CC BY
64
Наука. 1980.
2. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. .М: Мир. 1975.
М.Л.Голуб, С. II.Хинина
РАЗЛОЖЕНИЕ КАРУНЕНА-ЛОЭВА ПРИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО-КОСИНУСНОЙ
КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ
1. Введение
Развитие оптических систем распознавания изображений и методов компьютерной оптики дает новый импульс для аппаратурной реализации разложения Карунена-Лоэва [1,2]. При компьютерном синтезе оптически пространственных фильтров, согласованных с разложением Карунена-Лоэва, важно иметь аналитические представления базисных функций. В работе 131 дан общий подход к аналитическому нахождению базисных функций Карунена-Лоэва для случая дробно-рационального спектра. Однако, он требует выполнения значительного количества громоздких операций, типа вычисления комплексных определителей, и не удобен для алгоритмизации.
В работе [4] даны простые формулы для случая экспоненциальной корреляционной функции. Однако для реальных полутоновых изображений более свойственен осциллирующий характер корреляционной функции, описываемый экспоненциально-косинусной формулой.
Численное решение интегрального уравнения Карунена-Лоэва трудоемко и практически неприемлемо для расчета оптических пространственных фильтров с числом отсчетов
=2103х2103.
2.Аналитическое решение уравнения на собственные значения
Поскольку двумерные базисные функции могут рассчитываться в виде произведения одномерных, то будем рассматривать одномерное интегральное уравнение на собственные значения на симметричном интервале |-.Ы|:
ІК(х-и)\\і(и)ди=\і\і(х) .
(2.1)
имеет спектр:
2ао2(а2+р2+с«)г)
с»>4+-2с»)2(а2- р2)+(а2+р2)2
(2.3)
Нормировку собственных функций выберем в виде
I |ф(х)|24х=1
■А
(2.4)
В соответствии с алгоритмом решения интегрального уравнения 11-го рода для ядра с дробно-рациональном спектром (2.3), интегральное уравнение (2.1) сводится к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами:
ф(4)(х)-2
а -р —
<-(а2 + р2) а2+Р
о X ) Ф(2>(х)
Р2- 2аст2'| X I
=0 .
Решение этого уравнения можно записать в виде:
і|/(х)=Ь,в Л+Ь2е а+Ь39 А*Ьлв
(2.5)
где Г и Г- корни соответствующего (2.5) характеристического уравнения, удовлетворяющие по теореме Виета условиям:
Е2+Г2=2
.2 о2 Ааа2
X )
а -р --
(2.6)
Е2!^ =(а2 + р2)
2 п2 2Аа.о2 а + Р----------
-А
Экспоненциально-косинусная корреляционная функция
К(Лх)~а2вхр(а |ДХ[)С08(Р Дх) , \АХ\<,А и
Переходя от комплексных уравнений (2.6) к вещественным, представив I и Г в комплексном виде: /=ег+/е\ Г=у~\уГ1 получаем пять возможных случаев решения
(2.6):
і.
є0=0 . у=0
2
е2Уо = -(“2+Рг)(а2+Р2
2Ааа2
А. )
2.
€=0 . у0=0 2 2 о( 2 о2 Ааа2
Єо+у*=-2 ----—
2 2 «0Ї
= -(а2+р2)|с
;2 + Р2-
2Лаа2
3.
у2-е?=-2 а2-р2-
= -(а2+р2)|а
4.
є2-2
е=0 , у=0
21 р2 2Аааг
2 2
єо-Го=-2|а2-р2-
^уо=-(о2+Р2)(а2 + Р
/4ао2
X /
2 2/4ао2
€0 = ї . «""Уо
2 2 2 о 2 Лао2
Єо-с -а -р-------— -
2 2
=(а2 + рг)|а2 + р2
2Иао2
Я
Случаи 1,2.5 вступают в противоречие при Л-0, а 3 и 4 эквивалентны. Для случая 3, приходим к решению, что Е=1е - число мнимое. а Л=у - действительное.
Подставляя (2.5) в интегральное уравнение (2.1), а затем приравнивая коэффициенты при одинаковых линейно-независимых функциях. получаем систему уравнении, из которой легко видеть, что возможен один из вариантов: 3.1: 6,=Лг и Ь3=ЬЛ,
3.2: Ь,=-Ь2 и Ь3=-Ьл.
