CC BY
1
2024
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics
№ 89
Научная статья
УДК 515.12 MSC: 54B15, 54B30, 54B35, 54C05, 54C15, 54C60, 54O30
doi: 10.17223/19988621/89/3
Размерностные свойства подпространств, являющихся граничными множествами пространства вероятностных мер, определенных в бесконечном компакте X
Турсунбай Файзиевич Жураев1, Камариддин Ризокулович Жувонов2
1 Ташкентский государственный педагогический университет им. Низами,
Ташкент, Узбекистан, [email protected] 2Национальный исследовательский университет «Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства», Ташкент, Узбекистан, [email protected]
Аннотация. Рассматриваются размерностные свойства подпространств пространства P(X) вероятностных мер, для которых определены трансфинитные размерностные функции ind, Ind и dim. Показано, что счетномерность компакта X эквивалентна существованию размерностей indPm (X), IndPm (X), dimPm (X), indp (X),
IndPj (X) и dimp (X) для подпространств P (X), p (X), P (X) соответственно.
Также замечено, что для любого компактного С-пространства подпространств P (X), P (X), P (X) пространства P(X) являются компактными С-пространствами.
Если для бесконечного компакта X подпространство Pm(X) содержит гильбертов
куб Q, то существует число n е N , n > 1, такое что Xn х а"-1 содержит гильбертов куб Q. Далее для бесконечного компакта X выделен ряд подпространств Y компакта Р{Х), которые являются и Z-многообразиями. В частности, для соб-
ственного замкнутого подмножества АсХ подпространства SP(A) есть 1г-многообразия для любого n е N ( n > 1), P(X) \ P (X) есть Q-многообразия, для любого собственного всюду плотного счетного подпространства A с X подпространство P(A) является граничным множеством компакта P(X). Если P(X) содержит гильбертов куб Q, то подпространство P(X) гомеоморфно пространству Z.
Показано, в каких случаях всюду плотные подмножества A пространств P(X), определенных в бесконечном компакте X, являются его граничным множеством, а также выделено, какие всюду плотные подмножества A с P(X) и B с P(Y) для бесконечных компактов X и Y соответственно пространств P(X) и P(Y) являются одновременно взаимно гомеоморфными.
Ключевые слова: вероятностные меры, размерности ind, Ind, dim, граничные множества
© Т.Ф. Жураев, К.Р. Жувонов, 2024
Для цитирования: Жураев Т.Ф., Жувонов К.Р. Размерностные свойства подпространств, являющихся граничными множествами пространства вероятностных мер, определенных в бесконечном компакте X // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2024. № 89. С. 32-50. doi: 10.17223/19988621/89/3
Original article
Subspaces dimensional properties that are boundary sets of the probability measures space, defined in an infinite compactum X
Tursunbay F. Zhuraev1, Qamariddin R. Zhuvonov2
1 Tashkent State Pedagogical University named in Nizami, Tashkent, Uzbekistan, [email protected] 2 National Research University "Tashkent Institute of Irrigation and Agricultural Mechanization Engineers", Tashkent, Uzbekistan, [email protected]
Abstract. In this note, we consider dimensional properties of the subspace of probability measure spaces P(X) for which transfinite dimensional functions ind, Ind and dim are defined. It is shown that countability of a compact set X is equivalent to the existence of dimensions indp (x) , Indp (x), dim p (x), indp (x) , Indp (x) and dim p (x)
for the subspaces p (x), p (x), p (x) respectively. It is also noted that for any
compact C-space of the subspaces p (x), p (x), p (x) the space p (x) are compact
C-spaces. If for an infinite compact set X the subspace p (x) contains the Hilbert cube Q,
then there exists a number n e N , n > 1, such that Xnan-1 contains the Hilbert cube Q. Further, for an infinite compact set X, a number of subspaces Y of the compact set p (x)
which are Q-, and E-manifolds are identified. In particular, for a proper closed
subset AcX, the subspaces are C2-manifolds; for any neN, w>l,
p (x) \ p (x) are Q-manifolds; for any proper everywhere dense countable subspace
A с X , the subspace p (A) is the boundary set of the compact set p(x). If p (x)
contains the Hilbert cube Q, then the subspace p (x) is homeomorphic to the space Z.
It is considered in which cases everywhere dense subsets A of the spaces P(X) defined in an infinite compactum X are its boundary set. It is also shown which everywhere dense subsets A с p (X) and B с p (Y) for infinite compact sets X and Y of the spaces P(X)
and P(Y), respectively, are at the same time mutually homeomorphic. Keywords: probability measures, dimensions ind, Ind, dim, boundary sets
For citation: Zhuraev, T.F., Zhuvonov, Q.R. (2024) Subspaces dimensional properties that are boundary sets of the probability measures space, defined in an infinite compactum X. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika -Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 89. pp. 32-50. doi: 10.17223/19988621/89/3
Введение
Пространством P(X) всех вероятностных мер компакта X называется множество всех регулярных борелевских вероятностных мер на X, снабженных слабейшей из топологий, для которых непрерывен каждый функционал f : C(X) ^ R, переводящий меру д в д(Ц) (U - открытое в X множество). Известно, что пространство P(X) вероятностных мер любого бесконечного метрического компакта X
гомеоморфно гильбертовому кубу Q = I. Известно также, что для любой -степени неодноточечного компакта K, пространство вероятностных мер P(KKl) гомеоморфно тихоновскому кубу IKl, P(KKl) = IKl, I - отрезок [0, 1]. Отметим, в частности, что все эти пространства являются топологически однородными. А для пространств P( KKl) при t>K¡ ситуация иная [1-4].
Для произвольного компакта X и меры ц е P(X) определен ее носитель supp(^) - наименьшее из замкнутых множеств F с X , для которых ) = ц(Х), т.е. supp(ia) = f]{A: А с X, А = I, ц е Р(А)} .
Рп(Х) = ^еР(Х): |suppn|<«},
со
1'„(Х) = ^J 1'Н(Х) - множество всех вероятностных мер с конечными носителями.
