CC BY
2Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 53
www.mai.ru/science/trudy/
УДК 539.3
Распространение нестационарных осесимметричных возмущений от поверхности шара, заполненного псевдоупругой средой Коссера
Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В.
Аннотация
Рассматривается нестационарная осесимметричная задача о распространении кинематических возмущений от поверхности шара, заполненного однородной изотропной средой со стестненным вращением - псевдоконтинуумом Коссера. Такие модели находят применение при исследовании поведения различных конструкций из композиционных материалов, в том числе объектов авиационной и ракетно-космической техники. Для решения используются разложения в ряды по полиномам Лежандра и преобразование Лапласа по времени. Для нахождения орги-налов применяется асимптотический метод - представление искомных функций в виде степенных рядов по времени, что соответствует разложению изображений в ряды Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.
Ключевые слова
псевдоконтинуум Коссера; преобразование Лапласа; осевая симметрия; асимптотическое решение.
Введение
При исследовании динамических процессов в композиционных материалах, которые в последнее время широко используются в конструкциях объектов авиационной и ракетно-космической техники, требуются модели сплошных сред, отличные от традиционных. Например, классическая теория упругости основывается на идеализированной модели упругого континуума, в которой материальная частица совпадает с точкой, а деформированное состояние
описывается перемещением точки. Несмотря на то, что теория упругости успешно описывает
1
распределение напряжений в конструкциях, существуют и модели сред, учитывающих внутренний момент количества движения, при которых она становится неприменимой.
Общая теория моментной упругости была разработана братьями Коссера [1]. Здесь в отличие от классической теории упругости деформация среды описывается не только вектором перемещения и, но также вектором поворота ю, являющимся функцией координат частицы и времени. Линейная теория среды Коссера рассмотрена в статье [2], а дополнительный учет температурного поля приведен в книге [3]. В последней работе также изложена упрощенная модель континуума Коссера со стесненным вращением частиц (псевдоконтинуума), которая характеризуется зависимостью вектора угла поворота от вектора перемещения: ю = 1/2 го1 и. В статье [4] для такой среды введена функция напряжений и потенциалы для изотропной центрально -симметричной среды.
Предполагается, что сплошной шар радиуса ^ с центром в точке О заполнен однородной изотропной средой псевдокоссера. Ее уравнение движения при отсутствии массовых сил имеет вид [3]:
где р и Л, ц - плотность и упругие постоянные Ламе среды; у и £ - дополнительные физические характеристики среды; А - оператор Лапласа; I - время. Далее будем использовать сферическую систему координат г,6,3 с центром О : г > 0, 0<6 <ж, -ж <3<ж .
Используя разложение поля перемещений на потенциальную и вихревую составляющие и предполагая осесимметричный характер задачи (искомые функции зависят только от времени, радиуса г и угла 6), выражаем тангенциальное V и нормальное н перемещения через скалярный потенциал р и ненулевую компоненту векторного потенциала :
Постановка задачи
(1)
а уравнение (1) заменяем следующей эквивалентной системой (точками обозначены производные по времени):
•• Л •• 1-*ч Л ¥
ф = Аср, у/--\1\цг-
2
г2 Бт2 в
г2 Бт2 в
= 0;
¥
г2 Бт2 в:
— г — +-
1
д ( . д
! -г--1 Бт —
дг I дг ) г Бт в дв\ дв
(3)
Координаты вектора угла поворота ю связаны с перемещениями так:
аг=а = 0, а9= а = —
2г
д , ^ ^
—(гу)--
дгк ' дв
(4)
В свою очередь компоненты тензора деформаций аа/3 и изгиба-кручения хар ({а,Р} = {г,в,З}) определяются следующим образом:
дw ду 1 (ды I 1 (ду I 1 / ...
=—, ** = -*вг = гу 1+£вв = г(в*I, £зз = г(™+ус^в); (5)
_да 1 да _ а _ а _
Хгз = ~ , Хвз = ТТ7, ХЗг = , Хзв = с%в. дг г дв г г
(6)
Физические соотношения для рассматриваемой среды имеют вид:
ИгЗ %+ХгЗ+£-Хзг, ИвЗ £+ХвЗ +£-Хэв, ИЗг £+Хзг +£-ХгЗ, ИЗв ^+Хзв^^-ХвЗ,
(7)
°гг = £гг +К (£вв + £ЗЗ ) > °гв = - &гв* , °вг = + &гв*,
°вв=к(егг +£ЗЗ) + £вв, аЗЗ=к(егг +8во) + 8ЗЗ, = -
(£гв+£вг ),
(8)
а = +1
^ 2 I дг- + г
ди§З дв
- + 2^гЗ + И + (иЗЗ + Изв ) йёв
где сгар и цар - компоненты тензоров напряжений и моментных напряжений; аарв и &ар„ - компоненты симметричной и несимметричной составляющих тензора напряжений.
