CC BY
13
РАЗРАБОТКА ЭЛЕМЕНТОВ САПР С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ФОРМЫ: ВЫБОР АППРОКСИМИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ
A.B. КОРОБКО, д-р техн. наук, профессор,
Н.Г. КАЛАШНИКОВА, канд. техн. наук, доцент,
A.A. РЕЗНИКОВ, инж.
Орловский государственный технический университет
В статье исследуется вопрос выбора вида аппроксимирующих функций при использовании метода интерполяции по коэффициенту формы для определения интегральных физических характеристик в задачах технической теории пластинок и предельного равновесия пластинок. Построенные функции рекомендуются для использования при разработке САПР по расчету строительных конструкций.
Теоретические основы метода интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) разработаны сравнительно недавно одним из авторов этой статьи [1]. В основу этого способа положены изопериметрические свойства и закономерности изменения интегральной характеристики формы заданной области (коэффициента формы Щ) при различных геометрических преобразованиях. Опыт применения МИКФ показал ряд его неоспоримых достоинств, которые могут эффективно быть использованы при разработке систем автоматизированного проектирования (САПР) строительных конструкций совместно с другими методами их расчета. Среди основных достоинств этого метода следует выделить:
- МИКФ является аналитическим приближенным методом, и в отличие от численных методов дает возможность строить расчетные формулы, связывающие интегральные физические характеристики объектов исследования с их формой;
- МИКФ дает графическое (наглядное) представление о месте искомой интегральной физической характеристики для заданного объекта среди других объектов как аналогичного, так и произвольного вида; причем графическое представление искомого решения можно получить, не решая физической задачи, а только анализируя поведение коэффициента формы области для объектов, связанных между собой одним геометрическим преобразованием;
- на основании изопериметрических свойств и закономерностей изменения коэффициента формы при различных преобразованиях с помощью МИКФ можно строить двусторонние границы, в пределах которых изменяется искомая интегральная физическая характеристика; эти границы могут относиться как к областям (например, пластинкам) определенного вида (треугольники, четырехугольники, параллелограммы и т.п.), так и ко всему множеству областей с выпуклым контуром;
остались без внимания и до настоящего времени тщательно не исследовались.
Рассмотрим интегро-дифференциальные соотношения, полученные в работе [1] для задач технической теории пластинок и предельного равновесия пластинок:
цА !
м>, = 0 О
¡¡А2А2/(х,уМА; (2)
('У = ° \\л:Л/(х,у)с1А \\/(х,у)с1А; (3)
т 7 / А
= о \\А:Л2/(х, у)с1А / \\Л/(х, у)<1А. (4)
А ; А
Р„ = Ч^Л = тТА ¡¡Л/(х,у)с/А / \\1(х,у)с1А. (5)
А / ,(
Здесь \Мо - максимальный прогиб; со - основная частота колебаний; Ы0 -критическое усилие при потере устойчивости; Р^р - разрушающая нагрузка пластинки в предельном состоянии; тг - предельный погонный момент в цилиндрическом шарнире текучести; /(зс,у) - единичная функция прогибов, удовлетворяющая условию 0 < /(х,у) < /; остальные обозначения являются общепринятыми в строительной механике.
Подставляя в выражения (2)...(5) единичную функцию прогибов в виде однопараметрической функции, представленной в полярных координатах
/(Х.У) = Ж:'Г(9)]=«(Р)- (6)
(где г = г((р) - уравнение контура пластинки; г, у- полярные координаты; р -безразмерная полярная координата)1, после проведения интегро - дифференциальных преобразований, получим:
и,,*"-' . /......... , (7)
" £ к;ф„ + КгФ„, 2А т ^¡¡¿р
! */ / в-'
К. [(х"р + х')с1р
п К Ф +Ф Г ув н в/ н
,' " + , Р„=тя *---------------------• (8)
Л \
\(%"р + %')с1р \gpdp
1 Такой же подход использовался ранее известным математиком Д. Пойа при исследовании задач математической физики [2]. Представление функции прогибов в виде (7) является приближенным. Однако для некоторых частных случаев она дает точное решение задач поперечного изгиба пластинок (например, шарнирно опертых и жестко защемленных круглых пластинок под действием равномерно распределенной нагрузки, эллиптической жестко защемленной пластинки под действием равномерно распределенной нагрузки).
В этих выражениях использованы обозначения:
* о
Фя2 = -- ){2§" р + 14в' + 22£р" + Зв'р'^р.
