Равновесное программирование и его применение для нахождения равновесия по Нэшу Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ

С. Р. АЛЕЕВА, Е. О. ЯКУБОВИЧ

РАВНОВЕСНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ПО НЭШУ

Рассматривается одно из актуальных направлений теории оптимизации и математического моделирования. Приводится связь равновесного программирования с антагонистическими играми и выпуклым программированием, применение равновесного программирования к некооперативным играм, обзор используемых численных методов.

Ключевые слова: равновесное программирование, равновесие по Нэшу, некооперативные игры N лиц.

Введение

Состояние равновесия присуще многим объектам современного мира и является предметом изучения различных наук: в механике рассматривается равновесие материальной точки, в термодинамике равновесие определяется как ситуация максимума энтропии системы, в теории игр — как компромисс интересов участников. Равновесное программирование, как и любое другое направление оптимизации, представляет собой инструментарий для решения задач определенного вида.

Предметом равновесного программирования является нахождение неподвижных точек некоторых экстремальных многозначных отображений. Формулировка задачи представлена, например, в [1, с. 29-30]. Требуется найти неподвижную точку точечно-множественного отображения V ^ Ш(у) либо установить, что её нет:

V € Ш(V)) = А^шт{Ф(г;,т) : т Е П}.

Здесь П — некоторое множество из , функция Ф(у,т) определена на П х П. В случае существования неподвижной точки V она является искомым равновесным положением.

Более сложные формулировки задачи, например, содержащие функциональные ограничения [2; 3], позволяют описывать задачи выпуклого программирования [1, с. 40-44] и многокритериального программирования [4], возникающие в технических задачах вариационные неравенства с наличием и отсутствием связанных ограничений [5], обратные задачи оптимизации [6], различные игровые постановки [1; 2].

1. Связь равновесного программирования с антагонистическими играми и выпуклым программированием

Рассмотрим задачу выпуклого программирования

/о(ж) ^ шт,

/г(х) ^ 0, г = 1, ...,т, (1)

х Е .X,

где /г(х) при г = 0,1, ...,т — непрерывные выпуклые функции, X — выпуклое компактноное множество. Покажем, каким образом свести (1) к задаче равновесного программирования, а также установим связь с играми с нулевой суммой. Функция Лагранжа для задачи выпуклого программирования имеет вид

т

Ь(х, А) = /о(х) + ^ Аг/г(х), А* ^ 0.

г=1

Здесь обозначено А = (А1,..., Ат).

Предположим, что для задачи (1) выполнены следующие условия.

1. Задача удовлетворяет условию Слейтера: существует х0 Е X такое, что

/г(х0) < 0, г =1,..., т.

2. Существует конечная оценка снизу оптимального решения двойственной задачи, обозначим ее 7.

Введем в рассмотрение множество

Аг(-/г(х0)) ^ /о(х0) - 7, Аг ^ 0, г = 1, ...,т| .

Обозначим оптимальное решение прямой задачи (1) через V, а оптимальное решение двойственной задачи через у. Пусть выполняется условие

у = шахшт Ь(х, А) = Ь(х*, А*) = штшах Ь(х, А) = V.

Лейл хеХ хеХ Лейл

Определим ^ = X х 5\, г = (х,А) Е ^ и введем отображения

Фх(А) = А^шт{Ь(х, А) : х Е X},

ФЛ(х) = А^шт{Ь(х, А) : А Е £л}.

Тогда экстремальное отображение Ф(г) = Фх(А) х Фл(х) является замкнутым выпуклозначным полунепрерывным сверху [1, с. 42] и, следовательно, в силу теоремы Какутани [1, с. 35] оно имеет неподвижную точку г* = (х*,А*) Е Ф(г*).

Отсюда получаем х* Е Фх(А*), А* Е Фл(х*), что эквивалентно выполнению неравенства

Ь(х*,А) < Ь(х*,А*) < Ь(х,А*), т. е. г* = (х*, А*) — седловая точка функции Лагранжа.

