CC BY
28
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 150, кн. 1
Физико-математические пауки
2008
УДК 517.958
РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА СИСТЕМЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ
ЭКРАНОВ
А.Н. Гордеева, Д.Н. Ту,маков
Аннотация
Исследована задача дифракции плоской ТЕ-поляризованной электромагнитной волны па металлических пластинах, расположенных в двух параллельных плоскостях. Исход-пая задача сведена к системе интегральных уравнений с логарифмической особенностью в ядрах относительно скачков напряженности магнитного поля при переходе через металлические экраны. Полученная система решена численно методом Галеркина с базисными функциями полипомами Чебышева. Построены графики плотности энергии рассеянного поля для задач рассеяния па двух пластинах, расположенных рядом и друг пад другом. Доказана теорема единственности решения задачи рассеяния в пространстве И11°С(К2).
Ключевые слова: дифракция, ТЕ-поляризованная электромагнитная волна, уравнение с логарифмической особенностью, метод Галеркина, полипомы Чебышева, теорема единственности.
Введение
В работе исследована задача рассеяния (дифракции) плоской ТЕ-поляризованной электромагнитной волны на металлических пластинах, расположенных параллельно. История развития подходов к решению задач дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих тонких экранах подробна рассмотрена в [1]. Заметим, что частным случаем является задача дифракции электромагнитной волны на одном экране, которая относится к числу классических в электродинамике. При решении данной задачи применялись в основном метод моментов, метод конечных элементов и метод Галеркина с выбором простейших базисных и пробных функций (подробный обзор см. в [2]). Задачи дифракции на периодических решетках, в том числе и многослойных, исследованы с использованием задачи Римана Гильберта в [3].
В настоящей работе задача сформулирована в виде краевой задачи для уравнения Гельмгольца с граничными условиями «на металле», решения которой ищутся в классе уходящих на бесконечность волн [4]. Уравнение Гельмгольца рассмотрено отдельно в плоском слое, в верхней и нижней полуплоскостях [5]. разделенных прямыми, проходящими через плоскости, в которых расположены экраны. Образы Фурье следов на границах каждой из областей нормальных производных и самой искомой функции связаны соотношениями, полученными в [6] и [7]. Эти соотношения использованы при анализе исходной задачи.
Исследуемая задача сведена к системе интегральных уравнений с логарифмической особенностью в ядрах относительно скачков магнитной напряженности при переходе через металлические экраны. Полученная система решена численно методом Галеркина с базисными функциями полиномами Чебышева. Рассмотрены
\ z \ \ ui, Vi Di \\\
a u+ D2
0 u3, V3 D3
Рис. 1
частные случаи: задачи рассеяния на одной пластине и на двух пластинах, расположенных рядом и друг над другом. Приведены графики распределения плотности энергии поля для задач рассеяния на двух пластинах.
Обоснование существования решения задачи рассеяния на металлических экранах выходит за рамки данной статьи и может быть доказано стандартными методами (см.. например. [8]). Доказательство единственности решения задачи приведено в последнем пункте. Для удобства рассуждений рассмотрены не классические, а обобщенные решения из класса И11°С(М2) с дополнительными условиями па бесконечности.
1. Постановка задачи
Перед тем. как перейти к постановке задачи, заметим, что рассеяние волны происходит в трехмерном пространстве, а бесконечные тонкие пластины представляют собой бесконечные полосы.
Пусть в плоскостях z = 0 и z = a декартовой системы координат размещены параллельно оси y идеально проводящие бесконечно тонкие пластины (в каждой плоскости их конечное число). Сверху (из области z > a) набегает плоская электромагнитная волна вида uo(x, z) = Ao exp (ik sin 9x + ik cos dz), где в - угол, z
ее дифракции. Ограничимся случаем, когда вектор E падающей волны также параллелен осп y (TE-поляризация поля). Поэтому можно искать решение задачи
y
Ненулевые компоненты электромагнитного поля в случае TE-поляризации выражаются [5] через потенциальную функцию u(x,z) = Ey (x, z), которая является решением двумерного уравнения Гельмгольца
d2u d2u ,9
Рассматриваемая задача может быть сформулирована как задача сопряжения
x0z
- верхняя полуплоскость D1 = {(x, z) : z > a}, вторая - полоса D2 = {(x, z) : 0 < < z < a}, расположенная между рядами пластин и, наконец, третья - нижняя полуплоскость D3 = {(x, z) : z < 0}.
z=a
обозначим через M1 проекцию па ось x части, соответствующей металлическим
пластинам, и через N1 проекцию части без металлических пластин (М\ и 1Я\ = = Д). Будем называть пластинами отрезки, соответствующие множеству М1. Аналогично поступим и с границей сопряжения нижней полуплоскости и полосы: обозначим через М2 часть линии г = 0, соответствующую металлическим пластинам, а через N2 - часть без металлических пластин.