А• п
Значения определенных интегралов, входящих в выражения (7) и (8), являются постоянными числами, зависящими от точности выбора функции %(р), поэтому их можно представить в виде коэффициентов пропорциональности: Тогда
« К..
ц А'
Ь к/+ вкг
со-К..
К.+В А
1К/+ВК! ~ т А
: К„т К,.
Р т /
(9)
Здесь Кт Кш, Км и КР - коэффициенты пропорциональности, зависящие от граничных условий и вида геометрического преобразования, объединяющего определенное ограниченное (заданное или выбранное) подмножество форм пластинок. Вид аппроксимирующих функций для каждой из рассматриваемых задач нетрудно определить из выражений (9). Эти функции являются естественными, поскольку в явном виде получаются после проведения преобразований над интегро-дифференциальными соотношениями теории пластинок.
Тестирование функций для задачи поперечного изгиба пластинок
Рассмотрим задачу поперечного изгиба жестко защемленной эллиптической пластинки, для которой известно точное решение [3]. В табл. 1 (строка 3) приведены точные результаты расчета эллиптической пластинки. Взяв за опорные решения результаты точного расчета эллиптической пластинки при значениях параметра а/Ь = / и а/Ь = 0,4, построим, используя методику МИКФ, две аппроксимирующие функции вида (1) и (9):
м> =196,75-10-
ч>0 =33,939-10-
1
\ I) 1
\ 2,624
Б
.........._ ЧА2
К} -2,871- Кг П
(10)
СИ)
Результаты расчета по этим формулам приведены в таблице 1. Их сопоставление показывает несомненное преимущество зависимости (11).
Однако можно подобрать лучшую аппроксимирующую функцию, например в виде зависимости
№№ п/п Параметры пластинки Значения геометрических и физических характеристик
1 а/Ь 1,0 0,8 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1
2 К/ 2л 6,440 7,860 9,111 11,414 16,336 31,730
3 М/, ю'чА: а 1,583 1,471 0,857 0,597 0,356 0,164 0,0419
4 10}т по (1) 1,583 1,484 0,880 0,597 0,331 0,129 0,0226
5 Разница, % 0 +0,88 +2,68 0 -7,02 -21,34 -46,06
6 /03и>о по (11) 1,583 1,476 0,865 0,597 0,348 0,154 0,371
7 Разница, % 0 +0,34 +0,93 0 -2,24 -6,09 11,45
8 /(Л'0 по (13) 1,583 1,471 0,857 0,597 0,356 0,164 0,0419
9 Разница, % 0 0 0 0 0 0 0
и»,,
24 К}
(13)
Однако можно подобрать лучшую аппроксимирующую функцию, например в виде зависимости
/ 1 дА:
■13,1595 Ъ '
Результаты расчета по этой формуле приведены в предпоследней строке таблицы 1. Они являются практически точными решениями рассматриваемой задачи.
Рассмотрим задачу о поперечном изгибе пластинки в виде симметричной круговой луночки (рис. 1) с жестко защемленным контуром, для которой известно также точное решение [4]:
16й
1 4 С05 у
4 Х1п2 у \ хИХу\нИ(2Ху) + Xяи
ятузИ2 Ху
ЛХ
(14)
где X - некоторый параметр, изменяющийся от нуля до бесконечности. Для получения численных результатов при расчете пластинок конкретного вида приходится прибегать к численному интегрированию. В табл. 2 (строка 3) приведены численные решения этой задачи для некоторых углов у, а в строке 4 эти результаты приведены к площади пластинки.
Подбирая функцию вида (13) по двум опорным решениям для у = 90° и у = 60°, по-_ 55,151 10~3 дА2 ' К] 4.639 1) '
Результаты расчета по этой формуле приведены в табл. 2 (строка 5), а сопоставления с точными решениями в строке 6.
Если подобрать такую же функцию по двум опорным решениям для
Рис.
лучим:
ж,
(15)
у = 90 и у = 45 , то получим: =---------------- --. (1о)
' К}-3,480 £>
Результаты расчета по этой формуле приведены в строке 7, а сопоставле-
ния с точными решениями в строке 8.
Таблица 2. Результаты расчета жестко защемленной пластинки _в виде симметричной круговой луночки
№№ п/п Характеристика Пластинок Значения геометрических и физических параметров
1 Угол у, град 90 75 60 45
2 К, 2% 6,505 7,255 8,886
3 102М, (14) 1,56 0,75 0,31 0,98
4 Ю3[\¥о], яАгЯ) 1,58 1,46 1,15 0,76
5 104,, ЦА2ЛЭ (15) 1,58 1,46 1,15 0,74
6 Разница, % 0 0 0 -2,63
7 103№о, ЧА2Ю (16) 1,58 1,47 1,16 0,76
8 Разница, % 0 +0,68 +0,87 0
Примечание: Значения [ч>а] получены при X = 2000.
