CC BY
15Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies, 2018, 11(2), 221-228
yflK 62.52; 532.546; 519.9
Distributed Control for Systems with Distributed Parametres
Nikolai D. Demidenkoa and Lyudmila V. Kulaginab*
aNauka Specialized Design Technology Office Institute of Computational Technologies SB RAS 53 Mira, Krasnoyarsk, 660049, Russia bSiberian Federal University 79 Svobodny, Krasnoyarsk, 660041, Russia
Received 24.01.2017, received in revised form 09.10.2017, accepted 30.01.2018
A specific control methodfor systems with distributed parameters is presented in the article. A task for optimal control for nonlinear systems is shown. The necessary conditions for the optimality of the distributed control functions are obtained. Outcomes of numerical experiments for the heat-exchange process are introduced.
Keywords: distributed control, distributed system management, heat and mass transfer.
Citation: Demidenko N.D., Kulagina L.V. Distributed control for systems with distributed parametres, J. Sib. Fed. Univ. Eng. technol., 2018, 11(2), 221-228. DOI: 10.17516/1999-494X-0025.
Распределенный контроль в системах с распределенными параметрами
Н.Д. Демиденкоа, Л.В. Кулагина6
аСКТБ «Наука»
Института вычислительных технологий СО РАН Россия, 660049, Красноярск, пр. Мира, 53 бСибирский федеральный университет Россия, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79
Предложен метод распределенного контроля для систем с распределенными параметрами. Сформирована задача оптимального контроля для нелинейных систем. Получены необходимые условия оптимальности функций распределенного контроля. Приведены результаты численных экспериментов для процесса тепломассообмена.
Ключевые слова: распределенный контроль, управление системой с распределенными параметрами, тепломассообмен.
© Siberian Federal University. All rights reserved Corresponding author E-mail address: klvation@gmail.com
*
В работах [1-10] рассмотрена задача оптимального контроля для довольно широкого класса химико-технологических аппаратов. Для линейной математической модели управляемого объекта с постоянными коэффициентами на основе метода преобразования Лапласа получены необходимые условия оптимальности весовых функций распределенного контроля. Это обязательное условие позволяет рассчитать оптимальные весовые функции, дающие предельную оценку распределенного контроля за управляемым процессом.
В данной статье рассматривается непрерывный процесс взаимодействия двух противоточно-движущихся сред в тепломассообменном аппарате с пространственно-распределенным воздействием. Для этого объекта рассмотрена задача оптимального распределенного контроля, управляемый процесс которого описывается дифференциальными уравнениями is частных производных с nef) еменными коэффициентами.
Для иешеииа задаче ныптимальаогы контр о ля приме няетсяме тод вариационного исчисления. Поличенные шчоЫсходимые усяоымя вптималыюити иопиоизеюнся п ри пяиероении числен-ноао мраярп иаечеык оптамальняк вссооых НункцыН шоспнедриенисео укнтро ля.
Исиодмно законадохранения количеачиа тепчк илиитссдщьрамках гиоотад, принятых в ртб оте [11], рассмотрнм уравнени я, описывающие этот процесс:
+ M = ^Ж-Нн), m
ot dx (1)
IX-Щ^хЖ^в 2) + Я (x,0 ), Ht ox
тык в, = в/х, ), i = 1, 2 - функции раечыыьдстинил чехооинтуты оли ситпасыт{)оции; х, = wi(x, t), i = Ы, 2 - скорости нвиеяеи ия со2Х1зеасстлняю перио. и второй сред; f(x, t) - функция внешнего весдейотвияп
Сдс сь онешнеевоздействиеприложено вт-промежуточныхточках и представляется как
m
f (x, t) = 0=(* )uj ( <)•
jH
Вкачествефункциираспределенноговнешнеговоздействияпринятовыражение
\a(x -x.fec<x X]\x elo.x. I
ыде я и ипкидинеоо точои ырилади нил васшныговозоейестмя.
