Равновесные плазменные конфигурации в поле магнитного диполя Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2018. Том 25, № 2

УДК 550.3

РАВНОВЕСНЫЕ ПЛАЗМЕННЫЕ КОНФИГУРАЦИИ В ПОЛЕ МАГНИТНОГО ДИПОЛЯ

Г. Ф. Крымский, Ю. А. Ромащенко, Е. П. Шарин

Аннотация. При построении модели внешней оболочки пульсара, при исследовании процессов во время солнечных вспышек или при исследовании динамики магнитосферы приходится сталкиваться с задачами о равновесных и неравновесных конфигурациях замагниченной плазмы. Задачи эти весьма сложные, так как зачастую сводятся к решению нелинейных уравнений второго порядка, аналитический метод решения которых в настоящее время еще недостаточно разработан. В данной работе рассматривается модельная задача о равновесии сгустка плазмы в поле магнитного диполя. Ранее эта задача решалась в более простой постановке [1], поэтому мы здесь приводим решение более полного варианта. Как и ранее, задача решается в плоском варианте, что позволило использовать математический аппарат аналитических функций. При этом сделано одно допущение: второй, симметричный относительно диполя сгусток плазмы, был заменен эквивалентным линейным током, что привело к односвязанности задачи. Результаты задачи могут использоваться в астрофизике и при рассмотрении магнитосферных процессов.

Б01: 10.25587/8УРи.2018.98.14234 Ключевые слова: плазма, магнитный диполь, уравнение Грэда — Шафранова

Введение

При построении модели внешней оболочки пульсара, при исследовании процессов во время солнечных вспышек или при исследовании динамики магнитосферы приходится сталкиваться с задачами о равновесных и неравновесных конфигурациях замагниченной плазмы. Задачи эти весьма сложные, так как зачастую сводятся к решению нелинейных уравнений второго порядка, аналитический метод решения которых в настоящее время еще недостаточно разработан. Для аксиально-симметричной задачи постановку можно сформулировать следующим образом. Пусть задается поле магнитного диполя. В этом поле можно задать некоторое распределение плазмы, связанное с протекающими в пространстве азимутальными и меридиональными токами. Ясно, что в общем случае такая система неустойчива, и нашей задачей будет являться поиск такого распределения токов, при котором система плазма-магнитное поле будет стремиться к устойчивому состоянию.

В общем случае не существует универсального критерия устойчивости, однако для плоского и осесимметричного случаев такой критерий известен. В ста-

© 2018 Крымский Г. Ф., Ромащенко Ю. А., Шарин Е. П.

ционарном случае условие равновесия плазмы в магнитном поле можно записать в виде уравнения.

Ур

так как

го1 В

—-[В,гсЛВ1,

4п

4п

(1)

Здесь Ур — градиент газового давления плазмы, j — плотность тока, а В — индукция или напряженность магнитного поля. Введем цилиндрические координаты г, р, г. Вместо азимутального угла р можно использовать продольную координату в = гр. В частности, продольные компоненты векторов будут отмечаться индексом в. Магнитное поле и плотность токов в плазме представляют сумму полоидальной и тороидальной компонент:

В = В„ + В8

■Вр — В г + ,

- 3г ег + Jz Од , 3

-*р I ^^ р

J Jp + Js, Jp — Из условий сЦу В = 0 и divj = 0 и симметрии конфигурации дует, что полоидальные компоненты поля и тока выражаются через скалярные функции ф(г, г) и Е(г, г):

(2) (3)

0) сле-

Вг — —

3г

1 дф

г дг ' 1 № г дг

Bz — -

Jz

1 дф

г дг 1 № г дг

(4)

(5)

Как показано в [2, 3], вместо уравнения (1) можно пользоваться эквивалентным ему уравнением

д2ф 1 дф | д2ф дг2

г дг ^ дг2

г3а

(6)

где

или окончательно

гЛ9р I Е1дР2

дф г дф

д2ф 1 дф д2ф _ Аг2 Р в дР2 дг2 г дг дг2 ф 2 дф

(7)

В магнитной гидродинамике это уравнение носит название Грэда — Шафрано-ва. В 19-м в. это уравнение получил Гельмгольц для задач обычной гидродинамики, правда для случая, когда В — 0. Для осесимметричного и плоского случаев было показано [4-6], что плазма в магнитном поле устойчива, если выполнен критерий

д2р

дф2

(8)

Следовательно, меридиональные поля устойчивы по отношению к малым возмущениям, если

дф2

3

а

Математические трудности, связанные с аналитическим рассмотрением проблемы (численные задачи, подобные упомянутой, уже решались) [7-12] принуждают нас рассмотреть простейший вариант задачи, сводящийся к плоской геометрии. Несмотря на очевидные неточности данной постановки, нам кажется, что основные черты поведения плазмы в магнитном поле нам удалось отразить.

