CC BY
17
Строительная механика инженерных конструкций и сооружений
2018. 14 (5). 404-413
Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings
HTTP://JOURNALS.RUDN.RU/ STRUCTURAL-MECHANICS
Проблемы теории упругости
УДК 539.3
DOI: 10.22363/1815-5235-2018-14-5-404-413
НАУЧНАЯ СТАТЬЯ
Исследование распространения упругих волн в составном цилиндре с начальным кручением
М.С. Гулиев1, А.И. Сейфуллаев2*, Дж.Н. Абдуллаева3
'Гянджинский государственный университет проспект Ш.И. Хатаи, 187, Гянджа, Азербайджанская Республика, А22000 2Институт математики и механики, Национальная академия наук Азербайджана ул. Вахабзаде, 9, Баку, Азербайджанская Республика, А21143 3Азербайджанский государственный педагогический университет ул. Узеира Гаджибейли, 68, Баку, Азербайджанская Республика, А21000
Цель. Работа посвящена изучению распространения осесимметричных продольных волн в составном цилиндре с начальными кручениями.
Методы. Начальные напряжения в цилиндре определяются с привлечением классической линейной теории упругости. Предлагаются методы решения соответствующих задач о собственном значении. Приведены численные результаты и проведен их анализ. При этом установлено, что наличие начального кручения в цилиндрах не исключает появление в отдельности осесимметричной продольной и осесимметричных волн в составном цилиндре.
Выводы. Получено, что при отсутствии начального кручения в составном цилиндре между дисперсионными кривыми, соответствующими модам осесимметричных продольных и крутильных волн, имеются точки пересечения. Показано, что в случае, когда хотя бы на одном цилиндре имеет место начальное кручение, осесимметричная продольная и крутильная волны не могут распространяться в отдельности, т. е. имеет место взаимовлияние между этими двумя типами осесимметричных волн в составном цилиндре. Развиты методы решения поставленной задачи и получены соответствующие дисперсионные уравнения для составного цилиндра. Приведено решение дисперсионных уравнений и получены дисперсионные кривые, разработан алгоритм для построения этих кривых.
Ключевые слова: упругие волны, кручение, напряжение, функция Бесселя, функция Макдональда
* Автор, ответственный за переписку
(поступила в редакцию: 03 мая 2018 г.; принята к публикации: 15 августа 2018 г.)
Введение
ме, весьма широк. К числу этих аспектов можно отнести такие научные направления, как механика материалов и элементов конструкций, геофизика, механика композитных материалов, механика горных пород, биомеханика, неразрушающие методы определения напряжений и др. Существует ряд явлений, относящихся к влиянию начальных напряжений на распространение упругих волн, к исследованию которых можно подойти в рамках линеаризованной теории распространения упругих волн в телах с начальными напряжениями. Указанная теория строится в результате последовательной линеаризации нелинейной теории. Применение вышеизложенных линеаризованных урав-
Задачи, относящиеся к области теории распространения упругих волн, имеют место во всех областях естествознания и современной техники. Этим и объясняется повышенное внимание к такого рода исследованиям со стороны представителей различных научных направлений фундаментального и прикладного характера. Одной из интересных и актуальных проблем, которые относятся к нелинейным динамическим эффектам, является теория распространения упругих волн в телах с начальными напряжениями. Круг прикладных аспектов задач, относящихся к этой пробле-
нений проводится в рамках приближенных и точных подходов. Под приближенным подходом понимается использование нелинейных уравнений в рамках различных упрощающих гипотез геометрического и физического характера. Эти гипотезы позволяют упрощать математические решения задач. Вместе с тем приближенные подходы, основывающиеся на этой гипотезе, имеют определенные ограничения. Например, с применением приближенных подходов невозможно исследовать приповерхностные динамические явления, распространение волн в массивных телах с начальными напряжениями и т.п. Изложенное вызывает необходимость применения точного трехмерного линеаризованного подхода, т.е. подхода в рамках так называемой трехмерной линеаризованной теории распространения упругих волн в телах с начальными напряжениями (ТЛТРУВТНН). Исследования в рамках ТЛТРУВТНН приведены статьях [1-7]. В данной работе исследуется задача о распространении продольных осесимметрич-ных волн в составном цилиндре с начальными кручениями.
