CC BY
15
ренное выражение в ряд с удержанием двух членов разложения и выполним преобразования, тогда
1 -ф - 0,67m0 ф
(8)
2(ф + т0/3)(Ь + Ь)'
Погрешность, связанная с использованием этой формулы вместо (1) и (2), не превышает 3 %. Подставив значения X из (4) и Ь из (5), получим выражение, для определения предельной допустимой длины участка изделия, нагруженного усилием проталкивания,
/ _ (1 + а2 )(1 -ф2 - 0,67т0 ф)
4|д(ф + т0 /3)(ьд/1 + а2 + 0,67я )
R
(9)
Полученная формула устанавливает зависимость между геометрическими характеристиками заготовки, начальным прогибом, длиной её переднего конца, нагруженного усилием проталкивания, и напряжением проталкивания и может быть использована для выбора рационального сочетания X и ф, обеспечивающего наибольшую производительность процесса проталкивания. Достоверность полученных теоретических результатов была под-
тверждена экспериментальными исследованиями процесса проталкивания.
Изложенная методика используется как рабочая при конструировании гидропроталкивателей калибровочных и трубоволочильных станов на ОАО «Иркутский завод тяжёлого машиностроения».
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Еремеев В.К., Оборудование для производства калиброванных прутков в малых объёмах // Сталь. 2002. №2. С. 58-60.
2. Еремеев В.К., Цвик Л.Б., Математическое моделирование действия удара на растянутый стержень при резком снятии растягивающей нагрузки // Современные технологии Системный анализ. 2013. №2. С. 64-72.
3. Исупов В.Ф., Славкин В.С. Производство калиброванной стали. М. : Металлургиздат, 1962.
4. Ржаницын Л.Р. Устойчивость равновесия упругих систем. М : Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1955 с.
5. Справочник по сопротивлению материалом / Писа-ренко Г.С. К. : Наукова думка, 1975.
УДК 621.539.3 Трутаев Станислав Юрьевич,
к. т. н., заведующий отделом инновационных разработок ОАО «ИркутскНИИхиммаш»,
тел. +7 (3952 410-336, e-mail: stas@himmash.irk.ru Трутаева Валентина Владимировна, научный сотрудник отдела инновационных разработок ОАО «ИркутскНИИхиммаш»,
тел. +7 (3952) 410-336, e-mail: himmash@irk.ru
РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ОБЪЕКТОВ МАШИНОСТРОЕНИЯ
S. Yu. Trutaev, V. V. Trutaeva
DEVELOPMENT OF MATHEMATICAL TOOL FOR STUDYING STRESS-STRAIN STATE
OF ENGINEERING EQUIPMENT
Аннотация. В статье представлена разработанная и реализованная в программном виде иерархия объемных конечных элементов для использования в расчетах объемного напряженно-деформируемого состояния объектов машиностроения. Иерархия конечных элементов представлена семейством объемных конечных элементов - параллелепипед, тетраэдр, призма, пирамида, гибрид. Показано, что при расчете машиностроительных изделий сложной формы для получения оптимальных с точки зрения качества генерируемой конечноэлементной сетки и минимизации времени расчета результатов в ряде случаев целесообразно применение в одной расчетной схеме объемных конечных элементов различных топологических типов. Для этого в разработанной иерархии объемных конечных элементов предусмотрена возможность использования элементов с линейной, квадратичной и кубической аппроксимацией границ. Для обеспечения возможности корректного применения в одной ко-нечноэлементной модели конечных элементов различных топологических типов в статье представлено доказательство совместности функций формы на смежных границах при стыковке элементов.
Ключевые слова: метод конечных элементов, напряженно-деформированное состояние, функции формы, объемный конечный элемент, топология.
Abstract. The article studies a hierarchy of volumetric finite elements developed and implemented in software to calculate the volumetric stress-strain state for engineering equipment. The hierarchy offinite elements is presented as the family of volumetric finite elements - a parallelepiped, tetrahedron, prism, pyramid, hybrid. When calculating the engineering equipment of complex shapes for optimal (from the point of view the quality generated finite element mesh and minimization the time of calculation) results in some cases, it is advisable to use in one design scheme volumetric finite elements of different topological types. The developed hierarchy of volumetric finite elements allows using components with linear, quadratic and cubic approximation boundaries. To enable the correct use in one finite element model of different topological types, the paper presents the proof of consistency of the shape functions at the adjacent boundaries when elements match.
Keywords: finite element method, stress-strain state, shape function, volumetric finite element, topology.
