Распространение тепла в бесконечном твердом теле от цилиндрической полости при конвективном теплообмене Текст научной статьи по специальности «Математика»

М. А. Осипенко и др. Распространение тепла в бесконечном твердом теле от полости

УДК 622.4:536.21

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В БЕСКОНЕЧНОМ ТВЕРДОМ ТЕЛЕ ОТ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ ПРИ КОНВЕКТИВНОМ ТЕПЛООБМЕНЕ

М. А. Осипенко, О. И. Дударь, Е. С. Дударь

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

кафедра теоретической механики E-mail: olegdudar@yandex.ru

Методом функций Грина в сочетании с преобразованием Лапласа получено решение задачи о распространении тепла в бесконечном твердом теле от движущегося в цилиндрической полости газа.

Ключевые слова: цилиндрическая полость, нестационарная теплопроводность, конвективный теплообмен, функция Грина, преобразование Лапласа, функции Бесселя и Неймана.

The Heat Conductivity in the Infinite Solid of the Convection in a Cylindrical Cavity

M. A. Osipenko, O. I. Dudar, E. S. Dudar

Perm National Research Politechnical University,

Department of Theoretical Mechanics E-mail: olegdudar@yandex.ru

The problem of heat conductivity in the infinite solid from gas moving in a cylindrical cavity is solved by the combination of the Green function method and the Laplace transformation,

Key words: cylindrical cavity, nonstationary heat conductivity, convective heat transfer, Green’s function, Laplace transformation, Bessel’s and Neumann’s functions.

ВВЕДЕНИЕ

Задача распространения тепла в бесконечном пространстве от движущегося в цилиндрической полости газа является одной из основных в горной теплофизике и теплофизике подземных сооружений. Ее решение позволяет рассчитывать тепловой режим горных выработок, тоннелей, метрополитенов и других подземных сооружений. Н. Б. СагБ1а-№ [1], А. Н. Щербань и О. А. Кремнев [2] получили решение данной задачи с помощью преобразования Лапласа для случая неизменной во времени температуры движущегося в полости газа. В работах А. С. Галицына и А. Н. Жуковского [3], а также А. С. Галицына [4] для получения решения использовалось модифицированное преобразование Вебера при произвольном законе изменения температуры движущегося в полости газа и произвольном начальном условии. А. Ф. Галкин и Ю. А. Хохолов [5] задачу решали численно в сопряженной постановке, то есть одновременно для твердой и газовой фаз.

В настоящей статье задача решена для случая произвольного изменения температуры движущегося в полости газа и произвольного начального условия, то есть в той же постановке, что и в работах [3,4]. Однако для решения применялся метод функций Грина в сочетании с преобразованием Лапласа. Найденное решение позволило выявить допущенную в работе [4] неточность.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим задачу передачи тепла от газа (воздуха), движущегося в цилиндрической полости, окружающему её бесконечному однородному изотропному твердому телу (горному массиву). Полагаем, что влияние осевой координаты отсутствует, поэтому изменение температуры в горном массиве описывается нестационарным уравнением теплопроводности, записанным в полярной системе координат:

дт 1 д / дт\

Ь > 0, (1)

дТ _ 1 д ( дТ\ dt ar dr V dr /’

r > r0.

коэффициент температуропроводности горного массива, ro

радиус

где Т — температура, а полости.

Будем полагать, что в начальный момент времени температура в массиве с полостью является произвольной функцией радиуса

Т |г=о = То (г), г > го, (2)

но при этом на бесконечности как в начальный, так и в любой другой момент времени она равна Т^:

То |

0 I r ——^с

_ Т„

Т |,

(3)

© Осипенко М. А., Дударь О. И., Дударь Е. С., 2012

89

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2012. Т. 12. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1

где Тс — естественная температура горных пород, то есть температура пород при отсутствующей полости.