Постановка и решение плоской задачи

Допустим, что в плоскости z находится магнитный диполь (плоский) мощности M и пара противоположно направленных токов. Такая ситуация может возникнуть при построении модели оболочки пульсара, при изучении кольцевого тока в магнитосфере или при изучении взрывной фазы суббури в магнитосфере, когда в ее хвосте появляются замкнутые оболочки с плазмой — плазмо-ны. Подобная ситуация возникает также на поверхности Солнца при солнечных вспышках. При этом допускается, что один из токов сосредоточен в малой области пространства и может быть представлен линейным током, а другой течет по поверхности плазменной полости, внутри которой магнитного поля нет. При такой постановке (существование поверхностных токов) правая часть уравнения (7) обращается в нуль и уравнение (7) будет уравнением Лапласа. В этом случае для решения задачи можно применить теорию аналитических функций с ее развитым математическим аппаратом. В задаче необходимо найти форму полости, ее положение относительно диполя, а также некоторые энергетические характеристики такой системы.

Пусть область в плоскости z, внешняя относительно кривой C, отображается на область, внешнюю относительно окружности |t| = 1 в плоскости параметрического переменного t, с помощью функции

Z = f (t). (9)

Если в рассматриваемой области вне кривой C в плоскости z имеется ток мощности y в точке zi, то в соответствующей точке ti вне окружности имеется ток мощности y и, следовательно, по теореме Милна — Томсона [13] имеем

W(t) = -¿Yin(i - ti) + ¿7ln Q - t^j , (10)

что вместе с формулой (9) определяет комплексный потенциал в плоскости z. Если в точке to находится двойной вихрь (диполь) мощности M, то

W(t) = M

+ ■

f '(to)(t - to) f'(to)(t - to) J

где угол а показывает наклон диполя к оси ж, а черточки над буквами означают комплексное сопряжение. Примем для простоты а = п/2, а точку ¿о выберем на действительной оси, тогда ¿о = ¿о. Выражение (10) можно переписать в виде

Ш(¿) = -¿71п(£ - ¿1) + ¿71п(1 - «1) - ¿71п(£),

e

Это означает, что ток, текущий в точке Ь = ¿1 (вне окружности), наводит противоположный ток в симметричной точке £ = а также ток в центре окружности. Если на такую систему наложить ток, текущий по поверхности окружности (№ = ¿71п(4)), то в результате получим

№(¿) = —¿71п(4 - ¿1) + ¿71п(1 - «1).

Общий потенциал диполя и токов будет иметь вид

W = iM

1

+

f'(to)(t - to) f'(Îq)(1 - ÎÎq)J

— iY ln

i - il 1 - tti

В задаче предполагается, что противоположные токи находятся на одинаковом расстоянии от центра диполя. Если принять за начало координаты центр окружности (прообраз полости), то центр диполя будет находиться в точке Ь = ¿о, а ¿1 = 24о. В этом случае для потенциала системы получим

W = iM

1

+

t

f '(to)(t — to) f '(io )(1 — tio))J

— Y1 ln

i - il 1 - tu

(11)

где Yi = y/M. Сформулируем следующую постановку задачи. Полость в плоскости z свободна от магнитного поля и заполнена изотропной высокопро-водящей плазмой с давлением po. (В этом случае предполагается отсутствие магнитного поля внутри полости.) На границе полости соблюдается равенство давления теплового ро и магнитного ^. На границе полости могут течь поверхностные токи, величина которых зависит как от величины po, так и от величины окружающего эту полость магнитного поля и определяется автоматически при решении задач. Итак, на границе имеем

8тг

Поскольку

B

= Po-

dW

dz

dW dW dt

dz dt dz

= \/8тгро = VpT,

Для определения функции z (t) имеем первое краевое условие

dz 1 dW

lit VPÎ dt

(12)

