них - дешевизна в производстве по сравнению с другими типами БПЛА. Например, расчетная стоимость при массовом производстве может достигать 10 долларов за единицу [10]. В том числе и снижение стоимости малоразмерных БЛА при их массовом производстве сделает экономически целесообразным их групповое применение. В работе [10] предложено выделять несколько этапов создания и применения БПЛА, первым из которых является разработка отдельных БПЛА. Создание таких систем невозможно без построения математических моделей каждого квадрокоптера.

2. Описание модели квадрокоптера и принятые допущения

Внешний вид квадрокоптера на базе рамы БЛ Б-450 представлен на рис. 1 а. Согласно рис.1 а, каждый двигатель создает тягу и момент вращения. Моменты двигателей 1 и 3, компенсируются моментами 2 и 4.

а б

Рис. 1- Квадрокоптер: а) с системой координат, б) углы ориентации

Приняты следующие допущения: рама квадрокоптера и его винты абсолютно жесткие; каждый двигатель располагается на концах лучей рамы; тяга, создаваемая каждым винтом, перпендикулярна плоскости OXY.

На рис. 1 б приведено изображение инерциальной системы координат, относительно которой будет вращаться связанная система координат квадрокоптера. В ней использованы углы Эйлера из рис.2. Связь между двумя системами координат осуществляется с помощью матрицы [4]:

сy • св су•sф• se-sy • сф су • сф^в+s^sy

Л(ф,в,у)= sy• св s^sy• se+сф-су sy• сф-se-су• sф , (1) - se sф■cв сф-св

Где sin- s и ms- с соответственно.

Двигатели 1-4 являются электроприводами постоянного тока.

Параметры двигателей: Jr - момент инерции вала; Ь - коэффициент вязкого

трения; К- коэффициент ЭДС; К^ - момент вращения двигателя; Я -

электрическое сопротивление цепи; L - индуктивность.

На основе 2-го закона Ньютона и закона напряжений Кирхгофа мы можем записать следующее матричное уравнение (2):

с Ж

Ж

-ь К1_

Jг,

г г

- Ке Я

г Тг

с + " 0 " 1 ■ и

1 _ •1г _

(2)

Находим тягу винтов квадрокоптера (3): р = ст -Р-А(с-ВгаЖ)2,

(3)

где Ст - коэффициент тяги; р - плотность воздуха; А - площадь диска, который образует пропеллер; ^ - радиус ротора.

З.Движение квадрокоптера в связанной системе координат

Уравнения кинематики(4) и динамики(5) в общем виде выглядят так: у = Я(ф,в,¥)х (4)

х = М-1 (( + ^ + ^) (5)

где, у = [рг вР]т - вектор внешних, базовых, неподвижных, земных координат (положение робота), х = [ут £оПг - вектор внутренних координат, ¥и - вектор управляющих сил и моментов, ^ - вектор внешних сил и моментов, ¥у - вектор гравитационных сил и моментов, М матрица массо-инерционных параметров. Раскроем модель кинематики (5), используя (1):

х0

У 0

¿0 ф

в V

~А(ф,в,¥) 0

0 А№ (ф,вV

К у.

Сх

С

с,

(5)

Где, А (ф,в,щ) =

1 8Шф- Щв 008 ф- Щв

0 008ф - 8Шф

0 8Шф 008 ф

008>в 008в Раскроем модель динамики квадрокоптера (6):

"V*"

Ку

V;

0 *

0 у

0 ;

тх

о

о

ту

о о

о о о о

о о

о о

о о

т2 о

о Jx

о о

о о

3

о

о о о о о о

о о о

- т{о>Уу -(уК )- С,

р*-

V2

/ \ V2

- Щ^хК ) + Су ря —

( \ V2

- т {сОуУх-®Уу) + С2 ря—

- 3у К( + тР,У-/ ч V2

-(х - )(х(; + ту ря — -(у - 3х К°у +

Г р 1 их

- тозЫзтф)

Ри Кх + - С05(9)с05(ф) о

Ку о

_ К; _ о

Тогда управляющие силы и моменты будут равны (7) и (8).

(7)

Р =

о о

СТ -р- АЯгас12(12 + ®22 + ®32 + (2)

Ыр =

СТ ■р-АЯГас1 21 008(рк )( СТ -р- АКШ2/вт(<рк%

ь(- (

2 2,2 2 \ ( -®4 +®2 -®1 j

2222 ( -®1 + ( -®3 )

- ( + (о\ - (£>1 + 0)1

)

(8)

тщ

(6)

4. Заключение

В статье разработана трехмерная математическая модель БПЛА на базе квадрокоптера, с рамой БЛ Б-45о при некоторых допущениях. Для описания движения квадрокоптера в пространстве использовались 2 системы координат. При этом учитывались: кинематика и динамика движения; силы и моменты, действующие на БПЛА. Приведена математическая модель двигателей (электроприводов постоянного тока) 1-4. Разработанная математическая модель будет использована при разработке систем группового управления движением БПЛА.

