Дифракция нестационарных волн на сферической полости в псевдоконтинууме Коссера Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

119

ДИФРАКЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЛН НА СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ В ПСЕВДОКОНТИНУУМЕ КОССЕРА

Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д. В.

Московский авиационный институт, http://www.mai.ru 125993 Москва, Российская Федерация Поступила 08.04.2013

Представлена действительным членом РАЕН ВИ.Ерофеевым

Для моделирования нестационарных процессов в различных конструкциях из композиционных материалов используется модель Коссера. Целью работы является постановка и построение аналитических решений двумерных задач о дифракции нестационарных волн на сферической полости в пространстве, заполненном однородным изотропным псевдоконтинуумом Коссера. Предполагается, что начальный момент времени поверхности полости касается фронт плоской или сферической волны. Математическая постановка начально-краевой задачи дается в безразмерном виде. Для решения применяются разложения в ряды по полиномам Лежандра и Гегенбауэра, преобразование Лапласа по времени и его обращение в окрестности начального момента времени с использованием рядов Лорана для изображений. Показано, что предельный переход в полученных решениях приводит к известным результатам для классической упругой среды. Приведены примеры расчетов для материала в виде зернистого композита из алюминиевой дроби в эпоксидной матрице.

Ключевые слова: нестационарная задача; псевдоконтинуум Коссера; осевая симметрия; преобразование Лапласа; асимптотический метод

УДК 539.3________________________________

Содержание

1. Введение (119)

2. Постановка задачи и представление решения в виде рядов (119)

3. Решения в пространстве преобразований Лапласа (121)

4. Предельный переход к теории упругости (122)

5. Оригиналы компонент напряженнодеформированного состояния (123)

6. Пример расчетов (123)

7. Заключение (124)

Литература (124)

1. ВВЕДЕНИЕ

Несмотря на то, что теория упругости успешно описывает распределениенапряжений в конструкциях, существуют и модели сред, учитывающие внутренний момент количества движения, при которых она становится неприменимой. Среду, моделируемую таким образом, часто называют средой Коссера, а за теорией в литературе закрепились названия моментной, несимметричной, а также микроструктурной теории упругости. Необходимость использования таких моделей возникает при исследовании динамических процессов в различных конструкциях из композиционных материалов, которые в последнее время широко используются в различных областях, в том числе в авиационной и ракетно-космической технике.

В отличие от модели классической упругости в среде Коссера деформация описывается не только вектором перемещения u, но также вектором поворота ы, а напряженное состояние характеризуется несимметричными тензорами. На сегодняшний день существуют несколько направлений развития

несимметричной теории упругости, в том числе упрощенная теория среды Коссера - теория так называемого псевдоконтинуума Коссера. В ней предполагается, что подобно классической теории упругости имеет место зависимость вектора поворота от ротора перемещения:

ы = 'Krotu. (1.1)

Целью данной работы является постановка и построение аналитических решений двумерных задач о дифракции нестационарных волн на сферической полости в псевдоконтинууме Коссера.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ РЯДОВ

Рассматривается заполненное однородным изотропным псевдоконтинуумом Коссера

пространство со сферической полостью радиуса R0 и центром в начале прямоугольной декартовой системы координат Oxyz В момент времени t = 0 поверхности полости касается фронт волны расширения (P-волна) одного из двух типов: плоская с фронтом, перпендикулярным оси Ox, или сферическая, генерируемая точечным источником, расположенным вдоль оси Ox на расстоянии D0 (D > R) от центра полости.

Векторное уравнение движения в перемещениях псевдоконтинуума Коссера при отсутствии массовых сил имеет вид (точками обозначены производные по времени) [1]

ри = [іДи + (А + |r)grad divu + %(у + e)rot rotAu, (2.1) где р и А, [х - плотность и упругие постоянные Ламе среды; у и е - дополнительные физические характеристики среды; Д - оператор Лапласа.

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

120

ЛАЙ ТХАНЬ ТУАН, ТАРЛАКОВСКИЙ Д.В.

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

Далее будем использовать сферическую систему координат r, Ѳ, 3 с центром О: r > 0, 0 < Ѳ < п, -п < 3 < п. Осесимметричный характер движения

обеспечивается зависимостью искомых функций только от времени, радиуса r и угла Ѳ.

