CC BY
31
Таким образом, w(jc) = w(x) почти всюду на (О,Т), и обе функции Н(х) и Й(х) удовлетворяют (2). Согласно лемме 3 Н(х)=Й(х) почти всюду на (0,7'), откуда D = D, MY=Mi, а, значит, и М -М , то есть М(х)=М(х). □
Исследована также глобальная разрешимость уравнения вида (2) и получен алгоритм решения задачи 1 вместе с необходимыми и достаточными условиями ее разрешимости.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 Юрко В. А Обратная задача для интегральных операторов//Мат. заметки 1985 Т. 37(5) С 690-701.
2 Бутерин С. А Обратная задача для одномерного возмущения интегральных вольтерровских операторов // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докладов 11-й Сарат зимней школы Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2002. С. 36-37
3. Сахнович Л. А О приведении вольтерровых операторов к простейшему виду // Изв АН СССР 1957. Т 21. С 235 - 262.
4 Юрко Н. А О порождающих элементах операторов вида
Kf = f(t)К(х - t)dt // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика: Межвуз. сб науч тр Саратов: Изд-во Сарат ун-та, 1973 Вып 3. С 79 - 102
УДК 518.6
JI. Ф. Вахлаева, Т. В. Молоденкова, Е. А. Павлова
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ СЛАБОНЕЛИНЕЙНОГО МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
При решении разностных краевых задач для многомерных уравнений математической физики важным вопросом является выбор порядка аппроксимации по пространственным координатам, а также поиск экономичного алгоритма решения соответствующих систем разностных уравнений. В [1] даны схемы второго и четвертого порядка точности для стационарного и нестационарного линейного уравнения теплопроводности. В [2] приведена схема второго порядка для слабонелинейного стационарного уравнения теплопроводности в прямоугольной области в случае первой краевой задачи. Доказана сходимость к решению дифференциальной задачи. В случае третьей краевой задачи методом аппроксимации квадратичного функционала в [3] построена разностная схема повышенной точности для стационарного линейного трехмерного уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами при старших и младших производных, показана сходимость к точному решению и эффективность на модельных за-
дачах Поэтому в данной работе мы ограничились рассмотрением первой краевой задачи В [4] построены разностные схемы повышенной точности для многомерных линейных стационарных уравнений теплопроводности со смешанными производными, с переменными коэффициентами при младших и старших производных. В [5, 6] построены разностные схемы повышенной точности для слабонелинейного стационарного многомерного уравнения теплопроводности и найден экономичный алгоритм решения систем нелинейных разностных уравнений
В данной статье построены неявные схемы с весами и схема повышенной точности для многомерного слабонелинейного уравнения теплопроводности, на модельных задачах выявлен экономичный алгоритм решения соответствующих нелинейных разностных уравнений - это метод переменных направлений для схемы повышенной точности.
В области О = {О < ха <1а,а = 1,2,3} и 0 < / < Т рассмотрим слабонелинейное уравнение теплопроводности
дС!/д1= £д*и/дх1- К0(х,1,и,ди/дх), х = {хьх2,хг)еС, 1> О,
«"' т
ди/дх = (аи/д.Г,, ди/дх2 ,ди/дхз), 4;
с краевыми условиями первого рода (/(-*,/)| =ц(дг^), Г - граница области С, и начальным условием 1!(х,0) = и0(х),хей .
Слабонелинейность уравнения (1) означает [2], что функция К0(х,1,ра,р],р2,рг), где р0 =и,р!Х = ди/дха ,а = 1,2,3, определена при
х е С, Г е [0,7'], ¡РоИаИлИл! <0° и непрерывна по х,1 при фиксированных ра (а = 0,1,2,3), а также существуют производные от функции К0 по ра, которые удовлетворяют условиям
М0>дк0/др0£0, \дк0/дра\<м, а = 1,2,3.
1. Явная разностная схема. Введем прямоугольную равномерную сетку Шь = {х, =(1{ИЬ12И2,13И3)}, /а=0,#а, Аа =/а///а, а = 1,2,3 и шт = {¡п = т), п = 0,т,1 = Т/т и сеточную функцию у=у" = у(1\Ии12И2,1)И3 г„). Перейдем к безиндексным обозначениям, полагая у = у"*\ у, = {у - у)/х . Нижний индекс будем указывать только в том случае, если он отличен от /а(а = 1,2,3), например, уХа = (у - у,а _|)/Ла. Рассмотрим разностные операторы
лаУ = Ухаха = (У1а-1 -2у + У,а +1)/А» , Лу = XЛ^ .