Обозначим через и1(ж) предельные значения искомой функции Еу (ж, г) при стремлении г к а сверху, а через VI (ж) — предельные значения Нж(ж, г) (или, как следует из системы Максвелла, с точностью до постоянного множителя нормальной производной дЕу (ж, г)/дг). Для предельных значений функции и нормальной
ж
из(ж) и «з (ж). Парами функций и+ (ж), (ж) и и-(ж)) V— (ж) обозначим предельные значения Еу(ж, г) и Нж(ж, г) па верхней и нижней границах полосы соответственно.
В областях , Е2 и Е3 нужно найти решения уравнения (1) из класса распределений медленного роста на бесконечности, удовлетворяющие следующим условиям при г = 0 и г = а. Вне металлических пластин должны быть непрерывны касательные составляющие векторов Е и И. В нашем случае эти условия имеют
г>1(ж) = -у+(ж), «1(ж) = и+(ж) при ж £ N1,
(2)
V- (ж) = «з(ж), и- (ж) = из (ж) при ж £ N2.
Е
проводящих металлических пластинах равны нулю, что эквивалентно следующим условиям:
«1(ж) = и+(ж) = — ио(ж, а) при ж £ М1,
(3)
и2 (ж) = из(ж) = — ио(ж, 0) щи ж £ М2.
Условия па бесконечности определим следующим образом [4]: функция и(ж, г) должна быть ограничена на бесконечности или распространяться как волна (порождать волну, переносящую энергию) при ж2 + ,г2 ^ то.
Задача (1) (3) вместе с условиями на бесконечности представляет собой математическую модель процесса рассеяния на металлических экранах ТЕ-поляризованной электромагнитной волны, описываемой функцией ио(ж, г).
2. Сведение задачи дифракции к системе интегральных уравнений
Образы Фурье нормальных производных и самой искомой функции на границах полуплоскостей связаны соотношениями (см. [6]):
V! (С) — *7 (С) и (0 = 0,
(4)
V! (С)+ »7 (С) из (0 = 0,
а в полосе системой (см. [7])
[У2+ (О — »7 (С) (О] — (С) — »7 (О и- (С)] = 0,
(5)
—е»7(0 V- (О + ¿7 (О и— (С)] + (О + »7 (О (О = 0,
где
= 1С1 г^С^к^, 1С1 > *} •
Уравнения (4) и (5) для вещественных £ фактически заменяют собой уравнение (1). Таким образом, переходим от системы (1) (3) к системе (2) (5). которую и будем в дальнейшем решать.
При решении задач дифракции достаточно отыскать либо граничные значения самой функции, либо граничные значения нормальной производной [5 7]. Рассмотрим в качестве неизвестной граничные значения нормальной производной уп (х). Сведем исходную задачу (2) (5) к системе интегральных уравнений относительно У„(х).
2.1. Первое уравнение системы. Рассмотрим выражение У2+ (С) — — ¿7 (С) и+ (С) • Из уравнения (4) и условия (2) следует, что
+ж +Ж
(С) - »7 (С) Щ (0 = ^/ 4 е<а* С1х - ^¿7(0 / с1х =
— Ж — Ж
уЫ / 1 [ I г>2+(х)е"С с1х - ¿7(0^ ( / + / ) ¿х =
\М1 N1 / \М1 N1 /
= [ [г'з"(ж) - г'1(ж)] е*ж<- 3,х - ¿7 (С) —== [ (х) - «1(ж)] е*ж<- 3,х.
%/2-я" .] %/2-я" .]