(Система нлсхнеиий (1) допоихаттонначсньными и сд)пниюиыми умениями)
6/x, 0) = 0, i = 1, 2, (2)
в1(0, t) = в,bl(t), в2(1, t) = вх®, (3)
гцв вя>И0, 02e(t1 - заданныефункции; l - длинааппарата,в дальнейшемпринимается равной 1. Функционал качества имеет вид
т 2
j=Дтние-тниее^, (4)
0
к- оао -
где Т - фиксированное время процесса управления; в*(1, 0 - заданное значение регулируемой величины; в1(1, /) - выходная (регулируемая) величина.
Используется возможность подачи на объект т + 1 управляющих воздействий: при ] = 0 за счет изменения граничных условий на входе второй (регулирующей) среды и0(0=6>24;с(0; при ] = 1, ..., т-промежуточных внешних воздействиях и,(/).
Таким образом, получаем т + 1-контурную систему автоматического регулирования. Функции управлоющих всодействий и//1)_/' = У ..т представляются в виде
здесьи/о) - о пер аторы испольруемых у правляющих з/стройнтв (в данном случае интегральн ые)
воздчйатвия на входе регуляторов, характеризунзщие состояние объекта управления и выражающиеся через щесовые фуякции р аспределен но го контроля g/x).
Таким обратом, заднча опттмизяцил сспиеми1 управяения зталпочтется is т'ом, чтобы найти такие иесадые рункцтиуаНО щэк катлаыт ныходзия яначдние функонд соятеконя ЧКРЯСяини-мидироопло е5м1 фунмриоиоу ксчеетва р4ф.
Онзомд и Сонроосенная слсянмс ураонанкй и езрЫебщимые усиаотъ опаипнлянонты рмеют
(5)
с заоаннвши вдрамк гкИМК определенными и тряеооиьиике
И Ид (т, t В - H; (й, tK ) (ПХ, /)
l T
(6)
JXa з)8^, x) _ /J( ( к + Ii2{x, t К = 0;
( 7 )
2[" - [ (l, t)] - й= ( t)/.) (/, t) = 0, m2 (0, t3ju2 (0, t) = 0,
/и((х,т) = 0, /г2^>с, т) = 0;
(8 )
(9)
l T t
L^/J et {{¿M, ТхД^РиДтеМ^уУгЛ^ ос 0.
(10)
0 0 о
Млтод {эешения ститемы уратаеняй зотаючастря е слицтазщоа: £i) задрютса начаеянуио щеиближеняя восоеых функсщд g)(в);
б) есл]н ННЗ-тя)) иакестны, то нн системыурквненик (1) и грнничных усливис 32)е(3С нахооят-
со не = Н"(т ъ) иизсопряженнойзадачи(6)-(8)определяются (> = уО)а ер, i =1,2; в)далееполагаем:
gc"+1 = ge" -tLo , И), т> 0; g"+1 = g"-TLj (, ИИ ), " = 0,1,2,...
г) предельные значения весовых функций дают решение задачи.
Для численной реализации задачи (1)-(3), (6)—(10) построена явная консервативная конечно-разностная схема, аппроксимирующая исходную систему уравнений (1) с первым порядком на равномерной сетке.
При этом справедлива
Лемма 2. Левые части конечно-разностных аналогов уравнений (9)—(10) представляют собой градиент аппроксимированного функционала качества (4).
Следовательно, для решения нашей задачи может быть использован градиентный метод. На рис. 1-7 прив едены п ример ы расчета систем контроля по разработанной программе.
На рис. 1а представлирье кривая разгона, оптимальная переходная характеристика в одноконтурной схемерегулирования с весовой функцией оптимального контроля g0(x). Эта функция отраженана игс. НО. На рис. СвО показаны кривые оптомальногм упмянерниоисоответ-ствующие Наясацик маспредеяеннока крнтролс с подачей уярселяющга окздкукявкХ в точках, распределпнных нодаине аатарата. п1мвеин «в» а>накцки §/Осос^'1^^^р^ствует координате x¡ = 0,1; «2» - x2 = 0,2 п т.д.Нмрис. 7аправляющие воздействия подаются в пяти точках одновременно.