И=1
Напомним, что пространство р (X) с P( X) состоит из всех вероятностных мер
ц = щ8( x1) + m2ö( x2) +... + mn ö( xn)
- n
с конечными носителями, для каждой из которых щ >- при некотором i.
n +1
Pf n (X) = {це Pf (X): |supp ц| < n}. Очевидно, что для метрического компакта X и любого n е N множества P (X) замкнуты в P(X), Pf (X) и Pf¡r¡ (X) замкнуты в P(X) [5-6].
Тогда подпространство P (X) с P(X), и P (X) всюду плотно в P(X). Следо-
СО
вательно, компакт РЛХ) есть объединение компактов Pfn(X) и /', (Л') = [J/'( „(.V).
/1=1
Очевидно,что рв(Х)сРв(Х) и P,(X)^PJX) [7-9].
1. Значение трансфинитных размерностных функций ind., Ind и dim
в подпространстве вида Pn(X), PfX) и Pa(X) пространства вероятностных мер P(X), определенных в бесконечном компакте X
С недостающими геометрическими и топологическими понятиями и общепринятыми обозначениями, относящимися к функтору P : Comp ^ Comp вероятностных мер его подфункторов, можно ознакомиться в работах [1, 3-9], с общими свойствами действующего в категории Comp - в [2], с размерностными свойствами топологических пространств и обозначениями - в работах [2, 3, 10-14].
Понятия и факты, относящихся к размерностным функциям М, Ind и dim, можно найти в [15].
Пусть N - множество натуральных чисел. Через FinN обозначим множество всех непустых конечных подмножеств Л', снабженных следующим линейным порядком Брауэра-Клини ■<: о <х, это означает существование такого п е ст \ т , что стП {1,2,...и-1} =тП{1,2,...,И-1} .
Пусть Ь - произвольное множество, и пусть М а РтМ . Для ст е {0} и 1'Ш1, положим
Ма ={те ПпЬ : ст и т е М, ст П т = 0}.
Для ае Ь множество М{а} будем обозначать Ма.
Если с, т е РтЬ и ст П т = 0, то
(Мп)х =Мпих,
стеМх «теМст .
Предковое число Отё М определяют по индукции:
1. Отё М = 0 « М = 0
2. Отё М < а « Отё Ма < а для любого ае!.
3. Отё М = а « Отё Ма < а и Отё М < а - не выполняется
4. Отё М = да (не существует) « Отё М > а для всякого порядкового числа а.
Очевидно, что N с М ^ Отё N < Отё М.
Множество М с ПпЬ называется выключающим, если для любых ст, СТ е Р1пЬ из сте М и ст с ст вытекает сте М.
Последовательность 1 е ш, натуральных чисел > 2 будем называть да-после-довательностью, если все кг = да при конечном да.
Семейство открытых (замкнутых) подмножеств пространства X, состоящих не более чем из k элементов, будем называть открытым (замкнутым) ^семейством пространства X. Открытые ^семейства, являющиеся покрытиями, будем называть ^покрытиями пространства X и обозначать соу^ X .
Пусть Ф = [р, р,..., р} - ^система пространства X (в записи ^семейства мы предполагаем, что оно состоит ровно из k множеств, некоторые из которых могут быть пустыми). Всякое дизъюнктное семейство ОФ = {Ор,Ор,...,Ор} окрестностей элементов Ф называется окрестностью системы Ф. ^-последовательность (к,) всякой последовательности (Ф,) &,-систем пространства X называется несущественной, если существуют такие окрестности ОФ,, что семейство и{ОФ, : г е со} является покрытием пространства X.
Последовательность Я = [и,. : I е Щ попарно различных да-покрытий компакта X называется да-выписываемой, если для любого существенного покрытия и е соут (X) бесконечно множество
{/ е N: и, > со},
где отношение V >- со означает, что да-покрытие V комбинаторно вписано в да-по-крытые ю. Для произвольной да-вписываемой последовательности Я компакта X положим
MR ( X ) = (ce FinN : семейство (U : i e a, U 6 R} - существенно} Mm (X) = {a e Fin covm (X) : a - существенно}
Теорема 1.1 [3]. Для нормального пространства X имеем dim X < n ^ OrdMm ( X) < n .
Определение 1.2 [3]. Для нормального пространства X полагаем
dim X = OrdMm ( X ).
В случае dim X = » будем говорить, что размерность dim X не определена. Согласно теореме 1.1 инвариант dim X является трансфинитным продолжением лебеговой размерности dim на бесконечномерном пространстве [3].
Определение 1.3 [10]. Пусть A, B - замкнутые дизъюнктные подмножества пространства X. Подмножество Е пространства X называется разгородкой между множествами А и В, если X \ E = U U V , где U и V - открытые дизъюнктные подмножества в X такие, что A œ U, B œ V.
Определение 1.4 [10]. Говорят, что на пространстве X определена малая индуктивная размерность ind, если выполнены следующие условия:
i) indX = -1, если X = 0 ;
ii) indX < a , если для каждого x e X и каждого замкнутого подмножества F œ X, x E F, существует разгородка A между {x} и F, что indA < p для P < a.
Скажем, что indX = a, если indX < a, но indX < p, для p < a не выполняется
Определение 1.5 [10]. Говорят, что на пространстве X определена большая индуктивная размерность IndX , если верны следующие условия:
i) IndX = -1, если X = 0 ;
ii) IndX <a, если для каждой пары A, B дизъюнктных замкнутых подмножеств пространства X существует такая разгородка E между A и B, что IndE < p для P < a.
A (конечная) последовательность {(Д,Bt): i = 1,...,m,»} пар замкнутых дизъюнктных подпространств пространства X называется несущественной, если для каждого n e N (соответственно, n < m ) существует разгородка Ei между Ai и Bi
такая, что P) Et. = 0 . В ином случае она называется существенной.
И=1
Определение 1.6 [3]. Пространство X называется счетной размерности, если X представляется как счетное объединение подпространств конечной размерности.
Предложение 1.7 [10]. Пространство X счетной размерности, если оно пред-ставимо счетным объединением своих подпространств размерности ноль.
Определение 1.8 [10]. Пространство X называется сильно счетной размерности, если X представляется счетной суммой замкнутых подпространств конечной размерности.
