Равномерная Механохимическая коррозия полой сферы из идеального упругопластического материала под действием постоянного давления Текст научной статьи по специальности «Физика»

РАВНОМЕРНАЯ МЕХАНОХИМИЧЕСКАЯ КОРРОЗИЯ ПОЛОЙ СФЕРЫ ИЗ МАТЕРИАЛА ПРАНДТЛЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОСТОЯННОГО ДАВЛЕНИЯ*

Ю. Г. Пронина

С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, dearjuly@gmail.com

1. Введение

Механохимическая коррозия — процесс разрушения материалов, вызванный химическим или электрохимическим воздействием окружающей среды, интенсивность которого зависит от величины действующих механических напряжений. В данной работе рассмотрена равномерная поверхностная коррозия толстостенной сферы из идеального упругопластического материала. Авторами [1] исследована такая коррозия сферического элемента трубопровода под действием внутреннего и внешнего давления при экспоненциальной зависимости скорости коррозии от уровня среднего напряжения. Согласно большинству экспериментальных данных (см., например, [2, 3]) скорость сплошной коррозии линейно зависит от напряжений. В рамках этой модели решение задачи об идеально упругой полой сфере под давлением коррозионных сред представлено в [4]. В настоящей статье решение задачи построено по аналогии с решением для полого цилиндра из идеального упругопластического материала под давлением агрессивных сред [5]. При этом учтена возможность затухания коррозии во времени при образовании плотной пленки окислов.

2. Постановка задачи

Рассматривается задача о толстостенной сфере, находящейся под действием постоянного внутреннего рг и внешнего рд давления коррозионных сред. Ее внутренний и внешний радиусы в начальный момент времени £ = 0 обозначены соответственно через го и До. Под действием сред материал сферы корродирует равномерно по внешней и внутренней поверхностям, т. е. ее сечение меняет свои размеры, оставаясь при этом концентрическим кольцом. Через промежуток времени £ ее внутренний радиус увеличивается от го до г = го + 6Г, а внешний радиус уменьшается от До до Д = До — Выберем сферическую систему координат р, у>, в с началом в центре сферы. Скорость коррозии материала с внутренней стороны оболочки обозначим через уг, а с наружной — через Уд.

Согласно [3] наилучшее совпадение с экспериментальными данными обеспечивается линейными соотношениями между скоростью равномерной коррозии и абсолютной величиной максимального нормального напряжения о\. В нашем случае а\ = авв = -

По данным [2] скорость коррозии линейно зависит от интенсивности напряжений а г = 1/л/2л/{арр - авв)2 + (&ее ~ - сгрр)2- Из решения Ламе для полой

сферы следует, что на ее внутренней поверхности а (г) = |ах(г) + рг |, а на внешней— а(Д) = |ах(Д) + рд| при любых размерах сферы. Поэтому в данной ситуации эти утверждения не противоречат друг другу, и указанные зависимости отличаются

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №06-01-00171а).

© Ю. Г. Пронина, 2009

только выбором физических констант. Затухание коррозии при образовании плотной пленки продуктов коррозии происходит по экспоненциальному во времени закону [3]. Таким образом, можно записать следующие выражения для скоростей коррозии:

уг = ^Г°(^ ^ = К + тг^(г)\ ехр(-Ы) при о-Дг) > аггн, (1)

«д = = 1ад + тп^(Щ ехр(—Ьt) при > ад . (2)

Здесь Ь,аг,ад,тг,тд — константы, определяемые опытным путем, причем аг = V0 — тгст1гн, ад, = ги°д — тдст*^; ст^, <7д —пороговые напряжения; V0, ги°д — начальные скорости коррозии при СТг(г) < , ст* (Д) < ст^.

Материал сферы предполагается идеальным упругопластическим (без упрочнения). Переход материала в пластическое состояние происходит при достижении интенсивностью напряжений СТ1 предела текучести сту.

Требуется определить время перехода тела в пластическое состояние по всей толщине, а также проследить за изменением его размеров и напряжений.

3. Вывод основного дифференциального уравнения

Решение задачи теории упругости о толстостенной сфере, находящейся под действием равномерного наружного и внутреннего давления, принадлежит Ламе. Из решения Ламе видно, что в случаях, когда го = 0, рг = 0, рд = р или рг = рд = р, в рассматриваемом теле реализуется однородное напряженное состояние стдв = ст^ = стрр = —р, на которое сплошная коррозия не оказывает влияния вплоть до исчерпания несущей способности тела. Исследуем изменение напряжений на стадии упругого деформирования, учитывая, что рг = рд.