М1 М1
С учетом условия «на металле» (3) получим
(С) - »7 (С) и+ (С) = | Ь+(х) - Ыж)] е-« с1х. (6)
М1
Тогда из первого уравнения системы (5) имеем
к- (о = н (0 щ (0 + у=е<О7(0 / К (*) - (*)] (7)
М1
Применив обратное преобразование Фурье к (7). получим
+ Ж + Ж
— Ж —Ж
где
+ Ж
П! (ж) = -1= | ^е"7^-) | [г,+ (г) - г>1 (г)] е^ <*те-<а* (8)
М1
Введем функцию
+ Ж
А'о(г,ж) = ^ I г7(С)ег(^)^С-
—Ж
Воспользуемся условием (2) и вторым уравнением (4). Получим
V— (х) = У [и— (т) — из (т)] Ко (т, х) ¿т — Уз (х)+^(х)
М2
Из условия «на металле» (3) следует, что интеграл в правой части полученного выражения равен нулю. Таким образом.
2«з (ж) = ^1 (ж) при ж £ N2. (9)
Из второго уравнения системы (4) получим
+ю
из (ж) = — J «з (т) К1 (т, ж) ¿т при ж £ М2, (10)
где ядро
к 1(т,х) = ±- [ (И)
2^ «7 (С)
— ю
Преобразуем уравнение (10), используя (3) и (9):
+ю
—и0 (ж 0)=из (ж)=— у «з (т) К1 (т,ж) ¿т=
— ю
= — J «з (т) К1 (т, ж) ¿т — J «з (т) К1 (т, ж) ¿т = N2 М2
■ J (6) Кг (6, х) ¿6 - ! (т) К\ (т, х) ¿т, х € М2. (12)
N2 М2
Подставим в первое слагаемое правой части (12) выражение (8) для П1(ж) и поменяем пределы интегрирования:
I „ I г + ;
I П! (6) Кг {6, х) М=-\I [г,+ (т) - гч (г)] К2 (г, ж) ¿т.
Здесь
К2 (т, ж) = У У ^ У сЫ е~и<: с16 е'гтС+"7(С) <К- (13)
2
N2 М1
+ю +ю
1
— ю N2 — ю
Запишем (12) как интегральное уравнение относительно функций гч(т), «з(т) и (т)
- У г'з (т) А'1 (г, ж) йт-^ У (т) - гч (г)] А'2(т,ж) йт = -г<,0(ж,0), ж€ М2. (14)
М2 М1
2.2. Второе уравнение системы. Преобразуем множитель во втором уравнении системы (5) к виду
(О + 'Н (С) Щ (0 = 4= I [г'2 (*) - 1>з (ж)] е-« сЬ. (15)
у2п 3
М2
Здесь сначала использовано условие (2), далее интегралы от У3(х) и и3(х) были дополнены до бесконечных и использовано второе уравнение (4). Наконец, из условия «на металле» (3) следует, что и— (х) = и3 (х). Второе уравнение (5) с учетом (15) приведем к виду
(С) = -¿7 (О и+ (С) + ^<О7(0 I [г>2- (ж) - г,3 (-г')] е<а* с1х. (16)
М2
Применим обратное преобразование Фурье к (16). Используя (2), (4), получим следующее выражение для функции (х):
(х) = — J [и+ (т) — и 1 (т)] Ко (т, х) ¿т — У1 (х) + ^(х), М1
+ Ж
П2(ж) = I | М - г.з (г)] е'^- с1т е~**< (17)
—Ж М2
Воспользуемся условиями (2), (3) и перейдем к функции У1 (х). Получим VI (х) = —VI (х) + ^2 (х) или
2у1 (х) = ^(х), х е N1. (18)
Из (3), (4) и (18) следует уравнение
-и0 (ж, а) = ! VI (т) К1 (т, х) 3,т + ^ J (т) А'1 (г, ж) ¿т. (19)
М1 N1
Второе слагаемое в правой части (19) в силу (17) будет иметь вид ^ I П2 (<*) 1<1 (6, х) ¿6=^ I [г>2- (г) - г,3 (г)] К3 (г, ж) ¿т.
