CC BY
47
УДК 530.18+524.1
РАСШИРЕНИЕ ЛОРЕНЦЕВОЙ СИММЕТРИИ ДО КОНФОРМНОЙ В ПРЕДЕЛЕ СВЕРХВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ
И. А. Вернигора, Ю.Г. Рудой
Российский университет дружбы народов,
117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.
E-mails: rudikar@mail.ru, wenera83@mail.ru
Предложено теоретико-групповое обоснование оригинального подхода Киржни-ца и Чечина, позволяющего первичным протонам космических лучей сверхвысоких энергий преодолеть энергетический предел Грейзена—Зацепина—Кузьмина {около 50 ЕэВ) в рамках обычных представлений о физической природе внегалактических источников. Показано, что явный вид множителя, деформирующего лоренцев инвариант в пространстве энергий-импульсов, может быть установлен на основе приближенного перехода от лоренцевой симметрии к конформной при значениях лоренц-фактора порядка Ю10 -f- 1011.
Ключевые слова: группа Лоренца, конформная группа, космические лучи, предел Грейзена—Зацепина—Кузьмина, сверхвысокие энергии.
Введение. Общая характеристика проблемы ГЗК. Вот уже более полувека в астрофизике космических учей (КЛ) в области сверхвысоких энергий от экза- (ЕэВ = 1018 эВ) до зетаэлектронвольт (ЗэВ = 1021 эВ) остается нерешенной проблема существования предела Грейзена—Зацепина—Кузьмина (ГЗК), теоретически установленного в рамках стандартной релятивистской астрофизики одновременно и независимо в работах [1] и [2]. Согласно этим работам, распределение по энергиям протонной компоненты первичных КЛ должно резко обрываться в области энергий порядка -Егзк 5 • 1019 эВ за счёт потерь энергии протонов на фоторождение пионов в реакциях вида р+7 —> р+7Г° или р+7 —>• п+7Г+ (с последующим /5-распадом п —> р+е~+ие). Здесь 7 — «мягкие» ИК-фотоны реликтового космического излучения, которые в системе покоя протонов первичных КЛ соответствуют жесткому гамма-излучению.
Однако экспериментальный статус предела ГЗК все еще остается не вполне определенным (см. [4,5], а также обзоры [7,8]). Это связано как с недостаточной статистикой событий в области энергий -Егзк ~ 50 ЕэВ, так и с трудностью их идентификации. Имеются, однако, серьезные основания полагать, что транс-ГЗК-события все же имеют место, поэтому остается актуальной проблема теоретического обоснования подобной возможности.
Гасчёты, проведённые в [1] и [2] (см. также [3]), показывают, что протоны имеющие энергию покоя Ео ~ 1 ГэВ, а в лабораторной системе отсчёта — энергию Егзк и лоренц-фактор 7 = Ерзк/Ео ~ 5 • Ю10, должны практически полностью потерять свою энергию за время т ~ (1,0 41,5) • 108 лет, проходя при этом расстояние от источника, не превышающее I ~ ст = 30 4 50 Мпк.
Отсюда следует, что источник протонов столь высоких энергий («зева-трон») должен быть «галактическим», т. е. находиться внутри Местного сверх-
Ирина Александровна Вернигора, аспирант, каф. теоретической физики. Юрий Григорьевич Рудой (д.ф.-м.н., проф.), профессор, каф. теоретической физики.
скопления галактик. Согласно диаграмме Хилласа (см. [4,5]), таким источником могли бы быть «горячие пятна» радиогалактик — например, М87-Вирго или М82, расположенных на расстоянии порядка 15 4 25 Мпк от Земли, а также остатки сверх- или гиперновых и/или гамма-всплески (см. [6]).
Очевидно, что регистрируемый посредством наземных ШАЛ поток протонов от такого рода «единичных» внутригалактических источников должен быть существенно анизотропным, однако имеющиеся наблюдения такому выводу противоречат [4, 5]. Поэтому реальными кандидатами на роль «зева-тронов» являются внегалактические источники, например, активные ядра галактик, но тогда протонам КЛ пришлось бы пройти расстояния не менее 150 Мпк. Последнее явным образом превышает предполагаемый ГЗК-предел, так что возникает (по крайней мере теоретически) проблема преодоления этого предела.