Считаем, что на поверхности шара заданы перемещения:
н |г=1 = но (6, г), v |г=1 = 0, ю|г=1 = 0, (9)
а начальные условия нулевые:
<Р\т=О=У/\т=О=Ф\т=О=¥\т=О=0- (10)
Дополнительно полагаем, что компоненты напряженно-деформированного состояния ограничены в области 0 < г < 1.
В соотношениях (2) - (10) и далее использованы безразмерные величины (при одинаковом начертании они обозначены штрихами, которые в последующем изложении опущены):
Г = Т' Н = V' V = Т ' Р = ' ¥ = ХаР= ^Хар, ааР=Ла-Г Т0 Т Т К0 к0 Л + 2ц
Цар ((„пЛ-(„аа\\ У
(Л + 2/и)R u i ' ' if' (л + 2М)R2 (Л + 2у)R ' A Cji Л + 2/ / с, , v
Г = , г = тЬ С = J-' С2 = J~, = — (m = I,2),
Л + 2/ R \ р ^р с m
где с и С - скорости распространения волн растяжения-сжатия и формоизменения в классической упругой среде.
Представление решения в виде рядов
Для построения решения начально-краевой задачи (2) - (10) используем метод неполного разделения переменных, раскладывая искомные функции и правые части граничных условий (9) в ряды по многочленам Лежандра Pn (cos#) и Гегенбауэра С^ (cos#) [5]:
(рл 'Рп >,))л ы л
w оэ w 1 (г,т) Р (008 в), V
=Е п ' / / \
£гг п=0 £ ггп (г,)) о
Ч<гг ) < \ ггп (г,))) \£гв)
-8тв£
п=1
(¥„ (г,)) Л
Уп (г)) °п ( г,))
£( г,)))
С (;
(11)
г£ л (
£вв £&&
Хв& \Хэв.
п=0
'ввп 1
( )
£»п (г,))
Хвзп (г,)) 0
(
Рп (008 ^ +-£
г п=1
(г ,т)
-Vп (г
°п (Г))
гХв (г)))
С? (008в).
(12)
Функции w0, £вг, Хг», Х»г, Я», Я»г, <гв, <вг представляем аналогично (11), а функции <вв, , /лв», Яэв - подобно (12) в виде рядов по полиномам Лежандра и Гегенбауэра соответственно.
Поставляя ряды (11) и (12) в (3), получаем следующие уравнения для коэффициентов рядов для потенциалов:
, ч 1 -к 1, 4 9/ ч д2 2 д п(п +1)
2 4 дг г дг г
Коэффициенты рядов для остальных компонент напряженно-деформированного состояния в соответствии с (2) и (4) - (8) определяются так:
_ дрп п (п + ^
1 ( V - ^ ду„
w = ----_ы V = Р-д^ а=.
"и ^ Уи' п л ' „ | ■ _ 3
дг г г дг 21 г дг )
(14)
£ =^п
ггп ^
о г
£ввп
1Г / 1 \ 1 wя
wn - п (п + ^ Уп \' £»»п =—'
11 ду„ ^ - V,
гвп вгп Л I ^
г 2\ дг г
(15)
_ д®„ _ / 1 \ О _ _ О .
Хг»п = ' Хв»п = -п (п + 1) ' ХЯвп = -Х»гп = ;
дг г г
, ИЗП=-п(п+, +{-—
от г г г дг
Иззп (г^) = -п(П + ;
- г / ,ч -|
+ -[-п(п + 1)уп],
дг г 1 -к
агвп агвт °гвп*, авгп агвт + а гвп*,
а гвт
^ввп = -
(р Ч _ _1 ( дИгЗп , ИвЗп + ИЗгп + 2И
(&гвп + &вгп), а гвп* 1 - +
гЗп
—
2
д— 1 дг г
2 ^ дг
+ -Ц1 + -) — - п (п + 1) уп ] ,
а ЗЗп =-
+ 4г ) г2
д—+1 [(1 + -)— - п (п +1— ].