В качестве граничных условий примем условие конвективного теплообмена на стенке полости

дТ \

-дг + Н(Т - Та

= 0,

(4)

где Н = а/Л, а — коэффициент теплоотдачи, Л — коэффициент теплопроводности горного массива, Та(*) — закон изменения температуры воздуха в полости.

По аналогии с работами [1, 6, 7] решение задачи (1)-(4) можно записать с использованием функции Грина д(г', г,*):

Т(г, *) = Тс + аНго д(го,г,* - т)[Та(т) - Тж]^т + д(г',г,*)[То(г') - Тж]г'¿г'.

(5)

Тогда решение исходной задачи сводится к определению функции Грина, которая может быть найдена из решения следующей сопряженной задачи:

= ^я7' г'я¡7 + Г6(г' - гМ), г' > го, * > 0

д\г=о = 0,

- 0+кя д\г' — с 0;

(6)

= 0,

здесь через 6 обозначена дельта-функция Дирака.

Решение задачи в такой постановке позволяет не конкретизировать вид функций То(г) и Та(*), входящих в начальное и граничное условия.

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГРИНА

Применив к (6) преобразование Лапласа [8] по переменной *, получаем следующую задачу для изображения функции Грина С(г',г,р):

1 д / 'дС\ 1 '

рС = а—— г’— + -6(г' - г), г' > го,

' ' '

г' дг' V дг' / г

= 0,

д£

- от + НС

С\г' —— с 0;

где р — комплексный параметр.

Вводя новые переменные

х = вг, х' = вг', хо = вго, в = а/р/а.

и учитывая в (7) дельта-функцию «явно», приходим к следующей системе уравнений:

,д2 С ,дС

(7)

(8)

+ х'—— - х С = 0, \хо\ < \х'\ < \х\, \х'\ > \х\.

дх'2 дх'

С\х' = х+о - С\х' =х—о = °;

дС

дх'

1С\:

х'=х+о

дС 1, „ - а;7 + ;НС = 0.

дх'

х' =х—о = 0,

1

ах

(9)

7" = Т'о

ос

Г =Го

М. А. Осипенко и др. Распространение тепла в бесконечном твердом теле от полости

Первое уравнение в системе (9) — это модифицированное уравнение Бесселя с индексом нуль. Его решение имеет вид [9,10]:

Є =

А/о(V) + ВКо(ж;), |хо| < |ж;| < |ж|.

С/о(х/) + БКо(х;), ж'| > |ж|.

где /о, Ко — функции нулевого порядка: модифицированная Бесселя и Макдональда соответственно.

Так как /о(х') ^ го при х' ^ го [7], то из последнего уравнения системы (9) сразу следует, что С = 0. Далее, используя известные свойства рассматриваемых цилиндрических функций [11,12]

/о (х) = /х(х), ко (х) = -Кх(х),

где /1, К — функции первого порядка: модифицированная Бесселя и Макдональда соответственно, приходим к следующей системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных А, В, Я:

- А/о(х) - ВКо (х) + ЯКо(х) = 0,

-А/1 (х) + ВК1 (х) - ЯК1 (х) = -—,

ах

, А [-/1 (хо) + (Н/в)/о(хо)] + В [К1(хо) + (Н/в)Ко(хо)] = 0. Учитывая значение определителя Вронского [10]

/о(х)К1(х) + /1 (х)Ко (х) = -,

(10)

решение системы (10) можем записать в виде

А =

Ко (ж)

В = А

/1 (жо) - (^/а)/о(жо) Кі (жо) + (ЛУз)Ко(жо).

Б =

/о (ж)

+ В.

