Размышления об определениях четной и нечетной функции в школьном курсе математики Текст научной статьи по специальности «Математика»

1УДК 372.851 ББК 74.262.21

РАЗМЫШЛЕНИЯ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯХ ЧЕТНОЙ И НЕЧЕТНОЙ ФУНКЦИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

И. Л. Тимофеева

Аннотация. Проведен логический анализ определений четной и нечетной функции, предлагаемых в разных школьных учебниках математики. Обоснована некорректность формулировок тех определений, в которых опущено условие симметричности области определения функции. Проанализированы с позиций логики и методики различные равносильные корректные варианты определений четной и нечетной функции. Статья будет полезна учителям математики, преподавателям математики в вузах, преподавателям методики обучения математике и студентам педвузов.

Ключевые слова: четная функция, нечетная функция, симметричность области определения функции, логически корректная формулировка определения, школьный курс математики, школьные учебники математики.

SOME REFLECTIONS ON DEFINITIONS OF EVEN AND ODD FUNCTIONS IN SCHOOL MATHEMATICS COURSE

I. L. Timofeeva

Abstract. The article presents logical analysis of definitions of even and odd functions, available in different mathematics text books for secondary schools. The article substantiates the incorrectness of the formulation of the definitions with omitted symmetry condition determining the function. Various equivalent and correct options of definitions of even and odd function are analyzed from the positions of logic and methods. The article will be useful for math teaches of secondary and high schools, lecturers in mathematics teaching methods and students of pedagogical institutes.

Keywords: even function, odd function, determining function symmetry, logically correct definition, secondary school math course, secondary school text books.

На первый взгляд кажется, что по поводу определений столь известных математических понятий - четной функции и нечетной функции - ничего нового сказать нельзя и размышлять по поводу этих определений незачем. Однако в результате анализа логического строения определений четной функции и нечетной функции, предлагаемых в школьных учебниках математики, возникли некоторые мысли, которыми хочется поделиться.

Далее, для простоты изложения, речь идет об определении четной функции. Совершенно аналогичные соображения относятся и к определению нечетной функции.

I. Начнем с анализа формулировок определения четной функции в школьных учебниках математики.

В учебном пособии [1, с. 3] предлагается следующее определение:

«Функция f заданная на множествеX, называется четной, если для любого xeXверно равенство fi-x) = fx)».

Запишем это определение, используя логические символы:

Функция f - четная < def > VxeX f-x) = fx)). (1)

Такое же определение предлагают авторы учебника [2, с. 75]: «Функцию y = fix), xeX называют четной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство f-x) = fix)», где множество X - область определения функции y = fx).

В учебнике [3, с. 278] предлагается аналогичное определение, только в его записи авторы используют логическую символику и обозначение D(f для области определения функции f

«Функцияf называется четной, если VxeD(f):f-x) = fx)».

Отметим, что авторы указанных учебников не включают в определяющую часть определения условие симметричности относительно нуля области определения функции. Однако за рамками определения все они отмечают, что это условие подразумевается.

В то же время авторы учебника [4] предлагают другое определение четной функции, добавляя еще одно условие в его определяющую часть: «Функциюy = fx) с областью определенияXназывают четной, если для любого xeX число (-x)eX и справедливо равенство f-x) = fx)» [4, с. 8].

Запишем это определение с помощью логических символов:

Функция f - четная < def > VxeX (-xeX & f-x) = fx)). (2)

Авторы учебника [5] определение четной функции формулируют, используя понятие симметричности области определения функции: «Функция y = fx), заданная на множествеX, называется четной, если выполнены следующие условия:

• множество X симметрично относительно начала координат;

• для любого xeX справедливо равенство f-x) = fx)» [5, с. 129].

Запишем это определение с помощью логических символов, раскрывая понятие симметричности области определения функции:

Функция f- четная ^^ VxeX (-xeX) & VxeX (f-x) = fx)). (3)

В учебнике [6, с. 54] авторы определяют четную функцию, также используя понятие симметричности области определения функции.

Сопоставим определения (2) и (3). Отметим, что определяющие условия в этих вариантах формулировок определения четной функции имеют разную логическую структуру, однако можно доказать их логическую равносильность.

При сопоставлении определений (1) и (3) видно, что в определяющей части определения (1), в отличие от (3), отсутствует требование симметричности области определения функции: VxeX (-xeX).

