CC BY
12DOI: 10.32603/1993-8985-2018-21-6-91 -101 УДК 620.179.16
К. Е. Аббакумов, Н. В. Степаненко
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ" им. В. И. Ульянова (Ленина) ул. Профессора Попова, д. 5, Санкт-Петербург, 197376, Россия
РАСПРОСТРАНЕНИЕ КРУТИЛЬНЫХ ВОЛН В ДВУХСЛОЙНОЙ ТРУБЕ С УЧЕТОМ КОНТАКТНОЙ ЖЕСТКОСТИ1
Аннотация. Двухслойные трубы получают все более широкое распространение в различных областях промышленности и хозяйственной деятельности. Применение такого класса изделий обусловлено особыми условиями эксплуатации. Это повышенная температура, агрессивная среда, повышенное давление. Такие изделия зачастую имеют ограниченный доступ. Поэтому невозможно использовать методы контроля, предполагающие полное сканирование поверхности, без полного извлечения изделия из рабочей среды.
Статья посвящена исследованию распространения волн в двухслойной трубе с учетом жесткости контакта между ее слоями.
Рассмотрено распространение волн в двухслойной трубе с известными упругими параметрами материалов. Аналитическим решением уравнения движения относительно векторного и скалярного потенциалов получено дисперсионное уравнение. Оно описывает частотное распределение фазовых скоростей возможных волн в исследуемом волноводе. Аналогичным образом получено дисперсионное уравнение для двухслойной трубы с учетом степени жесткости контакта между слоями. Для этого в граничные условия введены дополнительные слагаемые, включающие нормальный и тангенциальный коэффициенты контактной жесткости. Показано, что в обоих случаях крутильные волны отделяются от других видов волн и могут быть рассмотрены отдельно.
На основе численного решения дисперсионного уравнения рассмотрено возможное поведение дисперсионных кривых без учета контактной жесткости, а также с учетом контактной жесткости при различных коэффициентах перфорации. Сделан вывод о влиянии контакта между слоями на поведение крутильных волн в двухслойной трубе. Аналогичным методом решена задача для модели однородной трубы с внутренним расслоением.
Даны рекомендации по учету выявленных закономерностей при создании ультразвуковых методов контроля, основанных на распространении крутильных волн.
Ключевые слова: нормальные волны, крутильные волны, неразрушающий контроль, ультразвук, труба, дисперсионные кривые
Для цитирования: Аббакумов К. Е., Степаненко Н. В. Распространение крутильных волн в двухслойной трубе с учетом контактной жесткости // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2018. № 6. С. 91 -101. СоП 10.32603/1993-8985-2018-21 -6-91 -101
Konstantin E. Abbakumov, Nikolay V. Stepanenko
Saint Petersburg Electrotechnical University "LETI" 5, Professor Popov Str., 197376, St. Petersburg, Russia
TORSIONAL WAVE SCATTERING IN TWO-LAYER PIPE WITH ACCOUNT FOR CONTACT RIGIDITY
Abstract. The purpose of the paper is to study the wave propagation in a two-layer pipe, taking into account the rigidity of the contact between its layers. It is considered by solving the equation of motion for the vector and scalar
1 Работа выполнена в рамках государственной работы "Проведение научно-исследовательских работ (фундаментальных научных исследований, прикладных научных исследований и экспериментальных разработок)" базовой части государственного задания Минобрнауки России (код проекта:8.6743.2017/8.9).
© Аббакумов К. Е., Степаненко Н. В., 2018
91
potentials. A dispersion equation describing the frequency distribution of the phase velocities of waves in the waveguide under investigation is derived. In order to take into account the degree of contact rigidity between layers additional terms are added to the boundary conditions, including the normal (kGN) and tangential (kGT) contact rigidity coefficients. It is shown that torsional waves are separated from other types of waves and can be considered separately. The example of a numerical solution of the dispersion equation shows the possible behavior of dispersion curves without regard to the contact rigidity. The similar problem solution is provided with allowance for contact rigidity at various perforation coefficients. A conclusion is drawn on the effect of contact between layers on torsional wave behavior. The similar method solves the problem for a homogeneous pipe with internal stratification. Recommendations are given for taking into account the revealed regularities in the development of ultrasonic methods of control based on torsional wave propagation.
Key words: guided waves, torsional waves, non-destructive testing, ultrasonic, pipe, dispersion curves
For citation: Abbakumov K. E., Stepanenko N.V. Torsional Wave Scattering in Two-Layer Pipe with Account for Contact Rigidity. Journal of the Russian Universities. Radioelectronics. 2018, no. 6, pp. 91-101. doi; 10.32603/1993-89852018-21-6-91-101 (In Russian) (In Russian)
Введение. Двухслойные трубы получают все более широкое распространение в различных областях промышленности и хозяйственной деятельности. В зависимости от необходимых свойств могут быть использованы как биметаллические изделия, так и металлические трубы с покрытием из полимерных материалов. Так, например, все чаще в качестве пульпопроводов гидротранспортировки в добывающей промышленности используют трубы с износостойким внутренним слоем и внешним слоем из низкоуглеродистой стали (сочетание сталей 30Л и Х12). Применение такого класса изделий обусловлено особыми условиями эксплуатации, такими, как повышенная температура, агрессивная среда, повышенное давление, и зачастую имеет ограниченный доступ, ввиду чего невозможно использовать методы контроля, предполагающие полное сканирование поверхности, без полного извлечения изделия из рабочей среды.
В этих условиях в ряде работ, как отечественных [1]-[4], так и зарубежных [5]—[14], была показана эффективность волноводных методов контроля, в том числе основанных на распространении крутильных волн, для сплошного контроля труб без полного доступа.
