Разделение динамик в системах законов сохранения с релаксацией Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95+517.958

РАЗДЕЛЕНИЕ ДИНАМИК В СИСТЕМАХ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ С РЕЛАКСАЦИЕЙ1

© 2008 В.В.Палин2

Работа посвящена рассмотрению задачи Коши для гиперболической регуляризации линеаризованной системы законов сохранения. Исследован вопрос о том, когда можно выделить инвариантное многообразие специальных решений, которое является притягивающим. Ответ на этот вопрос получен в виде условий на матрицу системы и начальные данные.

Ключевые слова: инвариантное многообразие решений, проекция Чепмена—Энскога, гиперболическая регуляризация.

Введение

Изучению математических вопросов гиперболических регуляризаций систем законов сохранения(системы законов сохранения с релаксацией) посвящено много работ как российских, так и зарубежных авторов. Прежде всего это касается исследования феномена релаксации [4], в частности

вопросов устойчивости и сингулярного предела при стремлении времени релаксации к нулю в работах C. Bardos, C.D. Levermore [1—2], R.E. Caffish, G.C. Papanicolaou [3], G.Q. Chen, H.Frid [4], E.Yu. Panov [5] для систем вида:

dtUi + divxf(u, v) = 0, i = (1)

dtVk + divx gk (u, v) + bk (u)v = 0, k = m + (2)

Здесь x e R”, u e Rm, v e RN-m, b — матрица релаксации порядка (N — m) X x (N — m), потоки

fi(u, v) e R”, i = l,...,m; gk (u, v) e R”, k = 1,...,N — m,

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором Е.В. Радкевичем.

2Палин Владимир Владимирович, кафедра дифференциальных уравнений Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, 119991, Россия, г. Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1.

где и — консервативные переменные, V — неравновесные переменные, т — число консервативных переменных. Одна из проблем кинетики неравновесных процессов [4] связана с недостаточной информацией о начально-краевых данных для большей части неравновесных переменных, которые не имеют интуитивного физического смысла — их нельзя определить из эксперимента. К тому же, число неравновесных переменных настолько велико, что числа граничных условий, полученных из физических соображений, недостаточно для постановки смешанной задачи [5], поэтому приходится считать начально — краевые данные большей части неравновесных переменных (моментов высших порядков) произвольными. Английскими физиками Чепменом и Энскогом [3] была выдвинута гипотеза, что для ’’физически

корректных” моделей механики сплошных сред влияние моментов высше-

го порядка ’несущественно”. Физическая корректность задачи определяется рядом постулатов, на рассмотрении которых мы не будем останавливаться. Определим, в каком смысле понимать, что влияние моментов высшего порядка ’несущественно”. В работе [6] предложена математическая формулировка гипотезы Чепмена и Энскога в терминах проекции:

1. Проекция. Существует операторное уравнения состояния

V = Ои, (3)

(проекция в фазовое пространство консервативных переменных) выражающее неравновесные переменные через консервативные, замыкающее регуля-ризуемую систему (1) законов сохранения

д+ дх/(ж, Ои(м)) = 0. (4)

При этом, мы остаемся в классе гиперболических систем с релаксацией (возможно псевдодифференциальных) и решения м задачи Коши для усеченной системы (4) с начальными данными

м\г=о = ж0,

определяют инвариантное многообразие Мсшаи специальных решений задачи Коши для полной системы (1):

^СЬЕпв = (м, Ом).

Это инвариантное многообразие является притягивающим, т.е существует уравнение коррекции

жо = Т(ио, Vо)

данных Коши (ио, vо) полной системы (1), определяющее данные Коши для усеченой системы (4), так что

и = иСЬ + и Сот + им,

где исот еМсЬЕпв — решение системы (1), определяющее поправку от неравновесных переменных, и в некоторой норме

\\им\\ ^ о, г ^то.

Более того, если в фазовом пространстве консервативных переменных

w ^ о, когда t

то невязка Uн стремится к нулю быстрее чем UсhEns.

2. Разделение динамик. Неприводимые проекции (3) определяют на больших временах основные динамики моделируемого неравновесного процесса.

Целью настоящей статьи является формулировка условий на линеаризованную систему (1)—(2), при которых верна гипотеза Чепмена-Энскога. Статья построена по следующему плану. В начале статьи обсуждается вопрос

об условиях на линеаризованную задачу, при которых существует операторное уравнение состояния (3), и решение допускает представление в виде суммы трех слагаемых. Далее вводится определение корректности по Чеп-мену—Энскогу и формулируются достаточные условия на класс начальных данных, при которых невязка Uм стремится к нулю быстрее, чем ^№^5.

Операторное уравнение состояния и разложение решения в сумму трех слагаемых

Будем рассматривать задачу Коши для линеаризованной одномерной системы (1)—(2) в виде

дtu + Ад^ + Bu = о. (5)

В статье [7] показано, что существование операторного уравнения состояния (3) для такой системы эквивалентно существованию решения для матричного квадратного уравнения

P21Л12P21 - Л22P21 + P2\ЛU - = °, (6)

где

Л=(Л" £2)=^+в,

блок Лц —квадратная матрица размера m X m. Также верно следующее утверждение:

Теорема 1: Пусть det(Л) Ф о. Пусть, кроме того, найдутся векторы

Vl,..,vm такие, что:

1. V = Ыn{vj}m — собственное подпространство матрицы Л, т.е. Л V = V.

2. Векторы Vl,.., vm, em+l,.., eN образуют базис.

Тогда квадратное матричное уравнение (6) разрешимо и наоборот.

Заметим также, что любое P2l — решение квадратного матричного уравнения (6), соответствующее матрице Л, — является также решением того же уравнения, соответствующего матрице Л' = Л + yE, где у — произвольное число.

