Деформационные состояния и разрушение идеальных жёсткопластических тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

следует из таблицы 1, величина й?п принимает наибольшее значение (при фиксированных а и п). Как видно из таблицы 2, для материалов с высоким показателем нелинейности (п = 9) коэффициент вариации находится в пределах от 4,14% (а = 0,05) до 41,38% (а = 0,5). В случае низких показателей нелинейности, когда возможна полная физическая линеаризация закона ползучести (п = 1) разброс напряжения о11 около среднего значения больше: здесь ё11 заключена в пределах от 5,30% до 53,03%.

Таким образом, в поверхностном слое флуктуации напряжения оп достигают заметных величин, которые могут быть значительно больше, чем для глубинных слоев.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ломакин В. А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. — М.: Наука, 1970. — 137с.

2. Ломакин В. А., Шейнин В.И. Концентрация напряжений на границе случайно-неоднородного упругого тела // Изв. АН СССР. МТТ, 1974. — № 2. — С. 124-130.

3. Подалков В. В., Романов В. А. Концентрация напряжений на границе микронеоднородного упругого полупространства // ПММ, 1978. — Т. 42, Вып. 3. — С. 540-545.

4. Подалков В. В., Романов В. А. Деформация упругого анизотропного микронеоднородного полупространства // ПММ, 1983. — Т. 47, Вып. 3. — С. 455-461.

5. Архипов Н. В. Задача о деформировании микронеоднородного цилиндра // Вестн. МГУ. Сер.1. Математика, механика, 1984. — № 3. — С. 50-54.

6. Кузнецов В. А. Ползучесть стохастически неоднородных сред в условиях плоского напряженного состояния // Математическая физика. — Куйбышев: КпТИ, 1976. — С. 69-74.

7. Попов Н. Н., Самарин Ю. П. Пространственная задача стационарной ползучести стохастически неоднородной среды // ПМТФ, 1985. — № 2. — С. 150-155.

8. Попов Н. Н., Должковой А. А. Нелинейная задача о деформировании стохастически неоднородной плоскости // Математические модели и краевые задачи: Тр. 13 межвуз. конф. Ч. 1. — Самара: СамГТУ, 2003. — С.148-154.

9. Попов Н. Н., Самарин Ю. П. Исследование полей напряжений вблизи границы стохастически неоднородной полуплоскости при ползучести // ПМТФ, 1988. — № 1. — С. 159-164.

10. ВентцельЕ.С., ОвчаровЛ.А. Прикладные задачи теории вероятностей. — М.: Радио и связь, 1983. — 416 с.

УДК 539.214; 539.374 Е. П. Кочеров, А. И. Хромов

ДЕФОРМАЦИОННЫЕ СОСТОЯНИЯ И РАЗРУШЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ

Деформационные состояния идеально жесткопластического тела изображаются точками в пространстве главных деформаций и образуют для несжимаемых тел гиперболическую поверхность третьего порядка. Деформационные процессы изображаются линиями на этой поверхности. Рассматриваются простые процессы деформирования, когда главные направления тензоров скоростей деформаций и конечных деформаций Альманси совпадают. Показано, что простые процессы деформирования описывают все возможные непрерывные кривые, лежащие на поверхности деформационных состояний. Вместе с этим непрерывные кривые деформирования отображают и другие сложные процессы деформирования, связанные с изменением взаимного положения осей тензоров скоростей деформаций и конечных деформаций, при реализации которых требуются различные удельные диссипации энергии. Формулируются деформационно-энергетические критерии разрушения пластических тел с учетом диссипации энергии в процессе деформирования.

1. Основные соотношения. Запишем ассоциированный закон течения

Поступила 24.12.2005 г.

или £,■ = , Х > 0, /,у = 1,2,3,

у дву 1 да/

(1)

где

функция текучести; а у, £у —тензоры напряжений и скоростей деформаций;

V — вектор скорости перемещений.

Будем рассматривать идеальное жесткопластическое тело [1] при условии текучести

/ (а, ) = 0,

удовлетворяющему условию несжимаемости

е1 +е2 +£3 = 0 , (2)

и, например, условиям Мизеса или Треска - Сен-Венана.

В качестве меры деформаций будем использовать тензоры конечных деформаций Коши Су

и Альманси Еу

9 дхі дху

Су =

Е9 = -С<)- і’> = 'А3, (3)

где X,, х^ — соответственно лагранжевы и эйлеровы координаты. Тензоры Еу и £у связаны соотношением

ВЕу &Еу дУи дУь.