Из решения задачи Ламе несложно найти

3 I г3 Д3

<гг(р) = -2\рп-рг| (д3_г3)р3- (3)

Отсюда видно, что наибольшего значения интенсивность напряжений достигает на внутренней поверхности сферы (при р = г). Поэтому переход тела в пластическое состояние должен начинаться изнутри. В связи с этим в первую очередь необходимо проследить за ростом ст*(г). Из (3) непосредственно вытекает

3 п3

°г(г) = 7)\РП-Рг I -з-7, (4)

2 п — 1

3 13

°*(д) = 2 \PR~PrI -з~1 = а^ ~ 2 \рп ~Рг^ ^

где

Д До — 5д , .

ц = — =-----—г- (6)

г го + ог

есть переменная во времени величина. Из выражения (4) следует обратная зависимость

У 2ст*(г) — 3|рд — рг [

2а,(г) (7)

Пусть в начальный момент времени t = 0

<7iMlt=o = ai(r) = \ \PR~PrI -з^Т> Vo = у-.

2 '/0 1 ro

Исследуем сначала случай, когда интенсивность напряжений <7j(r), ai (Д) в момент времени t = 0 больше заданных пороговых значений а0 (r) > atrh, а0(Д) > aR.

С учетом соотношения (5) зависимость (2) удобнее переписать в виде

d^R°dt ^ = ~1Ar + mRVi(r)\ exp(-bt), Ar = aR - тод ^ \pR - pr\. (8)

Разрешая равенства (1) и (8) относительно интенсивности напряжений ai (r) и уравнивая полученные выражения между собой, а затем интегрируя это уравнение по t от

0 до t, с учетом (6) находим

mR (г0 + [exp(-bt) - 1] ) +тг (Д0 - —^ [exp(-bt) - 1]

ro + *.=---^--------------------------------L—Л(9)

цшг + m r

Дифференцируя равенство (4) по времени t, получаем

cfo-j(r) 9 , V2 d-ri 2[(Tj(r)]2 d,r]

dt 2 PR Pr (773 — l)2 dt \pr~ Pr\v4 dt’

где производную n' можно определить с помощью формул (1), (8):

dn d До -Ôr Ar + mRai (r) + [ar + mrai (r)] n

г0 + ¿г (го + 5Г) ехр(Ь4)

Подставляя сюда последовательно соотношения (9) и (7), после некоторых преобразований приходим к следующему дифференциальному уравнению изменения интенсивности напряжений

<К(г) _ \/4[аДг)]2[2аДг) -3|рд-рг|]2~ ^

Л 2\рк-рг\

[Ая + тда»(г)]{/2д:Дг) - 3|рд - рг\ + К + тогоч(г)] у/2аДг)

тд ( r° - -цЛ + тог Гд0 +

/7 ,\ . ar Ar

exp(bt) + mR—jj - mr—^

х тг у/2сгі(г) + mRy/2ai(r) - 3|рд - pr\ . (10)

4. Решение основного уравнения

Разделяя переменные и интегрируя уравнение (10) по 4 от 0 до 4 и по стДг) от ст0(г) до стI (г) соответственно, находим

^1п

где

аг

Шд— - тг—-—о —о

~1Ы

(шдго + шг До) ехр

- ( тя~Ц) ~тг~Ц))

-шй го -

^0 (Г)

\/4(о^)2(2<74 - 3|рд — _Рг|)2

о

я„ + 4|

(11)

(Ак + тксгг) \j2oi - 3|рк -рг | + (аг + тпга^^/2а1

¿О;

тпг ^/2а1 + гад\j2ai - 3|рд - рг\

(12)

Построив зависимость о;(г) и Ь, можно для любого момента времени Ь и соответствующего ему о;(г) по формуле (7) найти значение п(Ь), а затем с помощью соотношения (9) —величину радиуса г(Ь). После этого размер внешнего радиуса вычисляется без труда: Д(Ь) = п(Ь)г(Ь).

В случае односторонней коррозии проще составить дифференциальное уравнение кинетики меняющегося радиуса полой сферы. Такое уравнение и его решение получены в [4]. Зная геометрические размеры сферы в любой момент времени, компоненты напряжений несложно вычислить с помощью решения Ламе.