Возникает вопрос: можно ли опускать условие симметричности области определения функции в определении четной функции, как это сделано в [1; 2; 3]?

Считаем, что, формулируя определение четной функции, нельзя опускать условие симметричности области определения функции. Обоснуем эту позицию.

II. Отметим, что определяющие условия определений (1) и (3) не являются логически равносильными, поскольку условие симметричности области определения X функции f не является логическим следствием условия VxeX (f-x) = fx)).

Выясним, можно ли в соответствии с определением четной функции (1) из [1; 2; 3] проверить, выполняется ли равенство/^) = fx), если не известно, что функцияfопределена в точке x или в точке -x.

По существу, рассматриваемая проблема связана с обозначениями, относящимися к понятию функции. Общепринято обозначать через fx) значение функции f в точке x, если функция f определена в точке x (xeDf). Если функция f в точке x не определена (x£Df), то что означает запись fx)?. Она некорректна, лишена смысла.

Вернемся к нашему случаю. Как можно проверить, выполняется ли равенство f-x) = fx), если функция f не определена в точке x или в точке -x (x£Df или -x£Df)? С учетом договоренности о смысле обозначения fx) не понятно, что означает выражение fx), если функция f не определена в точке x, и что означает выражение f-x), если функция f не определена в точке -x.

Ошибочно считать, что если использована запись fx), то обязательно xeDf . Рассмотрим, например, функцию, заданную равенством fx) = (x + 1)/(x + 1) на множестве всех действительных чисел, отличных от -1. Можно ли проверить равенство f-1) = f(1)? Можно ли утверждать, что оно не выполняется? Что такое f(-1)? Мы только что использовали запись f-1), но из этого не следует, что она имеет смысл.

Замечание 1. Отвлечемся немного от основной проблемы и сделаем небольшое замечание относительно термина «симметричное множество» применительно к числовому множеству - области определения функции. Считаем, что целесообразно указывать, относительно чего является симметричным числовое множество, хотя бы один раз, когда понятие вводится. Нередко, когда речь идет об области определения четной или нечетной функции, можно встретить такие термины: «множество, симметричное относительно начала координат» (например, [5, с. 129]) и «множество, симметричное относительно оси ординат» (например, [3, с. 282]). Эти варианты считаем неудачными, поскольку речь идет о числовом множестве, то есть о множестве точек на числовой прямой, а не о множестве точек на координатной плоскости, расположенном на оси абсцисс. Поэтому целесообразно говорить о «числовом множестве, симметричном относительно нуля», как, например, в [1, с. 3]. После этого можно условиться для краткости говорить просто «симметричное множество» вместо более точного «множество, симметричное относительно нуля».

III. Остановимся на предположениях, которые высказывают авторы, формулирующие определения четной и нечетной функции, опуская условие симметричности области определения функции.

После определений четной функции и нечетной функции авторы учебника [2] отмечают: «В определениях речь идет о значениях функции в точках x и -x. Тем самым предполагается (курсив наш), что функция определена и в точке x, и в точке -x. Это значит, что точки x и -x принадлежат области определения функции. Если числовое множество Xвместе с каждым своим элементом x содержит и противоположный элемент -x, то такое множество называют симметричным множеством». И далее: «Если функция y = fx), xeX четная или нечетная, то ее область определения X - симметричное множество» [2, с. 76].

Авторы учебника [1] имеют такую же позицию. Они пишут: «Выполнение равенства f-x) = fx) для любого xeX означает, что обе его части имеют смысл, то есть если xeX, то и -xeX. Следовательно, область определения четной функции есть множество, симметричное относительно нуля (т.е. с каждым числом x0 ей принадлежит и число -x0). Отсюда можно сделать вывод: если функция задана на несимметричном относительно нуля множестве, то она не является четной функцией» [1, с. 3].

Возникает вопрос: если в определении четной функции «предполагается, что функция определена и в точке x, и в точке -x», в связи с чем опускается условие -xeX, то зачем оставлять условие xeX? Почему нельзя определять четную функцию так: «Функцию y = fx) называют четной, если для любого значения x выполняется равенство f-x) = fx)»? Или так: «Функция f, заданная на множестве X, называется четной, если для любого x верно равенство f-x) = fx)»?