Применительно к двухслойным трубам важно учитывать взаимодействие внутреннего и внешнего слоев. В [15] показано влияние такого взаимодействия для продольных волн. Из результатов работы следует, что дополнительные слои существенно влияют на характер дисперсионных кривых. В [16] представлена программа ОиЮи^ позволяющая методом конечных элементов получить семейство дисперсионных кривых для различных типов волн, для протяженных моделей разного поперечного сечения, в том числе и двухслойной трубы, с произвольными свойствами материалов.
В настоящей статье рассмотрено распространение волн в двухслойной трубе с учетом жесткости контакта между ее слоями. При этом становится возможным как оценивать расслоение в двухслойной среде, так и получить дополнительный информативный параметр для обнаружения дефектов в однородной трубе.
Постановка задачи. Рассмотрим двухслойную бесконечную трубу (рис. 1) с внутренним диаметром 2^, внешним диаметром 2гз и диаметром границы между слоями 2?2 . Ось г цилиндрической системы координат расположим на оси трубы. Пространство внутренней трубы, ограниченное цилиндрами с радиусами ?! и ?2, обозначим индексом I, внешней, ограниченное цилиндрами с радиусами ?2 и ?3, - индексом II.
Математическая модель. Для описания распространения колебаний в представленном объекте воспользуемся подходом, предложенным в [17], [18]. Для этого запишем уравнения движения относи-
тельно потенциальных функций через векторный потенциал Т = r, , ¥z J и скалярный потенциал ф в цилиндрической системе координат r, 0, z:
п vV il =dV п/dt 2; с1)
^ IIV2Тi, ii = d2Тi, а /dt2, (2)
где
c2 ii =(чп+2^i, ii vpi,ii;
c2 ii =и, ii/ pi, n
- скорость распространения продольной (longitudinal) и поперечной (transversal) упругих волн соответственно, причем ^i д, Ц-i ц - постоянные Ламэ; pi ii - объемные плотности сред.
Положим, что решения уравнений имеют вид: 9i, ii = fi, ii(r)cos(«Q)cos(cot-yr); (3) ¥ri, ii = J-i, ii (r) sin(nQ) sin (cc t - yr) ; (4) Tqi, ii = %, ii ( r) cos (nQ) sin (cot - yr ) ; (5) ¥zi ii = hzi ii(r)sin(nQ)cos(at -yr), (6)
где n = 0, N - угловой индекс моды колебаний; ю - циклическая частота колебаний; у = ш/с -волновое число.
Подставив (3) в уравнение движения (1) получим выражение для / д :
/I, II + fl, II /r + («I, II " n Vr2) fi, II = 0, (7)
2 2/2 2 где aI, II =® /cH, II - у .
После замены переменной 5 = ar (7) приводится к уравнению Бесселя:
/I, II + /I, п/s + (1 - n2h2 Цц = 0. (8)
Подставив (4)-(6) в (2) аналогично получим:
hzI,II + hZI, II/r + (р2, II -n2lr2)hzI, II = 0, (9)
q2 2 I 2 2 где Pi, II = ® / ctI II - у .
Для функций hrI и и hQI ц получается система дифференциальных уравнений:
J „ h'ri, ii -n hri, И + 2nhri, И - hri, ii hri, ii +-+---+
r
a
2
hri, и =0;
f ii 2 (10)
, „ ^Qi, ii -n %, ii + 2nhQi, И - hQi, ii Itqi, ii +-+-;-+
r
a
2
4, и
% ii =
Вычтя и сложив уравнения (10) получим:
П" \ , hri, ii - hQi, ii ,
((i, ii - hQi, ii ) +-+
R2 I n +1 Pi, ii -
(i, ii- hQi, ii ) = °; (11)
(i, ii + hQi, ii )+- (i, ii + hQi, ii ) -
r2 I n + 1 Ri, ii -
(ii + hQi, ii ) = °. (12)
Решения уравнений (8), (9), (11), (12) имеют вид:
/ (г) = Л12п (аг) + Л2^п (аг);
Нй (г) = Л32п (аг) + Л4^п (аг);
К\ _ %(г) = 2Л52п +1 (аг) + 2Л6^п +1 (аг);
Нг1 (г) + % (г) = 2Л132п_1 (аг) + 2Л14^п_1 (аг);
/П (г) = Л72п (аг) + Л8^п (аг);
Нг11 (г) = Л92п (аг) + Л10Жп (аг); йг11 (г) _ (г) = 2 Л112п +1 (аг) + 2Л12^п+1 (аг); НЛ1 (г) + (г) = 2 Л152п _1 (аг) + 2 Л16^п _1 (аг),
где при действительном аргументе 2п = Jn -функция Бесселя первого рода п-го порядка; ^п = Уп - функция Бесселя второго рода п-го порядка; при мнимом аргументе 2п = 1п - модифицированная функция Бесселя первого рода п-го порядка; Wn = Кп - модифицированная функция Бесселя второго рода п-го порядка.
Согласно свойству калибровочной инвариантности [19] возможно однозначно определить вектор движения через 3 компоненты. На основании этого допущения примем:
К\, п =_%, п.
Таким образом, поле смещения в цилиндрическом упругом стержне выражается функциями:
иЛ, II = [Д II + (п/г^ II + уЛЯ, II ] х х 008 (п0) 008 (со ? + уг);
и0], II = [-(п/г)А, II " II + УЛЯ, II ] х (13) х 8т (п0) 008 (со ? + уг);
иг\, II ={-Г/\,ц -[[п + 0/г ]] П - Лй, п }х X 008 (п0) 8Ш (со ? + уг).