Для определения срока службы Ь* тела при хрупком разрушении необходимо в выражение (12) подставить в качестве о;(г) его предельное значение оя. Поскольку с течением времени под влиянием окружающей среды механические свойства материалов меняются, о8(Ь) есть функция времени. В сложных случаях оценить долговечность толстостенной сферы под давлением агрессивных сред достаточно трудно. Ее легче установить графически: теоретический момент разрушения определяется точкой пересечения кривых изменения предела прочности материала и изменения напряжений во времени.

5. Обобщение решения для стадии упругого деформирования

Пусть скорости коррозии материала меняются во времени и не зависят от напряжений. Это справедливо для нейтральных и слабощелочных сред, а также в случаях, когда начальные напряжения меньше пороговых значений [3]. Тогда

уг = V° ехр(—Ьг£), 6Г = -^[1 — ехр(—ЪГЬ)],

= 'и°Е ехр(-М), 6ц = [1 - ехр(-Ьд£)]

Оя

(13)

(14)

где , «Я — скорости коррозии в начальный момент времени Ь = 0.

а

Г

ш

Г

1

X

1

X

X

X

о

о

Внеся эти зависимости в соотношение (3) при р = г, легко построить уравнение роста О; (г) в явном виде:

о \ 3

О Д°--^[1- ехр(-м)] J

Mr) = 7 \PR-Pr I ----------^--------------Д хЗ ,-------^---------------гг- (15)

До — [1 — ехр(-М)] ) — ( го + [1 — ехр(-М)]

Пусть, например, изменение предельного значения интенсивности напряжений описывается зависимостью

as = а*[1 + y exp(-bt)], а0 = а*(1 + 7). (16)

Это справедливо при асимптотическом стремлении временного сопротивления от начального значения а0 (при t = 0) к значению а* (при t ^ то). Если as = а0 = const,

то 7 = 0. Пусть, для простоты расчетов, br = 6r = b. Приравнивая выражение (15) к

(16), получаем

со + cix + С2Х2 + сзх3 + С4Х4 = 0, (17)

где

x = exp(-bt),

C0= (<7*- I \PR-Pr\] U-fl ~°*U+Vf

ci = 4**-l\PR-Pr\) (ro - 4)2 4 + 3a* fro + xYi+

2 ^'7 V u bjb \ J b ) b

+ 7a

«-!) -(-4

3

c2 = 3 ( <T* — — \pR -Pr I

+ 37a*

p -K

-ftn---------------—

2

2

0

0

0

0

2

2

0

0

0

0

г?

v

V

Если предел прочности постоянен во времени, то уравнение (17) имеет третий порядок в силу того, что 7 = 0.

Таким образом, время достижения предельного состояния оболочки вычисляется по формуле

Ь* = —- 1пж, 0 < х < 1, (18)

—ь

где х —действительный положительный (если не происходит мгновенного разрушения) корень уравнения (17).

В общем случае, когда в начальный момент времени интенсивность напряжений меньше заданных в (1), (2) пороговых значений, а затем достигает их, для решения задачи необходимо пользоваться комбинацией решений, представленных в двух последних пунктах. При этом на первом этапе выражение (15) необходимо приравнять к заданному пороговому значению.

Как было отмечено выше, при хрупком разрушении долговечность полой сферы определяется временем достижения интенсивностью напряжений предельного значения только на внутренней стороне. Это объясняется тем, что при возникновении трещин вследствие концентрации напряжений в окрестности их вершин начинается лавинообразное разрушение материала.

Для сферы из упругопластического материала момент достижения интенсивностью напряжений о; (г) предела текучести не означает выхода детали из строя, так как пластическая зона ограничена с внешней стороны упругим материалом, который удерживает все тело от течения.

