CC BY
22
4/2011
ВЕСТНИК
МГСУ
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОЙ НАГРУЗКЕ
DISSEMINATION OF WAVES IN THE HALFSPACE UNDER THE
DYNAMIC LOADING
Проведен анализ численных расчетов для слоистого полупространства в задаче о динамическом воздействии внутри основания с целью изучения волнового поля.
An analysis of numeral assumption have been done for complex half space in the problem of dynamic influence inside the base with the purpose of studying of wave sphere.
Распространение волн в сплошных средах имеет большое значение при изучении динамики развития землетрясений и их воздействии на различные сооружения. Решение соответствующих динамических задач сопровождается трудностями математического моделирования процессов воздействия, отражения и дифракции волн с границами среды. Рассматриваемая осесимметричная задача для полупространства, состоящего из слоя и основания, решена с помощью конечно-разностного метода пространственных характеристик. При этом была получена устойчивая схема второго порядка точности для численного метода сквозного счета без выделения волновых фронтов.
Постановка задачи заключается в следующем: упругая сфера, состоящая из слоя и находящегося с ним в жестом контакте полупространства с разными характеристиками занимает область 0 < z < h и z > h соответственно. Источником возмущения является сферическая поверхность радиуса R с центром в точке z = H на оси симметрии r = 0 . Для определения волнового поля в окружающем полупространстве, вызванного распространением волн от границы сферы, в областях 1 и 2 при t > 0 необходимо решить систему уравнений осесимметричной задачи динамической теории упругости.
Р.А. Чередниченко
R.A. Cherednichenko
ГОУ ВПО МГСУ
SV =да^ . <
Pi—т = —^ +-- + —
dt dz dz r
< = Я^ + 2Mi , < = W + 2A
ot,^? + 2^, С (^ + ^)
v
r
dr r dz
, i = 1,2
Поверхность г = 0 считается свободной от напряжений, а на линии жесткого контакта слоя и полупространства граничные условия выражают непрерывность скоростей и равенство нормальных и касательных напряжений. Граничные условия на сферической поверхности состоят в задании нормальных к ней напряжений. Расчет остальных параметров волнового поля в узловых точках, составляющих эту поверхность, ведется в сферической системе координат с последующим пересчетом всех величин к цилиндрическим координатам.
Исходная система уравнений приведена к системе уравнений первого порядка путем перехода к скоростям смещений в уравнениях движения, а четыре соотношения закона Гука продифференцированы по времени. Алгоритм численного решения задачи полностью совпадает с тем случаем, когда рассматривалось поверхностное динамическое воздействие [1]. В расчете принято: к = 0,5;Н = 2,0;Я = 0,75,аяя = е~2' .
Результаты расчетов представлены на рис. 1 для четырех точек вертикали г = 1.0. Можно проследить прохождение переднего фронта, появление отраженных фронтов. Наблюдается факт удвоения скорости V как при выходе на границу раздела, так и на свободной поверхности.
2=0, Х^О-Ъ %х=г.о
и 17 0 Л* 2 .у -к ч
ц -0.5 1. ИТ > ч
Рис. 1
Наибольший интерес в токах поверхности г = 0 , свободной от напряжений в силу граничных условий, представляет изменение оставшихся ненулевыми напряжениями сгг и адд (рис. 2). В первой точке г = 0,55 они прямо на фронте принимают растягивающие значения и остаются такими до ' = 3,0 . В точке г = 2.0 кольцевое нормальное напряжение также быстро принимает растягивающие значения, а радиальное напряжение а1Т только с приходом сдвиговой головной волны возрастает в сторону растяжения.
Выход прямой волны сжатия и продольной головной волны на свободную поверхность г = 0 сопровождается большим ростом скоростей смещений, поэтому величины и^ приведены на рисунках с уменьшением в 2 или 4 раза, чтобы можно было одновременно проследить и изменение напряжений. Вслед за первой волной приходит
4/2011
ВЕСТНИК
МГСУ
и сдвиговая головная волна, но в точке г = 0,55 она наблюдается слабо, поскольку вблизи оси симметрии между границами несколько раз отражается почти плоский фронт. Во всех точках можно наблюдать и следующие отражения, но лучше всего прослеживаются проходы первой продольной волны, которая определяет максимальные амплитуды колебаний скоростей с периодом равным единице - двойному проходу переднего фронта толщины слоя.
В более удаленных точках в начале напряжения сжимающие, но кольцевое напряжение адд быстрее переходит к растяжениям, а радиальное нормальное напряжение агг становится растягивающим с приходом вторичного воздействия, отраженного от границы раздела. В отличие от первых двух точек, теперь значения напряжений агг превышают соответствующие значения величин адд.
Анализ поведения величин в точках поверхности г = 0 позволяет сделать вывод, что с выходом волны сжатия на свободную поверхность в точках, примыкающих к центру с удалением до г = 1.0 формируются условия, способствующие развитию радиальных и кольцевых трещин. Несколько дальше от оси симметрии возможно появление сначала радиальных, а затем и кольцевых трещин. В более удаленных точках вначале вероятно появление кольцевых растягивающих значений напряжений адд малой амплитуды. Передний фронт отражается от свободной поверхности волной растяжений и во всех внутренних точках слоя наблюдается появление больших растягивающих напряжений по всем нормальным составляющим, причем переход от сжатия к растяжению происходит тем быстрее, чем ближе точки к поверхности г = 0 . В глубоких точках, примыкающих к границе раздела, смена фаз происходит несколько мед-
Рис. 2
леннее, однако максимальное значение напряжений достигают более высокого уровня. По-видимому, во всех точках слоя вблизи оси симметрии при взятых соотношениях характеристик сред возможно нарушение сплошности с выбросом отдельных фрагментов в направлении вектора скорости.
Полученное волновое поле скоростей и напряжений уходит от эпицентра на большие расстояния, непрерывно получая энергию от первичного фронта волны сжатия, распространяющегося по основанию.
Литература
1. Григорян С.С., Чередниченко P.A. Распространение в слоистом полупространстве упругих волн, вызванных поверхностной динамической нагрузкой. Изд. АНСССР, МТТ. 1976, №1.
Literature
1. Grigoryan S.S., Cherednichenko R.A. Rasprostranenie v sloistom poluprostranstve up-rugih voln, vyzvannyh poverhnostnoy dinamicheskoy nagruzkoy. Izd. ANSSSR, MTT. 1976, №1.
Ключевые слова: динамика сплошных сред, распространение волн, взаимодействие с границами, численный метод пространственных характеристик
Keywords: of dynamic complex half space, propagation of waves, interaction with borders, difference method of area characteristics
Тел. 375-57-67
Рецензент: Морозов В.M., д.ф.-м.н., профессор, главный научный сотрудник НИИ Механики МГУ им. М.В. Ломоносова