Для составления дисперсионного уравнения воспользуемся граничными условиями, заключающимися в равенстве нулю компонент тензора напряжений на свободной поверхности цилиндра и непрерывности тензоров напряжения и смещений на границе раздела:
(14)
(15)
((I = = ^))=л = 0; (аггц =<зГгЦ = СТг0П )| = 0;
стrrI = стггП GггI = стггП = стг0П
иЛ = игИ иА = ^П
% = и
0П
г=г2
Компоненты тензора напряжения связаны с компонентами тензора деформации законом Гука:
(дил, п диг1^ п
°гг1 II =Л1 -Г-+-Г-+
V дг дг
1 0и0I, II ^Л, II ^ _ 0UгI, II +---— +--— 1 + 2ц--—
г д0 г у дг
стг0! II = ц
(1 ди
гI, II
ди
0I, II
и
0I, II
00
дг
стгг! II = Ц
(д^, ц +дигг, П ^
д
дг
(16)
(17)
(18)
Подставив (13) в функции (16)—(18), учитывая соотношения (7), (9) и (10), получим:
стгя, II = {-^ I, II (а2, II + у2) А, п +
+2ц я, п+п I кI, II-1 ЛгI, п 1+улк,
_ г V г у
х 008 (и0) 008 (со ? + уг);
стг0! II = ц
(19)
у I п - /, п 1+
+ (Р1, И^!, II - 2Лк, II) + у ЛгТг, II - ^ Лг1, II ] х 8т (и0)008 (со? + уг);
(20)
стгг! II = ц
о г' ПУ I П1<
-2У/I, II--ЛгI, II--ЛгI, II -
г г
( И2 - И - 1
-р2, II + у2
А
М, II
х 008 (и0)8Ш (со / + уг).
(21)
Подставив (13), (19)—(21) в граничные условия (14), (15), получим систему
К а=0,
где а^ А
(, А = 1, 12) — коэффициенты, определя-
ющие дисперсионное уравнение, вычисляемые следующим образом:
а1,1 = 4(°ч г2); а1,2 = (°ч г2);
а1,3 =у^и+1 (р г2); а1,4 =у^п+1 (р г2 ); а1,5 = (п/г2 )п (рг2 );
а1,6 =(п/г2(Ртг2); а1,7 = -^ИИ (°п г2); а1,8 =-^И(аП г2 );
а1,9 =-у^+1 (рП г2 );
а1,10 =-у^И+1 (рП г2 );
а1,11 = -(п/г2 )п (рПг2 ); а1,12 = -(п/г2 )п (рПг2 ); а2,1 = -(п/г2 )2п («Iг2 ); а2,2 = -(п/г2 )п («Iг2 ); а2,3 =у^п+1 (рI г2 ); а2,4 =у^п+1 (рI г2 ); а2,5 г2 );
а2,6 = г2 );
а2,7 = (п/г2 )гп (<°П г2); а2,8 = (п/г2 )п («II г2 ); а2,9 =-у^п+1 (рП г2 ); а2,10 =-у^п+1 (рП г2 ); а2,11 = ^(рП г2 );
а2,12 = ^п(рПг2 );
а3,1 =-у^ («I г2); а3,2 =-у^п («I г2 );
"3,3 = _ [(п + 1)/г2 ] 2п+1 ( г2 ) _ 2п+1 ( г2 ); «3,4 = _[(п + 1)г2^п+1 (Р7г2) _ Wn +1 (г2); "3,5 =0; «3,6 =0; «3,7 =У2п (а:: г2); «3,8 (а:: г2);
«3,9 = [(п + 1У г2 ] 2п+1 (р:: г2) + 2п+1 (р:: г2); «3,10 = [(п +1 У /2 ] Wn+l (Рп г2) + wn+1 (Р:: ^ ); «3,11 =0; «3,12 =0;
«4,1 = (а2 + У2) 2п (а:г2) + 2И2"п (а:г2); «4,2 = (а!2 +У2) ) (аг) + 2ц:Wn'(а:^);
«4,3 = 2Ц: У2п+1 (р:г2 );
«4,4 = 2Ц: Уwn+l (р: г2); «4,5 = 2Ц (п/г2 ) [2п (р:г2 ) _(/г2) 2п (р:г2 )]; «4,6 = 2ц: (п/г2)[wn (Р:г2)_ (1/г2) Wn (Р:г2)];
«4,7 =^п(ап +У2) 2п (ап г2 )_2Ц:: 2п (а:: г2);
«4,8 = ^п (ап + у2) )п (а:: г2) + М:К (ап г2); «4,9 = _2Ц У^+1 (РП г2 )
«4,10 = _2Цп у^+1 (р:: г2); «4,11 = _2цп (п/т2) 2+1 (Рп г2)_ (У г2) 2п+1 (Рп г2)]; «4,12 = _2цП (п/г2 )[wn+l (Рп г2 )_(1 г2) Wn +1 (Рп г2)]; «5,1 = 2Ц: (п/г2)[(/ г2 )2п (а: г2) _ 2'п (а: г2 )]; «5,2 = 2Ц: (п/г2) [(Vг2) ^ (а:г2)_ К (а:г2)]; «5,3 = Ц: у{2П+1 (Р: г2) _[(п + 1У г2 ]2п +1 (Р:г2)}; «5,4 = Ц: У {wn+1 (Р:г2 )_[(п +1) г2 ] Wn+1 (Р:г2)}; «5,5 = Ц: [Р22п (Р:г2)_ 2п (Р:г2)]; «5,6 = Ц: ^ (Р:г2) _ wn (Р:г2 )]; «5,7 = _2Цп (п1г2) [(У/ г2) 2п (а:: г2) _ 2'п (ап г2)]; «5,8 = _2ЦП (п/г2 )[(Уг2 ) Wn (аПг2 ) _ К (а::г2)];