Последовательно рассматривая оба вари-
анта, получаем формулу для базисных функций:
(2.7)
где коэффициенты удовлетворяют системе уравнений:
*1
*2
Єи(а-Іє) Є~'*(а+Іє) Р2+(а-/є)2 р2+(а+Ує)2
Єт(а-у) , бЧв+У) р2+(а-у)2 р2+(а *у)2
=0
(2.8)
е
р2+(а -/є)2 Р2+(а+/е)
в'1'
-±-
р2+(а-у)2 Р2+(а+у)2
=0
для 3.1: А',=с?,, А2=</2 и используется знак для 3.2: А',=с/,, А2=<У2 и используется знак
Система (2.8) имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен 0. Отсюда, выразив у через є в случае 3 системы (2.6) путем исключения Я, получаем систему трансцендентных уравнений:
С1 (ї )&,(/€)
-Рі(/€) іїдє
\р
Р2(у) +%
-в,(Іе)вг{ у)
I \Р \-Ш -Лу
V у
\
Я,(/е) тїдє
2.9)
=0
тч»;чг)‘<г'3|‘а>вг, «г.р2.€г
где
Р|(х)=£^й. г,(х)^г^г^
’ рЧсг2-^) 2 2ах для 3.1: 0,(л)=1, 02(.\)=р2-(аг-.\2), Р= 1, для 3.2: (і^(.\)= а2+ р2+х2у Ог(х)=а2+р2-.\2, Р=-1, Из системы (2.8) и условия нормировки (2.4) получаем коэффициенты:
К,=
А
1
в!п2е
V 2е К^-ОК,
0=
АО'
вИ2у
2у
4Р
б^+у2
е
гс^+р2^2)
|(а2+р2+у2)(ву±в т)+2ау(ву + 0‘1,)|(аг+р2+€2)
(2.10)
где 3.1: >0=е1г(уСО5е-е5те)-ег(уСО5е-е5те)
С=(а2+Д2-^)с05е+2аес05е
и 3.2: 5=е1г(у51пб’-ес0$е)+е'1г(у$те+бс05е)
С=(а2+ Д2-е?)5те+2аеС05е Итак, решением интегрального уравнения для экспоненциально-косинусной корреляционной функции являются собственные функции вида (2.7) с е=ек и у=ук, и собственные числа
2>4оо2(о2+р2+е^)
(2.11)
где ек и ук для четных к являются решениями системы (2.9) для 3.1, для нечетных А: - решениями системы (2.9) для 3.2, а коэффициенты с1,к, ^гк и с1к> сгк определяются соответственно по формуле (2.10) с е=ек, у=ук и 3.1: с!,=К„ 3.2. с)к—Л,, с'2к—
Нумерацию индексами к выберем как принято в теории разложения Карунена-Лоэва согласно неравенствам:
(2.12)
При /3-0 приходим к случаю экспоненци-альной корреляционной функции, предложенному в [4|. Уравнение (2.9) для обоих вариантов принимает вид:
(а2+4)^де*-—1=0 , *=0,2,4,.,. (а2+4)|1де*-^)=0 , к--1,3,5,...
(2.13)
Нормированные коэффициенты описываются формулами:
4*=-
1+-
31п2е
2с*
с,*=-
1
а
, 0=0, ^=0
1 0-0, о .
(2.14)
1-
8Ю2еП
2ек /
Собственные числа принимают вид:
, 2Аааг
*“ 2 _2 ’ сг+е*
а базисные функции:
(2-15)
I
X
А/
, к=0,2,4,...
. к-1,3,5,...
(2.16)
Формулы (2.13)-(2.16) совпадают с ранее полученным в [4) решением. При /3*0 получили обобщение на случай экспоненциально-косинусной корреляционной функции.
3. Алгоритмизация решения трансцендентных уравнений
Систему трансцендентных уравнений (2.9) будем решать методом Ньютона-Канторовича [51.
В нашем случае (р+1)-е приближение к решению (е‘р+1,,у|р+’>) определяется через р-е
(е1151, Ум) по формуле
€(Р-1)=€(Й,
у(р-1)=у(р>+_
1
т ду
Л
4—ч
де де
где
д(2 д(2 а/,
де ду де ду
а функции /,, /г и их производные берутся в точке (ё’Ку{0)).