Постановка задачи
Рассмотрим составной цилиндр с круговыми поперечными сечениями, схематически показанный на рис. 1.
С цилиндрами свяжем цилиндрическую систему координат Ог 9 г и положения точек цилиндров определим лагранжевыми координатами в этой системе. Величины, относящиеся к внутреннему сплошному цилиндру с радиусом Я , отметим верхним индексом (2), а величины, относящиеся к внешнему полому цилиндру с толщиной к, верхним индексом (1). Примем, что до компоновки цилиндров они отдельно скручены, причем к -ый ци-
линдр имеет постоянную кручения $(к) (к = 1,2) на
единицу длины. Вместе с тем в случае исследование, проведенное ниже, правомочно и для тех случаев, когда составной цилиндр скручивается после их соединения. В этих случаях начальное напряженно-деформированное состояние в цилиндрах определяем в рамках классической линейной теории упругости. При этом получаем, что на каждом цилиндре имеется только напряжение
(к ),0 «п(к) а г е = р У г, которое отлично от нуля, где
(к) 1 р - модуль сдвига материала к -го цилиндра, г -
радиальная координат. Материалы цилиндров принимаем однородными, изотропными и линейно упругими.
Рис. 1. Геометрия составного цилиндра [Figure 1. Compound cylinder geometry]
Таким образом, в рамках, изложенных выше, исследуем распространение осесимметричной продольной волны в составном цилиндре с начальными кручениями. При этом линеаризованные уравнения движения имеют следующий вид:
даГ даЩ) 1 z 1 - (а'"
дг дг г \ и гг r V
да'^1 2 (n) н—а , да«
дг r uee г дг
да(г
дг
-а™ -а
(n),о
Z0
2 дм!
dz
= Р
2 а(n )о Я (n) д иГ '
г дг
1 (n) —а J - да (zn) 1 zz
г дг
= Р
д 2м<" д t2
д 2и[n) д t2
д У;) д t2
(1)
n = 1,2.
Запишем соотношения упругости:
ain)=^(n)(sin)+sS;)+sin >) + 2р<
а\' =
+ see +sz.
аГ
>) + 2р(
n)8(n)
n)8(n)
=2р( n)sn
axJ =
're
^(n)( = 2p'
n)g(n
+see + s z
re '
ve
= 2p'
n) (n
s
ze '
>) + 22
n)s(n)
(2)
а также геометрические соотношения:
s „ = ■
du(
u:
dr 1 Г
SAA
s r, = ■
du-"' du-+ -
dr dz
s Z/ = -
s Ze = ■
du.
-i- s ' = -
dz ' Sre 2
due
due
dr
dz
(3)
В уравнениях (1) - (3) использованы общеиз- имеет место условие идеального контакта. Это вестные обозначения. Будем предполагать, что на условие в рассматриваемом случае можно запи-поверхности контакта цилиндров, т. е. при г = Я, сать в следующем виде:
=о<:>
r=R
r = R
u:
= u,1'
f я (2Л
_(2)__(2),0 Щ
u re u ze
dz
„(2)__(2),0
^rz uze
2 П
f du,^
ure uze
=R V
dz
r=R
i ( 1)^ .(1)_„(i).o
ze
=R V
(4)
/(2)
=uei)
, uz
(2)
= u«
rr
Кроме того, на свободной поверхности внешнего цилиндра, т. е. при г = Я + И , выполняются следующие условия:
с
= 0,
r=R+h
ure uze
du(2) dr
Л
= 0,
i 0П
„(1)_„(1).0 Ul
^rz uze
=R+h
= 0.
(5)
=R+h
Таким образом, исследование дисперсии осе-симметричной продольной волны в составном цилиндре с начальными кручениями сводится к решению задач о собственном значении, заключающем в себе уравнения движения (1), механические (2) и геометрические (3) соотношения с контактными (4) и граничными (5) условиями. Отметим, что указанные уравнения и соотношения также являются уравнениями и соотношениями ТЛТУВТНН. Однако эти уравнения и соотношение получаются в случае, когда начальные деформации являются малыми. Причем напряженно-деформированные состояния, относящиеся к начальному состоянию, определяются в рамках классической линейной теории упругости.