«5,9 = _М-П У {2п+1 (РП г2) _[(п +1)/ г2 ]2п+1 (РП г2)}; «5,10 = ЦП У^п+1 (Рп г2 Н^ + У/ г2 ]Wn+1 (Рп г2)}; «5,11 = Ц:: [р2?: 2п (Р:: г2) _ 2п (Р:: г2)];
«5,12 = Ц:: [Р2[Wn (Рп г2 )_wn(Р:: г2)];
«6,1 =_2Ц: У[ 2 п (а: г2)]; «6,2 =_2Ц: У[wn(а :г2 )];
«6,3 = _Ц: ((п/г2) 2п+1 (Р:г2) + +{[(2 _п _ 1)г22 ] _ Р2 + у2 }+1 (Р:г2));
«6,4 = _Ц: ((п/г2) ^1+1 (Р: г2) + +{{ _п_ 1)г22]_Р2 + У2} +1 (Р:г2)); «6,5 =_Ц: (пУ/г2) 2п (Р: г2);
«6,6 =_Ц: (п у/г2 )wn (Р: г2);
«6,7 = 2Ц:: у[ 2 п(а п г2 ));
«6,8 = 2ц п у[wn(ап г2)];
«6,9 = Ц:: ((п /г2 )2п+1 (Р::г2) + +{[(2 _п_ 1)г22]_Р2: +у2} +1 (Рпг2));
«6,10 = ЦП ((п/ъ )wn+l (Р:: г2) +
+{[(2 _п_ 1)г22]_Р2: +у2} +1 (Рпг2)); «6,11 =Ц:: (п у/г2) 2п (Р:: г2);
«6,12 = Ц:: («у/ г2 )wn (Р::г2);
«7,1 = (а2 +У2) 2 п (а:г1) + 2Ц: 2"п (а:г1);
«7,2 = (а2 +У2 (а:г1) + 2Ц: (а:г1); «7,3 = 2Ц: у2П+1 (Р:г1); «7,4 = 2Ц: Уwn+l (Р:г1); «7,5 = 2Ц: (п/г1)[ 2п (Р:г1) _ (у г) 2п (Р:П)]; «7,6 = 2Ц: (п/п )/wn (р:гУ )_ (Угу ^ (р:ГУ )]; «8,1 = 2Ц: (п/г1) [(У/г1) 2п _ 2п (а:г1)];
«8,2 = 2Ц: (п/п) [(у г )wn (а: г)_ К (а: г)];
«8,3 = Ц: У {2п+1 (Р:г1 )_[(п +у)/г1] 2 п+1 (Р:г1)}; «8,4 = Ц: у{ wn+у (Р: гу)_ [(п + 1У у ] Wn+у (Р: г)};
а8,5 =ш [Р2 ^п (Р г )-^п(рх г )]; а8,6 =Ш [р2^п (Р11 ь^г1)]; а9,1 =-2и у[ гп (° I г1)]; а9,2 = -2м I у[WИ(аIгl)];
а9,3 = -МI ((п/г1) 2п+1 (рIг1) +
+ {-п-У 1] - Р2 + у2 } 2И+1 (й г1));
а9,4 = -Щ ((п/г1) ^п+1 (рIг1) + + {_(п2-п-1)1 г2 ] - Р2 + у2 } +1 (РI г1));
а9,5 =Ш (пу/1) 2п (р11);
а9,б =ш (пу/г )ип (р1г);
а10,7 =^п («íT + у2)2п («IIг3)-2Мп2п («IIг);
а10,8 = % («П + у2Ки («IIг3) + 2ЦП^п'(«Пг3); аю,9 = -2мп уип+1 (рп г); аю,ю =-2мп ук+1 (рп г3); а10,11 = -2Мп (п/г3)[2п+1 (рпг3) - (1 г3) 2п+1 (рпг3)]; 010,12 = -2цп (п/г? )[ип+1 (Рп 13) -(113) И +1 (Рп/3 )];
а11,7 = -2Мп (п/г3 ) [(/г3 ) 2п («IIг3 ) - 2п («IIг3 )]; а11,8 = -2МП (п/г3 ) [((г3 ) Ип («IIг3 ) - ип («IIг3 )]; а11,9 = -МПу{2п+1 (рпг3) -[(п + 1)г3]2п+1 (рпг3)}; «11,10 = ЦП у{ип+1 (рпг3) -[(п + 1У г3 ]ип+1 (рпг3)};
а11,11 = МП [рП2п (рПг3 )-2п (рпг3 )];
а11,12 = МП [РпИ (Рп13) - ип (Рп 13 )]; а12,7 = 2мп у[2 п («II г3 )]; а12,8 = 2мП у[ип(« п г3 )];
а12,9 = МП ((п/г3 )2п+1 (рПг3 ) + + {(п2-п- 0/132 ] - р2 + у2 }+1 (Рп 13 ));
а12,10 = МП ((п/г3 )ип+1 (рпг3 ) + + {[((-гс-^2 ]-Р2 +у2 } (рп 13 ));
а12,11 = Мп (у/г3 ) ■"и (Рп 13);
а12,12 = МП (у/г3 )ип (рП1 ).
Введем в граничные условия дополнительные слагаемые, моделирующие условия разрыва на границе двух слоев с использованием нормального и тангенциального модулей контактных жест-костей п и к^, т [5].
Граничные условия (15) примут вид :
ил -
ии -
кЬ,п ^гШ
= и
гИ \г=у2 ;
кЬ,
= и
0П г=
г=г2
(22)
Изменятся соответствующие коэффициенты определителя:
а1,1 = 2пО^ г2 )-
- («2 + у2 )2И («Iг2 ) + 2МIК («Iг2 ) .