Идея Киржница-Чечина по преодолению предела ГЗК. Попытки подобного преодоления можно разделить на две группы. Одна из них, называемая подходом «новой физики» (см., например, [9]), рассматривает возможности внутригалактического рождения изотропно распределенных транс-ГЗК-про-тонов в процессах распада некоторых реликтовых объектов.
Однако значительно ранее, начиная с работы Киржница и Чечина [10] (см. также Коулмен и Глэшоу [11] и более поздние работы [12-14]), рассматривалась и другая — на наш взгляд, более реалистическая — возможность: оставаясь в рамках «обычной физики» найти ресурсы её «деформации», в принципе допускающие преодоление предела ГЗК. К сожалению, пионерская работа [10] была впервые замечена и процитирована в зарубежной литературе лишь спустя четверть века в [12]. Согласно [10,11], подобную роль могло бы сыграть отклонение от лоренцевской кинематики при столь высоких значениях лоренц-фактора 7.
В [10] этот подход был сформулирован лишь на полуфеноменологическом уровне, поэтому целью данной работы является более строгое теоретикогрупповое обоснование подхода Киржница и Чечина [10] и проведение на этой основе численных оценок преодоления ГЗК-предела. Исходная идея состоит в том, что при сверхвысоких значениях энергии и лоренц-фактора 7 в кинематике любых массивных частиц появляются «конформные» поправки по степеням 1/7 (отсутствующие для безмассовых частиц в пределе 1/7 = 0).
Выражение для времени прохождения протонов. Согласно [1—3], время прохождения протонов со стартовой энергией Е в ЛСО даётся выражением
Здесь А — размерная постоянная; п7(є) — равновесное планковское распределение (с температурой Т = 2,7 К) фотонов реликтового излучения с энергией є и концентрацией рз 400 см-3; 0 ^ є1 ^ 2^є] 7 = Е/Ео — лоренц-фактор перехода из ССО протона в СЦИ протона и фотона; сг(єг) —сечение фоторождения пионов, К {є') — коэффициент неупругих потерь энергии протона, имеющий вид К(є') = (1/2){1 — Lp(e')} = (1/2){1 — A/S'(e/)}; А = = М2 — m2 = const > 0; М, m — массы протона и пиона, m = 0,14М; S(er) = = М2 + 2Мє' — лоренц-инвариант; е„ор = m(l + mM/2) рз 1,07т — пороговая
(1)
энергия рождения пиона, причём К(е„ор) ~ 0,12. Очевидно, что вид входящих в (1) функций п7(е) и (т(ег) задан однозначно, и только функцию К(е') (а следовательно, и величину т~1(Е)) можно в принципе изменить посредством изменения лоренц-инварианта 5'(е/).
Подходы к деформации лоренцевской кинематики. Именно эта логика лежит в основе подхода Киржница и Чечина [10], стартующего с лоренц-(Х)-инварианта в пространстве энергий и импульсов:
1ь(р- Ео) = Е2-р2 = 1Ь(0; До) = Е2- Еь(р- Е0) = (Е20 + р2)1/2, (2)
где Е^(р] Ео) — лоренцев закон дисперсии. Для величин /3 = Уь (скорости частицы) и лоренц-фактора 7 имеем (при с = 1):
\ь(р; Е0) = дЕь(р; Е0)/др = р/Еь(р; Е0), ьь(р] Е0) = \уь(р] Е0)\ ^ 1; (3)
1(р]Ео)=Еь(р]Ео)/Ео^ 1, 1/~/2(р]Е0)=1-У2ь(р]Е0), 0<1/7(р; £Ь)<1. (4)
В контексте данной работы особый интерес представляет предельный случай безмассовой частицы (Ео = 0), для которого
1ь(р] 0) = 0, Еь(р; 0) = р, ьь(р] 0) = 1, 1/7(р; 0) = 0. (5)
Феноменологический подход Киржница и Чечина [10] . Поскольку лорен-цева кинематика (2)—(5) приводит к пределу ГЗК для (1), Киржниц и Чечни [10] конструируют вместо (2) новое выражение для инварианта 1(р] Ео) — и, следовательно, для закона дисперсии Е(р-,Ео). С этой целью выражение для 1ъ(р',Ео) умножается в [10] на скалярный множитель /(р-,Ео), который определяется на основе чисто феноменологических соображений.