а=1
11оставим в соответствие задаче (1) разностную схему
У,=Ьу-Ъ.%Кп{х,1,у,у!)+Кй(х,г,у,ух% ух ,уХг ,уХ]). (2)
Краевые и начальные условия выполняются точно. Непосредственно можно убедиться, что погрешность аппроксимации разностной схемы V = AU - К{{х,1,и,их) - ü,=0{\h}\+г), где
Kl{x,t1U,Ux)=0.5[K0{x,t,U,Uí)+K0{x,t,U,Uxj\. (3)
Разностная схема (2) является явной и условно устойчивой (т< Л2/б,h = mmha), требует малых шагов h и т, поэтому применяется редко [1]
2. Схемы с весами. Рассмотрим неявную схему с весами для уравнения (1)
у, = Л(оу + (1 -<т).у) + ф, хешл, f ешт, ф = -F, = -К1 (х/,у,ух), t =t„ + т/2, у = y(xj).
Для оценки порядка аппроксимации схемы (4) представим
aÚ + (1 - a)U = ф + U)¡2 + (о - 0.5)тU,, U, = Ü + 0(т2), AaU=LaÜ + h2J\2L2aÜ + 0(h4a)
и вычислим невязку
V = Л(<т(? + (1 - cs)U) + <p-U, = \ф + U)/l + (а - 0.5)тЛС/( +<p-U, =
= \Ш -Кх - П)+ (а - 0.5)r¿t7 + (ф + 0(|Л|2 + т2) =
= (а - 0 5)г//(7 + (ф + А"])+0(|Л|2 + т2), где Ш=Ш.
Таким образом, у = 0(|Л|2+г2) при с = 0.5, ф = -К,; ф = ()(\И\2+т) при а*0.5, ф = —/l¡. Вместо схемы (4) можно рассматривать схемы с различными весами ста по направлениям ха
з _
У, = 2>а(0а.у + (1-аа)у)+Ф,Ф = -ЛГ, (5)
а=1
3. Схема повышенной точности Построим схему повышенной точности для уравнения (1). Покажем, что схема
*,«£ла(ав* + (1-<!«)>)+ ¿^/П^ЛаЛр^+ф, (6)
а = 1 а=1 В*а
(— 3 — ^ где <та =0.5-И2/(12т), Ф = - Кх + 2>¿/l2AaK, ,
\ а=1 У
имеет погрешность аппроксимации ф = 0(|Л|4+ г2). Запишем невязку
V = £(л„ Ф + í/)/2 + (ста - 0.5)тАа(/,)+ ¿Л2/12 '¿ЛаЛр(/ -кр -U,.
а=1 а=1 Р*а
(7)
Учитывая, что (Г/ + U)¡2 = U + <?(х2), AaU, =L¿J + 0(i1 +h£), L]U = LXÜ - LXL2U - /.,¿3¿7 + , ¿j(7 = LJJ - L2LXÜ- ¿2¿3Í7 + L2KX, LjU " ¿jf) - ¿,¿,(7 - Z,:)¿2(7 + L¡KX, 0 - LÜ + Ki = 0, получим
4*- -0 5)tJ/,J7 + L + JP, + ¿И1/ШакХо(т2 +H4).