кЬ,п
а1,2 = Ип («Iг2 )-
(а2 +у2)) («12) + гМ^;^) ;
кЬ, т '
7 (р ) 2МI у2п+1 (р г2)
а1,3 = у2 п+1 (рI г2)--;-;
кЬ,п
а1,4 =уип +1 (рI г2 )-
2МI уип +1 (РI 12 )
кЬ,п
а2,5 =- 2 п^1! )-МII И 2п (РИЛ) 2п (РI 12 )] ;
кЬ, т '
а2,6 = -^(^2 )-МI _Р2Ип (Р/г2 )- Ир 12 )]
кЬ, т '
Рассматривая только осесимметричные колебания (п = 0), можно существенно упростить выражения для коэффициентов, а коэффициенты дисперсионного уравнения а1 5, а1 6, а1 ц,
а1,12, a2,1, a2,2, a2,7, a2,8, a4,5, a4,6, а4, 11, а4,12, а5,Ъ a5,2, a5,7, a5,8, a6,5, a6,6, а6,11, а6,12, а7,5, а7,6, а8,1, а8,2, а9,5, а9,6, а10,11, а10,12, а11,7, a11,8, a12,11, а12,12 обратятся в ноль.
В результате получим определитель вида
«1,1 «1,2 «1,3 «1,4 0 0 «1,7 «1,8 «1,9 «1,10 0 0
0 0 «2,3 «2,4 «2,5 «2,6 0 0 «2,9 «2,10 «2,11 «2,12
«3,1 «3,2 «3,3 «3,4 0 0 «3,7 «3,8 «3,9 «3,10 0 0
«4,1 «4,2 «4,3 «4,4 0 0 «4,7 «4,8 «4,9 «4,10 0 0
0 0 «5,3 «5,4 «5,5 «5,6 0 0 «5,9 «5,10 «5,11 «5,12
«6,1 «6,2 0 0 0 0 «6,7 «6,8 0 0 0 0
«7,1 «7,2 «7,3 «7,4 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 «8,3 «8,4 «8,5 «8,6 0 0 0 0 0 0
«9,1 «9,2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 «10,7 «10,8 «10,9 «10,10 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 «11,9 «11,10 «11,11 «11,12
0 0 0 0 0 0 «12,7 «12,8 0 0 0 0
строки и столбцы, приведем определитель к поблочно-диагонализированном
«1,1 «1,2 «1,3 «1,4 «1,7 «1,8 «1,9 «1,10 0 0 0 0
«3,1 «3,2 «3,3 «3,4 «3,7 «3,8 «3,9 «3,10 0 0 0 0
«4,1 «4,2 «4,3 «4,4 «4,7 «4,8 «4,9 «4,10 0 0 0 0
«6,1 «6,2 0 0 «6,7 «6,8 0 0 0 0 0 0
«7,1 «7,2 «7,3 «7,4 0 0 0 0 0 0 0 0
«9,1 «9,2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 «10,7 «10,8 «10,9 «10,1С 0 0 0 0
0 0 0 0 «12,7 «12,8 0 0 0 0 0 0
0 0 «8,3 «8,4 0 0 0 0 «8,5 «8,6 0 0
0 0 «5,3 «5,4 0 0 «5,9 «5,10 «5,5 «5,6 «5,11 «5,12
0 0 0 0 0 0 «11,9 «11,10 0 0 «11,11 «11,12
0 0 «2,3 «2,4 0 0 «2,9 «2,10 «2,5 «2,6 «2,11 «2,12
(23)
Благодаря такому представлению исходный определитель можно записать в виде произведения определителей восьмого порядка Я и четвертого порядка Т:
Тогда дисперсионное уравнение для двухслойной трубы, как и в случае со стержнем и однородной трубой, распадается на два:
-г, ]
- \Я1, ш\\Т-
P,
(24)
|Я/, т - 0; Тр, д - 0
(25)
Уравнения (25) могут быть представлены в виде:
где I, т -1, 8 ; р, д -1, 4.
Я,
I, т
«1,1 «1,2 «1,3 «1,4 «1,7 «1,8 «1,9 «1,10
«3,1 «3,2 «3,3 «3,4 «3,7 «3,8 «3,9 «3,10
«4,1 «4,2 «4,3 «4,4 «4,7 «4,8 «4,9 «4,10
«6,1 «6,2 0 0 «6,7 «6,8 0 0
«7,1 «7,2 «7,3 «7,4 0 0 0 0
«9,1 «9,2 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 «10,7 «10,8 «10,9 «10,10
0 0 0 0 «12,7 «12,8 0 0
«8,5 «8,6 0 0
Т 1 - «5,5 «5,6 «5,11 «5,12 - 0.
p, д\ 0 0 «11,11 «11,12
«2,5 «2,6 «2,11 «2,12
- 0;
(26)
(27)
Рассмотрим каждое уравнение по отдельности. В определителе (26) выделим подопределители:
а4 1 а4 2 а4 3 а4 4
а6,1 а6,2 0 0
а7,1 а7,2 а7,3 а7,4
а9 1 а9 2 0 0
N =
а4,7 а4,8 а4,9 а4,10
а6,7 а6,8 0 0
а10,7 а10,8 а10,9 а10,10
а12,7 а12,8 0 0
Из анализа этих определителей и сравнения с ранее полученными результатами [17] видно, что выражения | = 0 и 1 = 0 являются дисперсионными уравнениями для симметричных волн во внутренней и в наружной трубах соответственно..