Используя разложение поля перемещений на потенциальную и вихревую составляющую, выражаем тангенциальное ѵ и нормальное w перемещения через скалярный потенциал ф и ненулевую компоненту векторного потенциала ф: dm 1 ( dw

ur = w = — + — \—!— + wctgO

dr

1 (dm

дѲ

w

u3 = 0,

dw

r \ дѲ ' ) dr а уравнение (2.1) заменяем следующей эквивалентной системой

m = Am, А = \

r

Ц r 2 AA_L А dr ^ dr) sinn дѲ

8ІПѲ —

дѲ

1

.. 1 -к r/ + I

W =^AiW-------— AlAlW, Аі =А-—. 2q-

2 4 r sin Ѳ

Связь координат вектора поворота перемещениями следует из формулы (1.1):

Г д , ч дw

—(rv)-----

д2 ’ дѲ

(2.3)

1

r

а = а = 0,

(2.4)

огг = угг +KУѲѲ,

,+KYrr

--K(Yrr +Гѳѳ) ,

An

1 -К I - 2 (ГгѲ

(2.6)

1 -к t

= — (Ггѳ+Гѳг

= -1 \д!Ь± +1

I 2 [ дѵ r

да

~Х7Т + 2ar3 + Рз, + (аѲ3 + азѳ) ct§n дѲ

= 0, ОД

=1 =0, 4=1

+ ®0І ѵ=1 = 0. (2.8

Возмущающей нагрузкой является P-волна с потенциалом ф (r, Ѳ, т), который для плоской волны имеет вид

m0 (r,Ѳ,г) = f (т + r cosn-1)H(т + r cosn-1), (2.9)

а для сферической

1 L 1 i

m0 (r,Ѳ,Т) = -0— f (T+d0-1 -l)H(T+d0-1 -l)• (2.10)

Здесь f(x) — произвольная функция, задающая закон изменения потенциала в° времени; H(x) - единичная функция Хевисайда; l = 2 + d0 - 2rd0cosn . Множитель

(d0 — 1) в (2.10) поставлен для того, чтобы выполнялся предельный переход от сферической волны к плоской при

(2.2) d0 ^ ю и выполнялось равенство ф0(1, 0, т) — fT).

В соотношениях (2.2) — (2.10) и далее использованы безразмерные величины (при одинаковом начертании они обозначены штрихами, которые в последующем изложении опущены)

, r , w , v , m , w

r = —, w = —, v = T, m =J-y;, w =2

c1t

L

L

L

L

J a/3

Л + la d0 = D■ x’“= Lx

a(3 ’

а компоненты тензоров деформаций уа(3 и изгиба-кручения ({а, P} — {r, Ѳ, 3}) определяются

геометрическими соотношениями

дw дѵ 1 (дw

Yrr =—, Yn =---О Ynr =~\-----ѵ І + а,

rr дг'Ѳ дr Ѳ r \дѲ )

уѳѳ=1 (ѣ>+w ], узз=1 (w+vct§^); (2.5)

r\дѲ ) r

да 1 да а а

Xr3 = ~Х~, ХѲ3 = У77, X3r = , Хзѳ = ctgn

дr r дѲ r r

Компоненты тензоров напряжений о и

моментных напряжений [і определяются с помощью следующих физических соотношений:

агз = 4+Хгз+^-Хзг, а = 1+Хзг + 4-Хз азѳ = %+Хзѳ + |-Xѳз, I+ = n + 1, 4-=п~4;

I =

(л+ав> = Хѳ3, n = (!+kw

s Л

к = -

(л+2а) l л+2а

В начальный момент времени дополнительные возмущения в среде отсутствуют, что соответствует однородным начальным условиям:

mU=wU=m U=y> U ^ 0. (2.7)

Предполагается также, что компоненты напряженнодеформированного состояния ограничены, а поверхность полости r — 1 свободна при наличии стесненности поворотов, что отвечает следующим граничным условиям (индекс “0” соответствует компонентам напряженнодеформированного состояния набегающей волне)

л+2 а р ’