Заметим, что матричное уравнение Ляпунова

-MllQl2 + Ql2M22 - Ml2 = о (7)

является частным случаем уравнения (6), когда квадратичная часть строго равна нулю. Отсюда вытекает следующая теорема:

Теорема 2: Пусть det(M11) ф 0, det(M22) Ф 0, матрица

M = / Ml1 Ml2 \ 0 M22

не имеет собственных значений X таких, что после разбиения на блоки со^ ответствующего размера собственный вектор для X имеет вид Уо = | а соответствующий ему присоединенный некоторого порядка — вид Уі =

у 1,1

причем VI2 Ф 0. Тогда существует решение Q\2 уравнения (7),

v1,2 ''

соответствующего матрицам Мц, М12, М22.

Доказательство: Будем рассматривать уравнение (7) как частный случай матричного квадратного уравнения (6). Тогда соответствующая этому уравнению матрица Л получается из матрицы М перестановкой строк и столбцов:

Л = 1 М22 0

\ М12 М11

Отсюда, так как det(Мц) Ф 0, det(М22) Ф 0, то det(Л) Ф 0 и можно пользоваться теоремой 1. Из нее следует, что уравнение (7) разрешимо, если система векторов, получающаяся из жорданова базиса Л удалением векторов вида

V |, задает базис собственного подпространства матрицы Л.

Теперь докажем утверждение теоремы методом от противного. Пусть уравнение (7) не является разрешимым. Тогда найдутся собственное значение X и соответствующий ему вектор ( ^ ) жорданова базиса матрицы

\ ^ )

Л такие, что

*(:)=>■( V; И!

причем w Ф 0 и найдется к е М: w е Кег((Мц - X Е)к). Но тогда

М| ^ ^ = X( ^ ^ + ( w

v1 / \ Vl } \ 0 )’

(М - X Е)^ W ) = 0.

Отсюда следует, что собственному значению X матрицы М соответствуют собственный вектор вида | W)^ и присоединенный вектор некоторого порядка вида ( ^ I, причем V! Ф 0. А это противоречит условиям теоремы, \ ^ )

что и завершает доказательство.

Лемма 1: Пусть обратимая матрица S разбита на блоки Sij, I, ] = 1,2, причем матрицы S11, S 22 — квадратные. Пусть также FS = SF = Е и матри-

ца F разбита на блоки того же размера. Тогда если S ц = Е, то матрица F22 обратима.

Доказательство: Предположим противное. Т.к. FS = Е, то

^21 + F22S 21 = °- (8)

Т.к. F22 необратима, то найдется такая строка Н Ф 0, что hF22 = 0. Отсюда с помощью (8) получаем, что hF2l = 0. Но тогда последние строки матрицы F линейно зависимы: найдется строка V такая, что V Ф 0, vF = 0. Таким образом, матрица F необратима. Но матрица F — обратная к матрице S — значит, она обратима. Следовательно, получено противоречие.

Теорема 3: Пусть матрица Л разбита на блоки Лij, i, j, = 1,2. Тогда матричное квадратное уравнение (6) разрешимо тогда и только тогда, когда существует матрица S, удовлетворяющая одновременно следующим трем условиям:

1. Матрица S обратима;

2. S11 = Е;

3. ^-1Л S )21 = 0.

Доказательство: Пусть сначала существует матрица S, удовлетворяющая трем указанным условиям. Обозначим F = S-1. Тогда имеем

F21 + F22S 21 = 0,

^'21(^^ 11 + Л12S 21) + F22(Л21 + Л22S 21) = 0-Выражая F2l из первого уравнения и подставляя во второе, получаем:

F22(-S 21 (Л11 + Л12S 21)) + F22(Л21 + Л22S 21) = 0-Заметим, что матрица S удовлетворяет условиям леммы 1. Отсюда

(-*^ 21 (Л11 + Л12S 21)) + (Л21 + Л22S 21) = 0,

т.е. матрица S 21 удовлетворяет уравнению (6).

Пусть теперь уравнение (6) разрешимо. Положим

S 11 = Е, S 12 = 0, S 21 = Р2Ь S 22 = Е-Легко проверить, что в этом случае существует обратная матрица

S _1 = 2Е - S.

Построенная матрица S удовлетворяет первым двум условиям. Вычисляя ^-1Л S )21, получаем

(S 1л S )21 = ^'21 (^^11 + Л12>5 21) + ^22(Л21 + Л22S 21) =

= (-Р21)(Л11 + Л12^21) + (Л21 + Л22Р21) = 0,

так как Р21 —решение (6). Таким образом, третье условие на матрицу S также выполнено и теорема полностью доказана.

Таким образом, существование операторного уравнения состояния эквивалентно приведению исходной системы к блочному виду, такому, что блок

^-1Л S )21 = 0. Ответ на вопрос о том, когда матрицу Л можно с помощью некоего дополнительного преобразования привести к блочно-диагональному виду, дает следующая теорема.

Теорема 4: Пусть матрица Л такова, что существует базис Vl,...,vm собственного подпространства V, и Ып^1,..., vm, ет+1,..., е^} = , V не может

быть расширено до собственного подпространства матрицы Л размерности т +1 путем добавления к базису Vl,...,vm присоединенного вектора матрицы

Л. Тогда существуют матрицы Р21, Ql2 такие, что

Е ^12 \/ Е 0 \ Л / Е 0 \/ Е Ql2 \ = / М11 0

0 Е )\ -Р21 Е ) ^ Р21 Е ] \ 0 Е ) ^ 0 М22

Доказательство: Действительно, описанная в условии матрица Л удовлетворяет условиям теоремы 1, откуда следует существование решения Р21 матричного уравнения (6). Это, в свою очередь, согласно теореме 3 означает, что матрица

Е 0

5 ' P21 E

приводит Л к блочно-верхнетреугольному виду, т.е.