Пример 1. Рассмотрим задачу выпуклого программирования

/0(х1,х2) = х1 + 4х21пх2 ^ шin,

/1(х) = —х1 — х2 < 0, х Е X = {1 < х1 < 3, 1 < х2 < 3},

(2)

где /г(х) при г = 0,1 — непрерывные выпуклые функции, X — выпуклое компактное множество.

Представим эту задачу как игру двух лиц с нулевой суммой. Будем интерпретировать X = {1 < х1 < 3, 1 < х2 < 3} как множество стратегий первого игрока, а функцию Лагранжа Ь(х1,х2, А) = х1 + 4х21п х2 + А(—х1 — х2) — как функцию проигрыша первого игрока и, соответственно, выигрыша второго игрока.

Множество {А ^ 0} будет множеством стратегией второго игрока. Сузим его так, чтобы не потерять искомое равновесие. Для этого решим двойственную задачу

шт Ь(х1,х2,А)= шт |х? — АхЛ + шin |4х21пх2 — АхЛ.

(хьх2)€Х 1< хх<3 1 1< х2^3

Рассмотрим первое слагаемое шin {х^ — Ах1}: х1 = ±л/А/3 — экстремумы

1<хх<3

х1 = ±л/А; 0 — нули функции, причем 1 < х1 < 3. Тогда

{1 — А, 0 < А < 3 (достигается в х1 = 1);

— 3А\/3, 3 < А < 27 ^достигается в х1 = ;

27 — 3А, А ^ 27 (достигается в х1 = 3).

(3)

Теперь рассмотрим второе слагаемое тт {4х2 1пх2 — Ах2}: х2 = еЛ/4 1 — экс-

1< х2 <3

тремум, а х2 = еЛ/4;0 — нули функции, причем 1 < х2 < 3. Отсюда получаем, что

тт {4х2 1п х2 — Ах2}

1< х2<3

— А, 0 < А < 4 (достигается в х2 = 1);

—4еЛ/4-1, 4 < А < 4(1 + 1п3) (в х2 = еЛ/4-1);

121п3 — 3А, А ^ 4(1 + 1п3) (достигается в х1 = 3).

(4)

Используя (3) и (4), найдем теперь

тт Ь(х1,х2,А)

(хх,х2)еХ

Г 1 — 2А,

— 3 А\/3 — А,

— 3 Ал Я — 4еЛ/4-1,

— I— 3А + 12 1п 3, 4(1 + 1п 3) < А < 27;

27 — 6А + 121п3,

а

Для нахождения максимина max min L(xi, ж2, А) рассмотрим каждое выраже-

А^0 (xi,X2)€X

ние в системе: первое выражение меняет знак на 0 ^ А ^ 3, выражения же со второго по пятое принимают только отрицательные значения при заданных А. Отсюда имеем, что max min L(x1, x2, А) = max (1 — 2А) = 1.

А^0 (xbx2)eX 0<A<3

Построим новое множество стратегий второго игрока.

1. Задача удовлетворяет условию Слейтера: существует ж0 = (2, 2) такое, что

/i(x°) = —2 — 2 < °.

2. Существует оценка снизу оптимального решения двойственной задачи 1 >

0. Это любое отрицательное число, например, 7 = —8(13 — ln2).

Тогда множество

SA = ^ А : Аг( —fi(x0)) ^ f0(x0) — Y ^ = {4А ^ 8 + 8 ln 2 + 104 — 8 ln 2} =

= {0 ^ А ^ 28}

будет новым множеством стратегий второго игрока. Рассмотрим следующие экстремальные отображения:

ФХ(А) = Argmin{L(x1, ж2, А) : (x1, x2) G X} =

= Argmin{x1 — Аж1 : 1 ^ ж1 ^ 3} + Argmin{4x2 ln ж2 — Аж2 : 1 ^ ж2 ^ 3} =

' (1,1), 0 ^ А ^ 3;

^,1), 3 < А < 4;

(\/i,eA/4-1), 4 ^ А ^ 4(1 + ln3); (5)

(^f, 3), 4(1 + ln3) < А < 27;

1(3,3), А ^ 27;

ФА(ж) = Argmax{L(x1, x2, А) : А G SA} =

= Argmax{x1 + 4ж2 ln ж2 + А(—ж1 — ж2) : А G SA} =

{0, —ж1 — ж2 < 0;

[1, 28], —ж1 — ж2 = 0;

28, —ж1 — ж2 > 0.