--- = — + Е1к — + Е,к^-± = е„ , (4)

& дх- дх,

где & = д+1хг/к •

2. Деформационные состояния идеального жесткопластического тела. Идеальное жесткопластическое тело является несжимаемым. Условие несжимаемости можно записать в виде:

а* и- = 1, (5)

где И у = — пространственный градиент деформаций.

Рассмотрим тензор деформаций Коши

С = Иси, (6)

который определяет меру деформаций в виде квадрата бесконечно малого расстояния в деформированной конфигурации

(сХ )2 = ЬусХ^сХ] (7)

или в недеформированной конфигурации —

(СХ)2 = ЬіуСХіСХу = СіуСхіСху , (8)

Квадратичная форма (8) должна быть положительно определенной, поэтому главные значения Сі тензора Су должны быть положительными:

С' > 0, С2 > 0, С3 > 0. (9)

Таким образом, в пространстве главных деформаций Сі действительные деформированные состояния описываются первым октантом. Согласно свойствам определителей

det С = det (НСН) = 1.

Поэтому главные значения тензора Коши для идеального жесткопластического тела должны быть связаны соотношением

С1С2С3 = 1, (10)

которое с учетом (9) определяет в пространстве Сі гиперболическую поверхность третьего порядка &, расположенную в первом октанте. Она представлена на рис. 1 сечениями плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

Тензор деформаций Коши Сіу связан с тензором конечных деформаций Альманси Еіу (3) соотношением

Еу = |(8у - Су), С' = 1 - 2Е', С2 = 1-2Е2, Сз = 1 - 2Е3. (11)

Согласно (11), пространство главных значений тензора Альманси получается из пространства главных значений тензора Коши сменой координатных направлений Сі на противоположные, изменением масштаба и переносом начала координат в точку О1 (1,1,1) (рис. 1). Поверхность £ изображает все возможные деформационные состояния идеального же-

сткопластического тела при условии несжимаемости. Точка О изображает исходное недефор-мированное состояние.

Р и с. 1. Деформационная поверхность в пространстве главных напряжений

Р и с. 2. Проекции линий уровня Е1+Е2+Е3=к на девиаторную плоскость

Уравнение поверхности £ в пространстве Еі имеет вид

(1 - 2Еі )(1 - 2Е2 )(1 - 2Ез ) = 1 (12)

или

-ІЕ + 211Е - 4IIIЕ = 0, (13)

IЕ = Е1 + Е2 + Е3 , 11Е = Е1Е2 + Е1Е3 + Е2 Е3 , 111Е = Е1Е2 Е3 •

Уравнение (13) задает возможные деформированные состояния в пространстве главных инвариантов тензора Ец в виде плоскости.

Рассмотрим проекцию поверхности £ на девиаторную плоскость с нормалью, равнонакло-ненной к осям Еі (рис. 2), на которой представлены проекции линий уровня (линий пересечения поверхности і с плоскостью, параллельной девиаторной плоскости, расположенной на расстоянии к до начала координат (к = (Е1 + Е2 + Е3) />/3).

Поверхность і обладает симметрией относительно трех плоскостей проходящих через координатные оси и линию равнонаклоненную к осям координат, что следует из симметрии уравнения (12) относительно Еи Е2, Е3.

Будем изображать процессы деформирования частиц идеального жесткопластического материала линиями Ь расположенными на поверхности £ (рис. 2).

3. Простые процессы деформирования. Рассмотрим поле скоростей вида

^1 = х1£1(ґ) , ^2 = х2£2(ґ) , П = Х3£3(ґ) . (14)

Из (14) компоненты тензора скоростей деформаций определяются в виде

£11 = £1(ґ), £22 = £2(ґ), £33 = £3(ґ), £12 = £13 = £23 = 0, (15)

т.е. £і (ґ) — главные значения тензора скоростей деформаций в выбранной декартовой системе координат.

Деформирование в поле скоростей (14) можно рассматривать как процесс однородного деформирования прямоугольного параллелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям. При этом три грани движутся вдоль координатных осей со скоростями V (ґ) соответственно, а три других остаются в координатных плоскостях.