N1 М2
Здесь через К3 (т, х) обозначен интеграл
+ Ж +Ж
А3(т, = ( [ е<07(с)е<тс е-<йс ¿С / ^те^'й й. (20) 4п2 у у 7 «7 (¿)
N1 —Ж —Ж
Уравнение (19) перепишем так:
J VI (г) А'1 (г, ж) с1т + ^ J [и^Г (г) - и3 (г)] А3 (г, ж) с1т = -и0 (ж, о), ж € Мь М1 М2
(21)
оно н будет вторым в системе уравнений.
2.3. Другие уравнения системы. Для того чтобы получить третье уравнение, проведем рассуждения, аналогичные использованным при выводе уравнения (9). С учетом того, что в данном случае х е М2, получим
v- (х) = —v3 (х) + У К (т) — v1 (т)] К4 (т,х) ¿т, х е М2, (22)
М1
К А (г, х) = У сК.
Четвертое уравнение выводится как и уравнение (18), но при х € М1. В этом случае
(х) = -VI (х) + У (т) - «з (т)] К4 (т,х) ¿г, х € Мх. (23)
М2
Таким образом, построение системы уравнений завершено.
Теорема 1. Задача (2) (5) эквивалентна системе интегральных уравнений (14), (21), (22) и (23) относительно предельных значений нормальной производной на металлических экранах «х(х), (х), V— (х) и г>3(х).
Доказательство. Ранее было показано, что решения системы (14), (21) (23) соответствуют решениям уравнений (2) (5). При этом были использованы невырожденные преобразования. Следовательно, из системы (14), (21) (23) обратными преобразованиями можно получить уравнения (2) (5), таким образом, решения этих двух систем уравнений будут эквивалентными. □
3. Анализ системы интегральных уравнений
Полученная система уравнений для численных расчетов очень неудобна, так как уравнения (14) и (21) под интегралами содержат ядра К2 (т, х) и К3 (т, х), которые определены как повторные интегралы (см. формулы (13) и (20)).
Запишем систему в другом виде, воспользовавшись формулами (12), (19), а также (22) и (23), выраженными через Пх(х) и П2(х) соответственно:
У г'з (т) К\ (г, х) с1т — У П1 (т) К\ (г, х) йт = «о (ж, 0), х £ М2,
М2 N2
У г>1 (г) 1<1 (г, х) с1т + \ У (т) А'х (г, х) с1т = -и0 (ж,
= —ио (х, а), х € Мх,
М1 N1
V— (х) = —«з (х) + О1 (х), х € М2, (х) = —«1 (х) + ^2(х), х € М1.
Сложим первое и третье уравнения полученной системы, предварительно умножив первое па 2, а третье — па К (х, г) и проинтегрировав его по х по множеству М2
/"3 (т >к ¿т + / 01 (т ¿т =
У V- (т) К1 (т,х) ¿т + 2и0 (х, 0), х € М2. (25)
М2
М2
Прообразуем второе слагаемое в левой части (25):
+ Ж
/ П1 (т) К1 (т,х) ¿т =
—Ж
+ Ж + Ж + Ж
= ¿ I [4 (*)-»!(*)] / / ¿/
М1 —Ж —Ж —Ж
Внутренний интеграл выразим через дельта-распределение. Воспользовавшись свойством дельта-распределения, получим
+ Ж + Ж
I П! (г) Кх (г, ж) = ^ У К (*) - (*)] I <*С Л.
—Ж М1 —Ж
Введем функцию
Ж
1 /• 1
М1
Кк (т г) — _ / _еЧт-х)(, га-у((,)
51 ' г7(С)
—Ж
Тогда уравнение (25) примет вид
У ^з (т) — V— (т)] К1 (т, х) ¿т + J (т) — V1 (т)] К5 (т, х) ¿т = М2 М1
= 2и0 (х, 0), х е М2. (26)
Теперь сложим второе уравнение системы (24). умноженное на 2. и интеграл по М1 от произведения четвертого уравнения на К1 (х, т). Получим
+ Ж
У v1 (т) К1 (т, х) ¿т + У П2 (т) К1 (т, х) ¿т =
—Ж
= У v+ (т) К1 (т,х) ¿т — 2и0 (х, а), х е М1. (27) М1
Преобразуем слагаемое, содержащее П2 (т):
+ Ж +Ж
У П2 (г) А'! (г, ж) <*т = ^ У [г.2- (*) - г.з (*)] У ¿^у^"*5^0
—Ж М2 —Ж
Таким образом, уравнение (27) преобразовано к виду
У [V! (т) — v+ (т)] К1 (т, х) ¿т + У [V— (т) — vз (т)] К5 (т, х) ¿т = М1 М2
= —2и0 (х, а), х е М1. (28)
Уравнения (26), (28), (22) и (23) дают новую систему уравнений, в которой ядра не содержат повторных интегралов.