Поскольку 1 ^ ж1 ^ 3, 1 ^ ж2 ^ 3, получим Фа (ж) = 0 на этом множестве.

По теореме Какутани существует неподвижная точка z* = (ж*, А*) G Ф(г*), где

Ф(г) = ФХ(А) х ФА(ж), причем ж* G ФХ(А*), А* G ФА(ж*). Поскольку ФА(ж) = 0, то

А* = 0 и остается найти ж*:

ж* С Фх(0), 0 С Фа(ж*).

Первое выражение в (5) подходит, т. к. Фх(0) = (1,1) при А = 0. Таким образом, (1,1) € Фх(0) и 0 € ФА(1,1), следовательно, ((1,1), 0) — равновесное положение как решение равновесной задачи и как решение игры с нулевой суммой, а также седловая точка для задачи выпуклого программирования (2).

2. Равновесное программирование и некооперативные игры. Численные методы

2.1. Понятие равновесия некооперативной игры N лиц

Система Г = (Ж, {Хг}, {/г}, г € N), в которой N = {1, 2,..., п} — множество игроков, Хг — множество стратегий игрока с номером г, / — функция проигрыша игрока с номером г, определенная на декартовом произведении множеств

П

стратегий игроков П = П Хг, называется некооперативной игрой N лиц.

г=1

Игра происходит следующим образом: игроки одновременно и независимо друг от друга выбирают свои стратегии хг из множества стратегий Хг, г = 1, 2,..., п. В результате формируется ситуация х = (х^х2,..., хп), хг € Хг. После этого каждый г-й игрок получает проигрыш /г, и игра заканчивается.

Для игровых ситуаций компромисс в интересах участников может быть представлен как равновесие по Нэшу, определяемое системой экстремальных включений Хг € А^шт{/г(хг, Х-г) : хг € Хг}, г = 1, 2, ...,п, где хг — стратегия г-го игрока, а Х— — стратегии остальных игроков. Тип оптимума зависит от типа функций игроков: являются они функциями выигрышей (тогда берётся А^шах) или же функциями проигрышей (данный случай).

Подобная система посредством введения функции [5]

П

^,ад) = ^ /г (Хг, Х—г) , где V = (Х;),ад = (Х—г), (6)

г=1

П = Х1 х Х2 х ... х Хп, г = 1, 2,..., п, может быть сведена к задаче равновесного программирования.

2.2. Задача равновесного программирования с функциональными ограничениями

В дальнейшем рассматривается следующая задача равновесного программирования с функциональными ограничениями [2]:

V € А^шт{^^,ад) : $(ад) ^ 0,ад € П}, (7)

где ^^,ад) определена на х Мга, П С Мга — выпуклое замкнутое множество, ^(V, ад) выпукла по w при каждом V. Векторная функция $(ад) имеет размерность т и каждая ее компонента есть выпуклая функция.

Для решения такой задачи требуется применение специальных численных методов. Рядом авторов были разработаны численные методы решения подобных задач: проксимальные, градиентные методы, методы, использующие модифицированные функции Лагранжа или верхние и нижние опорные функции.

2.3. Экстрапроксимальный метод решения равновесных задач

По аналогии с задачей выпуклого программирования вводится функция Лагранжа [2]

Ь(г;,ад,р) = ^^,ад) + (р,д(ад)), ад € П, р ^ 0.

В случае регулярности функциональных ограничений (например, при выполнении условия Слейтера) эту задачу можно преобразовать в задачу вычисления седловой точки функции Лагранжа Ь^,ад,р):

^(г),г;) + (р,д^)) ^ ^(V,V) + (р5,g(V)) ^ ^^^) + (р,д(и>)), Vw € П, р ^ 0,

где

V € А^шт{^^^) + (р,#(и>)) : ад € П}, р> € А^шах{^(V,V) + (у, д^)) : у ^ 0}.