на еДиничн°й окружности известно). Таким образом, мы пришли к обратной краевой задаче аналитических функций: найти функцию по заданию на известном контуре модуля ее производной. Решение этой задачи хорошо известно [14,15]. Возьмем от выражения (12) логарифм. Как известно, действительная часть логарифмической функции является логарифмом модуля этой

t

2

функции. Поскольку теперь известна на контуре действительная часть аналитической функции, при помощи оператора Шварца можно восстановить всю функцию внутри или вне круга. При этом у функции допускаются некоторые особенности (типа полюса) в конечном числе точек [16]. Существует и другой метод решения сформулированной выше задачи восстановления аналитической функции по ее особенностям (нулям и полюсам), который представляет собой так называемый метод интегрирующего множителя [17]. В данной работе мы используем именно этот метод. Итак, рассмотрим поведение функции

М

М а/Р1

1

+

+ 71"

£ -¿1

лад ад2 /'(¿0)(1_Й0)2

Наряду с модулем (13) рассмотрим аналитическую функцию

т

м

л/р!

1

+

t

+ 71-;

t - ¿12

(13)

(14)

|_/ададо)2 /%)(1-ад ад ад-ад

Она имеет такой же модуль, как и функция (13). Функция (14) имеет особенность второго порядка в точке 4 = ¿о и особенность первого порядка в точке 4 = ¿1 = 2^. Для устранения этих особенностей умножим (14) на интегрирующий множитель. Интегрирующим множителем для (14) является функция

^ - ¿о)2 (* - ¿1) ,2

гí2.

(1 - ад (1 - «о)

На единичном контуре модуль ее есть единица, сама функция во внешности круга будет аналитической. Умножение на Ь2 следует из условия, чтобы ^ при больших t стремилась и некоторой константе (второе краевое условие). Итак, имеем

т

м

а/Р1 При t = ¿о

* - ¿1 , ^ - ¿1 )(* - ¿о)2 , (1 - Í12)(Í - ¿о)2

+ т .- . .--г + 71

и '(¿о) /'(¿о )(1 - ад

(1 - «1

¿2

(1 - ада - ад

(15)

<1г\

Таким образом,

М л/Р1

¿о — ¿1

I. /Ч*о) ]

¿2

¿о

(1 - ¿о)2(1 - Í0Í1)'

/ ад

м

¿2

¿о

¿о - ¿1

<=<0

Поскольку ¿о действительно, имеем

М1/2

/(*о) = -

¿о

Р1

1/4 (¿2 - -1)

¿1 - ¿о

1/2

Рассмотрим поведение магнитного поля в окрестности тока ¿о. По определению В = учитывая (15) и (11), получим

<Ш

Ш_ _ . (1 -Ир)2 (1 -¿¿х)

р1 (¿-¿0)2 ф-ь)'

2

í

0

2

Рис. 1. Функция магнитного потока на плоскости параметрического переменного £

Из физических соображений ясно, что при 4 ^ ¿0

В =

¿М

(4 — ¿о )2'

Отсюда получаем связь между р1 и ¿о:

или

¿0

(17)

При такой калибровке получаем, что f '(¿о) = / '(¿о) = 1. Из теории аналитических функций известно, что при конформном преобразовании модуль функции дает растяжение, а аргумент — величину поворота. Если /' (¿о) = 1, то масштаб в точке ¿о сохраняется. Учитывая эти замечания, получаем в окончательном виде

^ (¿о — 1)2 (¿о ¿1 — 1)

¿о (¿1 — ¿о)

(* — ¿1)

, (¿-^(¿-¿о)2 , (1-^)(£-£о)2 Н------Ь 71

(1 — «о )2

(1 — ¿¿1)

(1 — ¿¿о )2 (1 — ¿¿1 )■

(18)

Для однозначности конформного отображения функции необходимо, чтобы эта функция не имела в области 2 ни полюсов, ни нулей (производная и, значит, производная нигде не обращаются в нуль или в бесконечность). При этом на плоскости параметрической переменной ¿ возможны два варианта в зависимости от соотношения давления р в газовой каверне к величине магнитного момента диполя М (рис. 1). В первом случае корни уравнения

(* — ¿1 ) + (* — ¿1 )(* — ¿1 )2 + 71

= 0

мнимые и лежат на окружности |*| = 1. Во втором случае корни уравнения действительные и находятся: один внутри круга |*| = 1, а второй снаружи. Поэтому для конформности выражение (18) необходимо избавиться от внешнего корня. В данной постановке рассмотрим первый вариант. Для дальнейшего исследования уравнение (18) необходимо связать 71 с параметром *о. Для этого поступим следующим образом. Поскольку мы изучаем квазиравновесные конфигурации, очевидно, что суммарная сила, действующая на контур с плазмой со стороны магнитного поля, должна равняться нулю. Воспользуемся формулой Чаплыгина [16] для силы, действующей на обтекаемый контур:

Г

I <1г )

¿г = 0.