Рассматриваются квазистатические процессы, в которых физическое время не учитывается, и время ґ является параметром, поэтому из трех функций £і (ґ) одну можно задать произ-

вольно, например, £1 (ґ) ° 1. В этом случае из (2) следует

£1(0 = 1, £2 =-1 -£,(/), (16)

и только одна функция е3(/) определяет процесс деформирования в пространстве Е(линию на поверхности <£).

При условии (14) уравнения (4) преобразуются к виду

^ + (2ЕП -1)0 = 0, ^ + (2Е22 - 1)в2(/) = 0, ^ + (2Е33 - 1)0 = 0,

dt

dt

dt

^ + ЕХ2є2(і) = 0, + El363(t) = 0, + E2зЄз(t) = 0.

34 ' 12~2\'^ ' 7 34 13~3\'^ ' 7 34 2Г3\'/

(17)

а/ т т

Пусть деформационный процесс начинается из недеформированного состояния (точка О1 на рис. 1, 2):

Е у |/=0 = 0, /, у = 1,2,3.

Система уравнений (17) при начальных условиях (18) имеет решения

(18)

E12 = E 13 = E23 - 0,

e і=2 (- е^- (t >),

і = 1,2,3,

(19)

03,83 ’^3

где X г- (/) = -21 е г- (/)С/.

0

Из (19) следует, что главные направления тензоров Е у, е у совпадают в любой момент времени с направлением координатных осей.

Уравнения (19) с учетом (16) можно записать в виде сУ Е Е

Е1 = 1 (1 - ^), Е2 = 1 (1 - е2/-Х3(/>), Е3 = 1 (1 - еХ3(/>) .(20)

Функция е3 (/) должна быть интегрируемой и может иметь точки разрыва первого рода. Пусть в момент времени / = /* функция е3 (/) имеет разрыв

[е3(/*)] = е+ (/*) - е- (/*).

(5 2,Е2,Е2

Р и с. з. Схема простого деформирования

(21)

Значениям Є+ (t*) и є3 (t*) соответствуют следующие векторы приращения деформаций в пространстве E3, лежащие в касательной плоскости к поверхности S:

dE± = ie~2u + j[l + є±]e2t*-t3(t*) + кє±(t*)eХз(ь), (22)

где i, j, к — единичные векторы системы координат Ej.

Угол между векторами dE- и dE + определяется соотношением

dE +• dE -

cos j = I--л------і-.

\dE + • \dE-

Изменение значения є (t* )J определяет угол j в интервале [0, ±p], в частности, при

A(^-1)

[Єз ] =

(є-)2 -1

A = е-4 x3(t*), b = e

4t*

- AB - A

2

Вектора СЕ- и СЕ + имеют противоположное направление.

Указанное замечание означает, что выбор функции е3(/) определяет все возможные непрерывные кривые деформирования на поверхности «?. Вместе с этим, каждой непрерывной кривой будут соответствовать и другие деформационные процессы, происходящие в условиях несовпадения главных направлений тензоров Еу и еуу.

4. Частные случаи деформационных процессов. Осесимметричная деформация реализуется при условии

Є2 (t) = Є3 (t), E3(t) ° E2(t).

(23)

Условию (23) будет соответствовать кривая сечения поверхности ё с плоскостью, проходящей через ось Ei и нормаль к девиаторной плоскости. Ее проекция на девиаторную плоскость будет совпадать с проекцией оси x1 (рис. 2)

В частном случае осессимметричная деформация может происходить при постоянных значениях Ej, например при е3 = 1, £j = e2 = -1. Это условие соответствует процессу деформирования цилиндрического образца при одноосном растяжении.

При е3 =—1, e1 =e2 = 22 определяется процесс одноосного сжатия цилиндрического образца.

Плоская деформация реализуется при

£з(/) ° 0, Ез(Г) ° 0. (24)

Условию (24) будет соответствовать кривая сечения поверхности ё координатной плоскостью Е3 = 0. Ее проекцией на девиаторную плоскость будет кривая Li (рис. 2).

Плоская деформация также может происходить при постоянных £j. При £3 = 0, £1 = 1, £2 = — 1 определяются процессы растяжения и сжатия образцов при плоской деформации.

Плоская деформация может происходить на поверхностях разрыва скоростей перемещений, в центре веера линий скольжения [5]. Эти процессы изображены пунктирной линией.

Возможны и другие процессы деформирования в условиях плоской деформации.