Считаем, что последние формулировки недопустимы, поскольку вообще недопустимо в определениях какие-то условия лишь предполагать (подразумевать), но не включать их явно в определяющую часть определений.

IV. Выясним теперь, что предлагают проверять авторы учебников для доказательства, что данная функция не является четной. Общеизвестно, что для этого следует доказать, что данная функция не удовлетворяет определяющему условию определения четной функции, то есть удовлетворяет отрицанию этого условия.

Отрицание определяющего условия определения (1) имеет вид —VxeX f-x) = fx)) и равносильно условию 3xeX f-x) Ф fx)). Это предложение не содержит никакой информации о возможности несимметричности области определения функции f. Вывести ее логически из этого условия также невозможно.

Вместе с тем для выяснения, является ли данная функция четной, авторы [2] предлагают первым делом выяснить, является ли область ее определения симметричным множеством, а лишь затем - выяснить, выполняется ли соответствующее равенство для любого x из области определения функции. Они пишут: «Если же X - несимметричное множество, то функция y = fx), xeX не является ни четной, ни нечетной» [2, с. 76]. Эти два этапа совершенно естественны (логичны), но только в том случае, если принято не определение (1), а определение (2) или (3)!

Действительно, если принять определение (2), то для доказательства, что функция f не является четной, следует доказать, что она удовлетворяет отрицанию определяющего условия определения (2): —VxeX (-xeX&f-x) = fx)). Легко доказать, что это условие равносильно условию: 3xeX (-x£Xvf-x) фfx)).

Если же использовать определение (3), то отрицание его определяющего условия равносильно условию 3xeX (-x^X) v 3xeX (f-x) Ф fx)). Легко доказать, что эти два условия, равносильные отрицаниям определяющих условий определений (2) и (3), равносильны друг другу.

Предложение 3xeX (-x^X) - первый член дизъюнкции в последнем предложении, как раз и означает, что область определения X функции f не является симметричным множеством. Отметим, что это условие не является логическим следствием второго дизъюнктивного члена, а значит, не может быть опущено.

V. Перейдем к обсуждению различных вариантов определения (2).

Сначала заметим, что в школьных учебниках математики чаще всего область определения функции обозначают через X. Несмотря на это для области определения функции f мы будем далее использовать обозначение D f, поскольку оно включает в себя обозначение функции f и не требует дополнительных пояснений.

Рассмотрим следующие корректные варианты определяющего условия в определении четной функции с областью определения D , используя логические символы для их записи:

1) VxeDf (-xeD & f-x) = fx));

2) Vx (xeDf ^ (-xeD & f-x) = fx)));

3) Vx ((xe Df ^ -xe Df) & (xe Df ^ f-x) = fx)));

4) Vx (xe Df ^ -xe D) & Vx (xe D f ^ f-x) = fx));

5) Vx ((xe D f ^ -xe D f) & (xe D f & -xe D f ^ f-x) = fx)));

6) Vx (xeDf ^ -xeD) & Vx (xeDf & -xeD ff-x) = fx)).

Оказывается, что все эти предложения равносильны. Не будем утомлять читателя перечислением законов логики и равносильными преобразованиями, с помощью которых можно доказать равносильность этих шести предложений. Важно, что их равносильность означает, что любое из этих предложений может быть использовано в качестве определяющей части определения четной функции.

Не менее важно, что ни одно из перечисленных равносильных определяющих условий определения четной функции не равносильно определяющему условию определения (1) из учебников [1; 2; 3]: VxeX (f-x) =fx)).

Охарактеризуем перечисленные выше предложения сначала с позиций логики. Первое предложение имеет категорическую форму, а второе является условной формой первого. Четвертое предложение получается из третьего пронесением квантора общности через конъюнкцию в соответствии с одним из законов логики. Аналогично шестое предложение получается из пятого. В результате в четвертом и шестом предложениях квантор общности относится к каждому члену конъюнкции. Заметим, что в четвертом предложении в каждом конъюнктивном члене можно перейти от условной формы к категорической:

Vxe D(-xe D ) & Vxe D (f-x) = fx)).