Для определения решения начально-краевой задачи (2.2) — (2.8) искомые функции представляем в виде рядов по полиномам Лежандра P (cosd) и Гегенбауэра C^ (cosn) [2]:

m=^jm„ (r, т)Pn (cos Ѳ), w = -sin^ w (v,t)C32 (cosn),

n=0 n=1

w =2 wn (r, t)Pn (cos Ѳ), v = - sin ^ vn (r,t)Cf (cosn),

n=0 n=1

а = - sin ^On (r,r) Cj2 (cosn), (2.11)

arr = 2arrn (r, t) Pn (cosn), 7rn = - sin "^ѴгѲп (r, t) Cj2 (cos Ѳ),

n=0 n=1

7ѲѲ = 27ѲѲп (r,T) Pn (cosn) + ■c°^n2(l -к) vn ( r,r) СЛХ ( cosn).

n=0 r n=1

Компоненты тензоров деформаций, изгиба-кручения и моментных напряжений записываются аналогично (2.11).

Подставляя (2.11) в (2.2) — (2.8), приходим к следующей начально-краевой задаче для коэффициентов рядов фп =Аnm„ (п > 0),

wn = 1ттАnWn-1 (n+I)AlWn (n >1),

(2.12)

д2 2 д n

An = —2 +----------

дr2 r дr

(n+1).

n (n+1) m„-wn

w =------^----w , v =———

дr r r

а„ =1 \ vn-w.+Хл.

21 r дr

д¥„

дr

(2.13)

с

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ДИФРАКЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЛН 121 НА СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ...

г д— — , ч —

MrSn = Д+И---Д----, Мѳзп =-n (п + 1)Д+-,

dr r r

S = -Д+ — + Д —, Мш, (r ,t ) = -n (n + 1) Д —;

(2.14)

dr

= Д + K [2w. - n ( n +1) Vn ],

dr r

ОѲгп = a(rB)n %Ѳ]п

--4 'дЯя,

V]n ■ 2\ v дѵ

Vn 1=0 = Wn 1 L=0

°rrn L=] [= 0n r=P

Здесь °rr0n и °іѲ0п

1 - + ( dv„_ dr

• U(re)n 2

№esn + №srn + ^^rSn

b = W = 0;

n lr=0 Tn lr=0 ’

“(rO)n -

w - V

—

-ПТ;

r

функций оДц Ѳ, т) и or60(r, ѳ, т).

dr2

dr

n (n + 1) 2

——- + s

vt(r, s) = дтгAL (s) Rno(rs) e~(r-1)s,

w (r, s) = -J+T І BL- (s) Rno (r4Tm ) Дг-^ ,

(3.7)

где

An1 (s ) =

П

s%/2ns

У)

c£>( s

(2.15)

(2.16)

(2.17)

BL- (s) =~П=Шй(- =1,2),Rno (z) = i AkZn-k, (3.8)

у/2пА,т к=0

(n + k)!

Ank = (n - k)\k\2k (0 “ k - n), Ank = 0 (k < 0, k > n)

Подставляя (3.7) в преобразованные по Лапласу формулы (2.13)-(2.15), получаем изображения коэффициентов рядов для тангенциального и касательного напряжений, а также для угла поворота

Pni (rs)A (s)e-r-1)s +

+n (n + 1)SPn2 ()bL (s) e(r-№

atn (r, s ) = ++? r

3. РЕШЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА

К дифференциальным уравнениям (2.12) применяем преобразование Лапласа по времени ( s - параметр; индекс “L” — обозначает трансформанту). В

результате получаем следующие уравнения:

д Ѵ„ (r, s ) + 2 дѵ‘п (r, s )

1

,„n+3

Pn2 ( rs) A (s) e~(r-1)s +

+iPn3 (rtf) BL (s) e -r-1Ж

i =1

1+3 i Qn (rfi) BL (s) e-r-1^.

(3.9)

VL (r, s) = 0, (3.1)

(П + Д)AlwLn (r,s)- 2(1 - (r,s) + 4slwln (r,s) = 0. (3.2)

Общее решение уравнения (3.1) имеет вид

Vn (r, s) = r [сШ (s) К n+1/2 (rs) + Сni2) (s) In+1/2 (rs)] , (3.3)

^(1)

где Cn1 и С.2 - произвольные постоянные интегрирования; I (z) и K(Z) - модифицированные функции Бесселя порядка ѵ первого и второго рода соответственно [3].

