РАСТЯЖЕНИЕ ПЛОСКОГО ОБРАЗЦА В УСЛОВИЯХ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ПОЛЯХ СКОРОСТЕЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531 DOI: 10.34759/trd-2020-111-1

Растяжение плоского образца в условиях плоского напряженного состояния при различных полях скоростей перемещений

Григорьева А.Л.*, Хромов А.И.**, Григорьев Я.Ю.***

Комсомолъский-на-Амуре государственный университет, КнАГУ, проспект Ленина, 27, Комсомолъск-на-Амуре, Хабаровский край, 681013, Россия *e-mail: Grigoreva.al@email.knaslu. ru **e-mail: khromovai@lisl.ru ***e-mail: fcl@knaslu.ru

Статья поступила 17.03.2020

Аннотация

В данной работе рассматривается алгоритм деформирования полосы в условиях плоского напряженного состояния, который представлен в виде поэтапного перехода от непрерывного к разрывному полю скоростей деформаций. Решение данной задачи описывается математической моделью растяжение жесткопластической полосы, изготовленной из различных конструкционных материалов. В зависимости от материала заготовки, определяется преимущественное поле скоростей деформация, что позволяет определить процесс зарождения и разрушения материала, как можно раньше. Результатом данной работы является поле скоростей деформаций, а также определения оптимального значения Е1, позволяющего охарактеризовать выбор предпочтительного течения в зависимости от материала, из которого изготовлен образец.

Ключевые слова: поле скоростей перемещений, тензор деформации, конечные

приращения, тензор деформации Альманси.

Постановка задачи

Рассматривается задача определения поля скоростей деформаций, возникающее при растяжения плоского образца (растяжение тонкой полосы) в условиях плоского напряженного состояния. При непрерывном деформировании образца поле скоростей деформаций может оцениваться специальным критерием, который принят за характеристику величины деформаций. В данной задаче за такой критерий принимается величина первого главного инварианта тензора Альманси . Процесс деформирования образца предлагается, разбит на этапы, каждый из которых определяет свое поле скоростей перемещения.

Необходимо определить поле скоростей деформаций, соответствующее данным ограничениям и значения параметра деформации.

Растяжение полосы в условиях плоского напряженного состояния при непрерывном поле скоростей деформаций

Пусть полоса длиной 10, шириной а0 и толщиной /0 растягивается при кинематических граничных условиях на концах полосы со скоростью V, а0 « /0 (Рисунок 1). В качестве условия пластичности используется условие Мизеса, связывающее компоненты тензора напряжений ах, оутху соотношением, где к -предел текучести:

+ - + 3т2у = а52 = 3к2 (1)

Согласно [1] компоненты вектора скоростей перемещений VX)Vy связаны с

компонентами тензора напряжений уравнениями:

dvx dVy dVx !dVy

дх _ ду ду дх

2<Jx-<Jy 2иу-их 6ТХу

которые следуют из соотношений Сен Венана-Мизеса для жесткопластического

тела [1].

+ V

Рисунок 1.Растяжение полосы в условиях плоского напряженного состояния

Граничные условия для напряжений:

При у = 1, оу = 2к; у = -1, ау = 2к. (3)

Напряжения на боковой поверхности образца нулевые.

Приведенные граничные условия (3) приводят, к однородному напряженному

состоянию при условии, что образец находится в пластическом состоянии:

Оу = 2k, ох = тху = 0. (4)

и прямолинейному полю линий скольжения, наклоненных к оси х под углом

ф = 54044' [2].

Граничные условия для скоростей перемещений:

при у = 0, Vy = 0; при х = 0, Vx = 0; при у = 1, Vy = V; при х = a, Vx = const. (5)

Решение данной задачи, согласно [3] имеет вид:

Vx(x,y) = -щх, Уу(х,у) = V-y. (6)

Компоненты тензора деформаций £t:

£i = -Wi,£2=7,£3 = WI(1-^. (7)

Главные значения тензора деформаций Альманси:

„ . 1 (1+ё) 1 (l+t)^2 /ОЛ Ег = е + д=-----, Е2 = е-д=---— (8)

_ 1 Ез = (-1 + (1-2 Е1)(1 — 2 E2)yZ

На рисунке 2 представлена зависимость первого инварианта тензора Альманси от относительного удлинения образца при непрерывном поле скоростей деформаций. Анализ данного графика показывает, что при увеличении относительного удлинения образца значение первого инварианта непрерывно стремиться к 0,5.