Аналогичным образом выделим подопреде-лители в системе (27):
N=
а8,5 а8,6 а5,5 а5,6
N=
а5,11 а5,12 а11,11 а11,12
(28)
(29)
а = 0 и N2! = 0 — дисперсионные уравнения,
описывающие крутильные волны во внутренней и в наружной трубах соответственно.
Таким образом, из (24) следует, что внутри двухслойной трубы симметричные и крутильные моды разделяются, аналогично тому, как это происходит в однородной трубе или в двухслойном стержне [18]. Причем как крутильные, так и симметричные моды двухслойной трубы являются результатом взаимодействия только крутильных и только симметричных мод в составляющих ее трубах соответственно.
Если положить один из коэффициентов Ламэ щ или Мп равным нулю, что соответствует условию отсутствия одной из составляющих вол-
Т(0,5)
50 100
Рис. 2
новод труб, то (27) перейдет в выражение (28) или (29) соответственно, т. е. сведется к дисперсионному уравнению однородной трубы.
Математическое моделирование. Дальнейший анализ проведен по результатам численного решения уравнения без учета адгезии между слоями для двухслойной трубы с внешним диаметром 60 мм, толщиной стенок внешней и внутренней труб 5 мм. Внешняя труба изготовлена из стали 30Л
^ = 74 -109 Па, pI = 7700 кг/м3), внутренняя —
из стали Х12 (мп = 86-109 Па, рп = 7810 кг/м3).
Для упрощения расчетов перейдем к относительным величинам сделав следующие замены:
2 2 2 Ш 2 Ш Ш
р2 =т--У 2 =т- =
( „2
Ш
V с
2 -1
(kt а )2
--1
р2 =с
2 Ш
-у 2 =-7-
( 2 2 С2 С2
V С? С
V ч
2 -1
(kt а)
Ш
2 (у2
а2
-1
V х
где х = Сс^; у = с^!с^; кха = (<в/с)а; а > г3.
Результаты численного расчета представлены на рис. 2. Как и в случае с композиционным стержнем [18], изменения дисперсионных кривых по сравнению с однородной трубой носят не только количественный, но и качественный характер. Видно, что первая мода Т(0, 1) бездисперси-онна в однородных трубах, однако в случае двухслойной трубы связанная мода обладает заметной дисперсией. Также заметно появление мод в области меньших волновых размеров и существенное изменение характера дисперсионных кривых для мод более высокого порядка, связанное с взаимодействием мод внешней и внутренней труб.
Рассчитанные дисперсионные кривые совпадают с кривыми, которые можно получить при помощи программы GUTGUW [17], что подтверждает адекватность представленной модели.
Более полный анализ распространения крутильных волн в двухслойной трубе может быть получен с учетом адгезии между слоями введением в граничные условия дополнительных слагаемых (см. (22) и (23)). Из дисперсионного уравнения (27) следует, что при рассмотрении крутиль-
ных колебаний можно ограничиться введением только коэффициента кь т, отвечающего за тангенциальную жесткость. Согласно [20] этот ко -эффициент определяется как
к Ш Цд М1 Ч)
кЬ,т ----2—,
+Цп %
где £ - коэффициент перфорации, определяющий степень сплошности границы; м> - пространственный период эквивалентной упорядоченной периодической структуры, модели контакта. При этом условие ^^ 0 (( т ^ 0) соответствует
модели свободной границы, а ^^ 1 (( т ^да) -
сварного контакта.
На рис. 3 представлены результаты численного расчета дисперсионного уравнения с учетом жесткости контакта для различных коэффициентов перфорации (0, 0.25, 0.6, 0.99). Можно видеть, что при отсутствии контакта решение представляет
собой совокупность крутильных волн в однородных трубах. При увеличении адгезии дисперсионные кривые становятся связанными, что приводит к качественным изменениям в поведении кривых. Мода T ( 0, 1) для обеих труб с увеличением £ становится дисперсионной, в то время как моды более высоких порядков сливаются и порождают связанные колебания в двухслойной трубе.
Рассмотрим также решение дисперсионного уравнения для однородной трубы из стали 30Л, имеющей расслоение с нежестким контактом на глубину, равную половине толщины стенки. В качестве модели для такого объекта используем двухслойную трубу с одинаковыми коэффициен-
9
тами | = цд = 74 -10 Па и плотностями pj = = pjj = 7700 кг/м3. В качестве примера на рис. 4 представлено численное решение такой задачи при 4 = 1 (нет дефекта) и 4 = 0.5.
Можно отметить, что мода T(0, 1) остается
\ \ \
4 = 0 \ \
Л
T (0, 2) \
\ ^
\
\
ч
ч Tj (0, 3) \
4nTii ( 0, 3)1
4 = 0.25 \ \ \ V
\ \ \ V
\ \ti (0, 3) Ч ( >
TI (0, 2) \ ^II (0, 3У
4 —
\ Tii (0, 2)
ktd
Рис. 3
4 = 1
? - n <;
0 50 100 150 ktd
Рис. 4
c
c
c
c
с
с
бездисперсионной при изменении коэффициента перфорации, однако частоты появления мод более высоких порядков смещаются к частотам, соответствующим внешней и внутренней трубам. В том числе первая дисперсионная мода Т (0, 2)
появляется на более низких частотах.
Заключение. Из изложенного следует, что характер распространения крутильных мод в двух-
слойной трубе имеет ряд особенностей в сравнении с распространением в однородной трубе. Учет этих особенностей может как повысить надежность выявления дефектов при контроле крутильными волнами, так и стать основой для формирования новых информативных параметров при выявлении расслоений в однородных и составных трубах из различных материалов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Взаимодействие крутильных волн с дефектами насосно-компрессорных труб, обусловленными проти-рами и разностенностью / Г. А. Буденков, О. В. Недз-вецкая, С. А. Мурашов, А. А. Короткова // Приборостроение в XXI веке. Интеграция науки, образования и производства: тр. науч.-техн. конф., Ижевск, 14-15 апр. 2006 г.Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2006. С. 81-89.