5-1Л 5 = | M11 M12

\ 0 M22

Далее, уравнение

E -Q12 \/ M11 M12 \/ E Q12 \ = / M11 0

0 E )\ 0 M22 }\ 0 E ) \ 0 M22

эквивалентно уравнению (7) на матрицу Q12. Осталось заметить, что если подпространство V, задающее решение (6), не может быть расширено до собственного подпространства матрицы Л путем добавления присоединенного вектора, то матрица 5-1Л 5 не имеет собственных значений таких,

что соответствующий им собственный вектор имеет вид | W j, а некоторый

присоединенный вектор — вид I V1 I, V2 Ф 0. Таким образом, для матрицы

\ V2 )

5-1Л 5 выполнены условия теоремы 2, откуда следует разрешимость соответствующего уравнения (7), а значит, существование матрицы Q12.

Пусть матрица Л удовлетворяет условиям теоремы 4. Сделаем замену переменных в образах Фурье: положим U = 5-1u. Тогда решение задачи Коши (5) с начальными данными

ТП = I U0

U|'=0 = [ V

в образах Фурье может быть записано в виде

-Mtl U0

где М = S 1Л S. Далее, согласно теореме 4, матрица М имеет вид

М =

Е

0

0.12

Е

М11 о

0 М22

Е

0

— 012 Е

откуда

и =

Е 012 0Е

е-М11 ^

ехр

и0

+

М11 0

0 М22

-Є-М11'012^0 0

Е -012 и0

0 Е Д V

012Є-М22 ^0 Є~М22І <У0

+

= е

-Мі

и

0

+ е

-Мі

-012^0

0

+

012Є-М22і^0 е~М22і <У0

Обозначим

ись = е

-Мі

и

0

иСог = е

ин =

-Мі( -012^0

0

Ql2e-M22^Vo

е-М22 г ^0

Тогда решение задачи Коши представлено в виде суммы трех слагаемых:

и = иеь + иСог +

причем каждое из слагаемых является решением уравнения (5) с некоторыми начальными данными, первое слагаемое соответствует проекции в фазовое пространство консолидированных переменных, второе является поправочным слагаемым, которое описывает влияние начальных данных для неравновесных переменных, а третье является остаточным.

Определение: Будем говорить, что проектор Р удовлетворяет условию Ь2-корректности по Чепмену—Энскогу в классе Н = {(%, ^о)} начальных данных, если для всех начальных данных (^0,^о) е Н найдется 7о > 0 такое, что для всех г > 7о выполнена оценка

1|ин||(г) ^ „_-ьг

\\UaMt)

где К, 6 > 0 — некоторые константы.

і > Т0,

(9)

Условие щели и существование притягивающего многообразия

Найдем условия, при которых выполнена оценка

||ин|1 = 0(||Uch||), г ^ “,

где под знаком ||/1| понимается норма / в пространстве 1^. Для этого докажем сначала несколько вспомогательных утверждений.

0

Лемма 2: Пусть матрица Л зависит от параметра Щ полиномиально и найдется такое к0 > 0, что УЩ : \Щ\ > к0 все собственные значения матрицы Л являются алгебраически однократными и на них выполнена оценка

\л©\ < С1(1 + Щ)*1,

где С1, *1 —некоторые константы. Пусть вектор у — собственный для Л. Тогда при \Щ\ > к0 верно неравенство:

тах{\ету\} ,

—7-г—- < С2(1 + |{|)*. (10)

тш{\е! у\ Ф 0}

где С2, *2 — некоторые константы.

Доказательство: Поскольку собственные векторы определены с точностью растяжения, то можно считать, что тіп{\еТу\ ф 0} = 1. Тогда неравенство (10) может быть переписано в виде

тах{\еТу \} ^ С2(1 + \Щ\)*2.

Доказательство этого неравенства будем вести от противоположного. Разобьем все множество еТу координат вектора у на два подмножества—т.е., для которых требуемая оценка верна (в т.ч. все нулевые координаты), и те, которые растут быстрее, чем любая степень \ Щ \, при Щ ^ю. Перенумеровав

координаты, без ограничения общности можем считать, что у = ( Wl ), где

\'^2)

для любой из координат вектора Wl оценка верна, а для любой из координат W2 — нет. Пусть вектор W2 состоит из 5 координат. Заметим, что 5 < N, где N — размер матрицы Л; это связано с тем, что наименьшая по модулю ненулевая координата вектора у удовлетворяет требуемой оценке. Рассмотрим строку с номером і < N - 5 + 1. Обозначим іі строку из первых N - 5 элементов і-той строки матрицы Л; Гі — строку из оставшихся элементов. Так как вектор у — собственный для Л, то З X: Л у = X у. Отсюда

1,^1 + г,^2 = X етіУ,

ГiW2 = X етіУ - liWl. (11)

Далее, так как і < N - 5 +1, то координата еТу относится к вектору Wl. Отсюда либо ГiW2 = 0, либо функция от Щ, стоящая в левой части равенства (11), растет быстрее, чем функция, стоящая в правой части, что приводит к противоречию. Таким образом, противоречия с асимптотическим поведением не получается только в случае, когда г(^2 = 0 У і < N - 5 + 1. В этом случае разобьем матрицу Л на блоки:

л = / Л11 Л12 \ Л21 Л22

причем блок Лц —квадратная матрица размера N - 5. Так как г(^2 = 0 У і < N - 5 + 1, то

Лl2W2 = 0.

Отсюда и из равенства Л v = X v получаем

Л( 0 ) = х( 0

\W2 } \ W2

т.е. вектор ( 0 ( ф 0, не пропорциональный вектору v, является собствен-w2

ным вектором матрицы Л, соответствующим собственному значению X. Отсюда следует, что собственное значение X не является однократным. Имеем противоречие.