Для решения уравнения (3.2) полагаем

A nWt =W, (3.4)

и получаем характеристическое уравнение

(П + - 2(1 - к)\ + 4s2 = 0. (3.5)

Учит^івая, что фундаментальная система решений уравнения (3.4) состоит из модифицированных функций Бесселя, находим общее решение уравнения (3.2):

W ( r, s ) =

=r-1'2 [icn-?(s)Kn+1/2 (rjAT)+icnm+2 (s)in+1/2 (rjT-)], (3.6)

где Д (m = 1, 2) - корни характеристического уравнения (3.5); сП2 (j = 1,4) - произвольные

постоянные интегрирования.

Принимая во внимание свойства

модифицированных функций Бесселя (на

бесконечности функция I (у) неограниченна,

а K (у) ограничена) и условие отсутствия возмущений на бесконечности, получаем, что Сй (s) = с.3 (s) = сП4} (s) ^ 0. Далее используя связь модифицированных функций Бесселя полуцелого индекса с элементарными функциями R (у) (n = 0, 1, 2, ...) [2], записываем равенства (3.3) и (3.6) в таком виде:

nv ' 2rn i=1

Здесь

Rn1 ( z )= Rn+1,0 ( z )-nRn0 ( z ) ,

Rn2 ( z) = Rn + 2,0 (z) - (2n + 1)Rn+1,0 (z) + n (n - 1) Rn0 ( z Pn1 (Z) = Rn2 (Z) - ^^2Rn1 (z) + . (. + 1)R.0 (z)] ,

P.2 (z) = (1 -i)[R.1 (z)+ R.0 (z)],

1 -Kr

Pn 3 ( z )=-

-[Rn 2 ( z )+( П +2 )( n -1) R.0 ( z )1\-Mn ( z V4r 2

M. (z) = П + Д)

Qn (z) = Rn+2,0 (z) - (2n + 3) Rn+1,0 (z),

Rn+4,0 (z)- 2 (2n + 5)Rn+3,0 (z) +

+(2n + 5)( 2n + 3) Rn+2 0 (z)

Причем, как следует из связи модифицированных функций Бесселя полуцелого индекса с элементарными функциями [2] и формул дифференцирования функций Бесселя [3], для многочленов pn1(Z), p„2(z), P (у) и Q Z справедливы равенства

n + 2 n + 2

Qn (z) = i Dnkzn+2-k, Pm (z) = i Enkzn+2-k,

k=0 n+1

k=0 n+ 4

(3.10)

Pn2 (z) = i Fnkzn+1-k, Pn3 (z) = i Gnkzn+4-k,

k=0 k=0

где

Dnk = An+ 2,k - (2n + 3) An+1,k-1,

Enk = An+2,k - (2n + 2k + 1) An+1,k-1 + n (n + 1)(1 - K) Kn

Fk =(1 -+)[ An+1,k -(n - 1) Ank-1 ] ,

G (П+Д A |(. 5)(П+Д) A .

Gnk =------—T~ An+4,k +(2n + 5) , 2 An+3,k-1 +

4r 2r

1 - +

-(2n + 5)( 2n + 3)П+Д 2 V A ’ 4r2

A +

^n+2,k- 2 ^

+ (2n +1)+^An+1,k-3 +(n2 -1)(1 -+)a.,k-4.

Кинематические параметры среды в набегающей волне определяются соотношениями (2.2) и (2.4):

дл 1 д% 1

w0 =---, v0 =----, -0 = —

dr r дѲ 2r

Id^L -dt3L

дrдѲ dr дѲ

= 0.

(3.11)

= ^гѲОп r=1 , —n\r=1 = — 0nL=1

L

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

122

ЛАЙ ТХАНЬ ТУАН, ТАРЛАКОВСКИЙ Д.В.