Определение 1.9 [15]. Пространство X называется A-(^слабой бесконечной размерности, если каждая последовательность замкнутых пар дизъюнктных подпространств несущественна (для каждой последовательности {(Д., Btдизъюнктных замкнутых пар пространства X существует n e N такое, что семейство
{(A,B)}"=i несущественно). Если пространство не является A-(^слабой бесконечной размерности, оно называется сильной бесконечной размерности.
В классе метрических компактов определения A -слабой бесконечной размерности и ^-слабой бесконечной размерности совпадают [10].
Нормальное пространство X называется бесконечномерным, если для любой последовательности (F, Fi), i ею дизъюнктных пар замкнутых в X множеств существуют перегородки Pi между F и Fi с пустым пересечением.
Пространство, не являющееся слабо бесконечномерным, называется сильно бесконечномерным. Формальное определение счетномерного, т.е. пространства, являющегося суммой счетного числа конечномерных, а значит, нульмерных (в классе сепарабельных метрических пространств) множеств, было дано В. Гу-ревичем [13], который доказал несчетномерность гильбертова куба Q.
В работе [12] В. Гуревичем и Г. Волмэном показано, что сепарабельное полное метрическое пространство счетномерно тогда и только тогда, когда для него определена малая трансфинитная размерность. Формальное определение малой трансфинитной размерности ind было определено в [13] Гуревичем, а большая трансфинитная размерность Ind была определена В. Смирновым [14].
Скажем, что пространство с конечномерно,если оно является объединением счетного числа своих замкнутых конечномерных подпространств (в русской литературе такие пространства называются слабо счетномерными, в западной -сильно счетномерными).
Определение [3]. Пусть d - размерностный инвариант (F = ind, Ind,dim), принимающий конечные или трансфинитные значения. Для пространства X полагаем d - sc(X) = {а: 3 замкнутое F с X размерности d(F) = а} .
Множество d - sc(X) называется d-шкалой пространства X.
Если
d - sc( X) = {а: а< d (X)}, то d-шкала d - sc(X) называется элементарной. d-шкала d - sc(X) называется сложной, если она не элементарна и 1 е d - sc(F) для всякого замкнутого множества F с X размерности d (F) > 1. Условившись, что dim X = ю0, если dim X = да , отнесем к числу функций d лебеговой размерности. Шкалой пространства X называется его dim-шкала dim- sc(X) = sc(X).
Назовем нормальное пространство нуль-счетномерным, если его можно представить в виде объединения счетного числа нульмерных подпространств. Известно, что всякое счетномерное метризуемое пространство нуль-счетномерно.
Гильбертов кирпич не является счетномерным [13].
T -пространство X называется счетнонормальным пространством, если для любой конечной или счетной системы замкнутых множеств F , имеющих пустое
СО
пересечение Р| !•] = 0 . найдется система открытых множеств (9 з 1<]. также
1=1
да
имеющих пустое пересечение Q ()! = 0 . Очевидно, всякое счетнонормальное
1=1
пространство нормально и любой паракомпакт счетнонормален. Следовательно, класс счетнонормальных пространств совпадает с классом нормальных счетно-паракомпактных пространств
Теорема 1. Пусть X - слабосчетномерное компактное пространство. Тогда для любого локально выпуклого нормального подфунтора F функтора Pn, в частности функтора Pn, пространство F(X) слабосчетномерно.
Доказательство. Пусть X - слабосчетномерный компакт, т.е. X есть счетное объединение своих замкнутых подмножеств Xi конечной размерности dim Xi < да для каждого i е N .
со
Значит, X = ^J Хг , X - компакт, X - замкнут, и dim Хг < да . В данном случае
¡=1
F(X) компактно, так как F : Comp ^ Comp - нормальный подфунктор функтора Pn. В силу работы [11] пространство F(X) конечномерно, если X конечномерно,
СО СО
т.е. dimF(X) < да, если dimX, < да. Тогда F(X) = F(|jx,.) = [jF(Xt). Для каждого i е N подпространство F(Xi) конечномерно, так как Xi конечномерно. Значит, компакт F(X) есть счетное объединение конечномерных пространств, т.е.
СО СО
F(X) слабосчетномерно. Если же F = Рп, то Р„(Х) = Ри((Jx,) = (J P„(Xi). В этом
i=i i=i
случае для каждого n е N для подпространства р (Xi) имеет место dim Pn (Xt) < n dim Xt + n -1. Теорема 1 доказана.
Известно, что, как мы отметили, для бесконечного компакта X пространство Р(Х) - Q, т.е. компакт Р(Х) несчетномерен. Если X - конечный компакт, то
dim P( X) = |х| -1, т.е. P( X) конечномерен.
Для любого компакта X подпространство Pm (X) есть счетное объединение P (X). В данном случае в силу теоремы 1 имеет место следующее
Следствие 2. Если X - слабосчетномерный с-компакт, то F (X) - тоже слабосчетномерный с-компакт, где F локально выпуклый подфунктор функтора Pn.
Следствие 3. Для любого слабосчетномерного компакта X пространство Pm (X) слабосчетномерно.
Известно, что для компакта X пространство Pf(X) является счетным объеди-
СО
нением подпространств Р/,„(Х), т.е. Pf(X) = (JР/г„(Х) [9], где 1',,./есть подфунк-
И=1
тор функтора Pn. В этом случае в силу теоремы 1 имеем
Следствие 4. Для любого слабосчетномерного компакта X пространство Pf(X) есть слабосчетномерный компакт. В работе [10] имеется следующее
Предложение 2.2.31 [10]. Если X представляется как счетное объединение своих нульмерных (0 - dim) подпространств, то X счетномерно.
Теорема 2.2.34 [10]. Если пространство X ^-слабо бесконечномерно, то в X размерность dim X определена.
Также в работе [10] имеется следующее
Следствие 2.2.33 [10]. Для компакта X следующие условия эквивалентны:
а) X счетномерно;
б) существует indX;
с) существует IndX .
Суммируя теорему 1, следствия 1-4 и приведенные результаты можем утверждать
Теорема 2. Для компакта X следующие условия эквивалентны:
а) X счетномерно;
б) indX существует;
в) IndX существует;
г) indP (X) существует;
д) IndP (X) существует;
е) dim P (X) существует.
Следствие 5. Для компакта X следующие условия эквивалентны:
а) X счетномерно;
б) indX существует;
в) IndX существует;
г) indP (X) существует;
д) IndP (X) существует;
е) dim P (X) существует.