Нт Е1

Нт

/

\

1 (1 + Е) Л \_ 1

2 2 ) = 2'

Растяжение полосы в условиях плоского напряженного состояния при переходе

к разрывному полю скоростей деформаций

При деформировании плоского образца в условиях плоского напряженного состояния деформационные процессы могут протекать поэтапно. Разделение на

этапы будет описываться некоторым критерием. В качестве данной величины

предлагается взять первый инвариант тензора деформации Альманси Е*±. Условие

поэтапного разделения может быть записано в виде:

(9)

где при достижении Ех некоторой предельной величины Е1, поле скоростей деформаций переходит к разрывному полю [4], что в свою очередь приводит к образованию шейки (рисунок 3).

Решение задачи при разрывном поле скоростей деформаций, согласно [4] имеет вид:

Ег =

4 [\1 + //2 1]'Е'2 4 \л11 + //2 + 1

,Е3 = 0,

[Ут] , [Уп]

G+V+ G+V

cos28 sin6 '

(10)

V* = ^8. [V,,] = 0^ = 0.5 = 350561.

где Ц+ - нормальная скорость движения частины на линии разрыва, [V^ - векторы

разрыва скоростей перемещений, V - касательная скорость движения частицы, G -

нормальные скорости движения линий разрыва, б - угол между линиями разрыва

скоростей деформаций, IV - объемная плотность диссипации энергии.

На рисунке 4 представлено графически распределение скоростей на линиях разрывы Этапы деформационных состояний при различных полях скоростей

деформаций

Рассмотрим формирование плоского образца, при условии перехода к различным полям деформации [5], которые описываются деформационным критерием Е1. Деформирование пластины на первом этапе будет проходить при непрерывном поле скоростей перемещений, которому соответствует выражение первого инварианта тензора Альманси вида [6]:

-1-^2

г 1 (1+ё) ^

Ел = е + д =---.

1 2 2

При непрерывном деформировании поля скоростей перемещений критическое

значение первого инварианта тензора деформации Альманси достигается при Е1.

После наступления деформационных состояний, характеризующихся Е1, поле

скоростей деформаций переходит к разрывным линиям скоростей деформаций, что

в свою очередь приводит к образованию шейки при деформировании полосы

(рисунок 5).

Опишем данный процесс аналитически. Используя формулы (8), (10) получим следующую систему, описывающую переход между деформационными процессами:

-1--J2

1 (1+Ю ^2

2

+ WT]= C0S2S

(11)

G+V+ G+V+

sinS '

Ц+ = cosS, [Vn] = 0,G = 0,S = 3S°S6I.

Решая приведенную систему определим относительное удлинение образца, при котором первый инвариант тензора деформации Альманси Е1 достигает

критического значения Е1.

2

-1-42

(1 + ё) 42 1 W2

2

2 4

4

£ =

2-TU1+W2-1

-1-42

- 1.

£ =

W2

т

.N

1 +

4

W

-1

-1-42

— 1, при W = —2сtgS,

£ =

1 ctg28( 1

2 1

(cosS О

-1-42

— 1 =

1 cos2S í 1

2 sin2S \cosS

-1)

-1-42

-1

'eosS - cos2SN

s i n2S

-1-42

-1 =

n2 S - 2 o S + 2 o 2 S

2 n2 S

-1-42

-1 =

1 - o S <42s i n1s/

2

-1-42

-1 =

'42s i n1S 1 - сosS,

1+42

-1

£ =

r42s i n1S\ V 1-е os S J

4

1+42

-1, S = 35056l.