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

а обусловленные набегающей волной нормальные напряжения согласно (2.5) и (2.6), имеют следующий вид dwo 1 (dv0 1

errо = Yrrо +4МО, Yrrо =—, Yeeo + wo I• (3.12)

dr r удѲ )

Отметим, что функция f в (2.9) и (2.10) должна удовлетворять условиям нормировки нормальных напряжений на фронте волны в момент т = 0 ее касания поверхности полости

Опо(1, 0, 0) = Оо. (3.13)

Соответствующие ограничения удобнее получить в пространстве преобразований Лапласа. Из (2.9)-(2.10) и (3.11)-(3.12) находим изображения нормального напряжения в набегающей волне - плоская волна

P (г,Ѳ, s) = fL (s)e"(1-rcose)s,

-L, (r,Ѳ,s) = s2fL (s)(cos2 Ѳ + Ksin2 Ѳ)e-1 rcos0)s

о (i,0, s ) =s 2 fL (s); - сферическая волна

Pp (r.O.s ) = fL (s) e^‘-d°>,

e„o (r,tf,s )

do -1

fL (s)

•- docos^) +Kdo2sin2 -(1 + к]12Ею (Is)

I R2o (ls

fL (s)e

-(1+Z-do )s

L

rr o n

L

no

L

A (s ) =

К (* ) =

ПLron (sК ) + n(n + 1)ПL9o„ (s)r„2 )

: Zn ( s ) ’

nLro n (s )A ( s,JX) + ntn„ (s )Y„4 ( )

Zn ( s ) ’

(3.20)

(3.14)

L ( ) nLron (s)Y„3 (s,JX) + ntm„ (s) YM (s.JX)

Bn2 (s’ = Z, (s) ’

где

nton = Пton (s) = -eLrron (1, s) = - fL (s)Г [P (-s)- e-2P„i (s)],

ПA = ПѲ (s) = -eX (1,s) = fL (s)Г [p,2 (-s)-e-2Pn2 (s)];

C (s) = P„ (s) И (V4,VA)- n (n +1) p,2 (s )Yn2 (.ДЖ), (3.21)

Yn1 ( - У ) = Qn ( - ) Pn, ( У) - Qn ( У ) Pn, ( -) , Yn3 ( - У) = Pn2 ( -) Qn (y) ,

Yn2 (- У ) = Qn ( -) Pn2 ( У )-Qn ( У) Pn2 ( -) , Yn4 ( - У ) = Pn1 ( - ) Qn ( У )•

Окончательные выражения для изображений коэффициентов рядов для напряжений и угла поворота имеют следующий вид:

e»rn (r, s) = -Ъ H»o (r, s) e~(r-1)s + n (n + 1) Z H»m (r, s) e~(r-1)E*

eten(r,s) = -^ ®Lo(r,s)e

-(r-1)s

, (r 1^лТ

(3.22)

A (r, s ) = - Лз ±an. (r, s) e+-1)^,

(3.15) где

^rro (1Л s) = ^T^ {R2o [(do - !) s]-(l + k) Ro [(do -1) s]}e-(,+'-do)s,

( do - 1 )

где многочлены Ем(%) определены в (3.8).

Таким образом, для обоих типов волн условие (3.13) с учетом (3.14)-(3.15) приводит к следующему ограничению для изображения функции f [2,4] erro (1, o, o) = limerro (1, o, t) = lim seto (1, o, s) = lims3 fL (s) = eo, (3 16)

что в пространстве оригиналов эквивалентно равенствам

f (o) = e, f (o ) = f (o) = o. (3.17)

Для определения изображений eLrr0n и e^on в граничных условиях (2.17) с использованием теоремы сложения для функций Бесселя [5], а их связи с элементарными функциями, находим изображения коэффициентов разложения в ряды по полиномам Лежандра потенциалов (2.9) и (2.10):

rs

pL (r,s) = Eo (s)^[R„o (-rs)-e-2Xo (rs)]. (3.18)

Здесь

Eo (s) = fL (s) e-sГ, (# = 1,2);

г =(n+11-01 Г =(n+11(ОЖаЗ^^

Г1 =1” + 2) s-1 , І2 =1” + 2) s2n+1dn0 ,

где Г - соответствует плоской волне, а Г - сферической.