Определение [3]. Нормальное пространство X называется С-пространством (X е C), если для любой последовательности (Uj), i ею, его открытых покрытий существует последовательность (V) дизъюнктных открытых семейств пространства X, С-вписанная в последовательность (Uj). Последнее означает, что каждое семейство V вписано в покрытые U , а совокупность семейств V является покрытием пространствах, т.е.
X=U{U!p/eco} (1)
В этом случае говорят также, что последовательность (Uj) (бесконечная или конечная) несущественна.
1. Всякое С-пространство (счетное пространство) слабо счетномерно [3].
2. Если наследственно коллективно нормальное пространство X может быть представлено в виде объединения счетного числа подпространств C е Ct, то X е C [3].
3. Любое наследственно паракомпактное конечномерное пространство является С-пространством [3].
4. Любое метрическое пространство, представимое в виде объединения счетного числа компактов со свойством С, является С-пространством [3].
Из определения С-пространств, приведенных фактов из работы [3], следствий 1-5, и теорем 1, 2 вытекает
Следствие 6. Для любого компактного С-пространства X имеет место:
а) пространство Pm (X) есть С-пространство;
б) пространство р (X) есть С-пространство;
в) пространство р п (X) есть С-пространство.
2. Размерности граничных множеств пространства Р(Х) вероятностных мер, определенных в бесконечном компакте X
Пусть X - произвольный компакт. Для функтора Pn пространство Pn(X) состоит из всех мер вида: т1Ъх +... + ти5х , т.е.
n
P„(X) = = mА, + ••• + ^ : m > 0, mt < 1, £mt = 1
i=1
5х - мера Дирака в точке х{ е X}.
С другой стороны, компакт Pn(X) является непрерывным образом компакта X" х о"-1 при отображении
Прх,„((Х1,...,X"Ж,...,ти):X" хо"—1 ^Р"(X),
"—1 1 где о - симплекс размерности " — 1.
Покажем, что для любого п е N компакт Хп вложен в компакт Р„(Х). При п = 1 компакт /¡(X) = 6(Х) - пространство мер Дирака.
Фиксируем = т0 + т° +... + т°, где щ > 0, щ < 1, щ < т2 <... < т„. Каждой точке х = (х,X,...,X) компакта X" ставим в соответствие точку ц0(х) компакта Pn(X), определенную следующим образом:
Цо(х) = т105х1 + +... + т15х„.
Очевидно, что ц0 (х) е р (X), т.е. определено отображение (х): X" ^ р (X).
Заметим, если х ф у, то ц0 (х) ф ц0 (у). Это означает, что отображение ц0 (х) взаимно однозначно. По точечной непрерывности отображения (х): X" ^ р (X) легко установить, что это отображение ц0 (х) есть вложение. Значит, имеет место следующая
Теорема 3. Для любого компакта X и для любого " е N пространство X" вложено в Pn(X).
В данном случае в силу определения пространства Pn(X), непрерывности отображений кPX,и и ц0 (х).
Таким же образом можно доказать
Теорема 4. Для любого компакта X и для любого " е N компактное пространство X" х о"-1 вложено в Pn(X).
Следствие 7. Пусть X - компакт, и н е N. Если X содержит множество А с X, то P(X) содержит множество P(A). В частности A вложено в P(X).
Это тоже следует из определения пространства Pn(X) и отображений ирх п и ц0 (х).
Имеет место следующая
Теорема 5. Для компакта X, если пространство Pn(X) содержит множество А с X, то X" хо"—1 содержит множество А', гомеоморфное множеству A.
Теорема 6. Если для бесконечного компакта X пространство р (X) содержит гильбертов куб Q, то существует число n е N такое, что Pn(X) содержит гильбертов куб Q.
Доказательство. Пусть X - такой бесконечный компакт, что пространство р (X) содержит гильбертов куб Q. Из результатов работ [4, 10] вытекает, что
1) Р(Х) является граничным подмножеством для пространства Р(Х) — О;
2) р (X) обладает сильным компактным Z-свойством, т.е. любое компактное подмножество пространства р (X) является сильным Z-множеством;
3) р(X) е AR и р(X) есть всюду плотное подмножество в P(X);
4) р (X) является c-Z-множеством, т.е. р (X) является счетным объединением Z-множеств;
5) р (X) гомеоморфно пространству ^;
6) р (X) является склетоидом для произвольных компактов [4].
Итак, по определению склетоидов для произвольных компактов имеется такое отображение f: A ^ р (X), что f |s: B ^ р (X) - вложение, где B замкнуто в A, A - произвольный компакт. В силу произвольности компакта А в определении склетоида для произвольных компактов, можно считать, что A гомеоморфно Q. В этом случае множество B вложено в A и B замкнуто в A.
В силу того что р (X) является склетоидом для произвольных компактов, для s > 0 существует вложение h : A ^ р (X) для некоторого т < n такое, что h |B = f |B и d(f (a), h(a)) <s . Значит, подпространство Гт (X) содержит гильбертов куб Q, так как множество A содержало подмножество? гомеоморфное Q, или A было бы гомеоморфным Q. Что и требовалось доказать.
Теорема 7. Для любого бесконечного компакта X и любого его всюду плотного счетного подмножества Ф подпространства р(A) и р (A) пространства р^) слабо счетномерны.
Доказательство. Пусть X - бесконечный компакт, и A с X, A ф X , |A| = ю ,
А=Х . Тогда Р(Х) - Q. Р(А)сР(Х) и Р(А) всюду плотно в Р(Х). Пусть A = (Xj,х2,...хи,...}. Для натурального числа к > 2 положим A = (X,х2,--хк}.
со
Очевидно, что A с X , A с Ai+1 и этом случае
к=1
СО СО СО СО
РМ) = РЛил) =[}pSA) =иирЛА) ■ к=1 к=1 к=1к=1
В силу результата работы [7] для каждого n е N и к е N подпространство р (Ak) конечномерно, т.е. dimр (Лк) <<» . Значит, р(A) является счетным объединением конечномерных подпространств т.е. р (A) слабо счетномерно.