(18)
Соответствующие начальные и граничные условия согласно (9) и (10) имеют вид:
™„\г=! = (в,0, =1 = 0 —I=! = 0;
(19)
Фп 1=0 =¥п 1=0 =Фп 1=0 = ¥п 1=0 - 0 .
(20)
Определение коэффициентов рядов в пространстве преобразований Лапласа
К дифференциальным уравнениям (13) с учетом условий (19) применяем преобразование Лапласа по времени (л - параметр; индекс «Ь » обозначает трансформанту):
д2Фп ( г, л ) | 2 дф (г, л )
д г1
г дг
п
(п + 1) 2
^—- + л
Ф ( г, л ) = 0;
(21)
(Ч + %)К¥Ь„ (г,л)-2(1--)Л„¥Ь(г,л) + 4*2(г,л) = 0.
(22)
Общее решение уравнения (21) имеет вид:
Ф ( г, л ) = г 12
С (1
С п 1
'( л ) Кп+1/2 ( гл ) + С1 л ) /„+172 ( гл )],
где С(1 и С(2 - произвольные постоянные интегрирования; (г) и (2) модифицированные
(23)
функции Бесселя порядка V первого и второго рода соответственно [6].
6
Для решения уравнения (22) полагаем
Л¥Ь =¥Ь, (24)
и получаем следующее характеристическое уравнение:
(р + £)Х2- 2 (1 --1 + 4л2= 0. (25)
Его корни имеют вид:
(1 --)±>/(1 --)2 -4л2 (л + й) г
---, Ке^Л > 0. (26)
1 + %
Учитывая, что фундаментальная система решений уравнения (24) состоит из модифицированных функций Бесселя, находим общее решение уравнения (22):
2
¥Ь (г, л) = г""X[ ('Ж- Ш + СЗ+2 (<К+1., (гД)], (27)
где С^ ( ] = 1,4 ) - произвольные постоянные интегрирования.
Принимая во внимание свойства модифицированных функций Бесселя (в окрестности точки 2 = 0 функция (г) ограничена, а (г) ^ при г ^ 0 ) и условие ограниченности
решений, получаем, что С^ (л) = С^ (л) = С(2 (л) = 0, т.е.
2 / ч
ф (г, л) = г-12С1? (л) 1п+У2 (гл), ¥ (г, л) = г-12 XX СЗ+2/п+!/2 (г^). (28)
]=1
Далее, используя связь модифицированных функций Бесселя полуцелого индекса с элементарными функциями ( п = 0,1,2,...) [5]
(-1)'
4+1/2 ( 2 ) =
(п + к)!
фЖп1/2
е*Кп0 (-2) - е *Кп0 (2) ' Ко (2) = £ АпкгП '
к=0
Апк ='
(п - к )!к !2к
(0 < к < п), Апк = 0 (к < 0, к > п),
получаем следующие выражения для изображений коэффициентов потенциалов
Р (г. *) = ^п+Г [Кп0 (-™) егг - К (гг) е-гг ],
(г,г) = -¿г £В^ (г)[Кп0 (-г^)ег^ -Яп0 (г^)е
г 1=1
(30)
где
. НУСЛг) ^ м (-1)псп% (г) , ,
Ап (г'= , В (г'= фЖЖг'2«" (' =1,2) •
Подстановка этих равенств в преобразованные по Лапласу формулы (14) приводит к следующим представлениям изображений коэффициентов рядов для перемещений и угла поворота:
(г, г) = е"4 (г)р (гг) + п(п +1)£е^В1 (г)Рп0 (г^)
wn (г, г)
уЬ„ (г
(г, г ) =
е™А^ (г)Рп0 (гг) + £ е^В^ (г)Рп2 (г^)
1=1 _
(31)
о
(г. г ) = £ е'^вр (г^
Здесь
п
1
г
Рп0 (2 ) = Яп0 (-2 )-Яп0 (2 ) е-2 2 , Р (2 ) = К: (-2 )- К: ) ^ 2 , Ря 2 (г ) = Яп3 (-2 )-Япз (2 ) * "2 ,
Рп3 (2) = вп (-2) - вп (2)е-22 , Ящ (2) = Яп+,0 (2) - 0 (2) , Яз (2) = Л^Н^ + 1)^0 (2),
п+1 п+1
вп(2) = Яп+2,0 (2)-(2п + 3)Яп+1,0 (2), Яп1 (2) = ТВпк2п+1-\ Яз ^Х^
_п+1-к
к=0
кг=0
п+2
вп (2) = Х^пк2п+2 к, Впк = Ап+1к - пЛпЛ-!, Спк = Ап+1к - (п +1) Апкк-„ Д, = Лп+2Л - (2п + 3) Ап+1к-!.