Теперь посмотрим на эти предложения неформально, с позиций методики. Первое предложение - самое краткое, чем выгодно отличается от других. Однако второе, возможно, для кого-то

является более понятным. Пятое и шестое предложения наглядно демонстрируют правомерность использования выражений f-x) и fx), благодаря посылке xeDf & -xeDf во втором члене конъюнкции: (xeDf & -xeDf) ^ f-x) = fix)- Кроме того, в этих предложениях можно безболезненно поменять местами конъюнктивные члены определяющего условия, поскольку они не зависят друг от друга. В четвертом и шестом предложениях первый член конъюнкции явно выражает симметричность области определения функции f что позволяет словесно сформулировать определение, например для четвертого предложения, так: «Функция f называется четной, если ее область определения Df симметрична и для любого x из множества Df выполняется равенство f-x) = fx)», что соответствует определению четной функции из [5]. Кроме того, это позволяет сразу сделать правомерный вывод, что функция не является четной, если ее область определения не является симметричной.

В силу сказанного думаем, что с позиций методики следует отдать предпочтение первому и шестому вариантам.

Определение четной функции для шестого варианта символически можно записать так:

def

Функцияf - четная < > Vx (xeDf ^ -xeDf) & Vx (xeDf & -xeDf ^f-x) = fix)). (4)

Заметим, что конъюнкция в определяющем условии этого определения не равносильна своему второму члену:

Vx (xeDf & -xeDf ^ f-x) = fx)). (*)

Для доказательства рассмотрим пример. Зададим функцию f на множестве [-5, 10] следующим образом: fx) = 5, если xe [-5, 5], и fx) = x, если xe (5, 10]. Согласно определению (4) эта функция не является четной, поскольку она не удовлетворяет условию Vx (xeDf ^ -xeDf), а вот условию (*) она удовлетворяет. Разумеется, определение (4) отвечает традиционному толкованию понятия четной функции, и заменить его определяющее условие только вторым его членом недопустимо.

Согласно определению (4) получаем: Функция f не является четной тогда и только тогда, когда для функции f выполняется по крайней мере одно из условий:

• область определения функции f не симметрична относительно нуля или

• существует такая точка xeDf, что -xeDf, однакоf(-x) Фf(x).

Символически это можно записать так:

Функция f не является четной 3x (xeDf & -x£Df) v 3x (xeDf & -xeDf& f-x) Фfx)). (4')

Замечание 2. Рассмотрим еще раз второй член конъюнкции в шестом варианте определяющего условия для четной функции: Vx (xeDf & -xeDf ^f-x) = fx)). Сторонники определения (1) считают, что «В определениях идет речь о значениях функции в точках x и -x. ...Это значит, что точки x и -x принадлежат области определения функции» [2, с. 76]. Возникает подозрение, что происходит подмена предложения Vx (xeDf& -xeDf ^f-x) = fx)) обратным ему предложением: Vx f-x) = fx) ^ xeDf & -xeD)

VI. В некоторых областях математики (например, в математической логике и теории алгоритмов), когда речь идет о функциях, которые не всюду определены (в данном случае определены не на всей числовой прямой), используется так называемое условное равенство, обозначаемое символом =.

Принято писать fx.) =fx2) (и говорить «fx) условно равно fx2)») в том и только в том случае, когда выполняются два условия:

1) функция f определена в точке x. тогда и только тогда, когда она определена в точке x2;

2) если функция f определена в обеих точках x. и x2, то она принимает одинаковые (равные) значения в этих точках.

Символически эти два условия можно записать так:

x.eDf ^ x2eDf ;

x.eDf & x2eDf ^fx.) = fx2).

Таким образом, с помощью условного равенства можно два условия в определяющей части определения (4) четной функции заменить одним: Vx (f(-x) =fx)), а само определение символи-

def

чески записать так: Функция f - четная <-> Vx (f(-x) = fx)).

Поскольку условное равенство в школьном курсе математики не используется, избежать двух условий в определении четной функции не представляется возможным.

VII. Наконец, напомним, что все сказанное относится и к определению нечетной функции. Определение нечетной функции корректно можно сформулировать, например, так (аналогично определению (3) четной функции из учебника [5]):

«Функция f называется нечетной, если для любого x из множества Df число -x также принадлежит Df и выполняется равенствоf-x) = fx)».

C использованием логических символов это определение можно записать так:

def

Функция f - нечетная < > VxeDf (-xeDf &f-x) = fx)).

