Различение сигналов с использованием цифровой обработки на основе ортогональных преобразований Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Мальцев Г. Н., Харченко А. В., РАЗЛИЧЕНИЕ СИГНАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ НА ОСНОВЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Бурное развитие цифровых технологий требует совершенствования известных и разработки новых методов и алгоритмов цифровой обработки сигналов (ЦОС), которые в значительной мере вытесняют традиционные аналоговые методы. Переход к методам ЦОС обусловлен неоспоримыми достоинствами цифровых устройств обработки по сравнению с аналоговыми. К этим достоинствам, прежде всего, относятся: миниатюризация устройств обработки; высокая точность обработки сигналов; возможность реализации ряда операций и алгоритмов, принципиально нереализуемых с помощью аналоговых элементов.

Современные алгоритмы цифровой обработки сигналов можно разделить на алгоритмы цифровой фильтрации, реализующие обработку сигналов во временной области, и алгоритмы, основанные на применении ортогональных преобразований [1, 2]. Алгоритмы, основанные на применении ортогональных преобразований, в настоящее время являются наиболее перспективными для решения новых задач, возникающих в связи с ужесточением требований, предъявляемых к таким параметрам радиоэлектронных систем как помехоустойчивость, точность и быстродействие. Известные довольно давно [1, 3] алгоритмы на основе ортогональных преобразований до недавнего времени не находили практического применения в силу значительных аппаратурных затрат для их реализации. Благодаря техническому прогрессу в области разработки и создания элементной базы ЦОС, а именно: высокопроизводительных цифровых сигнальных процессоров и программируемых логических интегральных

схем большой ёмкости, многие известные сложные вычислительные алгоритмы (в том числе алгоритмы оптимальных и адаптивных методов приёма сигналов) могут быть реализованы в практических устройствах.

Рассмотрим применение ортогональных преобразований для решения задачи различения двух сигналов, которая, наряду с обнаружением, оценкой параметров и фильтрацией, является одной из основных задач, решаемых при приёме сигналов [4, 5].

На выходе линейной части приёмного устройства присутствует аддитивная смесь

Г (0 = (I) + / (I) , (1)

Где (I)е{^, (г)} = {* (г),Э2 (*)} — один из двух сигналов Э (г), г = 1,2 , заданных на интервале 0 < г < Т3 ;

/ (г) — мешающее воздействие.

Задача приёмного устройства — определить, какой из сигналов прототипов Э (г) больше всего "похож" на принятый сигнал г (г) .

В устройстве ЦОС принятая смесь (1) подвергается аналого-цифровому преобразованию, в результате чего формируется цифровая последовательность:

Г(п) = (п) + /(п) , (2)

Где п = 1,..., N — номер отсчёта.

Будем считать, что частота дискретизации определяется по теореме Котельникова, т.е. в соответствии с равенством

/Т = 2/МХ ,

Где /мах — максимально-значимая частота в спектре (г) .

Полученные в результате аналого-цифрового преобразования последовательности представим векторами в действительном векторном пространстве:

гТ = [г(1) г(2) ... г(N)] ,

8/ =[эш (1) ( 2) ••• (N )^

^ =[/(1) /(2) /(N)] .

Входное воздействие (2) при векторном представлении перепишется в виде

Г = 8„ + f . (4)

В соответствии с общепринятым подходом [4, 5, 6] оптимальный по критерию максимального правдоподобия

приёмник принимает решение о наличии того или иного сигнала в соответствии с правилом:

э (г

м и < и м

||г - 8^ ||г - $2 || , (5)

Э2 (г

где ||г — 8^1 — норма (модуль, длина) вектора разности векторов Г и , г = 1,2 :

1г—8 л =,к(г (п)—гп))2.

Уп=1

Правило (5) означает, что если ||г — < ||г — , то принимается решение о том, что передавался сигнал

Э (г) , если ||г — > ||г — 8^| , то сигнал (г) .