Вводом дво вспомогательные функции
ад_(т)= «з (т) - V- (т), (т)= (т) - «1 (т) . (29)
Тогда уравнения (26) и (28) образуют независимую подсистему.
Теорема 2. Задача дифракции ТЕ-поляризованной электромагнитной волны на параллельных металлических экранах эквивалентна системе интегральных уравнений
! ад_(т)К (т, ж) ¿т + J (т)Кб (т, ж) ¿т = 2ио (ж, 0), ж €
М2 М1
(30)
J (т)К (т, ж) ¿т + J ад_(т)К (т, ж) ¿т = 2ио (ж, а), ж € М1 м1 м2
относительно скачков магнитной напряженности (т) и (т) при переходе через металлические экраны.
Доказательство теоремы 2 основано на взаимно однозначном соответствии системы (14), (21)—(23) и системы (30). Заметим, что искомые функции «1, «з и определяются из (29) и уравнений (22) и (23).
4. Численное решение
ТЕ
тромагнитной волны на отдельной пластине и на двух пластинах, расположенных рядом или друг над другом.
4.1. Рассеяние на одной пластине. В случае, если рассеяние происходит па одной металлической пластине с концами а и в) система уравнений (30) превращается в одно интегральное уравнение
в
J (т) К1 (т, ж) ¿т = 2ио(ж, 0), ж € [а, в] . (31)
а
Ядро данного уравнения, определенное формулой (11), выражается через функцию Ханколя второго рода (см. [5]):
А'1 (т, х) = трт^Г ( — ) Щ (к \т — ж|),
'I ^
2л/7Г
где к - волновое число. Известно [9], что
К\ (г, ж) = — 1п --г + г (г, ж) .
|т - ж|
Здесь функция г (т, ж) представляет собой регулярную часть интегрального уравнения.
Искомую функцию ш_(ж) будем искать в виде разложения по полиномам Че-[а, в]
_ 1 м „
и1 (ж) « —У апТп- 1(ж), ж £ [а, ¡3] , (32)
•у/(/3 — ж)(ж — а) ^^
П=1
они выражаются через классические полиномы Чобышова по формуле
Тп{х) = Тп ( " ж - 13+ а ) , п = 0,1,... \р — а р — а у
Интегралы будем вычислять по квадратурной формуле Гаусса в f(t) м
/ , JU = <ft /(жт) (33)
с узлами
в — а 2m — 1 в + а
жт = -cos-7Г И--, m = 1, .. ., М.
2 2М 2 ' ' '
Задача дифракции TE-поляризованной электромагнитной волны на отдельной
металлической пластине сводится к СЛАУ
N
^ап('Пки + rkn) = fk, k = 1,..., N (34)
n=1
относительно коэффициентов разложения искомой функции ^-(ж) по полиномам Чебышева a„, где
in2 1п(в — а), k = n = 1, п2/(2k), k = n =1,
0, k = n,
в в ~ ~
T„-i(t)__Tfc-i(x)
^{/3 -t)(t - a) ^(/3 - ж) (ж - a)
rkn = ~ J J r (r, x) ^ " /, „ ^ ' dt clx,
с правой частью
в ~
fk= [/(х) -¿ж.
7 V (в — ж)(ж — а)
Таким образом, если решена система (34). то согласно приближенной формуле (32) может быть найдена функция ^—(х). Для вычисления Д воспользуемся формулой (33), а для вычисления гкп формулу (33) применим дважды. Искомое поле найдем по формуле
в +Ж
= ^ у ^ м у —^—
где внутренний интеграл есть
:»7(5)z+iC(r-x)
i e"
7(e)
= -тгЯ,$2) (aV-s2 + (t - ж)2) .
Введем функцию G(,s, ж) = Н^ (k\/z2 + ж2). Тогда из (32) получим приближенную формулу для вычисления значения u(x, z) в виде
i N в 1 ~
«(ж, г) Й--У оп / ==Гп-1 (г) G(z, г - ж) dr.