2. Взаимодействие крутильных волн с продольными трещинами труб / Г. А. Буденков, О. В. Недзвец-кая, Д. В. Злобин, С. А. Мурашов // Дефектоскопия. 2006. № 6. С. 57-66.
3. Буденков Г. А., Недзвецкая О. В., Далати М. О возможностях акустической дистанционной дефектоскопии протяженных объектов // Дефектоскопия. 2003. № 11. С. 30-33.
4. Мурашов С. А., Коробейникова О. В. Основные параметры акустического контроля протяженных объектов различного профиля с использованием крутильных волн // Вестн. Ижевского гос. техн. ун-та. Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2010. № 2(46). С. 84-88.
5. Rapid, Long-Range Inspection of Chemical Plant Pipework Using Guided Waves / D. Alleyne, B. Pavlacovic, M. Lowe, P. Cawley // Insight . 2001. № 43. P. 93-96, 101.
6. Alleyne D., Lowe M., Cawley P. The Reflection of Guided Waves from Circumferential Notches in Pipes // J. of Applied Mechanics. 1998. № 65. P. 635-641.
7. Practical Long Range Guided Wave Testing: Applications to Pipes and Rails / P. Cawley, M. J. S. Lowe, D. H. Alleyne, B. Pavlacovic, P. Wilcox // Materials Evaluation. 2003. № 61 (1). P. 66-74.
8. Cui L., Liu Y., Soh C. K. Torsional- Guided Waves for Monitoring Cylindrical Structures Using Piezoelectric Macro-Fiber Composite // Health Monitoring of Structural and Biological Systems. Las Vegas, United States, 6-10 March 2011. SPIE. 2011. Vol. 7984. P. 798401-798409.
9. The Reflections of the Fundamental Torsional: Mode from Cracks and Notches in Pipes / A. Demma, P. Gaw-ley, M. Lowe, A. G. Roosenbrand // The J. of the Acoustical Society of America. 2003. №114(2). P. 611-625;
Статья поступила в редакцию 21 сентября 2018 г.
10. Ditri J. Utilization of Guided Elastic Waves for the Characterization of Circumferential Cracks in Hollow Cylinders // The J. of the Acoustical Society of America. 1994. № 96. P. 3769-3775.
11. Hayashi Т. Rose J. L. Guided Wave Simulation and Visualization by a Semianalytical Finite Element Method // Materials Evaluation. 2003. № 61 (1). P. 75-79.
12. Hua J, Rose J. L. Guided Wave Inspection Penetration Power in Viscoelastic Coated Pipes // Insight. 2010. 52 (4). P. 195-205.
13. Ratassepp M., Fletcher S., Lowe M. J. S. Scattering of the fundamental torsional mode at an axial crack in a pipe// The J. of the Acoustical Society of America. 2010. № 127. P. 730-740.
14. Velichko A., Wilcox P. D. Excitation and scattering of guided waves: Relationships between solutions for plates and pipes// The J. of the Acoustical Society of America. 2009. № 125. P. 3623-3631.
15. Barshinger J. N., Rose J. L. Guided wave propagation in anelastic hollow cylinder coated with a viscoelas-tic material.// IEEE Trans. on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency. 2004. Vol. 51, № 11. P. 1547-1556.
16. Bocchini P., Marzani A., Viola E. Graphical user interface for guided acoustic waves // J. of Computing in Civil Engineering . 2011. № 25(3). P. 202-210.
17. Gazis D. C. Three Dimensional Investigation of the Propagation of Waves in Hollow Circular Cylinders // The J. of the Acoustical Society of America. 1959. № 31. P. 568-578.
18. Каплан М. Д., Веремеенко С. В. Распространение нормальных волн в композиционном (двуслойном) стержне // Дефектоскопия. 1987. № 12. С. 78-87.
19. Gan W. S, Gauge invariance Approach to Acoustic Fields // Acoustical Imaging; ed. Iwaki Akiyama. 2007. Vol. 29. P. 389-394.
20. Аббакумов К. Е. Отражение и прохождение упругих волн на плоской границе с нарушенной адгезией твердых сред // Неразрушающий контроль и диагностика: тез. докл. 15-й Рос. науч.-техн. конф., М., 28 июня - 2 июля 1999 г. М.: РОНКТД, 1999. С. 334.
Аббакумов Константин Евгеньевич - доктор технических наук (2000), профессор (2001), заведующий кафедрой электроакустики и ультразвуковой техники Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета "ЛЭТИ" им. В. И. Ульянова (Ленина). Автор более 150 научных работ. Сфера научных интересов - неразрушающий контроль, акустика, техническая диагностика. E-mail: KEAbbakumov@etu.ru
Степаненко Николай Вадимович - магистр техники и технологии по направлению "Приборостроение" (2009), ассистент кафедры электроакустики и ультразвуковой техники Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета "ЛЭТИ" им. В. И. Ульянова (Ленина). Автор трех научных публикаций. Сфера научных интересов - неразрушающий контроль, акустика, техническая диагностика. E-mail: N VS tc pa не nko V/ с tu. ru
REFERENCES
1. Budenkov G.A., Nedzveckaja O.V., Murashov S.A., Korotkova A.A. Vzaimodejstvie krutil'nyh voln s defektami nasosno-kompressornyh trub, obuslovlennymi protirami i raznostennost'ju [Torsional Wave Interaction with Pipe Defects Caused by Wipes and Difference in Wall Thickness]. Priborostroeniev XXI veke. Integracija nauki, obra-zovanija iproizvodstva [Instrument Engineering in the XXI century. Integration of Science, Education and Production] Izhevsk, Izh-GTU Publ. 2006, pp. 81-89 (In Russian)
2. Budenkov G. A, Nedzveckaya O. V., Zlobin D. V., Murashov S. A. Interaction of Torsion Waves with Longitudinal Cracks in Tubes. Russian Journal of Nondestructive Testing. 2006, no. 6, pp. 392-397.