Отметим, что в случае, когда начальные кручения в цилиндрах отсутствуют, т.е. при
= ^(2) = о, изложенная выше постановка задачи переходит к постановке соответствующих задач в рамках классической линейной теории эла-стодинамики. Как известно, в классическом случае осесимметричная продольная и осесиммет-ричная крутильная волны распространяются в составном цилиндре отдельно, т.е. без взаимосвязи. Однако, как будет показано ниже, в случае, когда
0; д(2) = о} или 0; д(2) = 0},
{W f2) 1
Ô = 0; ; Ф 0}, осесимметричные продольная и крутильная волны не могут распространяться в отдельности, т. е. имеет место взаимовлияние между этими двумя типами осесимметричных волн в составном цилиндре.
Метод решения
Начнем с представления перемещений. Согласно предположению о том, что волны двигаются вдоль цилиндров, т. е. вдоль оси OZ, эти представления можем записать в следующем виде:
и(n) = и(n) (r )cos _ю t),
u(")= y(n)(r) cos (kz _ш t),
uZn)= W( n)( r ) sin (kz _©t ). (6)
Подставляя (6) в соотношения (3), из (2), (1) получаем следующее уравнение для неизвестных
функций U(n)(r), V(n)(r) и W(n)(r):
(2 + а("))
2и(п) d (ип ^
dг1 dг1
d 2Уп> +
dг12 dг1
dV(n) V(n)
dг1 г1
\ г1
2
+ —
(1 + а(п))^-U (п)-и(п )2V (п )
)
dV(n) V(n|
dг1 г1
ёг
^п I П 1т- т п I
1 ; - и 'и - —
С)
(21'
-V
-UI
(п)
2 ' '
dWl
(п )
d г
- и
(п)
1
+ —
dW'
(п)
d г1
--и
(п)
а
(п)
ёи(п) и(
ёг; г
- + ^
(п)
- 2W(п) =__-_W(п)
где
г1 = кг, а(п) =
(2п)) л(п)
(7)
(8)
Р
В (8) к - волновое число, п) и р(п) - по- где J0 (х(п)г) и (х(п)г) - функции Бесселя стоянные Ламе частного решения уравнения (7)
примем в следующем виде:
и(п)(г) = А(п) Jl (х(п\ ), V(п) = В(п) J1 (х(п)г1), W(п)(г)= С(пЬ0 (х(п\),
первого рода нулевого и первого порядка соответственно. Подставляя частные решения (9) в уравнение (7), получаем следующие уравнения относительно неизвестных постоянных А(п), (9) В(п) и С(п):
\(п)
(2 + а(п))(-х(п))2 + (((п> )2-1)] + С(п )(1 + а(п ))(-х
("П „(п)
-Вп> и 2 = 0,
- А(п Уп) + В(п)
И+(МГ
-1
= 0,
(10)
-А(п) (1 + а(п)))п)+ С(п) -(х(п))2 -а(п)+(,(п))2
- 2
= 0.
Из условия существования нетривиального решения получаем следующее уравнение для определения значения параметра х(п):
где
())3+(х!п ))2 4п )+х!п Чп) +«0п)=0,
( ) / ( л2 ( ) е(п) + /■(п) ( ) е(п) + /■(п)
х| п)=(х(п)) а(п) = 4 а(п) = е2 ^J2
а\' =
, а2 = ■
,(п)
а0 =
е0п)+ А п)
е( п)
, е6п)=-( 2 + а( п)),
(11)
( п)=( з п)Мп))2 -1))2 + а(п))(-а ( п) / ( ' Л42
=( 3 + а
.(.>(п))2
- 2
6
e2 =■
e0 =
(s( n) )2 -1) ) (Sn) )2 -1 + (3 + a(n>) (-a( n) + (S n) )2
-2
-1 -a( "> +
(s( n))2 -2), /n) = (1 + a(n))\
/2'
A, Jo
(1 + a( n))2i ((-))2-l) + 2(ui"))2,
-2(U"^( -a( ")+ (s( n))2 -2), sK"> =c/c^>, U"> = UR.