Рассмотрим их проксимальные аналоги

V р;

Замечание 1. Проксимальные операторы подробно описаны, например, в [7]. Получили процесс вида

v”+1 = а^шт|+1 |ад — V”-!2 + (рга,д(ад))): w € П

рп+1 = а^шах{ —1 |у — р”|2 + а^^”, V”) + (у^^”))) : у ^ 0}.

Однако такой процесс в общем случае не сходится даже для обычной задачи оптимизации. В этом случае вместо ^(v”,w) будет просто ^(w).

Рассмотрим проксимальный прогнозный, или экстрапроксимальный метод [2]. Он имеет следующие отличия от других методов, предложенных автором А. С. Антипиным.

1. Каждая итерация представляет собой задачу оптимизации сильно выпуклой/вогнутой п-мерной функции, в то время как в прочих методах появляется снова задача равновесного программирования, однако более низкой размерности.

2. Метод является явным, в отличие от других алгоритмов.

3. Метод сохраняет блочно-сепарабельную структуру задачи, а методы с модифицированными функциями Лагранжа ее не сохраняют.

4. Из предыдущих трех пунктов следует, что задача п-мерной оптимизации декомпозируется на п независимых задач одномерной оптимизации сильно выпуклых/вогнутых функций. Это не только упрощает вычисления, но и позволяет распараллелить их, что в значительной степени ускоряет расчеты.

а^шт <{ +2^ — V!2 + а(^(V, w) + (р, д^))) : w € П а1^шах<{ — 1 !у — р|2 + а(^+ (у,д(';))) : у ^ 01.

5. Из недостатков следует отметить «немного более жёсткие» условия сходимости, проявляющиеся, например, в необходимости выполнения условия . Липшица.

Замечание 2. По этим причинам метод был выбран для программной реализации.

Рассмотрим итеративные формулы метода. Дополнительно вводятся два управления по невязкам (А1 и А2), и получаются ещё две дополнительные задачи оптимизации.

Прогнозные шаги экстрапроксимального алгоритма:

А1 = а^шах | — 2|у — р”|2 + а^^”^”^ (у, д^”))): у ^ 0^ — р”,

А2 = а^шт|+2 |w — V”!2 + а(^^”^) + (р” + Аьд^))): w € п| — V”.

Реальные шаги экстрапроксимального алгоритма: v”+1 = а^шт| + 2|w — v”|2 + а(^(V” + А2^) + (р” + Аьд^))) : w € П

р”+1 = а^шах| — 2|у — р”|2 + а(^(V” + А,v” + А2) + (y,д(v” + А2))) : у ^ 0|

Замечание 3. Термины «прогнозные» и «реальные» значения обусловлены экономической интерпретацией, предложенной в [3].

Вместо прогнозных значений можно использовать уже полученные на предыдущем шаге реальные значения

р”+1 = а^шах{ —1 |у — р”|2 + а(^(v”+1,v”+1) + (у,д(и”+1))) : у ^ 0}.

Замечание 4. Программно реализовался этот случай.

В случае тождественно равных нулю функциональных ограничений д^) = 0 для w € П первый и четвертый шаг экстрапроксимального алгоритма примут вид

А1 = а^шах | — 2 |у — р”|2 + а(^(у, 0)) : у ^ 0^ — р” =

= а^шах | — 2|у — р”|2 : у ^ ^ — р” = 0,

р”+1 = а^тах | —1 |у — р”|2 + a(F(v”+1, v”+1) + (у, 0)) : у ^ 0^ = р”,

а значит, в них необходимость пропадает. Тогда экстрапроксимальный алгоритм примет вид

А2 = а^тт| + 2|w — v”|2 + а^1 (v”,w): w € п| — V”, (8)

v”+1 = а^тт|+2|w — v”|2 + а^1 (V” + А2^): w € п| . (9)

2.4. Сходимость экстрапроксимального метода

Рассмотрим предварительно важные понятия, используемые при формулировке теоремы сходимости.