Возвращаясь к старым переменным, получим следующее решение для изображения функции Грина:

Є(г/, Г, 5) = <

г Ко(5г)[/о(5Г/)К(5Го) - Ко(5Г/)/(5Го)] аК (5го)

Ко(5Г/)[/о(5г)К(5Го) - Ко(5Г)/(зГо)] аК (5го)

, Го < Г/ < Г,

, Г < Г/,

где К(вго) = вК1 (вго) + НКо(вго), /(вго) = -в/1(вго) + Н/о(вго). Если принять обозначения: т = ш1п(г',г), М = шах(г',г), то решение можно записать одной формулой

Є(г/, г, 5) =

Ко(5М)[/о(5т)К(5Го) - Ко(5Ш)/(5Го)]

аК (5го)

(11)

4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ФУНКЦИИ ГРИНА

Для определения оригинала по изображению (11) воспользуемся формулой обращения преобразования Лапласа [8]:

д(г/, г, £) = 2~т І Є(г/,г,р)вр^ ф.

(12)

Функция С (г' ,г,р) содержит корень и логарифм комплексного числа р. Следовательно, функция С(г',г,р) многозначна и для нее выбираем такую ветвь, для которой при вещественных положительных р корень будет положителен, а логарифм вещественен.

В формуле (12) интеграл берется по мнимой оси. Чтобы привести его к более удобному виду, не содержащему комплексных чисел, перейдем к новой переменной интегрирования £ = ^¿в = \/р/а,

где нижний знак относится к нижней мнимой полуоси, а верхний — к верхней. При этом для переменной £ нижняя полуось перейдет в полуось Г1, а верхняя — в полуось Г2 (рисунок).

а

а

— 1Ж

Механика

91

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2012. Т. 12. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1

У ‘ г;

0 П

Деформирование контура интегрирования Гі и Г2 в контур Г1 и Г2

По аналогии с работой [8] можно показать, что знаменатель функции Є(г/,г,р) не имеет нулей, поэтому выбранная для Є(г/,г,р) ветвь аналитична на всей комплексной плоскости за исключением начала координат с разрезом по отрицательной вещественной полуоси. Для аналитичной функции контуры Г1 и Г2 можно деформировать в контуры Г1, и Г2 (см. рисунок), делая тем самым £ вещественным положительным числом. Тогда формулу (12) можно привести к виду

д(г'.г.і) = -( І Є(г',г,8)|,=_і{е а{2*£й£ + І С(г',г,8)|,=і{е £й£

(13)

Подставив (11) в (13) и используя формулы связи [10-12]:

/о(±гх) = 7о (х), /1 (±гх) = ±г71(х),

¿п п

Ко (±гх) = у[т^о (х) + ¿N3 (х)], К1 (±гх) = ^[-^1 (х) ± ¿N1 (х)],

где х — вещественное положительное число, 7о, 71 — функции Бесселя, а N, N1 — функции Неймана нулевого и первого порядка соответственно, получим следующее выражение для оригинала:

сс

г () = ( N(£т.).7(£го) - .7о(£т)У(£го)]№(£М)7(£го) - 7о(£МЖ(£го)]^*2,(14)

’ ’ У .72(£го)+ №'2(£го) ’

о

где 7(£го) = £Л(£го) + Н7о(£го), N(£го) = £^(£го) + НNо(£го).

Тем самым определена функция Грина для задачи (6). В частности, если принять г' = го, то т = шт(го,г) = го, М = шах(го,г) = г. Тогда, учитывая значение определителя Вронского [10]

2

^з(х)71 (х) - 7о(х)^(х) = —,

пх

получим следующее выражение для функции Грина при условии г' = го:

(15)

д(го-г'*) = *(еЖ+- дат е_*2 *

о

(16)

Подставляя формулы (14) и (16) в (5) получим решение исходной задачи (1)-(4) распространения тепла в бесконечном горном массиве от движущегося в цилиндрической полости воздуха:

с ( I Л

Т (г,*) = Тс + 2ПН / ^ £((£У£П’) ^ е—а^2 <‘—т > [Та(т) - Тс] ¿Т [ £ +

. . ДО)(£ГУ(£го) - (£го)]ДО(СГУ(£го) - ^о(СГЖ(£го)] е_а£2*£,£[т (г/) т ]г/ ,/

+ // 72(Сго) + N2 (£го) е £^[і°(Г) іо]ГгіГ'

Го о

о

ОС

А. С. Устинова. Влияние проскальзывания на вискозиметрическое течение

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрена задача о распространении тепла в бесконечном пространстве (горном массиве) от цилиндрической полости, по которой движется поток газа (воздуха). Методом функций Грина в сочетании с преобразованием Лапласа получено решение этой задачи при произвольном законе изменения температуры воздуха и произвольном начальном условии. Решение может быть использовано для расчета теплового режима подземных сооружений с формой, близкой к цилиндрической.