4 n=1 J V(e — т )(т — а)
— Ж
4.2. Рассеяние на двух смежных пластинах. Рассмотрим задачу рассеяния ТЕ-поляризованной электромагнитной волны на двух металлических пластинах, расположенных в плоскости г = 0. Обозначим Т(т, х) = — 1п |т — х| — г (т, х). Тогда система уравнений (30), так же как и в предыдущем случае, вырождается в одно уравнение
в1 в2
Здесь ^х(ж) = € [«1,^1] и ^2(ж) = (х),х € [а2,в2]- Правая часть
уравнения есть /(х) = —2пио(х, 0).
Для каждого интервала (ау , ву )> соответствующего металлической пластине с номером у, ] = 1, 2, рассмотрим базисные функции
Задача дифракции ТЕ-поляризованной электромагнитной волны на двух смежных металлических пластинах сводится к СЛАУ
п = 0,1,..
Введем вектор
п = N + 1,..., 2Ж.
2Ы
п=1
где
п2 1п(в1 — а1), к = п =1,
п2 1п(в2 — а2), к = п = N +1,
Пкп = < п2/(2к), к = п < N +1,
п2/(2(к — N)), к = п > N +1,
0,
к = п,
а гкп представляют собой двойше интегралы, содержащие г (т, х). Решение уравнения (1) имеет вид
или приближенно
а)
«) г)
Рис. 2. Рассеяние на двух смежных пластинах (ai = -1.5, в = -0.5, а2 = 0.5, f32 = 1.5): о) в = 0°, Л = 2, б) 0 = 90°, Л = 2, в) 0 = 0°, Л = 10, г) 0 = 90°, Л = 10
Пусть на две пластины, расположенные в плоскости z = 0 падает плоская TE-поляризованная волна вида uo(x,z) = exp (ik cos вх + ik sin 0z) с единичной амплитудой. На рис. 2 изображено распределение плотности энергии при различных углах падения в. Более темные участки соответствуют большей плотности энергии.
4.3. Рассеяние на двух параллельных пластинах. Рассмотрим еще один частный случай задачи дифракции, когда одна пластина расположена параллельно над другой. Система (30) примет вид
в1 в2
J ш+(т)Ь(т,х) йт — J ш-(т)пО(а,т — х) йт = /(1)(х), х £ [0:1,^1],
а 1 а2
в2 в1
! ш-(т)Ь(т,х) йт — J ш+(т)пО(а,т — х) йт = /(2)(х), х £ [«2,^2] а2 а1
с правыми частями /(1)(х) = — 2пио(х, а) и /(2)(х) = —2пио(х, 0).
Как и в предыдущих случаях, исходная задача сводится к отысканию коэффициентов разложения функций ш+(т) и ) по полиномам Чебышева.
Задача дифракции ТЕ-поляризованной электромагнитной волны на двух параллельных металлических пластинах сводится к СЛАУ
2№
^Сп('Пки + тки) = /к, к =1,..., 2М,
П=1
а)
б)
Рис. 3. Рассеяние на двух параллельных пластинах (а1 = 0, в = 1; ®2 а = 3, Л = 2): о) в = 0°,6) в = 90°, в) в = 45°, г) 0 = 135°
= -1, в2 = 0,
коэффициенты и правые части которой определены таким же образом, что в п. 4.1 и 4.2.
Потенциальная функция рассеянного поля находится по формуле
в2 А
«(*, *) = 4 / о,- (г) Г - X) (Г) С{г -а, г- х) ¿г.
Как и в предыдущем пункте, рассмотрим падение плоской ТЕ-поляризованной волны, но уже на пластины, расположенные друг над другом. На рис. 3 изображено распределение плотности энергии для случая длины волны Л = 2.
5. Единственность решения задачи дифракции
Будем искать решение двумерного уравнения Гельмгольца (1) в пространстве И11°С(М2) [1, гл. 1]. Как известно, если и(х, г) € И\°С(М2), то и(х,го) € И1/2(М1) и ди/дп(х, го) € И-1/2(М1) для любого фиксированного го. Решение уравнения Гельмгольца будет бесконечно дифференцируемым, поэтому можно искать это решение не как распределение, а как обычную функцию.