СО СО
С другой стороны, для А имеем Р(А) = Р(\^Ак) = \^Р(Ак). Для каждого
к=1 к=1
к е N пространство р(A) гомеоморфно симплексу an-1 размерности n -1, т.е.
dim P(A) = o"-1. Значит, пространство P(A) является счетным объединением своих конечномерных подпространств, т.е. P(A) также слабосчетномерно. Можно заметить, что в данном случае, для множества A пространства P (A) и P(A)
гомеоморфны. Теорема 7 доказана.
В силу теоремы 7 и результата работы [10] имеют место следующие Теорема 8. Для любого бесконечного компакта X и любого его собственного счетного всюду плотного подмножества U имеет место
(P(X),P(\]))^(Q,B(Q)), (P(X),Pa(U)) = (Q,B(Q)). Теорема 9. Пусть X - бесконечный компакт, A с A с ••• - замкнутые под-
со со
множества компактах такие, что . I = [J. I, всюду плотно вХи X ^ [J А,
1=1 ¡=1
Тогда:
а) р(A) слабосчетномерно, еслиA слабосчетномерно;
со
б) [J Р(А;) сильно бесконечномерно, если существует такое i е N, что А,
¡=1
бесконечно.
Теорема 10. Пусть X - бесконечный компакт, A - его непустое замкнутое подмножество такое, что X \ A всюду плотно в X. Тогда:
а) P(X \ A) сильно счетномерно, если X \ A содержит бесконечное компактное подмножество;
б) P(X \ A) слабосчетномерно, если X \ A есть счетное множество;
в) Pm(X \ A) слабосчетномерно, если X \ A слабосчетномерно;
г) P (X \ A) сильно счетномерно, если X \ A содержит гильбертов куб Q. Доказательство. Пусть X - бесконечный компакт, тогда P(X) гомеоморфно Q.
В работах [4, 7] показано, что во всех таких случаях эти подпространства являются граничными множествами, т.е. имеет место
(P(X),P(X\A)) = (Q,B(Q)) (P(X),PJX\A)) = (Q,B(Q)). Следовательно, Р{Х)\Р{Х\А) - 1г и Р(Х)\Рт(Х\А) - 12.
В случае а) если X \ A содержит компактное бесконечное подмножество, то пространство вероятностных мер этого подмножества гомеоморфно Q, т.е. Р{Х \ А) содержит гильбертов куб. Следовательно, Р(Х \ А) - ^. Это означает, что P(X \ A) сильно счетномерно. Случай б) вытекает из теоремы 7.
в) в теореме 2 пространство P (X) слабосчетномерно для слабосчетномерно-го пространства X;
г) выпуклое множество P (X \ A) содержит гильбертов куб Q, тогда P (X \ A) гомеоморфно ^, т.е. P(X \ A) сильно счетномерно. Теорема 10 доказана.
О гомеоморфности подпространств А с Р(Х) и В с Р(У) соответственно пространств Р(Х) и Р(Т)
Напомним, что топологическое пространство X называется многообразием, моделированным на пространстве У, или У-многообразием [10], если всякая точка пространства X имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству пространства У.
б = ПГ^НД],- - гильбертов куб, Ж± = {(^) е б: gi = ±1} - /'-я грань куба 2,
В¿1(2 = и/_, Щ ~ псевдограница куба а $ = 2 Вс12 - псевдовнутренность куба 2-
Известно, что 3 = П/(-1-1), и Б-В*' [10]. Следовательно, /2-гильбертово
пространство гомеоморфно и , Е - линейная оболочка стандартного кирпи-1
ча б' = ПГ=1 в гильбертовом пространстве 1г; через Ц или с обозначается
линейное подпространство пространства 12, состоящее из всех точек, лишь конечное число координат которых отлично от нуля, а < - подпространство гильбертова куба < , состоящее из всех точек, лишь конечное число координат которых отлично от нуля. Через г/М2 обозначается радиальная внутренность гильбертова куба 2, состоящая из точек {х = (хи) е б;| хи| < г < 1, для всех п е N}.
Известно, что ст —1( — б/, а Е гомеоморфно ппЮ. Очевидно, что пп1б — Вс1б и Вс!2 - X . Известно, что пространства Е и /г сильно бесконечномерны, а пространства ¡(, с и 2 слабо бесконечномерны, и все эти пространства однородны.
Следуя по [10], о—Х-множество в гильбертова куба 2 называют граничным множеством в 2 (обозначается черезВ(2)), если <2\В -12.
Более общим образом граничным множеством в <-многообразии называют с-2-множество, дополнение до которого является ^-многообразием.
Из вышеприведенного следует, что псевдограница Вй< гильбертова куба 2 является его граничным множеством.
Пусть X - бесконечный компакт, и Д с X - такие замкнутые подмножества компакта X, что X \ Д всюду плотно в X и отлично от X для каждого , е N.
В силу компактности X и замкнутости множества Д для каждого , е N имеет
СО
место Д = , где Ск+1 сб( и открыто для каждого к <еЫ .
к=1
Тогда X \ 0[ Е X \ 0[+1 для каждого к е N и Р(Х \ 0'к) с Р(Х \ 0[+1). Из всюду плотности множества X \ Д в X вытекает, что Р(X \ Xt) всюду плотны в Р(X).
СО
Рассмотрим объединение [^Р(Х\Д). Для него имеем
1=1
СО СО СО СО СО
1=1
1=1
4=1
1=1
4=1
Обозначим X\в[ = Б[, т.е. Р(X\в[) = Р(Б[)
со
Известно, что Р(В'к) с: Р(В'к+1) и Р(В'.) выпукло, всюду плотно, с-ком-
¡=1
00 00 пактно и \^Р{В[) е АН . Было показано, что \^Р{В[) является граничным мно-
¡=1 ¡=1
жеством в Р(X) для каждого I е N (Теорема 3). Значит, имеет место следующая
Теорема 11. Пусть X - бесконечный компакт, и Л с X - его такие замкнутые подмножества, что X \ Л всюду плотны и отличны от X для каждого I е N.
со
Тогда пространство Р(Х \ А,) является граничным множеством в Р(Х),
¡=1
00
т.е. Р(Х)[]Р(ХА1) гомеоморфно 12.