Пусть до некоторого момента времени t* деформирование происходило в условиях осесимметричной деформации (прямая, совпадающая с проекцией оси Е1 — AB, рис. 2), а при t > t* деформирование осуществляется в условиях плоской деформации при Е1 = const (пунктирная кривая BC , рис. 2). Аналогичный процесс подробно описан в [5] при рассмотрении одноосного растяжения цилиндрического образца с разрушением: первый этап накопления деформаций соответствует простому деформированию в однородном поле скоростей перемещений, второй этап описывает деформации частиц на поверхности разрыва скоростей перемещений в вершине трещины.

С точки зрения геометрии поверхности ё интерес представляют линии уровня Ie = const:

m—2E1 )(1—2 E2 )(1—2 e3 )=i

Ie+e2+e3=h.

Деформационные процессы, соответствующие этим линиям, также могут быть реализованы при простом деформировании выбором соответствующей функции £3 (t). Этим линиям уровня можно поставить в соответствие семейство ортогональных к ним меридиональных кривых, соответствующих деформационным процессам, начинающихся из недеформированного состояния (точка O1, рис. 1,2).

5. Условия разрушения. С точки зрения идеального жесткопластического тела условия разрушения должны содержать величины, входящие в определяющие уравнения модели, такие как тензоры деформаций, напряжений, производные по пространственным переменным и времени:

Ok (Ej, £j, Sj,...) = 0 k = U.N ,

где Ok — изотропные функции тензорных аргументов, N определяется моделью разрушения.

Стандартные экспериментальные исследования по растяжению плоских и цилиндрических образцов показывают, что разрушения материалов происходит при определенных деформациях. При этом экспериментально определяемые характеристики разрушения (8, у — относительное удлинение и сужение образца при разрушении) могут служить основой для

*

вычисления соответствующих значений Еj (см. [5]). Эти эксперименты определяют

минимальную систему точек на поверхности ё, которая может быть аппроксимирована некоторой кривой вида О (Е, Е2 Е3) = 0

<! (26)

[(1 — 2 Е )(1 — 2 Е2 )(1 — 2 Е3 ) = 1.

Это позволяет постулировать: при пересечении кривой, соответствующей процессу деформирования, линии (26) происходит разрушение материала

В качестве аппроксимирующих кривых естественный интерес представляют линии уровня (25), так как эти линии всегда пересекаются меридиональными процессами деформирования и, в частности, кривыми, соответствующими стандартным испытаниям на одноосное растяжение-сжатие. Поэтому положение кривой (25) с определенной степенью приближения может быть определено экспериментально для каждого конструкционного материала.

Вместе с тем из опыта известно, что даже при небольших циклически изменяющихся пластических деформациях происходит разрушение практически всех материалов. Поэтому в уравнениях (26) должны быть включены параметры, учитывающие историю деформирования частиц материала. Одним из основных параметров истории деформирования является удельная диссипация энергии

D = К° уЛ ,

совершенная частицей. Уравнения (26) при этом примут вид

б (ЕьЕ2,Е3,D) = 0,

\ 1 2 3 (27)

[(1 - 2 Е1 )(1 - 2 Е2 )(1 - 2 Е3 ) = 1

или в частном случае

Г Е1 + Е2 + Е3 =

[(1 - 2Е1 )(1 - 2Е2 )(1 - 2Е3 ) = 1.

Уравнения (28) означают, что критическая линия уровня, определяющая момент разрушения каждой частицы, приближается к недеформированному состоянию в процессе пластического деформирования соответственно диссипации энергии. Функция h(D) должна определяться экспериментально.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Быковцев Г. И., Ивлев Д. Д. Теория пластичности. — Владивосток: Дальнаука, 1998. — 529 с.

2. Хромов А. И. Локализация пластических деформаций и разрушение идеальных жесткопластических тел// Док-

лады РАН, 1998. — Т. 362, № 2. — С. 202-205.

3. Козлова О. В., Хромов А. И. Константы разрушения для идеальных жесткопластических тел// Доклады РАН,

2002. — Т. 385, № 3. — С. 342-345.

4. Хромов А. И. Разрушение жесткопластических тел, константы разрушения//Известия РАН. МТТ. 2005. № 3.

С. 137-152.

5. Хромов А. И., Козлова О. В. Разрушение жесткопластических тел. Константы разрушения. — Владивосток: Дальнаука, 2005. — 159 с.

6. Хромов А. И. Деформация и разрушение жесткопластической полосы при растяжении// Известия РАН. МТТ, 2000. — № 1. — С. 136-142.

Поступила 17.01.2006 г.