Определение 1. [2] Функция ^^^) : К” х К” ^ М. кососимметрична относительно равновесия V € П при выполнении неравенства

^^^) — ^^^) — ^(V,w) + ^(й^) ^ 0 Vw € П.

Для кососимметричной функции всегда выполняется условие

^(w,V) ^ ^^^) Vw € П. (10)

Однако в случае отсутствия кососимметричности относительно равновесия, но при выполнении условия (10), метод все равно может быть использован [2].

Определение 2. [5] Функция ^^^) : К” х К” ^ К удовлетворяет условию Липшица при выполнении неравенства

|[^(V + + к) — ^(V + Л,w)] — (V,w + к) — ^(V,w)]| ^ |^| ■ |Л| ■ |к| (11)

Vw, w + к, V, V + Л € П, где |^| — константа.

Класс функций, удовлетворяющих условию (11), не пуст, причем выполнена

следующая

Лемма 1. [2] Пусть ^^^) — дифференцируемая функция, чей частный градиент по переменной w удовлетворяет следующему условию Липшица:

|^+ к) — ^^^)| ^ |^| ■ |к| (12)

Vw,w + € П, где |^| — константа.

Тогда для ^ выполняется условие Липшица (11).

Замечание 5. Для применимости экстрапроксимального алгоритма дифференцируемость не требуется.

Теорема 1. [2, Теорема о сходимости экстрапроксимального метода] Пусть выполнены следующие условия :

1) множество решений исходной равновесной задачи не пусто, и задача кососимметрична относительно равновесия;

2) целевая функция ^(V, w) непрерывна по V и выпукла по w при каждом V ;

3) векторная функция д^) выпукла по w;

4) F^^) и д^) удовлетворяют условиям Липшица.

Тогда последовательность V”, порожденная экстапроксимальным методом с параметром а, удовлетворяющим условиям

0 < а < (2 ■ (|Р|2 + |д|2))-1/2, где |Р|, |д| — постоянные Липшица, (13)

сходится монотонно по норме к одному из равновесных решений :

liш V” = V.

В следующей части рассматриваются различные некооперативные игры. С помощью формулы перехода (6) формулируется равновесная задача (7) и на ней тестируется программно реализованный экстрапроксимальный метод. Проверяются достаточные условия сходимости метода (теорема 1), либо аналитически находятся все равновесные положения, либо проверяется правильность численных результатов. Делается вывод на основании численных и аналитических результатов о применимости метода к игре.

3. Тестирование метода на примерах некооперативных игр

3.1. Случай выполнения достаточных условий сходимости

3.1.1. Игра без функциональных ограничений Пример 2. Заданы функции игроков

/1 = (Х2 + 5)4 ■ жь /2 = (2x2 — 4)4 ■ ж?

и множества стратегий

—20 ^ ж1 ^ 20, —15 ^ ж2 ^ 25.

Покажем, что данная игра удовлетворяет всем условиям теоремы 1. Составим функцию

”

Р(V,W) = ^ /(Жг,Ж-г) = (ж2 + 5)4 ■ у1 + (2у2 — 4)4 ■ Ж^ V = (Ж1,Ж2), W = (у1,у2).

г=1

Она выпукла по w, проверим выполнение условия (10):

Ж1 = argшin{(Ж2 + 5)4 ■ у1 : —20 ^ у1 ^ +20} = —20,

Ж2 = argшin{(2y2 — 4)4 ■ Ж2 : —15 ^ у2 ^ +25} = 2.

Так как

Р(w,w) = (у2 + 5)4 ■ у1 + (2у2 — 4)4 ■ у2,

Р(w,v) = (у2 + 5)4 ■ Ж1 + (2Ж2 — 4)4 ■ у2,

то получим

(у2 + 5)4 ' Ж1 + (2Ж2 — 4)4 ' у2 = (у2 + 5)4 ' ( —20) + 0,

откуда

(у2 + 5)4 ■ ( —20) + 0 ^ (у2 + 5)4 ■ у1 + (2у2 — 4)4 ■ у2.