(1-**0)2 1-**^ а -¿о)4 *2(*ад2

+, , (г-ад-¿о)2 ададад2 (* - *1) Н------Ь 71

(1 - ¿¿о)2

(1 - «1)

(19)

¿* = 0.

Этот результат получили, подставляя из (16) и ^ из (18) в (19). У подынтегральной функции есть две особые точки: полюс четвертого порядка в точке * = ¿о и полюс второго порядка в точке * = ¿1 = 2*о. Поэтому этот интеграл легко вычисляется с помощью вычетов. Известно, что вычет в полюсе порядка п дает следующая формула:

гей / (а) =

1

Иш

¿п

(п — 1) £—>а

— 1(г-аГ/(г)\.

Обозначим

Имеем

и

, , , (*-*1)(*-*0)2 (1-*2)(*-*0)2 \t-tl) Н--Тл-77 То--Ь Т1

(1 — ¿¿о)2

(1 — «1)

ч 1 ¿3

ге8/(*0) = -1пп-

„ х 1 ,. ¿3 геэ/ ¿1 = 77 1™ —

1! г—2а М3

(1 ~**р)2(1 -¿¿1)

*ад*1)2

(1 -**0)2(1 -ЫЛ)

и (*) и (*)

Производя элементарные вычисления, получаем

71 =

9 — 3^2 — 4^о

*о( з — шо + 8*0)' Интегрируя (18), с учетом (20) имеем

(¿о — 1) 2( 2*0 — 1)

24*0 ( 2*0 — 3)

8( ¿о — 1) 2( 3 — 8*0 + 4*0)

(¿¿о — 1)3

+

12(10*6 — 31*4 + 30*2 — 9) 24(8*0 — 17*6 + 12*4 — 8*2 + 3)

(**о — 1)2

(**о — 1)

+ 24(6 — 19*2 + 7*0 + 24*о 7 — 16*8)1п

(**о ~ 1) (2**о - 1)

(20)

+ С.

(

4

Для анализа этого громоздкого выражения поступим следующим образом. Сделаем вначале замену

(* - *о)

в =

(1 - йо)

и далее потребуем, чтобы ^(в) переходит в нуль при в ^ 0. При этом ¿о ^ ^ будет переходить в во М = • Получим

г (в) = А{ а0—-г + а3(р1в)3 + а2(р1в)2

I - м)

+ а1(р1з)^-------С11п(1(21)

(1 - )

Здесь

(1_м2)(2_м2)м2 6(5 -3М2)

24(2-3М2) ' а° М3 '

8(1 - м2)(4 - 8м2 + 3м2) _ 12(10 - 31м2 + 30м4 - 9м6)

а з —--г-, аг —--г-,

м8 м6

24(3м8 - 8м6 + 12м4 - 17м2 + 8) , 3(2 - м2)2(4 - 3м2 - 9м4)

а-1 =-з-, о 1 =----,

м8 м8

24(6м8 - 19м6 + 7м4 + 24м2 - 16) м м

ci =--. Р1 = i-Р1 =

М8 ' ^ 1 - М2' ^ 2 -

На контуре единичной окружности s = ei0. Подставляя это выражение в (21) и разделяя действительную и мнимую части, получим

. f ао 1 - u cos(0) 3 3 2

ж = А{ — -- ^ \ 7 + а3р? cos3 6» + a2pi cos(20) + сад cos 6»

[ p1 (1 — 2u cos(0) + u2

bip2(l - MP2)(P2 - cos(6>)) ci

-|-ln(l-2p2cos(0)+p2)}.

p2 - 2p2 cos(0) + 1 2

У ={ ~n 2,+^sin3(0)+a2p2sin(20)

1 p1 (1 - 2ucos(0) + u2)

• /л\ , bip2(1 - up2)sin(0) ( p2 sin(0) + aipi sin(0) H--g—й-tn\ i 1--Cl arct;g

p2 - 2p2 cos(0) + 1 \ 1 - p2 cos(0)

Выводы

Анализ полученного результата показывает, что минимальное расстояние, при котором существует равновесная конфигурация, соответствует ¿о = 4.22. В этом случае форма каверны представляет собой «приплюснутую» фигуру с двумя острыми вершинами (рис. 2). По мере удаления каверны с плазмой от диполя форма полости постепенно переходит в окружность (рис. 3, ¿о = 10). Это неудивительно, так как на больших расстояниях от диполя поле становится квазиоднородным, а в однородном поле равновесная полость будет иметь вид окружности.