+

Благодарности

Работа выполнена при поддержке проекта НИР СП-4658.2018.5 (Конкурс СП-2018).

Литература

1. Кульченко А.Е. Структурно-алгоритмическая организация автопилота робота-вертолета // Инженерный вестник Дона, 2011, №1 URL: http://ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2011/330/.

2. Белоглазов Д.А., Гайдук А.Р., Косенко Е.Ю., Медведев М.Ю., Пшихопов В.Х., Соловьев В.В., Титов А.Е., Финаев В.И., Шаповалов И.О. Групповое управление подвижными объектами в неопределенных средах. М.: Физматлит, 2015. 304 с.

3. Иванов Д.Я. Пространственные формации в группах беспилотных летательных аппаратов // Материалы конференции «Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах» (УТЭОСС-2012). СПб.: ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2012. С. 1226-1229.

4. Кульченко А.Е., Лазарев В.С., Медведев М.Ю. Метод управления движением гексакоптера в трехмерной среде с препятствиями на базе динамических отталкивающих сил // Инженерный вестник Дона, 2016, №4 (43) URL: http:// ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2016/3828.

5. Madani T., Benallegue A. Backstepping control for a quadrotor helicopter // Proceedings of the IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems, 2006. pp. 3255-3260.

6. Castillo P., Dzul A., Lozano R. Real-time stabilization and tracking of a four-rotor mini rotorcraft// IEEE Transactions on Control Systems Technology. -2004. № 12 (4). pp. 510-516.

7. Gong X., Hou Z.-C., Zhao C.-J., Bai Y., Tian Y.-T. Adaptive Backstepping Mode Trajectory Tracking Control for a Quad-rotor // International Journal of Automation and Computing, 2012. № 9 (5). pp. 555-560.

8. Огольцов И.И., Рожнин Н.Б., Шеваль В.В. Математическая модель квадрокоптера аэромобильного лидара // Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. № 1. C. 47-55.

9. Петраневский И.В., Борисов О.И., Громов В.С., Пыркин А.А. Управление квадрокоптером с компенсацией ветровых возмущений // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2015. №6 С. 1045-1053.

10. Соколов В.Б., Теряев Е.Д. Беспилотные летательные аппараты: некоторые вопросы развития и применения (обзор по материалам публикаций в Интернете) // Мехатроника. Автоматизация. Управление. 2008. № 2. C. 12-23.

References

1. Kulchenko A.E. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2011, №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2011/330/.

2. Beloglazov D.A., Gajduk A.R., Kosenko E.Ju., Medvedev M.Ju.,Pshihopov V.Kh., Solovjev V.V., Titov A.E., Finaev V.I., Shapovalov I.O. Gruppovoe upravlenie podvizhnymi objektami v neopredelennyh sredah[Vehicles group control in uncertain environments]. M.: Fizmatlit, 2015. 304 p.

3. Ivanov D.Ya. Materialy konferentsii «Upravleniye v tekhnicheskikh, ergaticheskikh, organizatsionnykh i setevykh sistemakh» (UTE0SS-2012). [Proc. Symp. Management in technical, ergatic, organizational and network systems -2012]. Saint-Petersburg, 2012. pp. 1226-1229

4. Kulchenko A.E., Lazarev V.S., Medvedev M.Yu. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2016, №4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2016/3828.

5. Madani T., Benallegue A. RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems, 2006. pp. 3255-3260.

6. Castillo P., Dzul A., Lozano R. IEEE Transactions on Control Systems Technology. 2004. № 12 (4). pp. 510-516.

7. Gong X., Hou Z.-C., Zhao C.-J., Bai Y., Tian Y.-T. International Journal of Automation and Computing. 2012.№ 9 (5). pp. 555-560.

8. Ogolcov I.I., Rozhnin N.B., Sheval V.V. Izvestija TulGU. Tehnicheskie nauki. 2012. № 1. pp. 47-55.

9. Petranevskij I.V., Borisov O.I., Gromov V.S., Pyrkin A.A. Nauchno-tehnicheskij vestnik informacionnyh tehnologij, mehaniki i optiki. 2015. №6 pp.1045-1053.

10. Sokolov V.B., Teryayev Ye.D. Mekhatronika. Avtomatizatsiya. Upravleniye. 2008. № 2. pp. 12-23..