(32)
к=0
Поставляя (31) в преобразованные по Лапласу граничные условия (19) и определяя постоянные интегрирования, получаем следующие выражения для изображений коэффициентов рядов для перемещений и угла поворота:
^ ) = ^)
(г,л ) =
Уьп( г, л
..п+2
ЖЬ (г, л) + п(п + 1)Х^пЬ(г,л)
1=1
(л )
„п+2
VnLо (г,л) + ХГп!(г,л)
1=1
а.
(г, л ) = ^ Хо^г, л ).
1=1
(33)
Здесь
Х ( л Ж (г, л ) = (гл ) ^ Т^Г), Хп (л Ж (г, л ) = 41 (г^) ( ^^л/^Г),
Х (лУ (г, л) = -й/Рп» (гл)^ ^Т^Т^^хТ), Хп (л)у1 (г, л) = й1 (г^) 2 (,
1—г _
Х (л)Опл (г, л) = -й^Рпз (^л/^Г)(л,^), й0 = еЛ й = е"2^, й2 = е"2^,
Хп (л) = Рп1 (л) Бл (^^ - п (п +1)Рп0 (л) [^п2 (^ - 5 п2
5п1 (*, У) = Рп2 (*) РпЗ (.У )-Рп2 (.У ) РпЗ (*) , 2 (X, у ) = ^ (X) ^ (у ) .
(34)
Формулы для функций Ж^ (г, л ), У^ (г, л) и ОЬп2( г, л) находятся из соответствующих равенств для Ж^ (г,л), У^ (г,л) и Оп(г,л) с помощью умножения на (-1) и перемены местами ^
и х.
Аналогичные (31) равенства могут быть получены и для остальных компонент напряженно-деформированного состояния.
Предельный переход к симметричной теории упругости
Для указанного перехода в полученных выше соотношениях необходимо перейти к пределу при т] ^ 0 и £ ^ 0. При этом для корней (26) характеристического уравнения имеют место следующие соотношения:
2г 2 2 (1 -К)
Отсюда следует, что £ ^ 0, £2 ^ е~2у2г. В результате для изображений коэффициентов рядов для перемещений получаем следующий результат:
< ( г )
г
.1
wLn (г, г) = е-1 Ж (г, г) + п (п +1) е-1 )У2Ж (г, г)
* (г, г) = [е(г-1)г^ (г, г) + е(г-1)у V (г, г)], (г, г) = е(" )У2 2 (г, г),
где
Xп0 ( г Ж ( г, г ) = Рп1 ( гг ) Рп2 (у 2 г ), Xп0 (г Ж (г, г ) = -Рп0 (гу 2 г ) Рп0 (г ) ,
Xп0 ( г V ( г, г ) = -Рп0 ( гг ) Рп2 (У 2 г ) , Xп0 (г ) ^ (г, г ) = Рп 2 (гу 2 г ) Рп0 (г ) ,
Xп0 ( г (г, г ) = -Рпз ( гу 2 г ) Рп0 (г ) , Xп0 (г ) = Рп1 (г ) Рп 2 (у 2 г ) - п (п + 1) Рп0 (г ) Рп0 (у 2г ) .
Приведенные результаты показывают, что при т] ^ 0 и £ ^ 0 изображения коэффициентов рядов по многочленам Лежандра и Гегенбауэра для перемещений и угла поворота имеют вид рациональных функций, которые соответствуют задаче классической теории упругости.