Сегодня, в связи с развитием компьютерных технологий, все большее значение приобретает возможность исследования конструкций с учетом трехосного напряженно-деформированного состояния (НДС). Такой подход особенно важен при проектировании производственных объектов химического и нефтегазового машиностроения, оборудование которых эксплуатируется при высоких давлениях и температурах в присутствии агрессивных и взрывопожароопасных сред.
При решении задач определения НДС объёмных деталей методом конечных элементов (МКЭ) используются различные подходы к формированию конечно-элементных моделей. Самым распространенным типом конечного элемента (КЭ), применяемым при создании трехмерных моделей, является шестигранный конечный элемент [1]. Такой КЭ, как правило, применяется для моделирования деталей регулярной формы, например при построении КЭ-моделей толстостенных трубопроводов, сосудов, аппаратов и т. д. (рис. 1).
Таким образом, возникает необходимость наличия в арсенале применяемого расчетного программного комплекса некой иерархии объемных КЭ, использование которой позволит пользователю синтезировать конечно-элементные модели деталей любой сложной формы. Такую иерархию КЭ математически можно получить, например, путем вырождения узлов параллелепипеда («кирпич») или путем введения отдельных типов КЭ (рис. 2).
Рис. 1. Пример использования шестигранных КЭ
В случае необходимости моделирования более сложных конструкций задача в значительной степени усугубляется, так как даже при небольшом усложнении конструктивного исполнения моделируемой детали построить ее конечно-элементную модель с использованием только шестигранных конечных элементов уже не представляется возможным.
Рис. 2. Иерархия объемных конечных элементов: 1 - параллелепипед; 1а, 2а, 3а - элементы, полученные совмещением (вырождением) узлов; 2 - треугольная призма; 3 - четырехугольная пирамида; 4 - тетраэдр
Как правило, в инженерной практике при выполнении расчетов методом конечных элементов стараются избегать использовать КЭ с линейной аппроксимацией границ, так как это дает приемлемые результаты только для относительно простых с точки зрения геометрии объектов. Для обеспечения инженерной точности расчетов требуется применение КЭ с высокой степенью аппроксимирующих полиномов (квадратичные или кубические КЭ). При этом следует отметить, что разбивка всей детали конечными элементами высокой степени аппроксимации не всегда рациональна, так как это в значительной степени увеличивает объем вычислений и снижает скорость программных расчетов.
Обычно сгущение сетки или повышение степени аппроксимации требуется на поверхности (граничной области), т. е. там, где возникает наибольший градиент напряжений. Следовательно, для уменьшения объема вычислений без снижения точности расчета целесообразно применение КЭ с более высокой степенью аппроксимации только на поверхностном слое (граничной области), а при удалении от поверхности - использование элементов с более низкой степенью аппроксимации.
Добиться хорошего компромисса между точностью выполняемых расчетов и их производительностью можно и другими путями. Напри-
мер, достаточно эффективно может применяться способ, связанный с регулированием плотности конечно-элементной сетки в различных областях детали - сгущением сетки в зонах концентрации напряжений, в галтельных переходах, в окрестностях отверстий и изменений толщин и т. д.
Для ряда случаев оптимальным способом построения конечно-элементной модели является способ комбинации в одной модели КЭ различной формы. Так, например, при исследовании напряженно-деформированного состояния бугельного соединения (см. рис. 3) методом конечных элементов разбивку цилиндрической части бугеля целесообразно выполнять КЭ в виде параллелепипедов, а «ушей» бугеля - тетраэдрами или треугольными призмами в сочетании с параллелепипедами.
Рис. 3. Бугельное разъемное соединение
При стыковке КЭ различной формы в одной модели возникает проблема использования топологически совместимых элементов. Для этого необходимо, чтобы перемещения вдоль границ, соединяющих различные элементы с родственной гранью (стороной), были непрерывны (т. е. функции формы на границах, разделяющих элементы, были полностью совместимы).
Рассмотрим стыковку треугольного и четырехугольного КЭ с квадратичной аппроксимацией границ (рис. 4).