В силу дифференцируемости и ограниченности градиента Р(V, w) будет, по лемме

1, выполняться условие Липшица (11).

Метод применялся при начальном положении V0 = (—5, 24). При различных начальных положениях метод сходится к одному и тому же равновесному положению V = (Ж1,Ж2) = (—20, 2). При этом векторы невязки сходятся по норме к нулевому вектору, а итерационные векторы стремятся к равновесному.

3.1.2. Игра с функциональными ограничениями

Функциональные ограничения

д1(Ж1,Ж2) = ж1 — 20 ^ 0, д2(Ж1,Ж2) = Ж4 — 2.4 ^ 0

являются выпуклыми и удовлетворяют условию Липшица, а значит, выполняются достаточные условия сходимости метода. Получены следующие результаты при различных начальных векторах: положение V = (Ж1,Ж2) ~ (—2.1147,1.2448) удовлетворяет функциональнным ограничениям и действительно является равновесным,

Ж1 = а^тт{(Ж2 + 5)4 ■ у1 : —20 ^ у1 ^ +20, д1(у1,Ж2) ^ 0} = —2.1147, Ж2 = argшin{(2y2 — 4)4 ■ Ж^ : —15 ^ у2 ^ +25, д2(Ж1,у2) ^ 0} = 1.2448.

3.2. Случай получения равновесий при нарушении достаточных условий сходимости

Пример 3. Пусть заданы функции игроков

/1 = (Ж1 — 5)5 ■ Ж2,

/2 = — (Ж2 + 15)3 ■ Ж4,

/з = (Жз — 4)2 ■ Жз,

/4 = Ж1 ■ Ж2 ■ Ж3 ■ Ж4

и множества стратегий

— 20 ^ Ж* ^ 20, г = 1, 2, 3, 4.

Это игра без функциональных ограничений. Игра не удовлетворяет условиям теоремы 1, например, отсутствует выпуклость. В случае V0 = (0, 0,0, 0) уже после первой итерации получается равновесный вектор V = (0, 0, —20, 0).

Из вида /1 получено

Ж1 = а^т^^ — 5)5 ■ Ж2 : —20 ^ у1 ^ +20} = = а^т^^ — 5)5 ■ 0 : —20 ^ у1 ^ +20}

при всех yi, -20 ^ y1 ^ 20, а значит, и нулевое значение, как в V. Аналогично из /2 и /4 получим нулевые Х2 и Х4. Для /з имеем

Хз = argmin{(y3 - 4)2 ■ уз : -20 ^ yi ^ +20} = -20.

Однако уже при незначительном изменении начального положения v0 =

(0, 0, 0, 0.0000001) получается иной результат. Отсутствие по крайней мере выпуклости на всем многоугольнике стратегий привело к потере непрерывной зависимости от начального положения около нуля. Причем сам результат зависит от номера текущей итерации: алгоритм циклически перемещается от одного положения (20, 20,-20, 20) к другому (20,-20,-20, 20). Эти положения являются равновесными в силу особенностей функций, определяющих игру.

3.3. Случай появления неравновесных положений при отсутствии выполнения достаточных условий сходимости

Пример 4. При функциях игроков

/1 = COs(xi + Х2),

/2 = -x1 ■ cos Х2

и множествах стратегий

-20 ^ x ^ +20, i = 1, 2,

рассмотрим игру без функциональных ограничений. Функция

F(v, w) = COs(yi + Х2) + (-Х1) ■ cos У2, V = (Х1,Х2), W = (yi,y2),

непрерывна по v при каждом фиксированном w, однако не является выпуклой на всем многоугольнике стратегий. В силу дифференцируемости и ограниченности её градиента существовует константа Липшица (12). Кососимметричность функции наблюдается также не во всех точках прямоугольника. Рассмотрим возможные равновесия:

1) x1 = п + 2п1, x2 = 2пк;

2) x1 = 2nl, x2 = п + 2пк.