Определение оригиналов
Получить аналитические выражения для оригиналов функций ^ (г, л), уЬ (г, л) и
-
(г, л) затруднительно ввиду наличия в (31) слагаемых, содержащих радикалы . Поэтому построим асимптотические представления искомых функций в начальные моменты времени, что соответствует разложению изображений в ряд по степеням л12 в окрестности бесконечно удаленной точки. Для корней согласно (26) эти ряды имеют следующий вид (I мнимая
единица; черта - знак комплексного сопряжения):
= ХД5"', = ХД5"'; До=аа0, Д=ааг, Д2=аа2, а = 1 +1,
г=0 г=0
>2 (35)
—)
1 1 - — (1 -к)
--а =--а =-----—
/ „Ч1/4 , а1 ./ ~\3/4 , а2 ч
(л + й) 4 (л + й) 32 (л + й)
Соответствующие ряды для экспонент, входящих в (31) - (33) и содержащих радикалы, получаем, используя известные ряды Маклорена:
„-к/2. ;
ег = егД>° X Ал-2, ^^^^ егД0 X А -
к=0 к=0 (36)
Л) = 1, Л = Д, Л2 =( г Д )72, Л3 = г Д2 +{гД)Ъ/6, Л4 = г2 ДД = 2г 2а1а2.
Перед разложением многочленов (32) с аналогичными аргументами, сначала с использованием (35) строим ряды для степеней радикалов (к = 0,1,2,...):
(л/Л) = лк/2 X т, УК) = лк/2 X ^ ; , л
т=0 т = 0 (37)
К 0 =Дк, Ък1 = кДД-1, Ък2 = кДк-1 [(к - 1)Д /2 + Д2 ].
В результате приходим к следующим результатам:
0
где
)г -т 2,
Кп0 (г4Х) = гп/2£¿пп (г)г-/2, К0 (гЛ) = гп/2£Ёпп (г)
п=0 п=0
ад ад
Кп1 ( г) = г( п+1)/2 £ ^ ( г ) г-Л Кп1 (г) = г( п+1)/2 £ Ёпт ( г ) г -
п=0 п=0
ад ад
Кз (г) = г<п+1)/2£^ (г)г-Кпз (г) = г(п+1)/2£От (г)г-2
п=0 п=0
ад ад
а (г) = г(п+2)/2£Ипт (г)г& (^лЛТ) = г(п+2)/2£Нпт (г)г^2
[п/2] [п/2]
п+2к-пд 77 _ X 1 О ,.п+1+ 2к-п
п+1+2к-п 5
к = кит к=ки-|
Е (г)= V А гп+2к-пЬ Е (г)= V В гп+1+2к-пЬ
Епп (' ) £ Ап,п-2к1 Ьп+2к-п, Апп (' ) £ вn,п-2k' Ь
кп+1,п
[п/ 2] [п/2]
- (г)= V С гп+1+2к-пь н (г)= V Б гп+2+2к-пь
ппХ ) £ Cn,п-2k' Ьп+1+2к-п, 11ппХ ) £ Dn,п-2k' Ьп+2+2к-п,
к=кп+1 т к=киЛ-1 III
0 при п < п,
пп |(п -п)/2 при п < п.
Учитывая, что в некоторой полуплоскости Яе г >а0 имеют место неравенства |£|< 1 и |£2| < 1, используем следующее разложение в степенной ряд [6]:
ад /Ук0 ик<>
[X,,(г)]-1 =£ £ (К;к0,...,к6)^0 ^6 £+к+к4+£+кз+к5+£+к4+к5+кб . (39)
К=0 к,, +...+Ь =К
Здесь (К;к,...,к6) - мультииндекс, а величины d и ^ (1 = 0,1,...6) выражаются через определители третьего порядка:
й = л(-л, -^л, -^к.), ^ =л( л,-лfлг, -^к ), ^ =л(-я,^, -^к ), ^2 =л(-л, -л|лг,,jл7), й3 =-Л(s,лJлг, -^ЛГ), й4 =-л(л, л/ЛГ), й5 =-Л(-s,,jлг,^[x2), йб = л (л, ^/Л", ^/ЛГ),
Л(*,У, 2) =
Яп1 (*) п (п +1) Яп0 (У ) п (п +1) Яп0 (2 ) Яп0 (*) Яп3 (У) Яп3 (2)
0 вп (У ) вп ( 2 )
Эти определители с использованием их свойств записываются так:
Л( X, у, 2 ) = *2п+3 X Л 1к'* 1,к,/=0
[т/2] т-2 ]
йпт = X X Л 1,т-21 -/,/, Л]к/ = 1=0 /=0
-(]+к/2+1 /2) _ 2п+3 V . -т/2.
= * X ипт* ; т=0
а111 а12к а13/ а211 а22к а23/ , 0 а32к а33/
где элементы ацу, а12к, а13/, а21 у, а22к, а23/, а32к, а33/ выражаются через коэффициенты многочленов Яп1 (*), п (п +1) Яп0 (У), п (п + 1) Яп0 (2), Яп0 (*), Яп3 (У), Яп3 (2) вп (У) и вп (2).