Для определённости будем считать, что передавался сигнал Э (?) . В этом случае условие возникновения ошибки определяется неравенством:

||г — 8^1 >||г — 82|| ,

которое после несложных преобразований приводится к виду:

аТа<2dTf, (6)

где а = 82 — 8 — вектор разности векторов 82 и ^ .

Левая часть неравенства (6) представляет собой энергию ЕА вектора а :

Е1 = ^1 = 2(52 (п) — (п)) ,

п=1

а правая — взвешенную сумму из компонент случайного вектора Г , которую мы обозначим буквой Р :

Р = 2dгГ . (7)

Дисперсия случайной величины Р определяется формулой:

/и2[р] = 41тKfd , (8)

где К —корреляционная матрица мешающего воздействия f , элементы которой, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой.

В рассматриваемой нами модели законы распределения компонент вектора f будем считаем неизвестными.

В этом случае точное определение вида функции плотности распределения ^(Р) для величины р невозможно.

Однако случайная величина р представляет собой линейную комбинацию одинаково распределённых компонент вектора f , поэтому можно допустить возможность применения центральной предельной теоремы и положить, что распределение случайной величины р подчиняется нормальному закону. Такое допущение не является строгим, однако часто применяется на практике [8]. Поэтому, полагая математические ожидания компонент вектора f равными нулю, можно считать, что

1 --?—

(Р)= е 1Ц2[Р] . (9)

[р]

С учётом введённых обозначений (7) неравенство (6) преобразуется к виду:

Ed <Р , (10)

из которого очевидно, что вероятность ошибки Р0 различения двух сигналов — это вероятность того, что случайная величина Р превысит Ей . Из выражений (9) и (10) для вероятности ошибки р можно записать:

Р0 =| ЧР) ^Р = б

(11)

1 “ ( б (х)=Т^'[“р I-

где б(х) = —• | ехр| —— |Ды — гауссов интеграл ошибок.

Анализ выражения (11) показывает, что величина вероятности ошибки в значительной мере определяется корреляционной матрицей К мешающего воздействия. Заметим, что полученное выражение несколько отличается от известного [5]:

1,

что объясняется различием исходных предположений при формулировке правила принятия решения (5). При получении (12) предполагается, что мешающее воздействие известно, и правило (5) формулируется с учётом его статистических свойств, мы же таких предположений не делали.

Далее будем считать, что мешающее воздействие представляет собой аддитивную смесь:

I (?) = Л (?)+I— (?),

где /п (?) — белый шум с двусторонней спектральной плотностью мощности @/п (I )= для всех частот от

—ГО до +ГО;

I— (?) — помеха с заданной мощностью р , двусторонней спектральной плотностью мощности GJ (/ )= —

для всех частот в полосе от----------до Н-------;

2 2

у е [о,1] — коэффициент, равный отношению ширины полосы частот, занимаемой помехой I— (?) , к ширине полосы частот, занимаемой сигналом.

В этом случае вектор мешающего воздействия f представляет собой сумму случайных векторов

f = Г + f— ,

с некоррелированными между собой компонентами /п (/) и I (к) :

^{/п (!)у— (к)} = 0 - ^к = 1,---=N '

имеющими нулевые средние значения.

Поэтому корреляционная матрица вектора Г определяется равенством К = Кп + К — ,

где Кп и Ку корреляционные матрицы векторов Г и г соответственно.

С учётом введённых выше свойств случайных процессов /п (?) и I (?) очевидно, что корреляционные матрицы Куп и Ку— будут иметь вид

К * =N01,

1п 2

Е

(1

sin (^( N — l)v) tt( N — l)v sin (ж( N — 2)v) tt( N — 2)v

sin (x( N — l)v) sin (^ ( N — 2)v)

r( N — l)v

r( N — 2 V

l

где I — единичная матрица.