Если решение уравнения Гельмгольца принадлежит пространству И1°С(М2), то в любой ограниченной области ограничена энергия электромагнитного поля. Поэтому при исследовании дифракции на незамкнутых металлических экранах не нужно включать в постановку задач условие «на ребре».
Обозначим Е- = {(х, г): г € (0+, а — 0)}. При Q ^ ж облает и Е-^ = = {(х, г) : |х| < Q, г € (0+, а — 0)} стремятся к Е-. Запишем для области
^ вторую формулу Грина
(«Дм — иАи) (кг = [ («—--и-— ] (Ь.
,] \ дп дп /
(35)
п;
дп;
Здесь ^ - граница области ^. Перейдем в формуле (35) к пределу при ^ ^ то и получим
+ Ж
П- —Ж
п2
+ Ж -Ж
а
// сУП/ ди \
о
а
+ I (и(<э,О -й(д, *)) (37)
о
Выразим из уравнений (5) образы Фурье граничных значений нормальной производной через образы Фурье граничных значений искомой функции:
^2+(С) = МС)и2+(С) — МС )и—(С), к—(0 = — мс )и—(С) + М0и+(0, (38)
где
МО = ¿7(0-
0«ат(С) + е—«а7(0
Г, МО
¿27(0
6®а7(С) — е—«а7(СГ 7 е®а7(С) — е—®а7(С)'
Преобразуем интегралы из правой части (36). воспользовавшись формулой Пар-севаля и выражениями (38). В результате получим
+ Ж + Ж
-Ж -Ж
+ Ж + Ж
-- J ¿21т [МО] [|и—(0Г + |^+(0|
-Ж
Тогда уравнение (36) примет вид
+ Ж
2
(К- / г41т[М0]Ке М(0£-М0
¿с
«(4Ке к 1т к) / ^ |и
|и|2 ¿а = ¿2 / 1т [МО] Г|и2—(С)|2 + |^+(С)|2
¿С—
-г4 / 1т[М0]Ке М(0£-М0 С + (39)
Ж
2
-Ж
Ж
-Ж
Так как к - вещественное число, то левая часть уравнения (39) равна нулю, а функции ^(С) и ^(С) также будут вещественными. Таким образом, для вещественного к получим, что = 0. В представлении (37) для значение а является произвольным, поэтому справедливо следующее утверждение.
и
к
Иш
0 и 0 и
дх
Рассмотрим область Е+ = {(х, г) : г € (0—, а + 0)}, ограниченную по переменной г, и области = {(х, г) : |х| < Q, г € (0—, а + 0)}. Рассуждая так же, как в случае области Е-Q, запишем вторую формулу Грина для области и перейдем к пределу при Q ^ ж. Получим
II (иАй — йАи) скт = I («з(ж)г?з(ж) — «з(ж)г>з(ж)) (¿ж—
П+ —ТО
- I {и1{х)г-1(х)-й1(х)г'1(х)) ¿х + 1гх, + 1м, (40)
где
/м = / - «1(хЬ(х) - ^(Х)^(х)
М1
+ / (^н-ад,!,) -«удам =
М2
М1
[—ио(х, а) (г>1(ж) — г'^(.г')) + мо(.г', о) (г'1 (гс) — г'^(.г'))] ¿х+
+ / ММ) (ЗД -ЩЫ) -м*,0) Ы*) -ЩЫ)] ** = о
М2
в силу граничных условий. Преобразуем интегралы (40), использовав (4). Тогда / («з№(х) -«з(х),з(х)) - / -Щ(х)МХ)) <Ь =
¿2Ке [Т(С)1 |^1(С)|2 + |^з(С)|2
Следовательно,
+к
^Л^ё ^1(012 + |^з(0121 с = о.
-к
Из уравнения (41) и формулы (4) следует
эс
Лемма 2. Образы Фурье граничных значений искомых функций и их нормальных производных, определенных в областях В1 и Е3, равны нулю в интервале (-А,А):
^(С) = из (С) = 0, VI (0 = ^э(С) = 0.