Библиографический список

1. Carslaw H. S., Jaeger J. C. Conduction of Heat in Solids. Oxford : Clarendon Press, 1959. 450 p.

2. Щербань А. Н, Кремнев О. А. Научные основы расчета и регулирования теплового режима глубоких шахт : в 2 т. Киев : Изд-во АН УССР, 1959. Т. 1. 425 с.

3. Галицын А. С., Жуковский А. Н. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности. Киев : Наук. думка, 1976. 286 с.

4. Галицын А. С. Краевые задачи теплофизики подземных сооружений. Киев : Наук. думка, 1983. 236 с.

5. Галкин А. Ф., Хохолов Ю. А. Теплоаккумулирующие выработки. Новосибирск : ВО «Наука», 1992. 133 с.

6. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике. М. : Физматлит, 2003. 688 с.

7. Тихонов А. Н, Самарский А. А. Уравнения математической физики. М. : Изд-во МГУ, 1999. 798 с.

8. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М. : Наука, 1987. 688 с.

9. Бицадзе А. В., Калиниченко Д. Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. М. : Наука, 1985. 312 с.

10. Коренев Б. Г. Введение в теорию бесселевых функций. М. : Наука, 1971. 288 с.

11. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. М. : Наука, 1984. 344 с.

12. Попов Б. А., Теслер Г. С. Вычисление функций на ЭВМ. Киев : Наук. думка, 1984. 600 с.

УДК 539.374

ВЛИЯНИЕ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ НА ВИСКОЗИМЕТРИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА МЕЖДУ ЖЕСТКИМИ КОАКСИАЛЬНЫМИ ЦИЛИНДРАМИ

А. С. Устинова

Институт автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН, Владивосток, лаборатория механики деформируемого твердого тела E-mail: ustinova@iacp.dvo.ru

Рассматривается вязкопластическое течение несжимаемого упруговязкопластического материала между двумя жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями, когда на одной из них возможно проскальзывание материала. Решение строится в рамках модели больших упруговязкопластических деформаций. Рассмотрены обратимое деформирование, развитие и торможение вязкопластического течения, разгрузка и деформирование при повороте в обратном направлении. Получены законы движения границ областей вязкопластического течения.

Ключевые слова: упругость, вязкопластичность, большие деформации, остаточные напряжения.

Influence of Slippingon Viscosimetric Flow of a Elastoviscoplas-tic Material Between Rigid Coaxial Cylinders

A. S. Ustinova

Institute of Automation and Control Processes,

Far-Eastern Branch of RAS, Vladivostok,

Laboratory of a Deformable Solid Mechanics E-mail: ustinova@iacp.dvo.ru

The viscoplastic flow of an incompressible elastoviscoplastic material between two rigid coaxial cylindrical surfaces is considered when slipping of a material is possible at one of them. The solution is constructed using the model of large elastoviscoplastic deformations, Reversible deformation, development and braking of a viscoplastic flow, unloading and deformation under rotation in the opposite direction are considered. Laws of movement of elastic-plastic boundaries are received.

Key words: elasticity, viscoplasticity, large deformations, residual stresses.

ВВЕДЕНИЕ

Вискозиметрические и прямолинейные течения неньютоновских материалов в рамках модели Шведова - Бингама рассматривались достаточно подробно [1-7]. Упругие свойства деформируемых материалов при этом не учитывались. В настоящее время представляет интерес исследование эффектов,

© Устинова А. С., 2012

93