Лемма 3: Пусть матрица Л, зависящая от параметра ^, определена при всех ^ е R и удовлетворяет условиям теоремы 4. при всех ^ е Е, где множество Е = R\E-, множество Е- состоит из конечного числа сфер вида | ^ | = const. Тогда на множестве Е определены P21, Q12. Пусть матрицы P21©, Q12© могут быть по непрерывности доопределены на множестве Е-. Пусть, кроме того, матрица Л зависит от ^ полиномиально, и найдется такое ко > 0, что V^ : |^| > ко все собственные значения матрицы Л являются алгебраически однократными и на них выполнена оценка

|X©| < Ci(1 + |?|)d1,

где Ci, di —некоторые константы. Тогда найдется do е N такое, что для всех ^ е R выполнена оценка:

|P21| < *1(1 + |?|)d°,

|Ql2| < *2(1 + |?|)5d°,

где *1, *2 — некоторые константы, под знаком |A| понимается матричная норма A в LM.

Доказательство: Докажем сначала оценку для P21. Так как при ^ е Е матрица Л обратима, то, записав часть жорданова базиса Л, задающую

базис V, по столбцам, получим матрицу ( (. Далее, матрица

C21

P = ( £ °

P P21 0

задающая P21, согласно [7] может быть представлена в виде P = Л-1 X, где X — решение матричного уравнения X2 - ЛХ = 0. В свою очередь, матрица X имеет жорданов базис, который, будучи записан по столбцам, образует матрицу ( )

( C11 0 )

С =

' С21 Е

Кроме того, согласно [7], жорданова нормальная форма для X содержит в себе только часть жордановой формы матрицы Л и блок нулей. Отсюда следует оценка для X:

|Х| < |С||Л||С-1|.

Так как Р = Л 1X, то

Заметим теперь, что для нормы обратной матрицы выполнено равенство

|С_1| = ------|соДС)|,

1 1 |сЫ(С)|' 1 Л

где соДС) — матрица алгебраических дополнений. В свою очередь,

|соДС)| < |С|"-1.

Отсюда получаем оценку для нормы матрицы Р:

|р| ^ ^тт^1ЛГ|сГ.

^(Л)|^(С)|

Далее, |Р211 ^ |Р|. Отсюда находим

\Рг\\ < ----- ------|Л|*|С|*. (12)

11 |сЫ(Л)||сЫ(С)|

Заметим, что из обратимости Л при всех ^ е Е следует, что определитель det(Л) отделен от нуля при |^| > ко. Так как матрица Р21 может быть доопределена на множестве Е- по непрерывности, то для всех ^: |^| ^ ко выполняется оценка

|Р21| < Кц,

где К1,1 —некоторая константа. Если |^| > ко, то воспользовавшись неравенством (12), получаем

\Р21\ < К12\А\м-- ----|С|*.

11 ’ ’ ' |ск*(С)|

Так как Л зависит от ^ полиномиально, то отсюда имеем

\Р211 < *13(1 + 1?!)^-----|СГ,

’ |сЫ(С)|

где N1 — некоторая константа. Далее, так как при |^| > ко все собственные значения матрицы Л — алгебраически однократные, то все векторы матрицы С — собственные. Так как собственные векторы определены с точностью до растяжения, то можно считать, что наименьшая по модулю ненулевая координата каждого из них равна 1. Но тогда ^е^С)| ^ 1, откуда

|Р21| < К1,з(1 + |?|)М |С^.

Применяя неравенство (10), отсюда получаем

|Р211 < К1,4(1 + |Ш*,

и это неравенство выполнено для всех ^ таких, что |^| > ко. Выбирая К1 = = тах{К1,1, К14} получаем требуемую оценку на Р21.

Заметим теперь, что согласно теореме 4 матрица ^2 является решением уравнения Ляпунова (7), соответствующего матрице

М = 5-1Л 5,

где матрица

5 -( Е 0 \ Р21 Е

Так как 5-1 - 2Е - 5 , М-1 - 5-1Л-1 5, |2Е - 51 - |51, то аналогично доказанному ранее, так как уравнение (7) является частным случаем уравнения

(6), получаем оценку:

12121 ^ ггтттт^^ГісГі^і4, іаеі(Л}||аеі(С)і

откуда, т.к. |51 ^ (1 + |р21|), следует требуемая оценка для 012.

Обозначение 1: Наименьшее из всех dо є М, удовлетворяющих лемме

3, обозначим dл.

Помимо приведенных ранее оценок, нам потребуется двусторонняя оценка для |e~Mtv|, где под знаком |.| понимается норма в (К). Для сокраще-

ния формулировки, введем сначала несколько обозначений.

Обозначение 2: Пусть М — квадратная матрица, непрерывно зависящая от параметра §; Ху, ] - 1,..., 5 — ее собственные значения. Обозначим dj максимальный размер жордановой клетки, соответствующей собственному значению Ху. Пусть, кроме того, Ху упорядочены по возрастанию вещественной части, причем наименьшая из них равна 1(М), а наибольшая — Ц(М), т.е.:

1(М) - ЯХ.1 < ЯХ.2 < ... < - ЦМ).

Обозначим также d(M) - dl.

Перейдем теперь к лемме о двусторонней оценке.

Лемма 4: Пусть М — квадратная матрица, непрерывно зависящая от параметра ^. Тогда для любого є > 0 найдется То > 0 такое, что Vt > То выполнена оценка

-мы <_____111.

где под знаком |А| понимается матричная норма А в Цет(К).

Доказательство: Начнем с оценки сверху. Пусть сначала жорданова нормальная форма матрицы М — одна клетка, соответствующая собственному значению X. Тогда

N-1

e-Mtv - е-М^ vkhk, к-0

где N — размер матрицы М, Vk є С, hk — векторы жорданова базиса М, перечисленные по порядку присоединения (т.е. вектор ^ —собственный, ^ — первый присоединенный и т.д.). Далее,

е Ш}1к = X Хіі1}ік-j-0 ]-

откуда приходим к следующему представлению

V- -'Ьі-'У,

7!