Для прямоугольной жестко защемленной пластинки в таблице 3 (строка 2) записаны известные решения [3], а в строке 3 они приведены к площади А. Подбирая функцию вида (9) по двум опорным решениям для
34,225-10'3 дА2
а/Ъ = / и а/Ь = 2, получим:
w„ =
Ki-4,61 ОК. D
(17)
№№ п/п Характеристика пластинок Значения геометрических и физических параметров
1 Отношение а/Ь 1 1,5 2 4
2 Кг 8 8,6667 10 17
3 102fwol, qR4/D [801 1,262 2,221 2,53 2,59
4 lOVo], qA2/D 1,262 0,982 0,635 0,162
5 103[wo], qA2/D (17) 1,262 0,973 0,635 0,162
6 Разница, % 0 -0,91 0 0
Результаты расчета по этой формуле приведены в строке 5, а сопоставления с точными решениями - в строке 6.
Рассмотрим пример по подбору аппроксимирующей функции для эллиптической шарнирно опертой пластинки, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки, для которой Б.Г. Галеркиным получено точное решение [3] (см. таблица 4, строка 3). Используя в качестве опорных пластинки с отношением полуосей эллипса а/Ь = / и а/Ь = 3, по
дА2 169,12 дА2
методике МИКФ получим: = 503,35К~2М7 ; и>а =
D ' " К* -2,139Кr D
193 87 *
Кроме того, подберем функцию вида (13): м>0 = , 1---------------. (18)
К~г - 9,63 Б
Результаты расчета по этим трем формулам приведены в табл. 4 (строки 5, 88
7, 9 соответственно), а результаты сравнения с точными решениями - в строках 6, 8 и 10. Как видно из приведенного сравнения, лучшей аппроксимирующей функцией для рассматриваемой задачи является зависимость (18), построенная по структуре формулы (13), которую и следует рекомендовать в дальнейшем при разработке САПР для построения аппроксимирующих функций.
Таблица 4. Результаты расчета эллиптической шарнирно опертой пластинки (у — 0,3)
№№ ПП. Параметры пластинок Значения геометрических и физических параметров
1 a/b 1 1,2 1,5 2 3 4 5
2 Kf 2 ж 6,388 6,807 7,854 10,472 13,352 16,336
3 102[wo], qbJ/D 6,41 8,79 11,54 14,47 17,22 18,50 19,23
4 103[wo], q.-Г /) 6,495 6,185 5,197 3,665 1,938 1,171 0,779
5 103wo no (18) 6,495 6,246 5,374 3,830 1,938 1,091 0,677
6 Разница, % 0 +0,99 +3,41 +4,50 0 -6,83 -13,09
7 103wo no (19) 6,495 6,231 5,323 3,768 1,938 1,130 0,729
8 Разница, % 0 +0,74 +2,42 +2,81 0 -3,50 -6,42
9 103wo no (20) 6,495 6,219 5,282 3,724 1,938 1,150 0,754
10 Разница, % 0 +0,55 +1,64 +1,61 0 -1,79 -3,20
Таким образом, результаты проведенного тестирования показали, что для построения аппроксимирующих функций в задаче поперечного изгиба пластинок следует рекомендовать зависимости вида (13) и (11). Они гораздо лучше описывают известные решения, чем зависимость (1).
Аналогичное тестирование функций вида (9) необходимо провести и для других задач теории пластинок.
Литература
1. Коробко А.В. Геометрическое моделирование формы области в двумерных зада-
чах теории упругости. - М.: Изд-во АСВ, 1999. - 304 с.
2. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. -
М.: Госматиздат, 1962. - 336 с.
3. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. - М.: 1963. -
635 с.
4. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в теории упругости. Л.: Наука, 1967.
-456 с.
DEVELOPMENT OF THE AUTO PROJECTING SYSTEM (APS) ELEMENTS APPLYING METHOD OF INTERPOLATION BY THE FORM COEFFICIENT: SELECTION OF THE APPROXIMATION FUNCTIONS
A.V. Korobko, N.G. Kalashnikova, A.A. Reznikov
The article presents a question of selection of the approximation functions type at the application of interpolation method by the form coefficient to obtain integral physical characteristics in the problems of technical plate's theory and the limit plates equilibrium. The obtained functions are recommended to be applied for building construction calculation at the development of Auto Projecting System (APS). >9