Далее, используя действия со степенными рядами, для степеней величины й и dj получаем
со
= (2п+3)у>.
I ^^^ I.
-т/2 ^К+1 _ (К+1)(2п+3)
„ т. 2 йК +1 = V1 IптЛ , й = V
СО _
X^nmV-m/2, (I = 1,6).
(40)
Поставляя (39) с учетом (40) в (34), находим изображения для коэффициентов рядов перемещений и угла поворота (для краткости выписываем формулы только для коэффициентов рядов нормального перемещения; остальные коэффициенты имеют аналогичный вид):
_ __ад
(г, г) = Бп1 (4)1,4) ) Рп1 (гг) £ п (К; к0, кь . . , кб )£
w) т( w)
0(к0...кб)£ 01(к0...кб)£02(к0...кб)
К=0
ад
»Й (г, г) = -5п2 (г, 4))Рп0 (г,)) £ п (К; к0, кь., кб )£
0, к1..., кб )£0
Н (w) т( w) т( w) 1(к0...к6^ 11(к0...к6^ 12(к0 ...кб) £1 £2 ,
К=0
где
Н0(к,...к6)= к0 + к3 + к4 + к6 + 0 - г V2, Н
1(к)...к6) = к0 + к3 + к4 + к6
Т
111.16) = к1 + к3 + к5 + к6 + 0 - г V2, Т
^ = ^ = к. + к„ + ь + ь
02( к0...кб) = Т12(к0...кб) = к2 + к4 + к5 + кб
1 ад ^ ^
П( К; к0, к1..., кб ) = £ £^(к0.Л )пг"п/2, ТЙ' ,,= к + и + к< + к
„2п+3
к0 +...+к6 =Кп=0
' 01(к0...кб)
11 + кз + Л5 + кб,
£ ^п(к0...кб
п=0
Гп/2 = (К;к0,...,кб) £ ¿0ппг-п/2 х...X £ Збппг-п/2 £ 8п п=0 п=0 / п=0
-п/2
г
Используя (36) и (38), раскладываем в степенные ряды все остальные составляющие выражений (41):
3,1 (Т^л/Л) Рп1 (гг ) = ^4п+5)/2 £
_ (4п+5 у ^
N(w) = N(w) = N(w) = ^^ = 2г N1 ^ = = N1 ^ = N[Н1) = 0
1 01 1 У 0з 1 У 05 1 У 07 , 1 У 00 1 У 02 1 У 04 1 У 06
&>г„Лw)-пl2
е-^ ге-м0' - £ /п...т
п=0
(^ _ дгМ - лД^ - лгМ - ,
м0:)= м0w) = 0,м0е) = м^ = 2^0, м0;)= = м0е) = м0;) = 2(д,);
ггн0(к0...к6^Т^1(^...к6) I:Т^2(к0...к6)_ 2н0(к)0...к6)г 24>(к0...к6)^г^ (w) -
£0 £1 £2 е е £ с0(к0...кб)пг
п=0
Н _ д,/(w) _
06 =
п/2 гИ _ тЧ^ О , Т'М /Э ^0( к0...к6) Т01( к0...к6 )М) + Т02(к„ ...Ь 0
'02(к0...к60'
£
(w) - п/2
С0(к0...к6) пг
= 1£ А»
2Т01(к0...к6)
г^п/2 ¡> X •
£ Ап
2Т02(к0...к6)
-п/2
(42)
ад
ад
ад
7
г
п=0
п=0
п=0
____7
5п2 (^) Рп0 (г4Л) = л2п+1 X
I=0
Лг) _ лгН _ дг(г) _ лгН _
-мМ^-^ „(г) -т/2
X £(
/ 1 о гп
т=0
N (г) = = N1 г) = = 2 М(г) = N(г) = #(г) = N(г) = 0
^ 12 ^13 ^16 ^ 17 2, ^10 ^11 ^ 14 ^ 15 0,
М« = м? = 0, М« = М1(3^) = 2г Д, м« = м¡6г) = 2Д0, М1(5^) = м<;) = 2 (г Д0 + ДД);
н
(г)
г(г)
Г(г)
(г) (г) С
й^Кк0...кб) й111(-ко к) ^^к0...кб) = е~2Н«*0...кб)е2^ко-кб)^ X С?) л"т/2 Ь^ = Т
V
X Ч^-лт
т=0
1(к0. . .кб) 11(к0. . .кб)^0 1 12(к0. . .кб^0
Д + Т(г) Д
Д0 + Т12(к„ ...Ь ) Д 0,
X
т=0
С1( kо...kб)m5
-т/2
^ Лт
т=0
-2Т
11( к0 ... кб )
л~т/2 >х<
X Л»
т=0
-2Т
12( к0 ... кб )
—т/2
(43)
где коэффициенты /Ут), £Тя выражаются через коэффициенты рядов (38) с помощью правил для произведения и сложения степенных рядов.