В этом случае выражение (11) для вероятности ошибки Р различения двух сигналов можно привести к ви-

ду:

Po — Q

a

-\

2(N0 Л J0^)

, (l3)

где З0 = Зу — спектральная плотность средней мощности помехи, нормированная к занимаемой ею полосе частот (в дальнейшем будем полагать З0 =сопзі );

EErnm (S2 (n) — sl (n)) (S2 (m) — sl (m))

z (

— обобщенный коэффициент корреляции, зависящий от V и взаимной

S0 ( И ) — S ( n )

корреляции различаемых сигналов sin (#v| и — m|)

=------:----:-- — коэффициенты корреляции компонент вектора Г .

7ГУ\п — ш\

При отсутствии помехи ( —0 =0) формула (13) преобразуется к хорошо известной формуле [4, 5, 6], характеризующей помехоустойчивость когерентного приёма сигналов

P—

Q (V£„/(2N0 ) )

При наличии помехи с постоянной конечной мощностью Pj = const выражение (13) для ортогональных сигналов равной энергии удобно записать следующим образом

Po — Q

Es/No

Л( Es/No)(Pj/Ps ) B—

где Es — 2s

n—l

энергия сигнала

Si (n) , Pj — J0fT — мощность помехи, Ps — ESTS

мощность сигнала,

В — коэффициент расширения спектра (база) сигнала база сигнала [4, 6].

Очевидно, что при наличии такой помехи говорить о приемлемой вероятности ошибки различения двух сигналов, например 10 5, возможно только при использовании широкополосных сигналов. По мере увеличения Ез/И^ при заданном отношении мощностей Ру/Р^ всегда будет существовать неснижаемая вероятность возникновения ошибки, вызванной наличием помех [4]:

Es/No

lim Po — Q

і

B

(l4)

Единственная возможность снизить вероятность ошибки состоит в увеличении базы сигнала В (коэффициента расширения спектра) .

Кроме того, из формулы (14) очевидно, что наличие корреляции компонент вектора ^ , т. е. когда множитель У < 1 , и, следовательно, 7]> 1 , может привести к значительному повышению вероятность ошибки.

На рисунке 1 изображены графики зависимости вероятности ошибки Р0 различения двух сигналов от отношения сигнал/шум Е^И0 при фиксированных значениях отношения Ру/Р^ . Кривая 1 соответствует случаю, когда помеха /— (?) отсутствует. Кривая 2 соответствует случаю приёма сигнала с базой В = 511, наличию некоррелированной помехи (У = 1 ) и отношению Ру/Р^ = 14 дБ. Кривая 3 при тех же В и Р—/Рз соответству-

ет случаю, когда помеха коррелированная (У = 0,5). Как видно из графиков, наличие коррелированной помехи приводит к повышению вероятности ошибки Р0 различения двух сигналов.

2

n—l

N

Рисунок 1

В устройстве ЦОС принятый векторный сигнал (4) Г = 8 + Г без каких либо потерь [3, 4] может быть подвергнут ортогональному преобразованию

ъ = тг = а + \, (15)

где а. = ¥«, ; % = Т ; Т — матрица ортогонального преобразования;

Вернёмся к условию возникновения ошибки различения сигналов (10), где дисперсия р определялась формулой (8).

При выполнении ортогонального преобразования (15) равенство (8) можно переписать в виде

^[Р\ = 4ЛтТтК, ТА , (16)

где Л = а2 — а = Тd .

Заметим, что левая часть неравенства (10) не зависит от ортогонального преобразования Т :

£й = ат а = Ат Тт ТА = Ат А ,

поскольку Т — симметрическая ортогональная матрица, для которой справедливо равенство Тт Т = I [3].

При этом, как мы выяснили ранее, повышение вероятности ошибки Р0 различения двух сигналов вызвано наличием недиагональных элементов матрицы К, точнее, недиагональных элементов составляющей её матрицы

К, .