При работе алгоритма (с округлением) получено два типа результатов.

I тип:

3п G argmin{cos(X2 + y1) : -20 ^ y1 ^ +20} =

= argmin{cos(2n + y1) : -20 ^ y1 ^ +20} = п + 2nl, l G Z,

4п G argmin{(-;г1) ■ cosy2 : -20 ^ y2 ^ +20} =

= argmin{(-5п) ■ cos y2 : -20 ^ y2 ^ +20} = 2nk, k G Z;

-2п G argmin{cos(X2 + y1) : -20 ^ y1 ^ +20} =

= argmin{cos(5n + y1) : -20 ^ y1 ^ +20} = 2nl, l G Z,

5п G argmin{(-Х1) ■ cos y2 : -20 ^ y2 ^ +20} =

= argmin{(+4n) ■ cosy2 : -20 ^ y2 ^ +20} = п + 2пк, k G Z.

II тип: v = (-7, -15) не является равновесным, поскольку

-7 G argmin{cos(-15 + y1) : -20 ^ y1 ^ +20}, -15 G argmin{7 ■ cos y2 : -20 ^ y2 ^ +20}.

Отсутствие выпуклости и кососимметричности на всем многоугольнике стратегий привело к отсутствию сходимости к равновесному положению из некоторых начальных положений.

4. Модификация экстрапроксимального метода

Пример 5. Пусть функции игроков имеют вид

/i = (xi - Х2)2,

f2 = (x2 - Хз^

/з = (Хз - Х4)2,

/4 = (Х4 - Х1)2,

а множества стратегий —

-20 ^ х* ^ +20, i = 1, 2, 3, 4.

Рассмотрим игру без функциональных ограничений. Равновесными являются стратегии вида

x1 = х2 = хз = Х4.

За 140 итераций метод сошелся к равновесному положению (15.25,15.25,15.25,15.25).

4.1. Функции и расстояния Брегмана

Пусть S — выпуклое открытое множество в Rn, S — его замыкание, h — выпуклая вещественная функция, определенная на S, Dh(x,y) = h(x) - h(y) -(Vh(y),x - y), где Vh(y) — градиент функции h.

Определение 3. [8] Функция h называется функцией Брегмана при выполнении следующих условий :

1) h строго выпукла и непрерывна на S ;

2) h непрерывно дифференцируема на S ;

3) для всех x G S и 8 G R правый частичный уровень множества (x,8) = {y G S : Dh(x,y) ^ 8} ограничен;

4) если последовательность {ук} С S сходится к у, то последовательность {Dh(yk, у)} сходится к нулю.

Если h — функция Брегмана, то Dh — расстояние Брегмана, ассоциируемое с ней. Оно имеет следующие свойства:

1) Dh(x,y) ^ 0;

2) Dh(x,y) = 0 ^ x = у;

3) Dh(x,y) строго выпукла по x при у G S.

Определение 4. Если

Vy G Rn 3x G S : Vh(x) = y, то функция Брегмана называется коэрцитивной на области S.

Примеры функций Брегмана

1. Пусть S = Rn и функция Брегмана h(x) = ||x||2/2, тогда расстояние Брегмана Dh(x, у) = | |x — у||2/2.

П

2. Пусть S = R+ и функция Брегмана h(x) = x* ln x* непрерывно расши-

i=1

рена на границу положительного ортанта R+ посредством соглашения, что

def

0 ln 0 = 0. Расстояние Брегмана тогда принимает следующий вид:

n n

Dh (x, у) = h(x) — h(y) — (Vh(y), x — у) = x* ln x* — у* ln у* —

i=1 i=1

nn

— (In у* + 1)(x* — у*) = J^(x* ln(xi/yi) + у* — x*). (14)

i=1 i=1

Расстояние (14) называется расстоянием Кульбака - Лейблера.

При сепарабельности функции Брегмана сепарабельно и ассоциируемое с ней расстояние Брегмана.