Изображения коэффициентов рядов для напряжений в набегающей волне находятся из равенства (3.18) с помощью формул (2.13)-(2.15):

(С s) = Eo (s) rn+3 [P”1 (-rs)- e~2rrPn1 (rs)] ,

(r, s ) = 0, (3.19)

rs

n (r, s) = -Eo (s) rn+3 [Pn2 (-rs)- e~2rrPn2 (rs)] • Поставляя (3.9) и (3.19) в граничные условия (2.17), находим постоянные интегрирования:

Hl (r,s) = Pm (rs) A» (s), HLnm (r,s) = Pn2 (rjAn )BLnn (s),

®Lo (r, s)= Pn2 (rs) AL (s X

®Ln (r, s) = Pn3 (r4K, ) BL (s) , ^tn (r, s) = Qn ( а/ЛП) BL (s)•

4. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Для указанного перехода в полученных выше соотношениях необходимо перейти к пределу при г] —► 0 и ^ — 0. При этом для корней (3.6) характеристического уравнения имеют место следующие соотношения

Л ^ го, л ^

2s2

(1 -к)

= (Y2s )2 •

В результате изображения коэффициентов рядов для напряжений в (3.9) имеют следующий вид

.( r, s

-(r-l)s

Pn1 (rs ) AL ( s) e

+П (n + 1) Pn2 (rY2 s) B»2 (s) e

lr-1)Y2s

,-(r-C

eL(r,s ) = - rn+3 Здесь

aL (s) = P"3 (ris) ПL A'( s)_ z; (s) П"

Pn 2 ( rs ) AL ( s ) e

+P: (rY2 s) Bn2 (s) e

-(r-1)Y2s

(4.1)

n (n + 1) Pn 2 (Y)nL ( rj* / \ Пr^onl

Zn ( s )

BL (s ) = o, B»2 (s ) = -PnО П»

z; (s)■

Pn1 (s),

z; (s)

где

p;3 (z) = 1^к[R"2 (z) + (n + 2)(n-1)Rno (z)] = ZG*zm

G; = -~2к\_An+2,t-2 - (2n +1)A"+l,k_з + 2(n2 -1)A",m ]

zn ( s) = Pm ( s ) -Pn*, (Y2 s )- n ( n + 1) P"2 ( s ) P"2 (Y2 s ) •

Полученные результаты в (4.1)-(4.3) с точностью до обозначений совпадают с известным решением соответствующей задачи в [6].

(4.2)

(4.3)

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ДИФРАКЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЛН 123 НА СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ...

5. ОРИГИНАЛЫ КОМПОНЕНТ

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО

СОСТОЯНИЯ

Получить аналитические выражения для оригиналов функций в (3.22) затруднительно ввиду наличия в них слагаемых, содержащих радикалы ■\JA1,2 . Поэтому строим асимптотические представления искомых функций в начальный момент времени, что соответствует разложению изображений в ряд по степеням 1/s в окрестности бесконечно удаленной точки.

При этом корни уравнения (3.5) имеют следующий вид

ѴА =Л 2ps ,л/А =Л 2pF,

1=0 1=0

в0 =aa0, в = аа1, в2 = аа2, а = 1 + i, a0 = і/(п + ^)1/4, (5.1)

аі =(1 -к)/ 4/ (n + ^)3/4, а2 =-(1 -к)732/(п + ^)5/4-

Разложение для экспонент, входящих в (3.5), получаем, используя известные ряды Маклорена:

= erp0'fs 2 Aks-k/2, = erpps 2 lks~k/2,

k=0 k=0

A0 = 1, A1 = гД,A2 =(rв)2/2, (5.2)

A3 = r в2 +(rpx )3/б, A4 = rrP1 p2 = 2r2a1a2.

Учитывая (5.1), строим ряды для степеней радикалов (k = 0, 1, 2...)

А/2 = sk/2 2 Km, А/2 = sk/2 2 Km,

^ m 5 ^ m 5

m=0 ^ m=0 ^ (5 3)

bk 0 =pk, bkl = kpp-1, bk 2 = kpk-1 [(k - 1)Д/2 + P2 ].