Поставляя (42) и (43) в (41), окончательно получаем
7 с
Жп10 (г, л ) = л -12 XX X е
Л?) -
Л0i(kо...kб)V е —01 (к0...кб) Л
-Г)
—01 (кп.Ь:)>^
г„п1п, ,, (г ) л"
■т/2
п01(ко...кб)т
1=0 К=0 кп +...+Ь =К
т=0
(г, л) = л -2 XX X е
г(г)
„(г)
1 (ко...кб) Ve —11 (ко...кб)
=0 К=0 кп...+Ь =К
;гп1г(ко...кб)т (г ) л
■т/2
(44)
где
X
т=0
-т/2
-т/2
,, ч„.(г)л"т/2 =X^ >- ^ т/2 XX ,, ^ т/2 х
п0г (ко...кб)т
т=0
п(ко...кб
т=0
С г
c0(kо...kб)mV
X /
/ с/ гп
г -т/2
гпт 5
т=0
Лг) = N г)+ 2Н1 г) —г) = М1 г)+ 2Пг) • Лог(ко...кб) ^ог + 2Н о(ко...кб), —ог(ко...кб) м ог + 2п0(ко...кб);
X
-т/2 .
-т/2 .
г..,,,,. ,, (г) л»/2 =X^ ""2 XX с;,,/ ,, ^,..5m'2 X
п1г (к0 ...к6 )т
п(ко...кб
X'
'1(ко...кб)
X £
г )\-т/2
гпт 5
Л г) = N г)+ 2Н
Л1г (ко...кб) л1. + 2Н
1(kо...kб), —1г(ко...кб)
= М(г) + 2Ь(
1(к0...кб)
Аналогично можно представить изображения коэффициентов рядов для касательных перемещений и угла поворота в виде:
т=0
с
7 ад зМ _ (V) г-
Л0К к0...к6)г К01 (кп...кс )> г
1=0 К=0 к„ +...+Ь =К п=0
(к0...к6)ге "0'(к0...к6^г £ V
п/2
^и0 (г,г) г ^ ££ £ е е £ Кп0г(к0...кб)пг ,
п=0
7/ ад (V) (V) 1- ад
^ (г г) = г"£ £ £ е (к0...к6)^(к0...к6^г
1=0 К=0 кп+...+Ь =К
[1 (к0...к6) 11 (к0...к6) >1; с
е £ "п!(к0...к6)пг
п=0
-п/2.
7 з(ш) (ш) г
П^ (г, г) = г-1 £ £ £ е ^ . ^е"1'^^ ^
1=0 К=0 к„ +...+Ь =К
£ Шп1г(к0...к6)пг
-п/2
(46)
Оригиналы коэффициентов рядов для перемещений и угла поворота (44) - (46) находятся с помощью теорем операционного исчисления и следующих табличных соотношений [5,6] с учетом сдвигов коэффициентов:
е-)ге~а^г ~п/2 =
(г -А)
п/2-1 а2
42У™
е 8(г-Л)Ц
1-п
ж
а
(п = 0,1,2...;Яеа > 0 )
где Ц (х) - функция параболического цилиндра; ха = хаН (х); Н (х) - функция Хевисайда.
Отметим, что функция параболического цилиндра обладает свойством Ц (2 ) = Ц (г), из которого, а также из равенств (33) следует, что оригиналы искомых функций являются действи-
тельными.