Вопрос: Что будет, если заменить квадратичные члены в (8), (9) расстоянием Брегмана?

4.2. Генерализованный проксимальный метод на положительном ортанте

Рассмотрим так называемый Bregman Distance Interior Proximal (BDIP) Method [8]. Пусть выполняются следующие условия:

1) 0 < вк ^ в , в > 0;

2) Dh(x, у) — расстояние Брегмана, ассоциируемое с функцией Брегмана h с областью S = R+;

3) Н сепарабельна и коэрцитивна на области.

Алгоритм метода имеет следующий вид.

1. Инициация: начальное положение х0 > 0.

2. Основной шаг: имеем хк > 0, при V/(хк) = 0 прекращается, иначе жк+1 € (г € а^шт{/(х) + вк^(х,хк) : х € Ега} : г € Е+}. При Иш вк = 0

последовательность (хк} сходится к оптимуму.

В случае замены проксимальной формы на обобщенную проксимальную (БВ1Р) итеративные формулы экстрапроксимального метода (8), (9) могут принять следующий вид:

А = а^шт{вга^(ад, V”-) + Р(^ад) : ад € П} — V”-, (15)

^”'+1 = а^тт{вп^(ад, Vй) + Р(^га + А, ад) : ад € П}. (16)

Определение 5. Метод (15), (16) назовем модифицированным экстрапрокси-мальным методом.

Для тестирования в качестве сепарабельного расстояния Брегмана выбра-

П

но расстояние Кульбака - Лейблера Д^(х,у) = ^^(х» 1п(х»/у) + у — х»). Тогда

»=1

алгоритм (15), (16) принимает вид

(ад» 1п(адг/^™) + V™ — ад»)) + Р(^га,ад) : € П | — Vй, (17)

(ад» 1п(ад»/^П) + V™ — ад»)) + Р(^га + А, ад) : ад € П| . (18)

Алгорим (17), (18) применялся к игре из примера 5, получено равновесное положение (12.7335,12.7335,12.7335,12.7335), причем векторы невязок стремятся по норме к нулевому вектору, а итерационные векторы сходятся к равновесному.

Таким образом, можно пробовать заменять различными расстояниями Брегмана квадратичные члены в (8), (9), чтобы пытаться получить, например, более высокую скорость сходимости.

Список литературы

1. Зоркальцев, В. И. Равновесные модели в экономике и энергетике / В. И. Зор-кальцев, О. В. Хамисов. — Новосибирск : Наука, 2006. — 221 с.

2. Антипин, А. С. Равновесное многокритериальное программирование: проксимальные методы / А. С. Антипин // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1997. — Т. 37, № 11. — С. 1327-1339.

3. Антипин, А. С. Равновесное программирование: методы градиентного типа / А. С. Антипин // Журн. автоматики и телемеханики. — 1997. — № 8. — С. 125137.

А = а^шт < вп(У^

I »=1

( П

■■ а^шт < вп(У^

»=1

4. Антипин, А. С. Равновесное многокритериальное программирование: экстра-проксимальные методы / А. С. Антипин // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 2007. - Т. 47, № 12. - С. 1998-2012.

5. Антипин, А. С. Методы решения вариационных неравенств со связанными ограничениями / А. С. Антипин // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 2000. — Т. 40, № 9. — С. 1231-1307.

6. Антипин, А. С. Обратная задача оптимизации: постановка задачи и подход к ее решению / А. С. Антипин // Обратные задачи мат. программирования. — М. : ВЦ РАН, 1992. - С. 3-33.

7. Васильев, Ф. П. Методы отпимизации / Ф. П. Васильев. — М. : Факториал Пресс, 2002. — 824 с.

8. Suzoa, Sissy da S. A proximal method with separable Bregman distances for quasiconvex minimization over the nonnegative orthant / Sissy da S. Suzoa, P. R. Oliveira, J. X. da Cruz Neto et al. // European Journal of Operational Research

— 2010. — Vol. 201, № 2. — P. 365-376.