к=0 7=0 ■>

Нетрудно видеть, что для любого наперед заданного е > 0 найдется такое То > 0, что для всех г > То:

N-1 1

\Є~ШУ\ < (1 + Е)Є~ШІ ^ |-у/Ы

к=0

откуда следуют неравенства

\е~Шу\ < (15) Далее, так как жорданов базис матрицы М определен с точностью до растяжения, то можно считать, что | Ъ^-\\ = 1 (на самом деле, в последнем переходе это уже было использовано). Отсюда и из равенств МНк = Хйк + + йк-1, а также того, что |Х| ^ |М| следует, что |йк—11 ^ |М||йк|. Отсюда получаем неравенство |йо| ^ |М|^—1|й^—1| = |М|^—1. Подставляя это в правую часть (15), получаем

\е~мгу| ^ _Ю_е-^гтН- 1^-1м

1 ' (Ж - 1)! 11 11

Таким образом, в случае, когда матрице М соответствует всего одна жорда-нова клетка, оценка сверху для |е—М^| из неравенства (13) доказана. Если же матрице М соответствует несколько собственных значений (а, следовательно, и несколько жордановых клеток), то, воспользовавшись уже доказанной оценок для каждой из жордановых клеток и выбирая достаточно большое Т0 > 0, получаем

* 1

\е~ту\ ^ (1 + -)(У — \М\аг1е~%^г^~1)\у\ ^

2 7=17

< 1+Ё \щй(М)-\С-1(М)1 г<1(М)-\і

"" {с1{М) - 1)!

т.е. получили правую половину оценки (13).

Аналогично для оценки снизу в случае, когда М соответствует одна жор-данова клетка, из равенства (14) сразу получаем

N—1

|e-Mtv| > е~%Хг|£ УкНк^ е~%Хг|у|. к=0

Из этого неравенства, точно так же, как и для оценки сверху, в случае нескольких жордановых клеток при г > То » 0 получаем

*

|е—Mtv| ^ ^ е~Ш^|V| ^ е~ЦМ)гМ,

7=1

т.е. требуемую оценку снизу.

Для того, чтобы сформулировать условия существования притягивающего многообразия более кратко, нам потребуется еще одно обозначение.

Обозначение 3: Пусть Г(?) — конечное множество непрерывных функций yi(?),...,y,(?) параметра ?. Обозначим l(?,Г(?)) = infs{^-Ys(?) I Ys(?) е Г(?)}, 1о(Г) = inf? l(?, Г(?)), L(?, Г(?)) = sups{^(?) I Ys(?) е Г(?)}, ^(Г) = = sup? L(?, Г(?))).

Условие 1: Будем говорить, что для пары множеств Г1(?), Г2(?) выполнено жесткое условие щели, если

3 y > 0: 1о(Г2) - Lo(ri) У Y. (16)

Перейдем теперь к формулировке и доказательству условий существования притягивающего многообразия.

Теорема 5: Пусть матрица Л, соответствующая задаче (5), удовлетворяет условиям леммы 3. Пусть, кроме того, Г1 —множество всех собственных значений матрицы Л, соответствующих задающему разделение динамик собственному подпространству V, Г2 — все остальные собственные значения Л, и для Г1, Г2 выполнено жесткое условие щели. Тогда, если (Uo, Vo) — образы Фурье от начальных данных — принадлежат множеству

H = {(Uo, Vo): IIUoII Ф о, (1 + I?lfN^M22ld(M22)-1Vo е L2OR)},

т.е. начальные данные для неравновесных переменных достаточно гладкие, а начальные данные для консервативных переменных не равны нулю, то соответствующий разделению динамик проектор Р удовлетворяет условию Ь2-корректности по Чепмену—Энскогу в классе Н начальных данных. При этом для констант К, 6 из определения Ь2-корректности по Чепмену—Энскогу верно следующее: К зависит от | | ^0 11, | | |; 6 зависит от Y и свойств

матрицы М.

Доказательство: Действительно,

||^н(0|| =

R

R

Q12 e~M221 Vo

e-M22 tv0

2 2 ( ^\2 n

d! |1 + IQl2|2I|e-M22 tVo|2d!

R

Отсюда с помощью лемм 3 и 4 получаем:

1 + е

IIC/h(0IIz^ J(l + Щ{\ + |Ю1ШЛ)(:

R

-)2 X

(d(M22) - 1)!'

xIM22 I2d(M22)-2e-2l(M22)f^2d(M22)-2 IVo I2 d?.

Далее, из условия (16) следует, что

e~KM22)t ^ e-^^^ ^ e_Yte_L0(rl)t•

e-L(M11)t > ^LoC^t.

Кроме того, из леммы 4 следует, что

11^сь(г)1! ^

Объединяя последние четыре неравенства, получаем

-2уГгМ(М22)-2 Г -2гю(Г0Г(1 + кух |^|)1МЛ) (-\1±-\ |%|2^

\шт\_________________1 §

№N(0/ ' ^е-210(г1)(|и0|2^

к

откуда, так как Ьо(Гх) не зависит от ^, следует доказываемая оценка (9).

Ослабление жесткого условия щели. Условие согласования носителей для начальных данных

Предположим теперь, что жесткое условие щели (16) не выполнено. Попытаемся выяснить, что можно сказать о существовании притягивающего многообразия в этом случае.

Условие 2: Будем говорить, что для пары множеств Гх©, Г2© выполнено условие вырожденной щели, если

VI, VX!© е Г!©, *2© е Г2©: Яе^©) ^ Яе^х©). (17)

Заметим, что это условие не является достаточным условием существования притягивающего многообразия. Для того, чтобы это показать, введем сначала несколько обозначений.