ra-l V. a = l j
Таким образом, ц/ = <?(х2 + |Л|4),если ац и <р взять согласно (7), при этом функция К о в уравнении (1) должна имегь непрерывные производные но дга до четвертого порядка. Для вычисления АаК, в (7), (3) используем формулы
~ ('а -1)- 2Кх 4 Кх Оа + I))//¿ ,
где ^('а-1) = А',((/а-\)haJn,U((ia-\)Иа)Д;(1а-1)). Исследования на модельных задачах показали, что такая разностная производная от нелинейной функции имеет второй порядок точности, что и требуется для схемы (6)
4. Экономичные алгоритмы. Для решения систем разностных уравнений (5), (6) на каждом временном слое tn можно использовать метод
матричной прогонки. Однако он требует большого числа действий О(л^), где «о - число узлов сетей шн (д, = N}, где N = Na, а = 1,2,3). Поэтому непосредственное использование схем нецелесообразно. Каждая из схем
(5), (6) может быть заменена схемой того же порядка аппроксимации, но требующей для определения у последовательного применения скалярной прогонки для трёхточечного уравнения и затраты О(п0) арифметических действий. Такая схема называется экономичной - это метод переменных направлений При ее написании используется схема повышенной точности
(6). Приведем схему переменных направлений для двумерного уравнения теплопроводности [2]:
—- = сг,А,у + (1 - а2)у + а,ф", - = (1 - а,)A,jp + а2\2у + (1 - а,)<р",
X X
где у = у(xf„), y = y(x,tn + х/2), y=y(xjn+,), xea>h, tn eco,.
Запишем краевые и начальные условия ><д:,0)=(У0(х), х еЩ, = ^п+1) при i2=0,N2, у = р npHí,=0,W,,
где Д = ст,цп+1 + (1 - о,)ц" - тЛ^с^ц"*1 - (1 - ст,)(1 - о2 )ц"),
аа =0.5-h2/(12т), фл=-(^|+Л,2/12Л/| +ИЦ\2А2Кх). Приведем одну из модельных задач, на которых проводились исследования.
U(xi,x2j) = t2[(xl + 0.5)2 +(х2 +0 5)2] + 1 - точное решение задачи (I) в двумерной области G = {0 < ха < 1, а - 1,2}, /е[0,1), этому решению
соответствует К0 = 2?[(л, + 0.5)2 +(л2 + 0.5)2] -\6(р - \)t*/(pf + р\), где р = U, ра =dU/dxa . Для достижения точности 10"4 потребовалось для явной схемы в 370 раз больше действий, чем для схемы повышенного порядка точности, а для неявной схемы (с^ = ст2 = 1) в 9 раз больше, чем для схемы повышенного порядка точности.
Вычислительные эксперименты на модельных задачах, для которых известны точные решения, показали, что самым экономичным алгоритмом является метод переменных направлений для схемы повышенной точности, так как позволяет использовать более крупную сетку и сокращает порядок системы на каждом временном слое в десятки раз по сравнению со схемой второго порядка, что очень важно при решении многомерных задач. Разработанные алгоритмы и комплекс программ представляют интерес для практики решения нестационарного слабонелинейного многомерного уравнения теплопроводности в прямоугольной области, так как требуют только задания функции К0, границ прямоугольной области и числа разбиений по пространственным и временной координатам.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
I. Самарский А А Теория разностных схем М Паука, 1977
2 Самарский A.A., Николаев Е С Методы решения сеточных уравнений М : Наука, 1978.
3 Вахлаева Л.Ф., Крысъко В А. Устойчивость гибких пологих оболочек в температурном поле//Прикладная механика. 1983. Т. 19, № 1С. 16-23.
4 Вахлаева Л.Ф. Разностные схемы повышенной точности для эллиптических уравнений // Математика и ее приложения: Межвуз сб науч тр. Саратов: Изд-во Са-рат ун-та, 1991. Вып. 2 С. 74 - 77.
5 Вахлаева Л.Ф , Вахлаева ТВ Разностные схемы повышенной точности для слабонелинейного эллиптического уравнения и сравнение со схемами второго порядка точности Саратов, 1996. 9 с. Деп в ВИНИТИ 24 09.96, № 2855 - В96.
6 Вахлаева Л.Ф., Вахлаева ТВ., Павлова Е. А Экономичные алгоритмы решения разностных краевых задач для эллиптических уравнений // Математика. Механика: Сб. науч тр Саратов Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып 3. С. 21 - 23.
УДК 511 23
А. М. Водолазов К ПРОБЛЕМАМ ОБОБЩЁННЫХ ХАРАКТЕРОВ
В 1950 г. Н. Г. Чудаков выдвинул следующую гипотезу [1]: мультипликативная, конечнозначная числовая функция И(п) с полной базой и ограниченной сумматорной функцией Я(х) = является характеру
ром Дирихле