Следовательно, если использовать преобразование Т , которое приводит матрицу Тт К7Т из соотношения

(16) к диагональному виду, то негативное влияние коррелированности помех на вероятность ошибки р можно компенсировать (т. е. приблизится от кривой 3 рисунка 1 к кривой 2).

Известно [ 3, 7] , что матрица ТтКТ будет диагональной, если матрица Т образована из векторов щ , являющихся собственными векторами матрицы К , то есть векторов, удовлетворяющих уравнению

— ^щ = о ,

где щ — собственные векторы, — собственные значения матрицы К•

Указанное выше ортогональное преобразование Т = [щщ^щ\, базисные функции которого являются собственными векторами корреляционной матрицы К , называется дискретным преобразованием Карунена-Лоэва (ДПКЛ) [3, 7] .

Однако отсутствие быстрых алгоритмов вычисления и зависимость параметров оптимального преобразования Карунена-Лоэва от структуры матрицы К^ существенно ограничивают практические возможности его применения и вынуждают использовать другие ортогональные преобразования [7, 8].

В настоящее время известно довольно значительное количество дискретных ортогональных преобразований, имеющих процедуры быстрого вычисления. К этим преобразованиям, например, относятся дискретное преобразование Фурье (ДПФ), дискретное косинусное преобразование (ДКП), дискретное преобразование Уолша (ДПУ).

На рисунке 2 изображены графики зависимости вероятности ошибки Р0 различения двух сигналов с базой В = 511 от отношения сигнал/шум Ез/^о при наличии коррелированной помехи ( V = 0,5) и фиксированном значении отношения Р^Рз = 14 дБ. Графики построены для различных ортогональных преобразований (18) наблюдаемого вектора (4).

Кривая 5 рисунка 2 соответствует кривой 3 рисунка 1, т. е. случаю, когда ортогональное преобразование над вектором (4) не выполняется. Кривая 1 соответствует применению ДПКЛ, кривая 2 — ДКП, кривая 3 —

ДПФ, кривая 4 — ДПУ.

Выводы, которые следуют из анализа графиков, изображённых на рисунке 2, подтверждают известные результаты оценки декоррелирующих свойств ортогональных преобразований [ 3, 8]. Из рассмотренных ортогональных преобразований, имеющих быстрые алгоритмы вычисления, наиболее близкие к ДПКЛ характеристики декорреляции в рассмотренных условиях дает применение к вектору (4) дискретного косинусного преобразо-

ь о

Рисунок 2

ЛИТЕРАТУРА

1. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов: Пер. с англ. / Под ред.

Ю.Н. Александрова. — М.: Мир, 1978. — 848 с.: ил.

2.Куприянов М. С., Матюшкин Б. Д. Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. — СПб: Политехника, 1998. — 592 с.: ил.

3. Ахмед Н., Рао К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов: Пер. с англ. — М.: Связь, 1980. — 248 с., ил.

4. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. Изд. 2-е, испр.: Пер. с

англ. — М.: Издательский дом "Вильямс", 2003. — 1104 с.: ил.

5. Информационные технологии в радиотехнических системах: Учебное пособие / В. А. Васин,

И. Б. Власов, Ю. М. Егоров и др; Под ред. И. Б. Фёдорова. — Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003. — 672

с.: ил.

6. Помехозащищённость радиосистем со сложными сигналами / Г. И. Тузов, В. А. Сивов, В. И. Прытков и

др.; Под ред. Г. И. Тузова. — М.: Радио и связь, 1985. — 264 с., ил.

7. Ватанабе С. Разложение Карунена-Лоэва и факторный анализ. Теория и приложения // Автоматический анализ сложных изображений. — М.: Мир, 1969. С. 239-253.

8. Умняшкин С. В., Кочетков М. Е. Анализ эффективности использования дискретных ортогональных преобразований для цифрового кодирования коррелированных данных // Известия вузов. Электроника. — № 6. —

1998. — С. 78-84.