-25

Рис. 2. Форма каверны при критическом параметре t0 = 4.22.

20-

1 i 1 1 V50 -30 1 -10 -20- 1 1 10 1 1 30

Рис. 3. Форма каверны при критическом параметре t0 = 10.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ромащенко Ю. А., Крымский Г. Ф., Решетников П. Д. Равновесные плазменные конфигурации в дипольном магнитном поле // Геомагнетизм и аэрономия. 1995. Т. 35, № 4. С. 31-37.

2. Люст Р., Шлютер А. Равновесные магнитогидродинамические системы, обладающие аксиальной симметрией // Управляемые ядерные реакции: сб. научн. тр. М.: Атомиздат, 1960. C. 204-214.

3. Захаров Л. Е., Шафранов В. Д. Равновесие плазмы с током в тороидальных системах // Вопросы теории плазмы: сб. научн. тр. М.: Атомиздат, 1982. Вып. 11. С. 118-235.

4. Хайн К., Люст Р., Шлютер А. К стабильности плазмы // Управляемые термоядерные реакции: сб. научн. тр. М.: Атомиздат, 1960. С. 165-188.

5. Во Хонг Ань, Тверской Б. А. Равновесные конфигурации плазмы в магнитном поле двумерного диполя // Геомагнетизм и аэрономия. 1969. Т. 9, № 4. С. 569-570.

6. Тверской Б. А. Основы теоретической космофизики. М.: УРСС, 2004.

7. Осипян Д. А. Бесстолкновительный разлет плазменного облака в дипольном магнитном поле // Изв. НАН Армении. Физика. 2006. Т. 41, № 4. С. 287-295.

8. Баев В. К., Нестерович А. В., Свирин В. Ю. Динамика заряженных частиц в поле магнитного сферического диполя // Журн. техн. физики. 2012. Т. 82, вып. 1. С. 139-142.

9. Семенов В. С., Аинов Н. А., Кубышкина Д. И. Ассимметричные решения уравнения Грэда — Шафранова. Вопросы геофизики // Уч. зап. Санкт-Петербург. гос. ун-та. Сер. физ. геолог. наук. 2013. Т. 46. С. 137-153.

10. Uchida Y. and Low B. C., Equilibrium configuration of the magnetosphere of a star loaded with accreted magnetized mass //J. Astrophys. Astr. 1981. V. 2. P. 405-419.

11. Tsventoukh M. M. Plasma equilibrium in a double-dipole magnetic confinement system with a separatrix // Plasma Phys. Rep. 2007. V. 33, N 7. P. 535-542.

12. Shafranov V., Popovich P., Samitov M. Plasma confinement in a magnetic field of the internal ring current //J. Plasma Fusion Res. 2000. V. 3. P. 566-570.

13. Милн-Томпсон Л. М. Теоретическая гидродинамика. М: Мир, 1964.

14. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979.

15. Пыхтеев Г. Н. Решение обратной задачи плоского кавитационного обтекания криволинейной дуги // Прикл. математика и механика. 1956. Т. 20, № 3. С. 373-381.

16. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.

17. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

Статья поступила 14 марта 2018 г. Крымский Гермоген Филиппович

Институт космофизических исследований и аэрономии им. Ю. Г. Шафера,

пр. Ленина, 31, Якутск 677980

ikfiaSysn.ru

Ромащенко Юрий Александрович, Шарин Егор Петрович Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, физико-технический институт, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000 romash37@mail.ru, esharin@yandex.ru

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2018. Том 25, № 2

UDC 550.3

PLASMA CONFINEMENT IN THE FIELD OF A MAGNETIC DIPOLE

G. F. Krymsky, Yu. A. Romashchenko, E. P. Sharin

Abstract: When constructing a model of the outer shell of a pulsar, or considering processes during solar flares in studying the processes during solar flares or studying the dynamics of the magnetosphere, one must encounter problems of equilibrium and nonequilibrium configurations of magnetized plasma. These problems are very complex, because they often reduce to solving second-order nonlinear equations, the analytical method of solving which at the present time being not sufficiently developed. These problems are very complex. The analytical method for solving such problems is still not sufficiently developed. In this paper we consider a model problem on the equilibrium of a plasma bundle in a magnetic dipole field. The problem is solved in the two-dimensional case, which made it possible to use the mathematical apparatus of analytic functions. One assumption is made: a second plasma symmetric with respect to the dipole was replaced by an equivalent linear current, which led to a single-connected problem. The results of the problem can be used in astrophysics and in the study of magnetospheric processes.