= У 2 — хз = у8 = 0,
х2 — У3 = У7 = 1
х^ — Х8 — 1
Рис. 4. Треугольный квадратичный КЭ (2) и четырехугольный квадратичный КЭ (1) с общей границей (узлы 1-3)
Для двумерных элементов перемещения и, V являются функциями координат х, у . Поэтому, выразив в квадратичном треугольном элементе
(рис. 4) перемещения и, V через полные квадратичные полиномы [2], получим:
и — а + а х + а у + а х2 + а у2 + а ху . (1) 1 4 6 2 3 5 '
Аналогичным образом находим V . Представив в матричном виде и для всех узлов треугольного элемента (рис. 4), получим:
{и}— [х]{4
{а}— [х]-1 -{и}, (2)
где [х] - матрица полиномиальных функций, {а} -вектор обобщенных координат. Подставляя (2) в (1), получим:
и — N и + N и + N и + N и + N и + N и ,(3) 11 22 33 44 55 66
где N. - функции формы.
В общем виде перемещения, выраженные
через функции формы, можно записать как:
д д
и — Е Niui, V — Е Nivi, (4)
I— 1 I— 1
где и, V перемещение любой точки элемента в
локальных координатах соответственно по осям х,
у, а и , V - соответствующие смещения узлов. 1 1
Для границы 1-3 формула (3) имеет следующий вид:
и — N и + N и + N и 1 1 3 3 6 6
(5)
Так как для квадратичного четырехугольного элемента перемещения и, V получаются аналогично треугольному элементу и равны (4), то для доказательства межэлементной непрерывности перемещений на границе двух разнородных элементов, в частности на границе 1-3 треугольного и четырехугольного элемента (рис. 4), необходимо, чтобы функции формы обоих элементов на границе были равны, т. е.:
N (1) — ^ (2); N6(1) — N6 (2); ^ (1) — ^ (2), (6)
где в скобках указан номер элемента.
Функции формы треугольного квадратичного элемента равны [2]:
N^2) — Ь1\2Ь1 -1);
V2 — 4Х1Х3; N^2) — Ь3 (^ -1),
где £ — 1 - £ - ^, на границе 1-3 ^ = 0 .
(7)
Следовательно,
Ч + ь3 =1.
(8)
Функции формы четырехугольного квадратичного элемента с учетом, что на границе 1-3
# = 1:
=1 (1+^)(1 -№-7-1)=1); ^ (1) = т(1 + ^)(1 + № + 7-1) =1 77(7 +1);
(9)
К (1) = ■ 6 2
2 (1 -7 )(1
= 1 -7.
Получим зависимость между локальными координатами элементов 1 и 2 (рис. 4). Для элемента 2 (рис. 5) относительные координаты равны:
Ь = =£3!== А1=£1!=£1 (10)
3 А С! С 1 А С! С где С3, С1 равны:
£ £ ; £ =1Ы £ .
3 2 '12
(11)
Поэтому зависимость между локальными координатами элементов 1 и 2 равна:
77 = 1 - 2Ь1 = 2Ь3 -1.
(12)
(13)
(14)
Рис. 6. Функции формы Ы6 треугольного а) и четырехугольного б) квадратичных элементов
Рис. 7. Тетраэдральный КЭ (1) и призматический КЭ (2) с общей границей (узлы 1-2).
Функции формы элемента 1, с учетом Ь = 1 - Ь - Ь - Ь и Ь = 0 на границе 1-2, будут определяться выражениями:
у® = Ь1(1 - 2Ь2);
Рис. 5. Локальная система координат
Подставляя (12) в (9), получим:
N (1) = Ь1 (2Ь1 -1); #2(1) = Ь3 (2Ь3 -1). Принимая во внимание (8): = 4Ь1Ь3.
Так как полученные выражения (13), (14) для четырехугольного элемента полностью совпадают с выражениями (7) для треугольного элемента, то, следовательно, условие непрерывности (6) выполняется. Поэтому функции формы элемента 1 и элемента 2 (рис. 6) полностью совместимы на границе, разделяющей их (сторона 1-3).
Аналогично получаются соотношения для объемных конечных элементов. Рассмотрим тетраэдральный и призматический конечные элементы с переменным числом узлов (рис. 7) и с общей границей 1-2.
^(1) = 4Ь1Ь2; ад) = Ь (2Ь2 -1).
(15)
'2 ~ 2 ^ 2 Функции формы элемента 2, с учетом (12), Ь3 = 0 на границе 1-2 и 77 = 1, равны:
^(2) = 1 Ь1(1 +7)
2 - 4Ь2 ] + "8 (1 - 7) ■ (1 + 97)
= Ь1(1 - ^
Ж5(2) = 2Ь1Ь2(1 + 7) = 4Ь1Ь2; N2 (2) = 1Ь2 О + 7)(1 - 2Ц ) = Ь2 (2Ь2 - 1) .