¡=1
Следствие 8. Пусть X- бесконечный компакт, и х,X,■■■, X■■■ - последовательность точек компакта X такое, что множество {х ■ г е Щ счетно и X \{хг}
со
всюду плотно в X для каждого / е Л?. Тогда пространство Р(Х \ х,) является
¡=1
да
граничным множеством в Р{Х), т.е. Р{Х) \ 1'(Х \ х}) гомеоморфно (,.
1=1
В случае когда X - бесконечный компакт, пространство р (X \ Л) является граничным множеством для любого замкнутого подмножества Л такого, что X \ Л всюду плотно и отлично от X для каждого I е N. Поэтому имеет место следующая
Теорема 12. Пусть X - бесконечный компакт, и Л с X - его такие замкнутые подмножества, что X \ Л всюду плотны и отличны от X для каждого г е N.
Тогда пространство \^Рт(Х\А1) является граничным множеством в Р(Х). т.е.
1=1
да
Р(Х) \ и р (X \ 4) гомеоморфно 12.
1=1
Следствие 9. Пусть X- бесконечный компакт, и х,X,■■■, X■■■ - последовательность различных точек компакта X такая, что X \ {х1} всюду плотно в X для
СО
каждого / е N. Тогда пространство У Р. (X х1) есть граничное множество в Р(Х),
т
.е. P(X)\Qp,(X\x) гомеоморфно 12.
0}
1=1
Теорема 13. Пусть X- бесконечный компакт, Л,Л- такие замкнутые подмножества компакта X, что X \ Д. всюду плотны и отличны от X для каждого
¡=1
/ = I, я . Тогда Р| Р(X \ Д.) есть граничное множество в Р(Х), т.е. Р(Х) \ Р| Р(Х \ А,)
¿=1 ¡=1
гомеоморфно 12.
Доказательство. Пусть X - бесконечный компакт, и эту теорему докажем для п = 2. Д и Д - такие замкнутые подмножества компакта X, что X \ Д и X \ Д всюду плотны в X и отличны от X. Тогда каждое Р( X \ Д) всюду плотны в Р(X) и отличны от Р(А). В этом случае, по теореме 8, эти подпространства Р(X \ Д) и Р( X \ Д) являются граничными множествами в Р(^). Пересечение Р(Х\А1)Г\Р(Х\А2) выпукло и всюду плотно в Р(Х). Следовательно, Р(Х Л)0 Р(Х \А2) является ^-пространством.
В силу замкнутости множеств Д и Д в компакте X имеем
Р(х \ д) = Р(х \ П и,) = Р(0 (х \ и,)) = 0 Р(х \ и,.),
1=1 1=1 1=1
Р(Х\А1) = Р(Х\[У1) = Р([^(Х\У1)) = []Р(Х\У1). 1=1 1=1 1=1 Заметим, что Р(Х \С/,.) с: Р(Х \им) и Р(Х \ V,) с= Р(Х \ГМ), и Р(Х \и,) и Р(X \ V) - выпуклые компакты. Значит, Р(X \ Д) и Р(X \ Д) с-компактны. Теперь
со
Р(Х \А1)ПР(Х\А2) = (Р(Х \ и,) П \ V,))) и,
/=1
СО СО
(Р(х\г72)п(идх\^))п...п(дх\г7и)п(идх\к,))...=
1=1 1=1
= {Р{Х\и1){\Р{Х\У1))У){Р{Х\и2)[}Р{Х\У2))У)...
СО
:.{}{Р{Х\ип)[]Р{Х\Уп))[}... = [\{Р{Х\и1)[]Р{Х\У1)).
1=1
Очевидно, что пространство Р(Х\А1)Г\Р(Х\А2) - растущая последовательность компактных выпуклых подмножеств компакта Р(^), так как
Р(X \ и) с Р(X \ и2) с ...,
Р(X \ V) с Р(X \ V) С... есть растущие последовательности компактных выпуклых подмножеств в Р(^).
СО
Обозначим С,. = Р(Х \ и,.) П Р(Х \ V,). Получим, что С = у С, е АК . Для каждого
1=1
, е N показывается, Сг есть 2-множество в С. Следовательно, С есть с-2-
со
множество и С есть граничное множество в Р(Х) [8, 9], т.е. Р(Х)\уС; —12.
1=1
Теорема 13 доказана.
Для функтора Р, переводящего компакты в с-компактные пространства, доказывается следующая
Теорема 14. ПустьX- бесконечный компакт, Д,А,•••,Д - такие замкнутые подмножества компакта X, что X \ Д всюду плотны в X и отличны от X для каждого I е 1, п.
п со
Тогда Р|-РШ(Х\Д) сеть граничное множество в Р(Х). т.е. Р(Х) ^Рт(Х А;) - ! 2.
(В V
П=1
Следствие 10. ПустьX- бесконечный компакт, х,X,•••,X - различные точки компакта X такие, что X \{х} всюду плотны в X для каждого г = 1, п . Тогда про-
п СО
странство р| Р'(Х \ х ) есть граничное множество в Р(Х), т.е. Р'(Х) р| Р ( X X ) = ' 2.
(В V
П=1
Следствие 11. ПустьX- бесконечный компакт, х,X,•••,X - различные точки этого компакта X такие, что X \ {х} всюду плотно в X для каждого г = 1, п . Тогда
п СО
С)Р,(Х -V.) есть граничное множество в Р{Х), т.е. Р(Х)[]Р:(ХХ1) (2.
¡=1 И=1
Теорема 15. Для любого бесконечного компакта X пространство р (Х)\ р (X) является граничным множеством компактаР(Х), т.е. Р(X)\(р(X)\Pf (X)) - £2.
Доказательство. Пусть X - бесконечный компакт, тогда гомеоморфно гильбертовому кубу В работах [5, 6] было показано, что Р„:(Х) образует граничное множество компакта Р(Х), т.е. Р(Х)\Рш(Х) - £2. Было показано, что Р (X) обладает компактным 2-свойством, т.е. каждое компактное подмножество пространства р(X) есть 2-множество. Значит, компакт р(X) является 2-мно-жеством в р (X).