Обозначение 4: Пусть пара множеств Гх©, Г2© собственных значений матрицы Л удовлетворяет условию вырожденной щели. Множество значений Е параметра ^ представим в виде

Е = Е/ и Е/ и Ее,

где Е/ — множество таких ^, что для них неравенство (17) строгое; Е/ — множество таких , что найдутся *1©) е Гх©), *2©) е Г2©), *1©) = = *2©); Ее —все оставшиеся значения параметра.

Осталось заметить, что если Е/ Ф 0, то при этом могут быть не выполнены условия теоремы 4, что означает отсутствие разделения динамик при ^ е Е/. При таких ^ нет представления решения задачи Коши в виде суммы трех слагаемых. Таким образом, условие вырожденной щели не является достаточным для существования проекции. Сформулируем условия на начальные данные задачи Коши, при которых из условия вырожденной щели следует существование проекции.

Условие 3: Пусть выполнено условие вырожденной щели, и пусть образы Фурье начальных данных ^о, таковы, что найдется множество

Еи с яирр^о такое, что

Зу > 0: V?! е Еи, ^2 е шррТо : /(?2, Г2(?2)) - Ц?ь Гх(^х)) ^ у. (18)

В этом случае будем говорить, что для образов Фурье начальных данных ио, V выполнено условие согласования носителей.

Обозначение 5: Будем обозначать %(г, А) характеристическую функцию множества А, зависящую от переменной г.

Перейдем теперь к формулировке и доказательству условий существования притягивающего многообразия, более слабых, чем условия, сформулированные в теореме 5.

Теорема 6: Пусть матрица Л соответствует задаче (5), все ее собственные значения разбиты на два множества Гх и Г2, причем для этих множеств выполнено условие вырожденной щели. Пусть также множество собственных векторов, соответствующих Гх, для всех ? £ Е/ задает собственное подпространство V, удовлетворяющее теореме 4. Пусть, кроме того, найдется такое ко > о, что V? : |?| > ко все собственные значения матрицы Л являются алгебраически однократными и на них выполнена оценка

|*(?)| < Сх(1 + |?|)й,

где Сх, й —некоторые константы. Тогда, если Н —множество образов Фурье начальных данных (^о,^о), для которых выполнено условие согласования носителей, а также начальные данные для неравновесных переменных достаточно гладкие, т.е.

а + |?|)5"Л |М22|й(М22)-хVо е Ь2(Е),

а для начальных данных для консервативных переменных выполнено условие ||иоХ(?, Еи)|| Ф о, и, кроме того, 8ирр,^оПЕ/ = 0, то соответствующий разделению динамик проектор Р удовлетворяет условию Ь2-корректности по Чепмену—Энскогу в классе Н начальных данных. При этом для констант К, 6 из определения Ь2-корректности по Чепмену—Энскогу верно следующее: К зависит от ||ио||, У'^'оЦ и Еи; 6 зависит от у, Еи и свойств матрицы М.

Доказательство: Для несущественных переменных, как и в теореме 5, имеем

ЦС/н(0112^ Г(1+*22(1 + 1Ю1Мл)(^Д/!+,Ё 1л,| х

2 \(й(М22) - х)!/

х|М22 \2й(М22^-2е~21(М22)гг2й(М22)-2 V |2й?. Для консервативных переменных имеем

Далее, по лемме 4, заключаем, что

\\исы(Ч,^и)\т > ■

Из условия (18) следует неравенство

^о(Гг) - Ьо(Гь1[/) ^

где Ьо(Гх, Еи) = 8ир(Ц?, Гх(?)), ? е Еи}. Из этого и трех предыдущих неравенств получаем для консервативных переменных оценку

/ е-2^о(Гх,Еи > |иох(?, Еи )|2й?

'^к

и для несущественных переменных оценку

||ин||2(0 ^ е~угг2й(М22)-2 ^е~2ЫГъЕи^ + К^а + |?|)шйЛ)х

к

х(———)2 \<Уо\2аг \<ЖМ22) - 1)!/ 1 01 9

Отсюда, так как Ьо(Гх,Еи) не зависит от ?, ||иох(?,Еи)|| Ф о, то, разделив последнее неравенство на предпоследнее, получаем доказываемую оценку.

Ослабление жесткого условия щели. Равномерное условие вырожденной щели

Помимо описанного в предыдущем параграфе, существует и другой способ ослабления жесткого условия щели (16). Он заключается в наложении дополнительных требований не на класс начальных данных, как в случае условия согласования носителей, а на собственные значения матрицы Л. При этом класс начальных данных остается максимально широким.

Как и в предыдущем параграфе, для того, чтобы сформулировать теорему о притягивающем многообразии с ослабленными условиями, сначала придется привести несколько определений и обозначений.

Обозначение 6: Разобьем множество Е/ — подмножество множества Е значений параметра ? — на две части, соответствующие разным ситуациям:

Е/ = ЕК и Е^,

где Ек — множество ?к таких, что найдутся Хх(?к) е Гх(?к), ^2(?к) е Г2(?к), причем Хх(?к) = ^2(?К) и собственному значению Хх(?к) соответствует хотя бы один присоединенный вектор; Е^ — множество таких, что найдутся

XiC^s) e ri(^s), ) e r2(is), причем Xi(§s) = ^2(§s), но собственному значе-

нию Xi(§s) соответствуют только собственные вектора.

Нетрудно видеть, что требования теоремы 4 могут быть не выполнены только при § e Ek, если для всех § e E выполнены требования, приведенные в теореме 1.

Условие 4: Будем говорить, что для пары множеств Г1(§), Г2(§) выполнено равномерное условие вырожденной щели, если

V§1, §2 e E> VXi(^i) e Г1(§0, ^2(§2) e Г2(§2) : Re(^2(?2)) ^ Re(^1(?1))-

Покажем, что справедливо следующее обобщение теоремы 5.