Потенциальная функция в области имеет вид [10]
— СЮ
Таким образом, в силу леммы 2 получим при Д > 0:
\£\>к
Оценим квадрат модуля функции м(ж, Д), воспользовавшись теоремой Коши-Буняковского. Имеем
\£\>к
<2|Ь(х)||н_1/я
к
Для последнего интеграла
| (1 Н-^2)1^-'^1«^ < | < = л/тах(1, А:) + •
к 0
Таким образом, получили оценку
|и(ж,Д/2)|2 < 2у/тах(1,А011^1(.г-)||н_1/2 + |
при любом Д > 0. Аналогичное неравенство выполняется для |м(ж, Д)|. Из оценки следует
Лемма 3. При больших Д справедливо асимптотическое представление для функции м(ж, Д)
Из леммы 3 следует, что Иш м(ж, Д) = 0. Таким образом, при достаточно
К—
больших г получим, что в открытой области м(ж, г) = 0 и, следовательно, в силу аналитичности, м(ж, г) = 0 в М2 [11, с. 148]. Окончательный результат сформулируем в следующей форме.
Теорема 3. Задача дифракции ТЕ-поляризованной электромагнитной волны на системе металлических экранов, расположенных параллельно, может иметь только одно решение.
Summary
A.N. Gwrdeeva, D.N. Tumakuv. Diffraction of the Electromagnetic Wave 011 System of Parallel Metal Screens.
The paper views the problem of diffraction of the two-dimensional TE-polarised electromagnetic wave 011 the metal plates located in two parallel planes. The initial problem is reduced to a system of integral equations with logarithmic singularity in kernels as related to jumps of the magnetic field at transition through metal screens. The received system is solved numerically by a Galerkin method with basic functions Cliebysliev polynoms. Graphics of scattered field energy density have been constructed for diffraction problems 011 two plates posed nearby and one over the other. The uniqueness theorem of the problem of diffraction in space H11oc(R2) is proved.
TE
singularity, Galerkin method, Cliebysliev polynoms, uniqueness theorem.
Литература
1. Ильинский А.С., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных воли па проводящих топких экранах (Псевдодифферепциальпые операторы в задачах дифракции). М.: ИПРЖР, 1996. 176 с.
2. Miller Е.К., Medyyesi-Mitschand L., Newman E.H. Computational electromagnetics: Frequency-domain method of moments. N. Y.: IEEE Press, 1992. 508 p.
3. Шест-опалов В.П. Метод задачи Римапа Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных воли. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1971. 400 с.
4. Плелцииский И.Н., Плелцииский Н.Б. Интегральные уравнения задачи сопряжения полуоткрытых диэлектрических волноводов // Изв. вузов. Математика. 2007.
5. С. 63 80.
5. Плелцииский Н.Б., Тумаков Д.Н. Метод частичных областей для скалярных координатных задач дифракции электромагнитных воли в классах обобщенных функций. Препринт ПМФ-2000-01. Казань: Казан, матем. о-во, 2000. 50 с.
6. Плелцииский Н.Б. Уравнение Гельмгольца в полуплоскости и скалярные задачи дифракции электромагнитных воли па плоских металлических экранах. Препринт ИМФ-03-02. Казань: Изд-во Казапск. матем. об-ва, 2003. 34 с.
7. Мохер А., Плещшижий Н.Б. Задача о скачке для уравнения Гельмгольца в плоскослоистой среде и ее приложения // Изв. вузов. Математика. 2002. Л' 1. С.45 56.
8. Хёил X, Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964. 428 с.
9. Плелцииский Н.Б. Об интегральных уравнениях первого рода с логарифмической особенностью в ядре и методах их регуляризации // Тр. Матем. центра им. Н.И.Лобачевского. Т. 17. Задачи дифракции и сопряжение электромагнитных полей в волповодпых структурах. Казань: Казан, матем. об-во, 2002. С. 90 120.
10. Плелцииская И.Е., Плелцииский Н.Б. Переопределенные граничные задачи для эллиптических уравнений с частными производными и их применение в теории дифракции воли // Учен. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2005. Т. 147, кп. 3. С. 4 32.
11. Вере Л., Д'жои Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. 352 с.
Поступила в редакцию 24.10.07
Гордеева Анастасия Николаевна студент факультета ВМК Казанского государственного университета.
Е-шаП: туапдеЛ8бвтай. ги
Тумаков Дмитрий Николаевич кандидат физико-математических паук, старший научный сотрудник НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета.
Е-шаП: dtumakovQksu.ru