(12)
Из (11), применяя известные формулы Кардана для решения кубического алгебраического уравнения, получаем:
Хп
Х12
Х13
ф"
Ф
-V-P(n) /3cos(ф(") /3)-a4n) /3, Ф(п) = arctan(2V-D /(-Q(n))
V-p(n) / 3 (-cos (ф(п) / 3) - Л/3 sin (ф(п) / 3)) - a
V-P^/3 (-cos(ф(п) /3) + >/3sin(ф(п) /3)
- / 3,
p (n) = -
D(n) =
(a4n) )2 / 3 + a2n), Q(n> = 2 (a4n) )3 / 27 - a4n) / 3 + a( (q(n))2 / 4 + (p(n))3 / 27.
(13)
Будем рассматривать случаи, когда
(х^)2 > 0 или (х?)2 < 0. (14)
Отметим, что случаи, когда х(") является
комплексным числом, реальная часть которого отлична от нуля, не будут рассмотрены в настоящей работе. Кроме того, поскольку случаи
(п) г\
Х1/ = 0 соответствуют недисперсионному
моду, для простоты изложения решения, соответствующие этому случаю, также не будут рассмотрены. Таким образом, частные решения уравнения (7) (обозначим их через
и\2), У^, Щ2-1 для внутреннего цилиндра и через и{1 ,и{1 У 1Х) ,У( (1, Щ ,Щ 24 для внешнего цилиндра) получаем в следующем виде.
Случай, когда (х1")) > 0.
U2)= J ЦК'*
(2) ii Ml'
U!1)=ja w 1),
U = Y ui 2 1i
X( 1) 1 , ii 1 /'
v:( 2)=J,( ^S 1
F(1) = J
V(1) = Y
'i 2 -4
x!) 1),
X( 1) * , ii 'i b
W{ 2J = J0
W( 1 = J "ii J0
W( 1) = Y
''i 2 ^0
о) 1i 'i
, (i) xi/ 1
(15)
2
n
n
Случай, когда ( х |п))
< 0.
и( 2) = /
х1.
г: I, УГ = /
V
х( 2) Л1г
г1 I, ^ ' = /0
х(2) Л1г
и,(Ч = /, (/Щ г, |, У»= /, ^
■ (7
Х1
(1)
г | W( 1) = / '1 I' "¿1 0
^ Х1,}
и$ = к
г | V(1) = к
'1 I' , 2 Л'
1 х1,)
г \ W(1) = к
'1 I' "г 2 Л0
-/ х11)
(16)
где г0 ( д/х? г1) и ^ (^/х? г1) - функции
Бес-
к0
х1,,
к^
х1,,
- функции
соответственно;
селя еторого рода нулевого и первого порядка Макдональда нулевого и первого порядка соответственно. Отметим, что при математических преобразованиях, проведенных выше, использованы известные рекуррентные соотношения типа
; /0 (/Щ г \ и /1
г \ -
функции Бесселя чисто мнимого аргумента нулевого и первого порядка соответственно;
Ь0 (х) = - (х), Ь'р (х) + РЬр (х) = Ьр-1 (х);
/0(х) = /1 (х), /;(х) + р/р(х) = -/р-1 (х);
К0 (х) = -к (х), кр (х) + ■^Кр (х) = Кр-1 (х);
7;(х) = - (х) 7р'(х)^^х7р(х) = 7р_1 (х). Таким образом, общее решение уравнения (7) можем записать в следующем виде:
и(2) = £ А<2) и,2), И2)= £ В<2) V2, W(2) = £ С(2) W(2), ,=1 , =1 ,=1
и<"=£ ( а >и<->+лм>), ^£ (в;) V ?>+В? ),
,=1 ,=1
W (1)=£ (w ^ С« W ?)).
(17)
(18)
Подставляя (18) в уравнение (7) получаем следующие соотношения между неизвестными постоян-
ными
Аг(2), В,2), С,(2), А(), Аг(2), В( ) В$, С« и С Для случая, когда ( х ) > 0, п = 1,2:
•Л? (1 + а(2))
(1)
С, 2)=-
х!2)-а(2)+(5(2))2 - 2 м ^ (1 + а( 1))
А2); В2) =
и
(2)
— А 2)--х12)+(52))2 -1 , '
1
,к ~
(19)
-х11)-а( 1)+( 5 (1))2
-2
А( 1). В( 1)=. А ; Вк -
и
-х11)+( 5 (1))
-А 1)
2 Л,к . -1
Для случая, когда ( X |n)) < 0,
n = 1,2:
C( 2) = ■
Vх"7" (1 -(2)) Д(2);
X (2) A1i
-a
( 2)
И2 - 2 ' !