Теорема 7: Пусть матрица Л соответствует задаче (5), все ее собственные значения разбиты на два множества Г1 и Г2, причем для этих множеств выполнено равномерное условие вырожденной щели. Пусть, более того, Ек = 0, mes(Es U Ee) = 0, множества Гi(§), Г2© состоят из гладких функций. Пусть также множество собственных векторов, соответствующих Г1, для всех § задает собственное подпространство V, удовлетворяющее теореме 4. Пусть, кроме того, найдется такое ко > 0, что V§ : |§| > ко все собственные значения матрицы Л являются алгебраически однократными и на них выполнена оценка

|Х(§)| < Ci(1 + |§|)di,

где Ci, di —некоторые константы. Пусть H — множество образов Фурье начальных данных (Uo, Vo), таких, что начальные данные для неравновесных переменных достаточно гладкие, т.е.

(1 + |§|)5"Л |M22|d(M22)-1Vo e L2(E),

а для начальных данных для консервативных переменных выполнено условие ||Uo|| Ф 0. Тогда соответствующий разделению динамик проектор P удовлетворяет условию Ь2-корректности по Чепмену—Энскогу в классе H начальных данных. При этом для констант K, 6 из определения Ь2-коррект-ности по Чепмену—Энскогу верно следующее: K зависит от ||Uo|| и ||Vo||;

6 зависит от свойств матрицы M.

Доказательство: Обозначим е-окрестность множества Es через Es,e. Аналогично определим множество Ее,е. Пусть также Ее = suppUo\(Es,e UEe,e). Так как ||Uo|| Ф o, то из условий на множества Es, Ee и того, что все собственные значения — гладкие функции следует, что найдется достаточно малое е > o такое, что mes(Ee) > o.

Обозначим 0(G) = sup{^.X(§), § e G, X(§) e Гi(§)}. Пусть также 0o = = inf {^X(§), § e Es, X(§) e (Ti(§) U Г2(§))}. Так как собственные значения матрицы Л непрерывны по параметру § и для множеств Г1, Г2 выполнено равномерное условие вырожденной щели, то найдутся достаточно большое R > o и достаточно маленькое у > o такие, что

0o - 0(1е П {|§| < R}) > Y,

а также неравенство

ше8(Ее П (|?| < Я}) > о.

Но так как Ее с зиррЦ), ||ио|| Ф о, то Щох(?, Ее П(|?| < Я})|| Ф о. Отсюда для

начальных данных Цо, выполнено условие согласования носителей, и множество Еи имеет вид Еи = Ее П (|?| < Я}. Значит, доказываемое утверждение следует из теоремы 6.

Ослабление жесткого условия щели. Условие разделения фаз

Возможен и третий способ ослабления жесткого условия щели (16). Он заключается в наложении дополнительных условий на множество начальных данных, но не на область определения их образов Фурье, как в случае условия согласования носителей, а на область значений. Как и в предыдущих параграфах, начнем с введения обозначений и формулировки условия.

Обозначение 7: Пусть Гх(?), Г2© — пара множеств непрерывных по ? ветвей собственных значений матрицы Л. Пусть также

Ги© = (X© е Гх(?) : 3? е Е : ЯХ(?) = шахЯц(?)},

^€Гх

Г2,с© = (X© е Г2© : 3? е Е : ЯХ(?) = шш Яц(?)}.

ЦеГ2

Обозначим ^'х© линейное пространство, получающееся из С” ортогональным проектированием вдоль линейного подпространства, соответствующего множеству собственных значений Гх,с. Аналогично подпространство ^2© соответствует множеству Г2,с.

Условие 5: Будем говорить, что для образов Фурье начальных данных Цо, V выполнено условие разделения фаз, если

V? е Е : | Ц )(?) е №(?) и ^2(?)). (19)

Перейдем теперь к формулировке теоремы о притяжении для условия разделения фаз и ее доказательству.

Теорема 8: Пусть матрица Л соответствует задаче (5), все ее собственные значения разбиты на два множества Гх и Г2, причем для этих множеств выполнено условие вырожденной щели. Пусть также множество собственных векторов, соответствующих Гх, для всех ? £ Ек задает собственное подпространство V, удовлетворяющее теореме 4. Пусть, кроме того, найдется такое ко > о, что V? : |?| > ко все собственные значения матрицы Л являются алгебраически однократными и на них выполнена оценка

|Х(?)| < + |?|)^х,

где Сх, йх —некоторые константы. Тогда, если Н —множество образов Фурье начальных данных (Цо, ^о), для которых выполнено условие разделения фаз, а также начальные данные для неравновесных переменных достаточно гладкие, т.е.

а + |?|)5"Л |М22|^(М22)-хVо е Ь1(Е),

а для начальных данных для консервативных переменных выполнено условие ||Цо|| Ф о, то соответствующий разделению динамик проектор Р удовлетворяет условию Ь2-корректности по Чепмену—Энскогу в классе Н начальных данных. При этом для констант К, 6 из определения Ь2-корректности по Чепмену—Энскогу верно следующее: К зависит от Що|| и Ц^'оЦ; 6 зависит от свойств матрицы М.

Доказательство: Заметим, что так как выполняется условие ЩоН Ф о, Цо е ^2(Е), то ше8(8ирр Цо) > о. Отсюда мера хотя бы одного из множеств

О] = (? е Е : | Ц | (?) е ^(?)}, ] = х 2

больше нуля.

Пусть ше8(Ох) > о. Тогда множество Гх \ Гнепусто. Рассмотрим матрицу Л(х)(?), имеющую тот же жорданов базис, что и Л. Разбиение собственных значений матрицы Л на множества Гх \ Г^, Г^, Г2 индуцирует разбиение жорданова базиса Л. Это разбиение, в свою очередь, индуцирует разбиение множества собственных значений матрицы Л(х)(?) на три множества П^, П1^ и П^ соответственно. Пусть П^ =Гх \ Г^, = Г2, множе-

ство П1^ состоит из вещественнозначных функций Шх(?) = (^хеГхиГ2 ЯХ)- Ь Заметим, что тогда для пары множеств собственных значений П^ и П1^ и п2х) выполнено жесткое условие щели (16). Действительно, это условие выполнено для некоторого у > о для множеств П^ Ф 0 и П2х) по построению этих множеств и множества Гх,С; множество П1^ в силу своего явного вида не может ухудшить у.