(12)

Таким образом, относительное удлинение образца имеет критического значения

при: £ =

r42s i n1S\ V1-cosSJ

1+42

- 1 при S = 35056' и величина первого инварианта

2

2

2

2

2

2

2

4

4

тензора деформации Альманси достигает Е1, после чего поле скоростей деформаций

переходит к разрывному.

Получаем систему уравнений, которая описывает процесс деформации плоского образца на различных этапах деформирования:

-1-42

1 (1+Ю 42

■, 0<£<

Е1 = <

raisin1 S\ V1-cosSJ

1+42

- 1,

w2

4

/V2sin1S\ V1-cosSJ

1+42

-1,S = 35056I.

(13)

4

2

2

4

Выводы по поставленной задаче

В представленной модели деформации плоского образца получили, что значение первого инварианта тензора деформации Альманси определяется величиной относительного удлинения образца, в зависимости от чего будет происходить переход от непрерывного к разрывному полю скоростей деформаций. На рисунке 6 представлен график перехода от одного деформационного состояния к другому [7]. Из рисунка видно, что на первом этапе деформирования решение с непрерывным полем скоростей приводит к меньшим деформациям частиц материала и к большим усилиям (рисунок 7), необходимым для деформирования образца, а при достижении критического значения Е1 решение с разрывным полем скоростей деформаций дает меньшие деформации и большим усилиям, чем при при непрерывном поле.

Проведя сравнительный анализ между деформированием плоского образца

при различных условиях (плоское напряженное состояние и плоская деформация

(рисунок 8), видно, что данный процесс при плоской деформации протекает при

более малых относительных удлинениях в отличии от плоского напряженного

состояния. Но процессы очень схожи. Поэтому в реальных материалах на начальных

этапах деформирования, как при плоской деформации, так и при плоском

напряженном состоянии предпочтительно использовать непрерывное поле

скоростей деформаций, а затем при переходе через критическое значения

относительного удлинения Е1, можно перейти к разрывному полю скоростей

деформаций.

Данное пластическое течение характерно для материалов, при деформировании которых перед разрушением происходит образование шейки (разрывное поле скоростей деформаций) [8]-[10], что в свою очередь приводит к разрушению материала при различных экспериментах и различных конструкционных материалов [11]-[15].

Данная теория может быть использована при различных исследованиях в областях авиа и машиностроения и при анализе деформаций в различных конструкциях [16]-[20].

Ог6

0,5

0,4

0,3

0.2

0.1

Е1

Этапы изменения полей скоростей деформаций

Е1* Е1*

У

¥ г

/ Г

0,5

1 1.5 2 2,5 3

г Е1(плоская деформация) ЕЦплоское напряженное состояние) ЕЦнепрерывное поле плоское напряженное состояние) • ЕЦнепрерывное поле плоская деформация)

3,5

Рисунок 8. Этапы деформирования образца при различных условиях

Библиографический список

1. Качанов Л.М. Основы теории пластичности / Под редакцией Доброволького В.Л. - М.: Наука, 1969. - 420 с.

2. Херцберг Р.В. Деформация и механика разрушения конструкционных материалов. - М.: Металлургия, 1989. - 576 с.

3. Григорьева А.Л., Григорьев Я.Ю., Хромов А.И., Канашин И.В. Моделирование сравнительных деформационных процессов, при растяжении плоских образцов в условиях различных деформационных состояний // XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сборник трудов (Уфа, 19-24 августа 2019). - Уфа: Башкирский государственный университет, 2019. С. 423 - 425.

4. Хромов А.И., Григорьев Я.Ю., Григорьева А.Л., Жарикова Е.П. Деформирование плоского образца при разрывном поле скоростей перемещений в условиях плоского напряженного состояния // Современные наукоемкие технологии. 2019. № 10. С. 73 - 77.

5. Григорьева А.Л., Хромов А.И. Одноосное растяжение жесткопластической полосы в условиях плоского напряженного состояния при однородном поле скоростей деформаций // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2015. № 4 (26). С. 198 - 205.