B( 2 )=.
u
(2)
i( 2);
X (2) A1i
■(*(2T
-1
C( 1) =
^ на«) ,4;
(20)
X( 1) •Mi
-a( ,2 +
(('T
■41
BS?=-
u
(1)
- 2
XW 1i
И
2 "ДС - 1
Таким образом, полностью определяем решения поставленной задачи о распространении волн с начальными кручениями в составном цилиндре.
Подставляя решение (18) в соотношение (6), проведя соответствующие математические выкладки, из (3), (2) и (6) получаем выражение для напряжений и перемещений через неизвестные постоянные, входящие в общее решение (18). Далее, удовлетворяя контактные (4) и граничные (5) условия, получаем систему однородных алгебраических уравнений для этих неизвестных постоянных. Из условия существования нетривиально-
го решения системы приравниваем к нулю детерминант этой системы. Получаем дисперсионное уравнение в следующем виде:
det
ai
.(S(1),S(2),kR, Э('),Э(2)2 i;j = 1,2,3,4,5,...,9.
= 0
(21)
Следует отметить, что при 9(2) = 9(1) = 0 дисперсионные уравнения (21) можно представить в следующим виде:
( det a1y. (s(n) ,kR) )(det a2^ (s(n), kR)
= 0, i;j = 1,2,3,4,5,6, l;n = 1,2,3,
(22)
где
и
det det
a
'j
a
(s(1) ,s(2) ,kR) ,(s(V2),kR)
= 0 = 0
(23)
(24)
являются дисперсионными уравнениями для продольной и крутильной осесимметричных волн в составном цилиндре соответственно.
Численные результаты и их анализ
Численные результаты получаются для составного цилиндра из решения дисперсионного уравнения (20) (для случая, когда 9 = 0). При обсуждении численных результатов верхние индексы (2) и (1) будем менять с верхними индексами (/) и (т) соответственно. Кроме того, будем
(/) (т) А (/) (т)
предполагать, что ' = к - 0,3, ру -р ,
Е(г) /Е(т) = 5,0, к/Я = 0,5. При этом в основ-
(г)
ном будем рассматривать случай, когда 9 = = 9(т) = 0,05. Введем обозначения 9 = т) =
= 9 г).
Дисперсионные кривые, полученные при ^ = 0,0, приведены на рис. 2 для случая, когда
E(f)/е (m) = 5,0. На рисунке приведены дисперсионные кривые, соответствующие первой дисперсионной моде крутильной волны (кривая обозначена через TW), первой дисперсионной моде продольной волны (кривая обозначена через LW) и первой недисперсионной моде, относящейся одновременно к обоим типам волн. Кроме того, на рисунке отмечена точка пересечения кривых, соответствующих первой дисперсионной моде крутильных волн и первой дисперсионной моде продольных волн.
Как видно из рис. 2, для мод продольных и крутильных волн скорость распространения волн получает конечно-предельное значение при kR ^ 0.
Для нахождения этих предельных значений в работах [3; 4] заданы аналитические формулы.
Кроме того, при кЯ ^ да скорость распространения волн по поверхности внешнего цилиндра,
соответствующая скорости волны Рэлея (С^^) ,
и скорость распространения крутильной волны приближаются к скорости распространения поперечной волны С2
Рис. 2. Дисперсионные кривые
для составного цилиндра при C"' jCя 2,236
и при отсутствии начального кручения: intersection point - точка пересечения [Figure 2. Dispersion curves for a compound cylinder for with and without initial torsion]
Теперь рассмотрим дисперсионные кривые, полученные из решения уравнения (21) при и = 0,05.