С использованием (3.10) и (5.3) получаем разл°жения для Лутцм Р,(Д PJz>) и

(z = {^JA1,r*Jl2}). Например разложение для функций P (z) имеет вид

P

п1

P

п1

где

(гу[л1 )= s(П+2)12 2 Fnm (r ) s

m=0

(r4A2)

= >+2)/2

2 Fnm (r )

= S " 2 F nm ( r ) S

m=0

-m/2

[m / 2]

F (r ) = 2 C rn+2+2k-mb

1 nm У ) ^n,m-2k' Un

k = <

(m < n ),

HL0 (r, s) e-(r-1)s = = „-(rA

П L 0n ( S )2+ n (n + 1)П Д ( S

HL (r, s) e-(r-1)'A = =

П 0 n (s )2^P+ПД (s )2^P

(5.5)

HL2 (і s)e^-1^ = -e-(r -1)pCs

пД (s)2^#+nyn (s)2 sm2

m=5 ^ m=3

fX n1m ( r )

Поскольку ПLrr0n (s) и ПLre0n (s) в (3.21) представляют собой суммы произведений функций e2s и sk, то оригиналы коэффициентов рядов в (5.5) находятся с помощью теорем операционного исчисления и следующих табличных соотношений [2,4]

>-k )Т

e~kss~M =

А (м)

(м> 0 ),

в~а^* s~m/2 - т

m/2-1 a2

'42-

в SrD1-m I ,— \(m = 0,1,2...; Re а > 0).

(5.4)

п к42Т у

Здесь ГД) - гамма-функция; D (x) - функция параболического цилиндра; x+ = xaH (x).

6. ПРИМЕР РАСЧЕТОВ

В качестве материала, заполняющего пространство, рассматриваем зернистый композит из алюминиевой дроби в эпоксидной матрице (X = 7.59 ГПа, р = 1.89 ГПа, у + е = 2.64 кН) [7], что соответствует безразмерным параметрам к = 0.67, п + ^ = 0.00232.

Полагаем, что функция, задающая закон изменения потенциала во времени в формулах (2.9) и (2.10), в соответствии с условиями (3.17) при о = 1 имеет вид

f (о=2т+2, fL (s )=-1Г,

что, согласно (3.16), эквивалентно следующему равенству для нормальных напряжений в момент касания волны поверхности полости: оД1, 0, 0) = 1.

В результате получаем оригиналы для коэффициентов рядов по углу для радиального, касательного напряжений и угла поворота. Например, выражение оригинал нормального напряжения имеет вид

ст„

(r ,Г) = ~^ 1 2 № (r ) -/1k Т)+2 lnll] (r ) f2k (Т) +

+n (n+1)2

где

m=1

2 hnmk (r) gm (r)+2 im (r) ^ (^)

l[(m - n V2 ] (m > n).

Разложения в ряды Лорана функций 7n1 (з/А",д/АГ),

^,2 ), Рпз (s,4A), Yn 4 (s, ТА) (i = 1, 2) и z д

находим, используя (3.21) и (5.4), с помощью правил для произведения, сложения и деления степенных рядов.

Окончательно приходим к следующим разложениям слагаемых в (3.22) (они указаны только для нормального напряжения)

f10 (t) = S(t-r +1), f1k (т) =

(т - r + 1)‘

Г( V 2)

k 2-1

(т- r - 1)k/2-1

/20 (т) = 8(т-r -1),f2k (т) = Ц-^^ (k > 0),

Г( k 2)

т-(1-Ѵ2) 21, ,

gm* (т) = Т^e-p'(ТD-k

в0

1-k

.Ѵ2тГ.

(т ѵѵ-*1-kl2)

g 2- M = T%k^e-'P/[“T-

D1-

в0

V2 (т-2)+

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

124

ЛАЙ ТХАНЬ ТУАН, ТАРЛАКОВСКИЙ Д.В.

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

Графики возмущенного радиального напряжения o(r, Ѳ, т) в зависимости от времени на расстояниях r = 1.01, r = 1.03, r = 1.05, r = 1.08 от центра полости при значениях Ѳ = 0, Ѳ = 7і/2 приведены соответственно на рис. 1-2.

На рис. 3 изображен график радиального напряжения при числе членов рядов в (2.11) n = 4, 5, 6. Все графики соответствуют девяти членам степенных рядов. При учете еще одного члена кривые совпадают.

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, предложен и реализован метод решения нестационарных задач о дифракции волн на сферической полости в среде Коссера. Этот подход может быть распространен на аналогичные нестационарные задачи для моментных сред со сферическими или другими каноническими границами.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 12-08-00934, 12-08-90409).