DOI: 10.25587/SVFU.2018.98.14234 Keywords: plasma, magnetic dipole, Grad—Shafranov equation.

REFERENCES

1. Romashchenko Yu. A., Krymsky G. F., and Reshetnikov P. D., "Plasma configuretion in the field of a magnetic dipole [in Russian]," Geomagnetism and Aeronomy, 35, No. 4, 31—37 (1995).

2. Ljust R. and Schljuter A., "Equilibrium magnetohydrodynamic systems with axial symmetry [in Russian]," in: Upravlyaemye Termoyadernye Reaktsii, Sb. Nauchn. Tr., Atomizdat, Moscow, 1960, pp. 204-214.

3. Zaharov L. E. and Shafranov V. D., "Plasma equilibrium with current in toroidal systems [in Russian]," Voprosy teorii plazmy: Sb. Nauchn. Tr., Atomizdat, Moscow, 1982, pp. 118-235.

4. Hajn K., Ljust R., and Shljuter A., "To the stability of plasma [in Russian]," in: Upravlyaemye Termoyadernye Reaktsii, Sb. Nauchn. Tr., Atomizdat, Moscow, 1960, pp. 165-188.

5. Vo Hong An' and Tverskoy B. A., "Equilibrium plasma configurations in a magnetic field of a two-dimensional dipole [in Russian]," Geomagnetism and Aeronomy, 9, No. 4, 569-573 (1969).

6. Tverskoy B. A., Fundamentals of Theoretical Cosmophysics [in Russian], URSS, Moscow (2004).

7. Osipyan D. A., "Collisionless scattering of plasma cloud in a dipole magnetic field [in Russian]," Iz. NAN Armenii, Fiz., 41, No. 4, 287-295 (2006).

8. Baev V. K., Nesterovich A. V., and Svirin V. Yu., "Dynamics of charged particles in the field of a magnetic spherical dipole [in Russian]," Zh. Tekhn. Fiz., 82, No. 1, 139-142 (2012).

© 2018 G. F. Krymsky, Yu. A. Romashchenko, E. P. Sharin

9. Semenov V. S., Ainov N. A., and Kubyshkina D. I., "Asymmetric solutions of the Grad-Shafranov equation [in Russian]," Uch. Zap. St.-Peterburg. Gos. Univ., Ser. Fiz. Geolog. Nauk, 46, 137-153 (2013).

10. Uchida Yu. and Low B. C., "Equilibrium configuration of the magnetosphere of a star loaded with accreted magnetized mass," J. Astrophys. Astr., 2, 405-419 (1981).

11. Tsventoukh M. M., "Plasma equilibrium in a double-dipole magnetic confinement system with a separatrix," Plasma Phys. Rep., 33, No. 7, 535-542 (2007).

12. Shafranov V., Popovich P., and Samitov M., "Plasma confinement in a magnetic field of the internal ring current," J. Plasma Fusion Res., 3, 566-570 (2000).

13. Miln-Tompson L. M., Theoretical Hydrodynamics [Russian translation], Mir, Moscow (1964).

14. Gurevich M. I., Theory of Jets of an Ideal Fluid [in Russian], Nauka, Moscow (1979).

15. Pyhteev G. N., "Solution of the inverse problem of plane cavitational flow around a curved arc [in Russian]," Prikl. Mat. Mekh., 20, No. 3, 373-381 (1956).

16. Lavrent'ev M. A. and Shabat B. V., Methods of the Theory of Functions of Complex Variables [in Russian], Nauka, Moscow (1973).

17. Gahov F. D., Boundary Problems [in Russian], Nauka, Moscow (1977).

Submitted March 14, 2018 Germogen F. Krymsky

Yu. G. Shafer Institute of Cosmophysical Research and Aeronomy,

31 Lenin Avenue, Yakutsk 677980, Russia

ikfiaSysn.ru

Yury A. Romashchenko, Egor P. Sharin, M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Physics and Tecnologies, 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia romash37@mail.ru, esharin@yandex.ru