а) Теперь покажем, что подпространство р (X) \ р (X) гомотопически плотно в р (X). Фиксируем точку ц0 е р (р (X). Положим ц0 = 15^ +1,
где 5 и 5^ - произвольные точки компакта 5(X) с р (X). Искомую гомото-пию Н(ц,(): р(X) х [0,1] ^ р(X) построим, полагая И(ц, ^ = I ц0 + (1 - . При t = 0 гомотопия й(ц, 0) = 0 • ц0 + (1 - 0)ц = ц, т.е. й(ц,0) = . При t > 0 й(ц,t) = + (1 -Оц . Легко проверить, что для любого ц е р(X) и t е (0,1] мера й(ц, t) е р (X), так как ц0 е р (X) и при любом значении д мера к(ц, ^ е рг (X).
Значит, пространство р (X)\ р (X) гомотопически плотно в р (X).
б) Известно, что для любого компакта X компакт р (X) является счетным объединением компактов р и(X), где р n(X) есть подмножество компакта р (X )•
Значит, Р/(Х) = \^}Р/„(X) здесь Р',(Х) принимает вид:
И=1
рд(Х) = 8(Х) с р 2(Х) с ... с Р/И(Х) с ...
В этом случае имеем
СО СО
Р (X) \ Р} (X) = Ра (X) \ и Р/ п (X) = П (Р (X) \ Р/ п (X)) .
п-1 п-1
Для каждого п е N подпространство р (X) \ р'г,п (X) выпукло и локально вы-
со
пукло. Тогда пересечение р|(Р(Х)\ри(Х)) выпукло. Следовательно, про-
л=1
странство р (Х)\ р (X) выпукло, и р (X)\ р (X) есть ^^-пространство. С другой стороны, подпространство р (X)\ р (X) всюду плотно в Р(Х) и Р (X)\р (X) является 2с-множеством. В этом случае из результата 1.5.4 [10] подпространство р (X)\ р (X) сильно С-универсально, где С - класс метрических компактов. В данном случае из результата вытекает, что пара (р(X), р (X)\ р (X)) гомеоморфна паре (2, В (б)). Значит, имеем
Р(Х)\(р(Х)\р(Х)) = £2. Теорема 15 доказана.
В условиях теорем 9-15, следствий 9-10 и в силу равенства
р( X \ А) = р( X )\ Бр (А)
получаем:
а) Р(Х)\уР(Х\А,) = Р(Х)\(0(Р(Х)\Я,(4)) = П(4) = ; так, Я,(А)
1=1 ¡=1 ¡=1
гомеоморфно гильбертовому пространству 12 для любого замкнутого подмножества А компакта X [6, 7];
б) Р(Х) \ У Р(Х \ х,.) = Р(Х) \ (У (Р(Х) \ Бр [рс,)) = ("] ^ (х,)- 12 ;
/=1 /=1 /=1 п п п
в) Р(Х)\ПР(Х\4) = Р(Х)\ р|(Р(Х)\БМУ) = = (-2 •
1=1 1=1 1=1
Известно, что для любых бесконечных компактов X и 7 пространства Р(Х) и Р(У) гомеоморфны О. т.е. Р(Х) = Р(У') = О.
Вопрос. Для таких компактов X и У пространства р (X) и р (У) гомеоморфны? Из результатов работ [1-8] и теорем 2-15 следует:
а) для конечномерных компактов X и У пространства р (X) и р (У) гомеоморфны;
б) для счетных компактов X и У пространства р (X) и р (У) гомеоморфны;
в) для компактов X и У, содержащих 2, пространства р (X) и р (У) гомео-морфны;
г) для компактов X и У таких, что X" хстп и Уп хстп содержат 2, пространства р (X) и р (У) гомеоморфны.
Пусть X и У - бесконечные метрические компакты. Тогда имеют место следующие равенства:
1. Р(Х) - Р(У) и Р(Х) \ р (X) - Р(У) \ Р(У).
2. P(X)\P(X\ A) = Sp(A), где A ф X , и P(Y)\P(X\B) = Sp(B), где B ф Y.
3. U(X) и U (Y) открыты и всюду плотны соответственно в X и Y, тогда Р{Х) \ P(U(X)) - P(Y) \ P(U(Y)) и Р(Х) \ Рш {ЩХ)) = Р(У) \ рш (<У(7)),
где U(X) Ф X и U(Y) Ф Y .
4. P(X)\P(X\х^) = P(Y)\P(Y\y0), где x0 e X и y0 e Y .
5. P(X)\P(A) = P(Y)\P(B), где A сX, A фX,A = X, A ф A и B с Y,B ф Y,B = Y.
6. P(X) \- P(Y)\P{B) тогда и только тогда, когда SP(X\A) - SP(Y\В), где А ф X , В ф Y.
7. а. Р(Х \ А) - P(Y \ В) тогда и только тогда, когда Sp (А) - Sp (В), где А замкнуто в X и А ф X , В замкнуто в 7 и В фУ .
7,6. SP(X\A) = SP(Y\B) тогда и только тогда, когда Р(Х)\Р(А) = Р(Х)\Р(В), SP(A) - SP(B), где. I замкнуто вХи А фХ , В замкнуто в 7 и В ФY .
8. Для любых с-компактных всюду плотных подмножеств A и B соответственно X и 7, отличных отХи 7, верно
P(X)\P(A) = P(Y)\P(B)!
со со
9. Если А = U A¡ плотно вХ, и В = [J Bi плотно в 7, ^с^с..., Ai замкнуто
¡=1 ¡=1
вX, A ф X , B с B2 с..., B замкнуто в Y, B ф Y, тогда
СО СО
1=1 1=1
10. Для любых счетных всюду плотных собственных подпространств A с X и В с Y компактов X и 7 имеют место
Р(Х) \ Р(А) = P(Y) \ Р(В) и Р(Х) \ Рш (А) = P(Y) \ Рш (В).
Список источников
1. Федорчук В.В. Вероятностные меры в топологии // Успехи математических наук. 1991.
Т. 46, вып. 1 (277). С. 41-80.
2. Щепин Е.В. Функторы и несчетные степени компактов // Успехи математических наук.
1981. Т. 36, № 3. С. 3-62.
3. Федорчук В.В. Слабо бесконечномерные пространства // Успехи математических наук.
2007. Т. 62, вып. 2 (374). С. 109-164.