6. Григорьева А.Л., Слабожанина И.В., Хромов А.И. Растяжение полосы при плоском напряженном состоянии // Международная научно-практическая

конференция «Фундаментальные проблемы механики деформируемого твердого

тела, математического моделирования и информационных технологий»: сборник

трудов (Чебоксары, 12-15 августа 2013). - Чебоксары: Чувашский государственный

педагогический университет им. И.Я. Яковлева, 2013. С. 57 - 64.

7. Тимохин В.С., Козлова О.В. Математическое моделирование полей деформаций в окрестности особенностей поля скоростей перемещения // II Всероссийская национальная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и наука: актуальные проблемы фундаментальных и прикладных исследований»: сборник статей (Комсомольск-на-Амуре, 8 - 12 апреля 2019). - Комсомольск-на-Амуре: Изд-во КнАГУ, 2019. С. 482 - 485.

8. Володченко В.С., Козлова О.В. Поля деформаций тензора конечных деформаций в окрестности угловой точки штампа // Материалы 47-й научно-технической конференции студентов и аспирантов «Научно-техническое творчество аспирантов и студентов»: сборник трудов (Комсомольск-на-Амуре, 10 - 21 апреля 2017). - Комсомольск-на-Амуре: Изд-во: КнАГУ, 2017. С. 203 - 232.

9. Козлова О.В. Сжатие цилиндра при некоторых распределениях усилий // Всероссийская научная школа-конференция, посвященная 85-летию профессора Д.Д. Ивлева. «Механика предельного состояния и смежные вопросы»: сборник трудов (Чебоксары, 15-18 сентября 2015). - Чебоксары: Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева, 2015. С. 164 - 166.

10. Гербутова Д.Д., Егорова Ю.Г. Моделирование пластического состояния в задаче о растяжении полосы, ослабленной вырезами // 46-я научно-техническая

конференция студентов и аспирантов «Научно-техническое творчество аспирантов и

студентов»: тезисы докладов (Комсомольск-на-Амуре, 01-15 апреля 2016). -

Комсомольск-на-Амуре: Комсомольский-на-Амуре государственный технический

университет, 2016. С. 122 - 124.

11. Егорова Ю.Г., Егоров В.А. Моделирование пластического состояния в задаче о волочении полосы // Ученые записки Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета. 2013. Т. 1. № 1 (13). С. 42 - 50.

12. Анисимов А.Н. Об учете необратимой сжимаемости материала при волочении полосы сквозь короткую матрицу // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. 2007. № 3 (55). С. 19 - 31.

13. Лошманов А.Ю., Периг А.В. Распространение внутренней и внешних трещин при растяжении полосы с v-образными вырезами // Наука и бизнес: пути развития. 2012. № 8 (14). С. 59 - 64.

14. Партон В.З. Механика разрушения: от теории к практике. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1990. - 240 с.

15. Bykovtsev G.I., Tsvetkov Y.D. The two-dimensional loading problem of an elasto-plastic plane weakened by a hole // Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1987, vol. 51, no. 2, pp. 314 - 322.

16. Бабайцев А.В., Бурцев А.Ю., Рабинский Л.Н., Соляев Ю.О. Методика приближенной оценки напряжений в толстостенной осесимметричной композитной конструкции // Труды МАИ. 2019. № 107. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID= 107879

17. Русланцев А.Н., Думанский А.М., Алимов М.А. Модель напряженно-

деформированного состояния криволинейной слоистой композитной балки // Труды МАИ. 2017. № 96. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=85659

18. Старовойтов Э.И., Локтева Н.А., Старовойтова Н.А. Деформирование трехслойных композитных ортотропных прямоугольных пластин // Труды МАИ. 2014. № 77. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=53018

19. Глушенкова Е.Д., Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Продольные и изгибные колебания трехслойной пластины со сжимаемым заполнителем, контактирующей со слоем вязкой жидкости // Труды МАИ. 2019. № 106. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=105618

20. Воронич И.В., Колчев С.А., Панчук Д.В., Песецкий В.А., Силкин А.А., Ткаченко В.В., Нгуен Т.Т. Об особенностях аэродинамики малоразмерного летательного аппарата нормальной схемы // Труды МАИ. 2019. № 109. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=111370