ЛИТЕРАТУРА

1. Новацкий В. Теория упругости. М., Мир, 1975, 872c.

2. Горшков АГ, Медведский АЛ, Рабинский ЛН, Тарлаковский ДВ. Волны в сплошных средах. М., Физматлит, 2004, 472 c.

3. Абрамовиц М, Стиган И. (ред.) Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. М., Наука, 1979, 832 с.

4. Диткин ВА, Прудников АП. Справочник по операционному исчислению. М., Высшая школа, 1965, 467 с.

5. Градштейн ИС, Рыжик ИМ. Таблицы интегралов, сумм,рядов и произведений. М., Физматгиз, 1963, 1108 с.

6. Горшков АГ, Тарлаковский ДВ. Нестационарная аэрогидроупругость тел сферической формы. М., Наука, 1990, 264 с.

7. Ерофеев ВИ. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М., Изд. МГУ, 1999, 328 с.

Лай Тхань Туан,

аспирант,

Московский авиационный институт 4, Волоколамское шоссе, 125993 Москва, Россия +7 962 9254399, [email protected]

Тарлаковский Дмитрий Валентинович,

д.ф.-м.н., проф.

Московский авиационный институт 4, Волоколамское шоссе, 125993 Москва, Россия +7 499 158 4306, [email protected]

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

PHYSICS OF CONTINUOS MEDIA

125

DIFFRACTION OF WAVES BY A SPHERICAL CAVITY IN A COSSERAT PSEUDO-CONTINUUM

Lai Thanh Tuan

Moscow Aviation Institute (National Research University), http://www.mai.ru 4, Volokolamsk Highway, 125993 Moscow, Russian Federation [email protected]

Tarlakovsky D. V.

Moscow Aviation Institute (National Research University), http://www.mai.ru 4, Volokolamsk Highway, 125993 Moscow, Russian Federation [email protected]

We use the Cosserat model to simulate non-stationary processes in various structures of composite materials. Purpose of the work is the formulation and construction of analytical solutions of two dimensional problems of diffraction of waves by a spherical cavity in pseudo-continuum Cosserat. We assume that the front of the plane wave or spherical wave make contact with cavity surface at the initial time. The mathematical formulation of the initial boundary value problem is given in dimensionless form. In order to find out the solution, we use a serial expansion in Legendre and Gegenbauer polynomials, Laplace transform at each of the time and inversion images in the vicinity of start time using the Laurent series for images. Shown that the solutions obtained using limit methods coincide with the known results for the classical elastic medium. We provided examples of calculations for the granular composite material of aluminum fractions in the epoxy matrix.

Keywords: transient problem; the Cosserat pseudo-continuum; axial symmetry; Laplace transform; the asymptotic method

UDC 539.3

Bibliography - 7 references Received 08.04.2013

RENSIT, 2013, 5(1):119-125________________________________________________________________________________

REFERENCES 7. Erofeyev VI. Volnovye processy v tverdykh telakh s

1. Nowacki V Teoriya uprugosti [Theory of elacticity]. mikrostrukturoy [Wave processes in solids with

Moscow, Mir Publ., 1975, 872 p. microstructure]. Moscow, MGU Publ., 1999, 328 p.

2. Gorshkov AG, Medvedsky AL, Rabinskii LN,

Tarlakovsky DV Volny v sploshnykh sredakh [Waves in continuum media]. Moscow, Fizmatlit Publ, 2004,

472 p.

3. Abramowitz M, Stegun I. (Eds.) Spravochnik po spegialnym funkgiyam [Handbook of mathematical functions]. Ttransl. from engl. Moscow, Nauka Publ.,

1979, 832 p.

4. Ditkin VA, Prudnikov AP Spravochnik po operatsionnomu ischisleniyu [Handbook of operational calculus].

Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1965, 467 p.

5. Gradstein IS, Ryzhik IM. Tablitsy integralov, summ, ryadov i proigvedeniy [Tables of integrals, series, and products]. Moscow, Fizmatlit Publ., 1963, 1108 p.

6. Gorshkov AG, Tarlakovsky DV Nestagionarnaya aerouprugost tel sfericheskoy formy [Transient aerohydroelasticity of spherical — shaped bodies].

Moscow, Nauka Publ., 1990, 264 p.

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1