3. Budenkov G. A, Nedzveckaya O. V., Dalati M. On Possibilities of Acoustic Remote Nondestructive Testing of Long Objects. Russian Journal of Nondestructive Testing, 2003, no. 11, pp. 833-836.
4. Murashov, S. A., Korobejnikova O. V. Basic Parameters of Acoustic Testing of Extended Objects of Various Profiles Using Torsional Waves. Vestnik Izhevskogo gosudar-stvennogo tehnicheskogo universiteta [Bulletin IzhSTU]. 2010, no. 2(46), pp. 84-88. (In Russian)
5. Alleyne D., Pavlacovic B., Lowe M., Cawley P. Rapid, Long-Range Inspection of Chemical Plant Pipework Using Guided Waves. Insight. 2001, no. 43, pp. 93-96, 101.
6. Alleyne D., Lowe M., Cawley P. The Reflection of Guided Waves from Circumferential Notches in Pipes. Journal of Applied Mechanics. 1998, no. 65, pp. 635-641.
7. Cawley P., Lowe M. J. S., Alleyne D.H., Pavlacovic B., P. Wilcox. Practical Long Range Guided Wave Testing: Applications to Pipes and Rails. Materials Evaluation. 2003, no. 61 (1), pp. 66-74.
8. Cui L., Liu Y., Soh C. K. Torsional- Guided Waves for Monitoring Cylindrical Structures Using Piezoelectric Macro-Fiber Composite. Health Monitoring of Structural and Biological Systems. Las Vegas, United States. 6-10 March 2011. SPIE. 2011, vol. 7984, pp. 798401-798409.
9. Demma A., Gawley P., Lowe M., Roosenbrand A. G. The Reflections of the Fundamental Torsional: Mode from Cracks and Notches in Pipes. The Journal of the Acoustical Society of America. 2003, no. 114(2), pp. 611-625.
10. Ditri J. Utilization of Guided Elastic Waves for the Characterization of Circumferential Cracks hvHollow Cylinders. The Journal of the Acoustical Society of America. 1994, no. 96, pp. 3769-3775.
11. Hayashi T. Rose J. L. Guided Wave Simulation and Visualization by a Semianalytical Finite Element Method. Materials Evaluation. 2003, no. 61 (1), pp. 75-79.
12. Hua J, Rose J. L. Guided Wave Inspection Penetration Power in Viscoelastic Coated Pipes. Insight. 2010, 52 (4), pp. 195-205.
13. Ratassepp M., Fletcher S., Lowe M. J. S. Scattering of the Fundamental Torsional Mode at an Axial Crack in a Pipe. The Journal of the Acoustical Society of America. 2010, no. 127, pp. 730-740
14. Velichko A., Wilcox P. D. Excitation and Scattering of Guided Waves: Relationships between Solutions for Plates and Pipes. The Journal of the Acoustical Society of America. 2009, no. 125, pp. 3623-3631.
15. Barshinger J. N., Rose J. L. Guided Wave Propagation In Anelastic Hollow Cylinder Coated With A Viscoelastic Material. IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency. 2004, vol. 51, no. 11, pp. 1547-1556.
16. Bocchini P., Marzani A., Viola E. Graphical user interface for guided acoustic waves. Journal of Computing in Civil Engineering. 2011, no. 25(3), pp. 202-210.
17. Gazis, D. C. Three dimensional investigation of the propagation of waves in hollow circular cylinders// The Journal of the Acoustical Society of America. 1959. no. 31, pp. 568-578.
18. Kaplan M. D. Veremeenko S .V. Normal Wave Propagation in a Composite (Two-Layer) Rod. Defektoskopiya, [Flaw detection]. 1987, no. 12, pp. 78-87. (In Russian)
19. Gan W. S. Gauge invariance Approach to Acoustic Fields. Acoustical Imaging; ed. Iwaki Akiyama. 2007, vol. 29, pp. 389-394.
20. Abbakumov K. E. Otrazhenie i prohozhdenie upru-gih voln na ploskoj granice s narushennoj adgeziej tverdyh sred [Elastic Wave Reflection and Passage on Flat Boundary with Broken Adhesion of Solid Media] Nerazrusha-jushhij kontrol' i diagnostika:Tez. dokl. 15-j Ros. nauch.-tehn. konf. [Non-Destructive Testing and Diagnostics. Proc. of the 15th Russian scientific and technical conf.]. Moscow, 28 june- 2 july 1999, 334 p. (In Russian)
Received September, 21, 2018
Konstantin E. Abbakumov - D.Sc. in Engineering(2000), Professor (2001), Head of the Department of Electro-acoustics and Ultrasonic Engineering of Saint Petersburg Electrotechnical University "LETI". The author of more than 150 scientific publications. Area of expertise: non-destructive testing; acoustics; technical diagnostics. E-mail: KEAbbakumov@etu.ru
Nikolay V. Stepanenko - Master's Degree in Instrument Engineering (2009), assistant of the Department of Electroacoustics and Ultrasonic Engineering of Saint Petersburg Electrotechnical University "LETI". The author of 3 scientific publications. Area of expertise: non-destructive testing; acoustics; technical diagnostics. E-mail: NVStepanenko@etu.ru