В частности, поскольку согласно (2) и (3) 1ь(р',Ео) = Е2[1 — у2ь(р-, Ео)], авторы полагают естественным (в рамках идеи о «минимальной» деформации) искать /(р; Ео) в виде /(г>£(р; Ео)), что с учётом (4) равносильно /(72(р; Ео)). В [10] предполагается, что в безмассовом пределе 72 —> оо (и, соответственно, VI, —> 1) функция /(72) имеет конечный предел /(оо) (вообще говоря, отличный от 1); очевидно, такое предположение не влияет на закон дисперсии безмассовых частиц, поскольку для них 1(р-, 0) = /(оо)1ь{р~, 0) = 0, где учтено свойство (5).
Окончательно Киржниц и Чечин [10] получают для функции Д72) выражение (формула (19) в работе [10]):
/(72) ~ 1 + М74, М74 ^ 1, |а| ~ 10—44, 7 ~ 7о = 1011. (6)
Основная идея данной работы состоит в построении уточненного выражения для «деформирующего» множителя Д72), который мы будем называть конформным множителем и обозначать С*(£2), где величина £ = 7-1 рассматривается как малый параметр. Для удобства сравнения результатов нашей работы с работой [10] мы будем обозначать функцию С((2) как д(72).
Оставаясь в целом в рамках логики работы [10], мы предлагаем дополнительную идею, состоящую не просто в некотором феноменологическом «нарушении» группы преобразований Лоренца—Пуанкаре, а в её расширении до
хорошо известной конформной группы Вейля—Фока. Для этого следует заменить лоренцев скаляр 1^(Р]Ео), инвариантный при любых значениях Ео и £, на конформный скаляр 1с(р',Ео) = С(£)Iь(Р] Ео), который является точным инвариантом только в безмассовом случае1: Ео = 0, £ = 7-1 = 0, когда в соответствии с (5) имеем 1с(р', 0) = C(£)Il(p', 0) = 0. Именно это обстоятельство указывает естественный путь построения теории возмущений для С(£) по малому параметру £ = 7-1 <С 1.
Теоретико-групповой подход. Наиболее удобным и естественным инструментом такого подхода являются преобразования конформной группы, причём для наших целей достаточно ограничиться лишь преобразованиями Мёбиуса С4(c), известными как «специальные конформные» преобразования.
Под действием этих преобразований любой 4-вектор Р переходит в Рс = = С(Р]с)Р, где матрица С зависит от Р, и, кроме того, определяется произвольным 4-вектором с. Преобразование С(Р; с) имеет явный вид:
Рс = С(Р]с)Р + АР(Р]с), АР(Р-с) = С(Р-с)сР\ Р2 = С(Р] с)Р2 (7)
и является нелинейным, неоднородным и анизотропным масштабным преобразованием, причем конформный множитель С(Р] с) даётся выражением
С(Р; с) = [а(Р; с)}~\ а(Р; с) = 1 - 2сР + с2Р2 = с2(Р - с/с2)2. (8)
Как видно из (7), где вообще С ф 1, лоренц-инвариантная величина Р2 = Eq не всегда является конформным инвариантом; исключением является Р2 = 0 (при Ео = 0и£ = 0). Физически ясно, что для ненулевых, но малых значений Ео и £ <С 1 конформный множитель С(Р] с) при ^ < 1 мало отличается от С(0; с) = const.
Перейдём от 4-векторов энергии-импульса Р(Е, р) к их безразмерным или однородным аналогам V(E, р) = Р(Е, р)/Е = (1, р/Е). Тогда согласно кинематике (2)-(4) вектор Vl(E, р) = (1, Eq)) имеет смысл 4-вектора скорости, причём V£ = I/72, (V£B)2 = 0, так что лоренц-(Ь)-инвариантом является величина 72V^ = 1.