Пример расчетов
В качестве материала, заполняющего пространство рассмотрим зернистый композит из алюминиевой дроби в эпоксидной матрице ( Л = 7.59ГПа, /л = 1.89ГПа, / + £ = 2.64кН) [7], что соответствует безразмерным параметрам к = 0.67, ]] + £ = 0.002з2. Положим, что на границе полости заданы перемещения следующего вида:
1
С г
(0,г) = -(1 + 008 20)Н (г) •
п=0
При этом
и>,
00
(л) = —, < (л) = —, гЬо (л) = 0 (п = 1, п > 3),
3 л
3 ^
и в рядах (11) - (12) отличны от нуля только члены с индексами п = 0 и п = 2 .
В результате получаем
г (г.
(г, в, г) = г0 (г, г) Р (соб в) + г2 (г, г) Р, (соб в),
( г, в, г) = -у ( г, г) С3/2 ( соб в) ^п в, а (г, в, г) = -— ( г, г) С3/2 ( соб в) бш в
Здесь
го (г
( Г,Г) = XX X ( К; ^ кб ) X г00г (ко...кб)т (г ) ^0(оггк...кб)т (Г, г) ,
I=0 К=0 Ь, +...+Ь =К
г2 ( г
(г,г) = XX X (К; k0, k1,---, кб )XГ20г(kо...kб)m (гКог(ко...кб)т
=0 К=0 к„+...+Ь =К
(г, г) +
+X
1=1
XX X (К; ^ k1,..., кб )X г2 ;г(ко...кб)т (г ) 1,..*б)т (г, г)
=0 К=0 к„+...+Ь=К
У2 ( г
(г,г) = XX X (К;ко,к1,...,кб)X
=0 К=0 к. +...+Ь =К
и(у)
У20г(к0...кб ) т^20г ( к0...кб)т
( г ,г) +
+X
1=1
XX X (К; к0 , к1,..., кб )X У21 (ко...кб)т^2;,)(ко...кб)т (г, г)
=0 К=0 к„ +...+Ь=К
— (г
( г,г) = X
1=1
XX X (К;ко,к1,...,кб^
=0 К=0 к„ +...+Ь =К
а И[а)
21 (ко...кб)т 21 (ко...кб)т
( г,г)
где
т=0
т=0
т=0
н
и
■001 (к0 ...к6 )т
н
(")
2 Уг(ко...к6)т
)
2й (к0 ...к6 )т
(г, г) = /о" (т + 3)/3г2, н2о".{^)т (Г, г) = 2/о(") (т + 3)/3г4,
(гт) = 4/«(т + б)/г\ н2?(ко...к6)т (Г,т) = /в>(т + 4)/3г5, , = (1,2);
н(1 = 2 /(У)( т + 5)/3г 4, I = ( 0,1,2);
//*>( т ) =
т-л
1 (ко...кб)
т/2-1
1
/г(ко...кб) I
721
^ 8[г л((к(...кб)^
ж
И(ко...кб)
Ф
т-л
(ко...кб)
г, а
= (V,®).
Графики нормального ", тангенциального V перемещений и угла поворота со в зависимости от времени на расстоянии г = 0.99; 0.95; 0.92; 0.88 от центра шара при 6 = ж/4 и К = 1 приведены соответственно на рис. 1 - 3. Они соответствуют четырем членам степенных рядов (47). При разных значениях К или учете еще одного члена степенных рядов графики совпадают.
Рис. 1. Изменение радиального перемещения по времени
г=0 92
Рис. 2. Изменение тангенциального перемещения по времени
Рис. 3. Изменение угла поворота по времени
Библиографический список
1. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables. - Paris: Librairie Scientifique A. Hermann et Fils, 1909. - 226 p.
2. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц. Физика твердого тела, 1960. Т.2. №7. C. 1399 - 1409.
3. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872c.
4. Миндлин Р.Д., Тирстен Г.Ф. Эффекты моментных напряжений в линейной теории упругости. Механика. Сб. Пер, 1964. №4. С.163 - 176.
5. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах. М. : Физматлит, 2004. - 472c.
6. Абрамовица М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. М.: Наука, 1979. - 625с. и 832c.
7. Ерофеев В.И. Волновые прцессы в твердых телах с микроструктурой. М.: Издательство Московского университета, 1999. - 328c.
Сведения о авторах
Лай Тхань Туан, аспирант Московского авиационного института (национального исследовательского университета), тел.:(962)9254399, еmail: thanhtuan711 @yahoo.com
Тарлаковский Дмитрий Валентинович, профессор Московского авиационного института (национального исследовательского университета), д.ф.-м.н., тел.:(499)1584306,
тел.:(903)7660347, е-mail: tvd902@mai.ru