6. Долговечность сферы при переходе в пластическое состояние

Условие пластичности по энергетической теории имеет вид

(19)

где оу — предел текучести материала. Как было отмечено выше (см. п. 3), переход материала в пластическое состояние должен начаться на внутренней поверхности оболочки. Из формулы (4) следует, что при р = г интенсивность напряжений достигает предела текучести, когда

3 п3

~ \рк ~ Рг | -3— 1

2 П3 — 1

п\РЯ~Рг\~з---7 = СГУ (20)

Обозначим соответствующий этому моменту времени ґу внутренний радиус сферы через Ту. Начиная с этого момента интенсивность напряжений а і (г) перестает возрастать и остается постоянной: а* (г) = ау. Поэтому скорость коррозии на внутренней стороне сферы правомерно представить в виде

уг = уу ехр(-Ьґ), уу = аг + тгау. (21)

В некоторых случаях при переходе в пластическое состояние скорость коррозии увеличивается скачкообразно. Тогда вместо уу в (21) должна фигурировать другая константа, определяемая экспериментально. На дальнейших рассуждениях это не сказывается. Согласно [2, 3] скорость коррозии в пластическом состоянии сязана с пластическими деформациями, но в нашем случае течения материала не возникает, так как пластическая зона окружена упругой.

а = а

у

Условие перехода полой сферы в пластическое состояние. С течением времени вследствие коррозионного растворения оболочки напряжения продолжают возрастать, и зона пластичности равномерно распространяется по всей толщине от внутренней границы сферы к наружной. Радиус сферической поверхности, разделяющей упругую и пластическую зоны, обозначим через py: r < py < Д. Определим, следуя [6] (там аналогичные условия выведены для полого цилиндра), условия перехода всей сферы в пластическое состояние.

Приняв во внимание, что = аее, условие пластичности (19) можно записать в виде

|аее а рр\ = ау. (22)

Суперпозиция известного уравнения равновесия

da

рр

+ 2арр~а" =0

¿р р

(для случая центрально-симметричного напряженно-деформированного состояния при отсутствии объемных сил) и условия (22) приводит к дифференциальной зависимости

dapp

dp

2 ay •

Интеграл этого уравнения есть

|стрр | = 2 аy ln р + C. (23)

Обозначим давление пластической зоны на упругую через q. Тогда краевые условия для границ пластической зоны принимают вид

арр(r) = -Pr, аРР(Ру) = -q. (24)

Из соотношений (23), (24) несложно получить

\q — Рг\ = 2 (Ту In —. (25)

r

Перейдем к рассмотрению упругой зоны ру < р < Д. Перепишем для нее формулу (20)

, 2 (Д/ру)3 - 1

|М-9| = 3% (B/ftr)S (26)

Складывая равенства (25) и (26), находим

\pr ~ Pr | = g ау V" + 1 - Д3^ '

Вся сфера переходит в пластическое состояние при ру = Д:

Ipr - Pr | = 2 ay ln n.

P

Этот результат совпадает с частным случаем решения более общей задачи [7].

Следует учитывать, что предел текучести ау с течением времени может меняться. Поэтому последнее условие лучше записать в виде

[,\ \pR — Pr \ iOQ\

r](t) = exp . (28)

[2ау (t)]

Таким образом, для установления времени перехода всего тела в пластическое состояние необходимо решить систему уравнений (8), (21), (26), (27), (10), (28) с соответствующими граничными условиями. В общем случае она решается численно.

Частный случай. Если коррозионное растворение наружной поверхности оболочки не зависит от напряжений или отсутствует, решение существенно упрощается. В этом случае согласно (14) R = R0 — vR[1 — exp(—bt)]/b. Из (13) с учетом (21) находим r = ry + vy [exp(—bty) — exp(—bt)]/b. Отсюда

= bR0 - v°R[i - exp(-bt)} bry + vy[exp(-btry) - exp(-bt)]

Приравнивая выражение (29) к соотношению (28) для критического значения п = ПУ, приходим к зависимости для определения момента перехода всей сферы в состояние неограниченного течения ty. При ау = const она имеет вид

_1 [Ъгу + Vy exp(-6tp] exp (|рд -рг\/\2сгу}) + V°R- bRp v b 11 Vy exp(\pR-pr\/[2ay]) + v°R '

Здесь ty вычисляется по формуле (11) (или, в частных случаях, по формулам (15) или (18)), где в качестве предельного значения взят предел текучести; ry находится из (9) для п, соответствующего условию (20):

2ау - 3 |рд - рг | ■

При переменной величине ау время достижения предела текучести на внутренней поверхности сферы ¿у характеризуется точкой пересечения кривой изменения ау (¿) с кривой роста интенсивности напряжений <г*(г).