Численные оценки возможного преодоления предела ГЗК. Ограничим далее выбор вектора с в C(V, с) выделенным направлением AV, где А = —cry*, а > 0 —численный множитель порядка 1Ч-102, 7* = Е*/Ео 1 —характеристическое значение лоренц-фактора; например, для Ео ~ 1 ГэВ целесообразно принять Е* = -Епланк ~ 1,2-1019 ГэВ, 7* ~ 1019,так что 7*/7гзк ~ 108Ч-109.
В результате конформный множитель C(V, AV) = (1 — AV2)~l ^ 1 принимает вид
g(l2) = (1 + а7*7“2) ~ 1 -а7*7“2, (9)
в ряде отношений отличный от выражения (6), полученного Киржницем и Че-чиным [10]: прежде всего, как и должно быть, g(j2) ^ 1, тогда как /(72) ^ 1. Кроме того, д(72) имеет точку перегиба и конечный предел д(72) —> 1 при 7 —>■ оо, тогда как для получения конечного значения монотонно растущей функции /(72) при 7 —> оо требуется добавление в правую часть (6) слагаемых вида — | /5| 76.
13десь предполагается, что величина 0(0), по смыслу совпадающая с /(оо) из [10], от-
лична от нуля; ниже это находит подтверждение (см. формулу (9)).
В заключение рассмотрим, какое влияние на время прохождения протонов (1) окажет замена входящего в коэффициент неупругости К лоренцева инварианта 5^ на конформный инвариант Sc = gSb, g ^ 1- Опуская всюду аргумент е, имеем: Kl = 1/2(1 — р), р = A/Sl, A > 0, p ^ 1, так что 0 ^ Kl ^ 1; с другой стороны, Kc = 1/2(1 — Хр), где Л = Sl/Sc = (1 /д) ^ 1.
Пусть по астрофизическим соображениям требуется увеличить время и расстояние прохождения протонов с энергией Егзк в (1/??) 5^ 1 раз: 1с/1ь = = тс/ть = 1/г], так что Kc/Kl = г? ^ 1 и Л = (1/р)[1 — r]( 1 — р)\. Учитывая, что согласно (9) при Егзк имеем Л & 1+а(5-10_3), находим a & 2 • 102 (1 — rj)x х [(1/р) — 1]. Далее, ограничиваясь значением Kl = 0,12 на пороге фоторождения пионов, находим р = 0,76, откуда а ~ 66(1 — rj). Для прохождения протонами внегалактического расстояния ~ 150 4- 200 Мик достаточно положить г] ~ 0,25, что даёт а ~ 50.
Заключение. В работе показано, что идею пионерской работы Киржни-ца—Чечина [10] о слабом «нарушении» лоренц-инвариантности необходимо дополнить идеей её расширения до конформной инвариантности. Это позволяет при разумных значениях конформных параметров увеличить расстояние, проходимое первичными протонами KJ1 сверхвысоких энергий, до 150 4 200 Мпк (или более), т.е. преодолеть предел ГЗК (соответствующий значениям лоренц-фактора ~ Ю10 4 Ю11), если это будет востребовано для описания предстоящих широкомасштабных экспериментов — как на действующих установках «Пьер Оже», HiRes, AGASA, «Якутск», так и на планируемой установке EUSO.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Greisen К. End to the cosmic-ray spectrum?// Phys. Rev. Lett., 1966. Vol. 16, no. 17. Pp. 748-750.
2. Зацепин Г. Т., Кузьмин В. А. О верхней границе спектра космических лучей // Письма в ЖЭТФ, 1966. Т.4, №3. С. 114-117; англ. пер.: Zatsepin G. Т., Kuz’min V. A. Upper limit of the spectrum of cosmic rays // JETP, 1966. Vol. 4, no. 3. Pp. 78-80.
3. Stecker F. W. Effect of photomeson production by the universal radiation field on the high-energy cosmic rays// Phys. Rev. Lett., 1968. Vol. 21, no. 14. Pp. 1016-1018.