Рис. 3. Дисперсионные кривые [Figure 3. Dispersion curves]
Эти кривые обозначены на рис. 3. Кривые J2 и J3 показывают крутильные волны первой моды, а кривая J1 показывает продольные волны первой моды. Как видно из рис. 3, кривые в отличие от состояния Ui 0. Для kR существуют разрывные значения и при условии kR ^ 0 отсутствует конечное предельное значение скорости распространения волны. Кроме того, дисперсионные кривые J1 и J 2 нигде не пересекаются.
Заключение
Как видно из полученных математических результатов, действие начального кручения в цилиндре на величину распространения волны в цилиндре носит не только количественный, но и качественный характер.
© Гулиев М.С., Сейфуллаев А.И., Абдуллаева Дж.Н., 2018
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
Список литературы
1. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями. Киев: А.С.К., 2004. 672 с.
2. Akbarov S.D. Resent investigations on the dynamical problems of the elastic body with initial (residual) stresses (review) // Int. Appl. Mechanic. 2007. Vol. 43. No. 12. Pp. 3-27.
3. Akbarov S.D., Guliev M.S. Axisymmetric longitudinal wave propagation in a finite pre-strained compound circular made from compressible materials // CMES -Computer Modeling in Engineering and Sciences. 2009. Vol. 39. No. 2. Pp. 155-177. doi.org/10.1007/s10778-010-0255-y.
4. Akbarov S.D., Guliev M.S. Propagation of axi-symmetric longitudinal waves in afinitely pre-strained circular cylinder embedded in a finitely pre-strained infinite elastic body // Mechanics of Composite Materials. 2008. Vol. 44. No. 5. Pp. 465-478. doi.org/10.1007/s11029-008-9045-6.
5. Demiray H., Suhubi E.S. Small torsional osci-lattion in initially twisted circular rubber cylinder // International Jounal of Engineering Sciences. 1970. Vol. 8. Pp. 19-30.
6. Ozturk A., Akbarov S.D. Torsional wave propagation in a pre-stressed circular cylinder embedde in a pre-stressed elastic medium // Applied Mathematical Modelling. 2009. Vol. 33. Pp. 3636-3649.
7. Seyfullayev A.I., Guliyev M.S. On the axisym-metric wave propagation in a finite restrained compound circular cylinder made from compressible materials // In-
ternational Journal of Nanosystems. 2010. Vol. 2. No. 2. P. 33-42.
Об авторах
Гулиев Муган Салман оглу - доктор физико-математических наук, профессор кафедры физики, Гянджинский государственный университет (Гянджа, Азербайджан). Область научных интересов: динамические задачи теории упругости. Контактная информация: e-mail - a.seyfullayev@yahoo.com.
Сейфуллаев Ализаде Имамали - кандидат физико-математических наук, доцент, главный научный сотрудник отдела волновой динамики, Институт математики и механики, Национальная академия наук Азербайджана (Баку, Азербайджан). Область научных интересов: механика разрушения и динамические задачи нелинейной теории упругости. Контактная информация:
e-mail - a.seyfullayev@yahoo.com. eLIBRARY SPIN-код: 7412-8270.
Абдуллаева Джамиля Новруз - доцент, преподаватель кафедры методики математики, Азербайджанский государственный педагогический университет (Баку, Азербайджан). Область научных интересов: механика разрушения и динамические задачи нелинейной теории упругости. Контактная информация: e-mail -a.seyfullayev@yahoo.com.
Для цитирования
Гулиев М.С., Сейфуллаев А.И., Абдуллаева Дж.Н. Исследование распространения упругих волн в составном цилиндре с начальным кручением // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2018. Т. 14. № 5. С. 404-413. DOI: 10.22363/1815-5235-201814-5-404-413.
RESEARCH PAPER
Investigation of the distribution of elastic waves in the composite cylinder with the initial torch
Mugan S. Guliyev1, Alizade I. Seyfullayev2*, Jamile N. Abdullayeva3
:Ganja State University 187 Sh.I. Xatai Avenue, Ganja, AZ2000, Republic of Azerbaijan
2Institute of Mathematics and Mechanics of the Azerbaijan National Academy of Sciences
9 B. Vahabzade, Baku, AZ1143, Republic of Azerbaijan
3Azerbaijan State Pedagogical University
68 Uzeyir Hacibeyli, Baku, AZ1000, Republic of Azerbaijan
*Corresponding author
(received: May 03, 2018; accepted: August 15, 2018)
Abstract. The aim of work. The work is devoted to the study of the propagation of axisymmetric longitudinal waves in a compound cylinder with initial torsion.