Функции состояний. Для наглядности представления об остаточном ресурсе тела введем две функции состояний:

пе(*) = ^ <1, * е [о, ¿;],

ау

где <г* (г) и ау — также зависящие от времени £ функции, и

Пу(*) = ^<1, I € [*£, 1У1

где пу —критическое значение п, определяемое формулой (28). Функция Пе(¿) < 1 пока ст*(г) < ау и Пе(£у) = 1, т. е. при ст*(г) = ау. Функция Пу(¿) характеризует время перехода всего материала в пластическое состояние: Пу (¿) < 1 пока ру < Д и Пу (¿у) = 1, т. е. при ру = Д.

В рассмотренном частном случае (при независимости скорости наружной коррозии от напряжений)

ПУ (t)

(bry + vy[ejip(-Ury) - ехр(-Й)])ехр(|рл -рг\/[2ау\) 6 До — г’д[1 — ехр(—bt)]

При построении графика сначала следует провести кривую Пе (t) на отрезке от t = 0 до t = ty, когда ne(t) достигает значения 1. Начиная с момента ty строится кривая ПУ (t). Момент времени t = ty, когда ПУ (ty) = 1, соответствует переходу сферы в состояние неограниченного течения и характеризует в данном случае ее долговечность. Если ay = const, то, как и следовало ожидать, определяемый графически момент ty оказывается равным моменту, вычисленному по формуле (30).

На рис. 1 приведены примеры оценки долговечности сферы при переходе в пластическое состояние. Поскольку поведение кривых для различных начальных данных аналогично показанному на рисунке, численные значения не указаны. Сплошные линии соответствуют коррозии с относительно низким показателем b 1 затухания, а линии из точек — коррозии с более высоким b2 > bi. Кривые П;1 и П соответствуют периоду

чисто упругого деформирования, а Пу и Пу — периоду распространения пластической

y y 12

зоны по всей толщине сферы. Моменты времени ti и t2 указывают время ty достижения предела текучести на внутренней поверхности оболочки, а моменты ty и ty — время ty перехода сферы в состояние текучести по всей толщине (при показателях затухания bi и b2 соответственно). Если показатель b затухания коррозии достаточно высок, то кривая ПУ, а возможно (при еще больших b) и Пе, выходит на горизонтальную асимптоту не достигнув своего критического значения, равного единице, т. е. коррозия прекращается до наступления предельного состояния.

7. Замечания о коррозии упругопластического цилиндра (к статье [5])

В указанной статье в формулах (29)—(31) допущены опечатки: константа «у в этих формулах должна быть умножена на ехр(—Ыу). Таким образом, формула (29) из [5] должна совпадать с формулой (29) настоящей работы.

В [5] в качестве основной переменной, для которой выведено дифференциальное уравнение, выбрано максимальное нормальное напряжение о\. В п. 7 в [5] написано ошибочное предложение, что начиная с момента ¿у напряжение о\ (г) перестает возрастать и остается постоянным: ст^г) = <гу. Это, конечно, не так — постоянной становится интенсивность напряжений [6]. Но для упругопластического материала без упрочнения при отсутствии течения скорость коррозии можно считать неизменной [2]. Поэтому все формулы остаются в силе (с указанными выше исправлениями), и под гиу следует понимать скорость коррозии в этой ситуации.

Литература

1. Гутман Э. М., Зайнулин Р. С., Шаталов А. Т. и др. Прочность газопромысловых труб в условиях коррозионного износа. М.: Недра, 1984. 76 с.

2. Наумова Г. А., Овчинников И. Г. Расчеты на прочность сложных стержневых систем и трубопроводных конструкций с учетом коррозионных повреждений. Саратов: Изд-во Сарат. гос. техн. ун-та, 2000. 222 с.

3. Павлов П. А., Кадырбеков Б. А., Колесников В. А. Прочность сталей в коррозионных средах. Алма-Ата: Наука, 1987. 272 с.

4. Дворядкина М. В., Пронина Ю. Г. Равномерный коррозионный износ упругой сферической оболочки под постоянным давлением // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела. Вып. 9. СПб., 2005. С. 245-259.

5. Пронина Ю. Г. Механохимическая коррозия полого цилиндра из идеального упругопластического материала под действием постоянного давления. Вестн. С.-Петерб. гос. ун-та. Сер. 1. 2006. Вып. 3. С. 121-130.

6. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1954. Т. 1. 647 с.

7. Ильюшин А. А. Пластичность. М.: ОГИЗ, 1984. 376 с.

Статья поступила в редакцию 18 сентября 2008 г.