4. Панасюк М. И. Странники Вселенной, или эхо Большого взрыва. Фрязино: Век 2, 2005. 267 с. [Panasyuk М. I. Wanderers of the Universe or the Big Bang Echo. Fryazino: Vek 2, 2005. 267 pp.]
5. Засов А. В., Постное К. А. Общая астрофизика. Фрязино: Век 2, 2006. 496 с. [Zasov А. V., Postnov К. A. General astrophysics. Fryazino: Vek 2, 2006. 496 pp.]
6. Птускин В. С. О происхождении галактических космических лучей // УФН, 2007. Т. 177, №5. С. 558-565; англ. пер.: Ptuskin V. S. On the origin of galactic cosmic rays// Phys. Usp., 2007. Vol. 50, no. 5. Pp. 534-540.
7. Иванов А. А., Кнуренко С. П., Правдин И. М., Красильников А. Д., Слепцов И.Е. Поиск внегалактических источников космических лучей в области предельных энергий // Извест. РАН. Сер. Физическая, 2009. Т. 73, №5. С. 581-583; англ. пер.: Ivanov А. А., Knurenko S. P., Pravdin М. Krasilnikov A. D., Sleptsov I. Е. A search for extragalactic sources of cosmic rays in the ultra-high energy domain // Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics, 2009. Vol. 73, no. 5. Pp. 544-546.
8. Olinto A. V., Adams H. J., Dermer C. D. et al. White paper on ultra-high energy cosmic rays: http://iihecr.uchicago.edu.
9. Berezinsky V. S. Ultra-high energy cosmic rays // Nucl. Phys. B., 2000. Vol. 81. Pp. 311-322.
10. Киржниц Д. А., Чечин В. А. Космические лучи сверхвысоких энергий и возможное обобщение релятивистской теории// Ядерн. физ., 1972. Т. 15, №5. С. 1051-1059.
[Kirzhnits D.A., Checkin V. A. Ultra-high energy cosmic rays and possible generalization of the relativistic theory // Yadern. Fiz., 1972. Vol. 15, no. 5. Pp. 1051-1059].
11. Coleman S., Glashow S. L. High-energy tests of Lorentz invariance // Phys. Rev. D, 1999. Vol. 59, no. 11, 116008. 14 pp.
12. Gonzalez-Mestres L. Deformed Lorentz symmetry and high-energy astrophysics (I), 2000, arXiv: physics/0003080 [physics.gen-ph].
13. Scully S. T., Stecker F. W. Lorentz invariance violation and the observed spectrum of ultrahigh energy cosmic rays// Astroparticle Physics. Vol. 31, no. 3. Pp. 220-225, arXiv: 0811.2230 [astro-ph].
14. Jacobson T., Liberati S., Mattingly D. Astrophysical bounds on Planck suppressed Lorentz violation// Led. Not. Phys., 2005. Vol. 669. Pp. 101-130, arXiv: hep-ph/0407370.
MSC: 83B99, 85A99
EXTENSION OF THE LORENTZ SYMMETRY UP TO CONFORMAL IN THE LIMIT OF ULTRAHIGH ENERGIES
I. A. Vernigora, Yu. G. Rudoy
People’s Friendship University of Russia,
6, Mikluho-Maklaja St., Moscow, 117198, Russia.
E-mails: rudikarSmail.ru, wenera83@mail.ru
The group-theoretical justification is presented for the original approach by Kirznits and Chechin which allows for the primary protons of ultra-high, energy cosmic rays to overcome the energetic limit (about 50 EeV) of Greisen-Zatsepin-Kuzmin remaining in the scope of the usual ideas about the nature of the extra-galactic sources of the cosmic rays. It is shown that the explicit form, of the factor deforming the Lorentz invariant in the energy-momentum space may be found on the grounds of the approximate transition from, Lorentz symmetry to the conformal values of the Lorentz-factor of the order 1010 -f-1011.
Key words: Lorentz group, conformal group, cosmic rays, Greisen-Zatsepin-Kuzmin limit, ultra-high, energy.
Original article submitted 21/XII/2010; revision submitted 04/IV/2011.
Irina A. Vernigora, Postgraduate student, Dept, of Theoretical Physics.
Yuriy G. Rudoy (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Dept, of Theoretical Physics.