Каждый из интервалов системы (2.9) имеет бесконечное множество решений, которые могут быть отделены на непересекаюшихся интервалах [6|, соответствующих ф(х):
(«.§). *-о: (§*'2'4
При этом Лк определяется по формуле (2.11).
Анализ полненных результатов показывает. что монотонно возрастающие {ек} и {ук} определяют строго убывающую последовательность собственных чисел (2.11).
Алгоритм нахождения базисных функции Карунена-Лоэва записывается следующим образом.
При четном номере к базисной функции
(к=0,2,4,...)
Для нахождения ек берется начальное приближение €к<0) из интервала
(|.|)...(«.гИ;
*=2,4,6,...
Зная ассимптотическое поведение собственных чисел |6), лучше брать
«?-■£ • «.П-7 £ 4
Затем повторяется процедура нахождения следующего приближения по (2.16) до тех пор. пока
не станет меньше требуемой точности.
При нечетном к (Л= 1,3.5,...):
X
А
Рис.1 Двумерное полутоновое изображение - портрет
Результаты решения интегрального уравнения для обоих одномерных изображений приведены в Табл.1 и Табл.2.
Величина еь(0; назначается из интервала:
п Зя
2'Т
Рекомендуется выбирать в - малое
2
число.
4.Разложение Карунена-Лоэва для полутонового изображения
В качестве примера рассматривалось двумерное полутоновое изображение - портрет (см.рис.1). Усреднив двумерное изображение отдельно по строкам и столбцам, получили два одномерных массива, для которых и были построены два набора базисных функций Карунена-Лоэва, порождающие двумерные базисные функции путем факторизации.
Рассчитанная К(Дх) и аппроксимирующая К(Дх) корреляционные функции для строк и столбцов показаны соответственно на рис.2а и рис.26.
Для аппроксимирующих корреляционных функций были оценены следующие параметры: для строк: а=7.85, «=2.52, 0=0.86 для столбцов: а= 14.82, а=2.87, /3=0.41
Рис.2 Рассчитанная и аппроксимирующая корреляциошше функции для усредненных строк (а) и столбцов (б) изображения
Более наглядно расположение можно представить следующим образом:
Рис.4 Базисные функции Карунсна-Лоэва *к(х) на интервале х«[0,А|, построенные по экспоненциально-косинусной аппроксимации корреляционной функции усредненных строк (а) и столбцов (б)
О jn Зэт 5тг
2 2 2
Рис.З Расположение £к на непересекаюшихся интервалах
Табл.1 Параметры базисных функций Карунсна-Лоэва для усредненных строк изображения
Номер базисной функции,к «к Yk Собственное число,
О ' 1.513 13,349 38,387
! 3.024 13.440 37,341
: 4,549 13,582 'VO-
л 6.030 13.759 33,268
4 7,259 13,960 30,563
Табл.2 Параметры базисных функций Карунсна-Лоэва для усредненных столбцов изображения___________________
Номер базисной функции, к «к Yk Собственное число, л
0 1,495 17,368 64,725
1 2,987 64,088
5 4.4ЙЗ 17,406 63,069
3 5,981 17,437 61,730
4 ’ 4V' ' д 60,147
Вид базисных функций Карунена-Лоэва фк(х) на интервале хе|0,Л|, построенных по экспоненциально-косинусной аппроксимации
Литература
1. Кловский Д.Д., Сойфер В.А. Обработка пространственно-временных сигналов. М.: Связь, 1976.
2. Сисакян И.Н., Сойфер В.А. Компьютерная оптика. Достижения и проблемы. В сб. Компьютерная оптика, вып I., М..МЦНТИ, 1987,
с.5-19.
3. Youla D.C. The solution of a homogeneus Wiener-Hopf integral equation occuring in the expansion of second-order stationary random functions; JRE Trans on Inf.Theory 1957.
4. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Т.1. М.: Советское радио, 1972.
5. Бронштейн И.М., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М.: Наука, 1980.
6. Capon J. Asymptotic eigenfunctions and eigenvalues of a homogeneous integral equation. IRE.Transactions on Inf.Theory, 1962, v.IT-8, pp.2-4.
корреляционной функции усредненных строк и столбцов рассматртоаемого двумерного полутонового изображения, показан соответственно на рис.4а и рис 46.