(16)
Исходя из вышеизложенного, можно прийти к выводу, что элементы 1-4 рис. 2, а также двумерные элементы независимо от количества промежуточных узлов на ребрах являются типологически совместимыми.
Выводы
1. Предложена иерархия КЭ, требуемая для программного расчета объемного напряженно-деформированного состояния деталей сложной формы.
2. Представлено доказательство топологической совместимости различных КЭ, что позволяет генерировать оптимальные расчетные модели на основе сочетания КЭ любого типа.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Bathe K.J. Finite-Element Methoden. Berlin; Heidelberg; New York, Tokio : Springer, 1986.
2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике -М. : Мир, 1975. 544 с.
УДК 621:001.89 Сигова Елена Михайловна,
к.т.н., научный сотрудник отдела «Информационные технологии и методы риск-анализа»,
СКТБ «Наука» КНЦ СО РАН, e-mail: e.sigova@gmail.com Доронин Сергей Владимирович, к.т.н., доцент, заведующий лабораторией «Механика деформирования и разрушения»,
СКТБ «Наука» КНЦ СО РАН, e-mail: s.doronin@gmail.com
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ЧИСЛЕННЫХ ОЦЕНОК ХАРАКТЕРИСТИК НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ В СВЯЗИ С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ОСОБЕННОСТЯМИ
E. M. Sigova, S. V. Doronin
THE UNCERTAINTY OF NUMERICAL ASSESSMENT OF CHARACTERISTICS OF THE SHELL STRUCTURES STRESS STATE IN CONNECTION WITH GEOMETRIC SINGULARITIES
Аннотация. Проблема конструкционной безопасности предъявляет высокие требования к точности и достоверности характеристик напряженного состояния, лежащих в основе прогнозирования предельных состояний в штатных и аварийных условиях. Оболочечные конструкции относятся к ключевым силовым элементам, обеспечивающим целостность и защищенность технических объектов при опасности аварийных ситуаций. Вместе с тем анализ напряженного состояния оболочечных конструкций в ряде случаев сталкивается с вычислительными трудностями, выражающимися в неустойчивости и отсутствии сходимости численных решений. В работе рассматриваются геометрические и конструктивные особенности оболочечных систем, приводящие к указанным затруднениям и порождающие неопределенность напряженного состояния. Предлагается подход, заключающийся в обосновании перечня конструктивных особенностей, характеризующихся неопределенностью напряженного состояния, и их расчетно-экспериментальном исследовании для оценки потенциальной уязвимости оболочечных конструкций.
Ключевые слова: оболочечные конструкции, напряженно-деформированное состояние, численные методы, сходимость, геометрические особенности.
Abstract. The problem of structural safety produces high demands for accuracy and validity of stress state characteristics which are the base of prognosis limit states at normal and emergency conditions. Shell structures are the key power elements securing technical objects integrity and protectability in danger of emergency situations. At the same time the analysis of shell structures stress state sometimes encounters computing troubles taking the form of instability and lack of convergence of numerical solutions. The paper considers geometric and structural features of the shell systems generating mentioned troubles and uncertainty of the stress state. It is proposed the approach to reasoning some list of structural features bringing of the stress state for computing and experimental investigation potential vulnerability of shell structures.
Keywords: shell structures, stress state, numerical methods, convergence, geometric singularities.
Введение
Насыщение производственной сферы потенциально опасными техническими объектами сопровождается неуклонным ростом числа и тяжести техногенных катастроф. Постоянное усложнение техники и технологий, а также повышение требований к их безопасности в настоящее время вошли в противоречие с обеспечивающими эти требования техническими и научно-методическими ресурсами. Статистика крупных катастроф во всех промышленно развитых странах свидетельствует о том, что возможности парирования угроз в техногенной сфере оказались ограниченными или фактически исчерпанными, несмотря на выдающиеся достижения научно -технического прогресса. В настоящее время проблема обеспечения безопасности технических объектов крайне обостряется на фоне значитель-
ного износа основных фондов, старения и деградации конструкций. В связи с этим проблема конструкционной безопасности приобретает особое значение.
Традиционное решение задач конструкционной безопасности базируется на концепции исключения предельных состояний несущих элементов при проектных (штатных) нагрузках. Такой подход уже не отвечает современным требованиям анализа работоспособности конструкций в расширенном функциональном пространстве, включающем запроектные (нештатные, аварийные) нагрузки и воздействия. При этом расширяется и перечень характеристик безопасности конструкций -традиционные характеристики прочности и долговечности дополняются показателями риска, живучести и защищенности.