Аналогично, если шев(О2) > о строится матрица Л(2)(?). Единственным

(2)

отличием является то, что множество П2С состоит из вещественнозначных

функций Ш2(?) = (яирх6ГиГ2 ЯХ) + Ь Также как и выше, для множеств П® 0(2).. 0(2)

и П2 С и П^ выполнено жесткое условие щели.

Осталось заметить, что на множестве Ох матрица Л(?) действует на (ио, ,У0)Г так же, как Л(х)(?), а на множестве О2 так же, как матрица Л(2)(?). Отсюда с помощью теоремы 5 получаем требуемое.

Примеры задач, для которых существует разделение динамик, но нет притяжения решений

В качестве первого примера рассмотрим гиперболическую регуляризацию уравнения Хопфа

дЫ + дхЫ2 = -ихдхих, дгЫ2 + ахдхЫх + дхЫз + |3Ь Ы2 = 0, ды + а2дхЫ2 + Р2 из = 0,

где -----времена релаксации, |3г > Р1 > 0. Потребуем дополнительно, чтобы

Р ]

для коэффициентов и времен релаксации выполнялось равенство

а1р2 0

------- - Р1-

ах + а2

Пусть Р(Х) — характеристический многочлен матрицы Л, соответствующей линеаризованной задаче (20). Тогда нетрудно видеть, что найдется ?о > 0 такое, что при |?| Ф ?о существует полное разделение динамик, соответствующее проекции в одно уравнение, для линеаризованной задачи (20). Кроме того, при |?| > ?о матрица Л имеет вещественное собственное значение вх и пару комплексно сопряженных собственных значений. Пусть V и w — собственные вектора матрицы Л, соответствующие комплексно сопряженной паре собственных значений и такие, что v(0) = ех, н’(о) = ез. Пусть также ф(?) — функция из Ь2(К) такая, что 8ирр ф(?) П(|?| ^ ?о} = 0. Тогда нетрудно видеть, что для образов Фурье начальных данных

( 4/0 ) = Ф(?)(v(?) + ™®)

отсутствует притяжение к решению исъ. При этом, однако, нетрудно видеть, что условие согласования носителей для таких начальных данных не выполнено.

В качестве второго примера рассмотрим систему из двух уравнений такую, что для нее всегда выполнены условия полного разделения динамик, а собственные значения Хх и Х2 таковы, что существует ровно одно значение ?о е К, при котором вещественные части ЯХх(?) и ЯХ2(?) одновременно достигают минимума, причем Хх(?о) = Х2(?о). Тогда для этой системы не выполнено равномерное условие вырожденной щели. С другой стороны, если взять начальные данные так, что для некоторого е > 0: зиррЦо с [?о + 2е, + + то), (?о - е, ?0 + е) с 8ирр,^0, то для них не будет притяжения к решению исъ. Это связано с тем, что для пары С^о,Цо), взятой именно в таком порядке, выполнено условие согласования носителей.

Литература

[1] Bardos, C. Fluid dynamic of kinetic equation II: convergence proofs for the Boltzmann equation / C. Bardos, C.D. Levermore // Comm. Pure Appl. Math. 46, - 1993. - P. 667-753.

[2] Bardos, C. Fluid dynamics limits of discrete velocity kinetic equations / C. Bardos, F. Golse, C.D. Levermore // Advences in Kinetic Theory and Continuum Mechanics, R. Gatignol and Soubbaramayer, Eds., Springer-Verlag, Berlin-New-York, 1991. - P. 57-71.

[3] Caffish, R.E. The fluid dynamical limit of nonlinear model Blotzmann equations / R.E. Caffish, G.C. Papanicolaou // Comm. Pure and Appl. Math. 32, 1079. - P. 103-130.

[4] Chen Gui-Qiang and Tai-Ping Luui Hyperbolic conservation laws with stiff relaxation terms and entropy / Gui-Qiang Chen, Levermore C.D. // Comm. on Pure and Appl. Math., V. XLVII (1994). - P. 787-830.

[5] Chen, G.Q. Divergence-measure fields and hyperbolic conservation laws / G.Q.Chen, H.Frid // Arch. Ration. Mech. Anal. 147 (1999). - P. 89-118.

[6] Radkevich, E.V. Irreducible Chapman-Enskog Projections and Navier-Stokes Approximations / E.V. Radkevich // Instability in Models Connected with Fluid Flows. II. Ed. by Claude Bardos and Andrei Fursikov; International Mathematical Series, V. 6. P. 85-151. Springer, New York (2007).

[7] Палин,В.В. О разрешимости квадратных матричных уравнений / В.В.Палин // Вестник МГУ. Сер.1, Математика. Механика. 2008. -№6. - С. 36-42.

Поступила в редакцию 01/IX/2008; Paper received 01/IX/2008.

в окончательном варианте — 01/IX/2008. Paper accepted 01/IX/2008.

THE SEPARATION OF DYNAMICS IN SYSTEMS OF CONSERVATION LAWS WITH RELAXATION3

© 2008 V.V. Palin4

The paper is devoted to analysis of the Cauchy problem for the hyperbolic regularization of the linearized conservative laws system. The problem of existence of the invariant manifold of special solutions, which is an attractor, is studied. The solution is given in a form of conditions on the system structure and the Cauchy data.

Keywords and phrases: invariant manifold of solutions, Chapman-Enskog

projection, hyperbolic regularization.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. E.V. Radkevich.

4Palin Vladimir Vladimirovich, Dept. of Differential Equations, Lomonosov Moscow State

University, Moscow, 119991, Russia.