Отметим, что аналогично обстоит дело с определением периодической функции: одни авторы включают в определяющую часть условие VxeDf (x + TeDf & x - TeDf), а другие считают, что это само собой разумеется, в силу условия VxeDf (fx + T) = fx - T) = fx)).

Например, в учебнике [5, с. 137] дается такое определение периодической функции: «Функция y = fx) называется периодической, если существует такое число T > 0, называемое периодом, что для каждого xeD(f):

1) точки x + T и x - T принадлежат области определения функции;

2) fx) = fx + T)».

Авторы учебника [2, с. 80] считают иначе: «Говорят, что функция y = fx), xeX имеет период T, если для любого xeX выполняются равенства fx - T) = fx) = fx + T)». При этом авторы считают, что «Из этого определения следует, что если функция с периодом T определена в точке x, то она определена и в точках x + T, x - T».

Считаем, что первое определение корректно, а второе - нет. Аргументы аналогичны тем, которые были приведены для определения четной функции.

VIII. В качестве вывода отметим, что в формулировке определения какого-либо понятия нельзя оставлять за рамками этой формулировки никакое существенное условие, исключая его из определяющей части, а лишь предполагая. Все равно без этого условия нельзя обойтись при работе с определением, поэтому его придется учитывать, правда, не законно, а только на основании предположений. Поэтому его сразу следует включить в определяющую часть определения и тогда использовать его совершенно правомерно. В частности, условие симметричности относительно нуля области определения функции следует включать в определяющие части определений четной и нечетной функции.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Макарычев, Ю. Н. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 9 кл.: учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изучением математики [Текст] / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 2004. - 224 с.

2. Мордкович, А. Г. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) [Текст] / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 6-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2009. - 424 с.

3. Дорофеев, Г. В. Алгебра и начала анализа. 10 кл. [Текст]: учебник для общеобразоват. учреждений: В 2 ч. Ч. 1 / Г. В. Дорофеев, Л. В. Кузнецова, Е. А. Седова. - М.: Дрофа, 2014. - 320 с.

4. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс [Текст]: учебник для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. - 8-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 464 с.

5. Шабунин, М. И. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень [Текст]: учебник для 10 класса / М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. - 424 с.

6. Алгебра. 9 класс [Текст]: учебник для общеобразоват. организаций / Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. - М.: Просвещение, 2014. - 304 с.

REFERENCES

1. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G. Algebra: Dop. glavy k shk. ucheb. 9 kl.: ucheb. posobie dlya uchashchikhsya shk. i kl. s uglubl. izucheniem matematiki. Moscow: Prosveshchenie, 2004. 224 p.

2. Mordkovich A. G., Semenov P. V. Algebra i nachala analiza. 10 klass. Part 1. Uchebnik dlya obshcheo-brazovatelnykh uchrezhdeniy (profilnyy uroven). Moscow: Mnemozina, 2009. 424 p.

3. Dorofeev G. V., Kuznetsova L. V., Sedova E. A. Algebra i nachala analiza. 10 kl.: uchebnik dlya obs-hcheobrazovat. uchrezhdeniy. Part 1. Moscow.: Drofa, 2014. 320 p.

4. Nikolskiy S. M., Potapov M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra i nachala matematichesko-go analiza. 11 klass: uchebnik dlya obshcheobrazovat. uchrezhdeniy: bazovyy i profil. urovni. Moscow: Prosveshchenie, 2009. 464 p.

5. Shabunin M. I., Prokofyev A. A. Matematika. Algebra. Nachala matematicheskogo analiza. Profilnyy uroven: uchebnik dlya 10 klassa. Moscow: BINOM. Laboratoriya znaniy, 2011. 424 p.

6. Kolyagin Yu. M., Tkacheva M. V., Fedorova N. E., Shabunin M. I. Algebra. 9 klass: uchebnik dlya obshcheobrazovat. organizatsiy. Moscow: Prosveshchenie, 2014. 304 p.

Тимофеева Ирина Леонидовна, доктор педагогических наук, профессор кафедры математического анализа Московского педагогического государственного университета e-mail: iltimofeeva@mail.ru

Timofeeva Irina L., ScD in Education, Professor, Mathematical Analysis Department, Moscow State University of Education

e-mail: iltimofeeva@mail.ru