4. Жураев Т.Ф. Некоторые геометрические свойства функтора вероятностных мер и его
подфункторов : дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 1989. 90 с.
5. Жураев Т.Ф. Некоторые основные свойства функтора Pf // Вестник Московского уни-
верситета. Сер. 1. Математика, механика. 1989. № 6. С. 29-33.
6. Жураев Т.Ф. Пространство всех вероятностных мер с конечными носителями гомео-
морфно бесконечномерному линейному пространству // Общая топология. Пространства и отображения. М. : Из-во Моск. ун-та, 1989. С. 66-70.
7. Жураев Т.Ф. Некоторые геометрические свойства подфункторов функтора Р вероят-
ностных мер. М. : МГУ, 1989. 60 с. Деп. в ВИНИТИ АН СССР 05.07.1989. № 4471-В89.
8. Жураев Т.Ф. О функторе P вероятностных мер // Вестник Московского университета.
Сер. 1. Математика, механика. 1990. № 1. С. 26-30.
9. Жураев Т.Ф., Турсунова З.О. Некоторые геометрические и топологические свойства
пространства вероятностных мер, определенные в бесконечном компакте // Узбекский математический журнал. 2016. № 1. С. 39-48.
10. Banakh T., Radul T., Zarichnyi M. Absorbing Sets in Infinite-dimensional Manifolds. VNTL Publishers, 1996. (Math Studies Monogh; Ser. V.1).
11. Басманов В.Н. Ковариантные функторы, ретракты и размерность // Доклады АН СССР. 1983. Т. 271, № 5. С. 1033-1036.
12. Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности / под ред. и с предисл. П.С. Александрова. М. : Гос. изд-во иностр. лит., 1948. 232 с.
13. Hurewicz W. Uber unendlich-dimensionale punktmengen // Proc.Akad. Amsterdam. 1928. V. 31. Р. 916-922.
14. Смирнов Ю.М. Об универсальных пространствах для некоторых классов бесконечномерных пространств // Известия АН СССР. Сер. математическая. 1959. Т. 23. С. 185-196.
15. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М. : Наука, 1973. 575 с.
References
1. Fedorchuk V.V. (1991) Probability measures in topology. Russian Mathematical Surveys.
46(1). pp. 45-93.
2. Shchepin E.V. (1981) Functors and uncountable powers of compacta. Russian Mathematical
Surveys. 36(3). pp. 1-71.
3. Fedorchuk V.V. (2007) Weakly infinite-dimensional spaces. Russian Mathematical Surveys.
62(2). pp. 323-374.
4. Zhuraev T.F. (1989) Nekotoryye geometricheskiye svoystva funktora veroyatnostnykh mer
i ego podfunktorov [Some geometric properties of the functor of probability measures and its subfunctors]. Dissertation. Moscow State University.
5. Zhuraev T.F. (1988) Nekotoryye osnovnyye svoystva funktora Pf [Some fundamental properties
of the functor Pf]. VestnikMoskovskogo Universiteta. Seriya 1. Matematika. Mekhanika. 6. pp. 29-33.
6. Zhuraev T.F. (1989) Prostranstvo vsekh veroyatnostnykh mer s konechnymi nositelyami go-
meomorfno beskonechnomernomu lineynomu prostranstvu [The space of all probability measures with finite supports is homeomorphic to an infinite-dimensional linear space], in Obshchaya topologiya. Prostranstva i otobrazheniya [General topology. Space and maps]. Moscow: Moscow State University. pp. 66-70.
7. Zhuraev T.F. (1989) Nekotoryye geometricheskiye svoystva podfunktorov funktora P
veroyatnostnykh mer. [Some geometric properties of subfunctors of functor P of probability measures]. Deposited in VINITI AN USSR July 5, 1989. No. 4471-B89.
8. Zhuraev T.F. (1990) O funktore P veroyatnostnykh mer [On the functor P of probability
measures]. Vestnik Moskovskogo Universiteta. Seriya 1. Matematika. Mekhanika. 9. pp. 26-30.
9. Jurayev T.F., Tursunova Z.O. (2016) Nekotoryye geometricheskiye i topologicheskiye
svoystva prostranstva veroyatnostnykh mer, opredelennyye v beskonechnom kompakte [Some geometric and topological properties of the space of probability measures defined in an infinite compact]. Uzbek Mathematical Journal. 1. pp. 39-48.
10. Banakh T., Radul T., Zarichnyi M. (1996) Absorbing Sets in Infinite-dimensional Manifolds. VNTL Publishers.
11. Basmanov V.N. (1983) Covariant functors, retracts, and dimension. Doklady Akademii Nauk SSSR. 271(5). pp. 1033-1036.
12. Hurewicz W., Wallman H. (1941) Dimension Theory. Princeton: Princeton University Press.
13. Hurewicz W. (1928) Über unendlich-dimensionale Punktmengen. Proceedings of the Section of Science, Koninklijke (Nederlandse) Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. 31. pp. 916-922.
14. Smimov Yu.M. (1959) Ob universal'nykh prostranstvakh dlya nekotorykh klassov beskonechnomernykh prostranstv [On universal spaces for certain classes of infinite-dimensional spaces]. Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya. 23. pp. 185— 196.
15. Aleksandrov P.S., Pasynkov B.A. (1973) Vvedeniye v teoriyu razmernosti [Introduction to dimension theory]. Moscow: Nauka.
Сведения об авторах:
Жураев Турсунбaй Файзиевич - доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей математики Ташкентского государственного педагогического университета им. Низами (Ташкент, Узбекистан). E-mail: [email protected]
Жувонов Камариддин Ризокулович - преподаватель кафедры высшей математики Национального исследовательского университета «Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства» (Ташкент, Узбекистан). E-mail: qamariddin.j @mail.ru
Information about the authors:
Zhuraev Tursunbay F. (Tashkent State Pedagogical University named in Nizami, Tashkent, Uzbekistan). E-mail: [email protected]
Zhuvonov Qamariddin R. (National Research University "Tashkent Institute of Irrigation and Agricultural Mechanization Engineers"). E-mail: [email protected]
Статья поступила в редакцию 01.07.2020; принята к публикации 03.06.2024
The article was submitted 01.07.2020; accepted for publication 03.06.2024