Solution technique. The initial stresses in the cylinder are determined using the classical linear theory of elasticity. Methods for solving corresponding problems of intrinsic significance are proposed. Numerical results are given and their analysis is carried out.
Results. It was found that the presence of initial torsion in cylinders does not exclude the appearance of an axisymmetric longitudinal and axisymmetric waves in a compound cylinder separately. It is found that, in the absence of initial torsion in the compound cylinder, there are intersection points between the dispersion curves corresponding to the modes of axially symmetric longitudinal and torsional waves.
It is shown that in the case when initial torsion takes place on at least one cylinder, the axisymmetric longitudinal and torsional waves can not propagate separately, i.e. there is an interference between these two types of axisymmetric waves in a composite cylinder. Methods for solving the problem are developed and corresponding dispersion equations for a compound cylinder are obtained. Dispersion equations are solved and dispersion curves are obtained, an algorithm is developed for constructing these curves.
Keywords: elastic waves, torsion, stress, Bessel function, MacDonald function
References
1. Guz A.N. (2004). Uprugiye volni v telakh s nachalnimi (ostatochnimi) napryajeniyami [Elastic waves in bodies with initial (residual) stresses]. Kiev, A.S.K. Publ., 672. (In Russ.)
2. Akbarov S.D. (2007). Resent investigations on the dynamical problems of the elastic body with initial (residual) stresses (review). Int. Appl. Mechanics, 43(12), 3-27.
3. Akbarov S.D., Guliev M.S. (2009). Axisymmetric longitudinal wave propagation in a finite pre-strained compound circular made from compressible materials. CMES -Computer Modeling in Engineering and Sciences, 39(2), 155-177, doi.org/10.1007/s10778-010-0255-y.
4. Akbarov S.D., Guliev M.S. (2008). Propagation of axisymmetric longitudinal waves in afinitely pre-strained circular cylinder embedded in a finitely pre-strained infinite elastic body. Mechanics of Composite Materials, 44(5), 465-478, doi.org/10.1007/s11029-008-9045-6.
5. Demiray H., Suhubi E.S. (1970). Small torsional oscilattion in initially twisted circular rubber cylinder. International Jounal of Engineering Sciences, 8, 19-30.
6. Ozturk A., Akbarov S.D. (2009). Torsional wave propagation in a pre-stressed circular cylinder embedde in a pre-stressed elastic medium. Applied Mathematical Modelling, 33, 3636-3649.
7. Seyfullayev A.I., Guliyev M.S. (2010). On the axi-symmetric wave propagation in a finite restrained compound circular cylinder made from compressible materials. International Journal of Nanosystems, 2(2), 33-42.
About the authors
Guliyev Mugan Salman oglu - Dr Sci. (Phys.-Math.), Professor, Faculty of General Technical Disciplines, Department of Physics, Genje State University (Genje, Azerbaijan). Research interests: dynamic problems of the elasticity theory. Contact: e-mail - a.seyfullayev@ yahoo.com.
Seyfullayev Alizade Imamali oglu - Cand. Sci. (Phys.-Math.), Chief Research Fellow, Professor Assistant, Department of Wave Dynamics, Institute of Mathematics and Mechanics, Azerbaijan National Academy of Sciences (Baku, Azerbaijan). Research interests: fracture mechanics and dynamic problems of non-linear elasticity theory. Contact: e-mail - a.seyfullayev@yahoo.com. eLIBRARY SPINcode: 7412-8270.
Abdullayeva Jamile Novruz gyzi - Lecturer, Department of Methodology for Mathematics, Azerbaijan State Pedagogical University (Baku, Azerbaijan). Research interests: dynamic problems of non-linear elasticity theory. Contact: e-mail - a.seyfullayev@yahoo.com.
For citation
Guliyev M.S., Seyfullayev A.I., Abdullayeva J.N. (2018). Investigation of the distribution of elastic waves in the composite cylinder with the initial torch. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 14(5), 404-413. DOI: 10.22363/1815-5235-2018-14-5404-413. (In Russ.)