Результаты расчетов показывают также эффективность выбора дополнительного контура управленнеспайачейпправлжсщеговозаеонннкы вгфпнеысуточные течки объекави распре-деленнымипарамтакяни.В еопличением координаты x¡ качество распределенного контроля улучшается. Наиесльшее т«етствуееточае с коордннааай x¡ м 0,Н.
С фоеничением x¡ Пнкем хЯсасооо мичтствопиравуенри еннисит как
от распределонного кряартяя, такиот роосуржреленпоео ^.овлония. Приме°ами расчетов для промысвревоых аппсрыто в доказояа необххдамость выбо рс пронесеухтчнын тухак исмт роля за управляемым процесс м и точек дополнительных управлений с целью повышения эффективности систем управления и проведения технологических процессов в соответствующих режимах обмснотвсpвcпpeдеяeрнымипвенмеакям и.
go(x) (6)
Fig. 1. Temperature changes in transient mode and at the optimal control (a) with the weight function g0 (6)
во, t)
hkijjmmh go, g! ()
Fig. 2. Temperature changes in transient mode and at the optimal control (a) with the weight functions g0, gj (6)
функциями g0, g2 (6)
Pic. 3. Temperature changes in transient mode and at the optimal control (a) with the weight functions g0, g2 (б)
На практике распределенный контроль для ректификационных колонн сводится к выбору контрольных тарелок, а распределенное управление - к выбору тарелок питания и тарелок отбора боковых продуктов. При этом постановки соответствующих задач и выбор методов их решения могут быть разнообразными.
Рассмотренная нами задача достаточно легко обобщается на любое конечное число параметров, характеризующих управляемый процесс. Здесь получила дальнейшее развитие идея распределенного контроля и управления для повышения качества проектируемых и действующих систем управления. Идея распределенного контроля и управления естественным образом вытекает из нужд реальных систем. Однако при этом важной является математическая
- 225 -
Рис. 4. Изменения температуры в переходном режиме и при оптимальном контроле (а) с весовыми функциями g0, мз ge
Pic. 4. ТттртгаВши chanyes in transient mode and at the optimal control (a) with the weight functions g0, g3 (б)
0,4 0,8 1,2 1,6 2.0 1 \
FonT=0,0862
Рис. 5. Изменения температуры в переходном режиме и при оптимальном контроле (а) с весовыми функциями go(x), g4(x)(6)
Pic. 5. Temperature changes in transient mode and at the optimal control (a) with the weight functions g0(x), g4(x) (б)
постановка задач с использованием распределенного контроля и управления. Для решения поставленных задач применяются численные методы. Получаемая функция распределенного контроля может быть использована при проектировании систем управления. После того как найдена оптимальная функция распределенного контроля ее можно аппроксимировать конечным числом точек, а сама непрерывная функция представляет собой предельную оценку и может быть также использована при синтезе распределенных систем оптимального управления.
Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, Правительства Красноярского края, Красноярского краевого фон- 226 -
6
$yHKU,I«IMHg0(x), g5(x) (6)
Pic. 6.Tgmperature chpnges in tansknt mode and ttthe optimal control (a) with the weight functions g0(x), g5(x) (6)
Рис. 7.17зменения температуры в переходном режиме и при оптимальном контроле ЦТсвосовыми функциями g0,pege g3, ga g5 ВТ
Pic.7. Temperature clianges in transient mode and at the optimal control (a) with the weight functions g0, gi,g2, gegt.gi (6)
да поддержки научной и научно-технической деятельности» в рамках научного проекта No 17-48-240304р_а»
Список литературы
[1] Демиденко Н.Д. Управляемые распределенные системы. Новосибирск, Наука, 1999. 393 с. [Demidenko N.D. Controlled Distributed Systems. Novosibirsk, Nauka, 1999. 393 p. (in Russian)].
[3] Демиденко Н.Д., Кулагина Л.В. Методы и средства оптимального управления тепло-технологическими процессами в трубчатых печах. Химическое и нефтегазовое машиностроение, 2006. № 3. С. 8-9. [Demidenko N.D., Kulagina L.V. Methods and tools for of optimal control thermal technological processes in tube furnaces. Chemical and Petroleum Engineering, 2006, (3), 8-9 (in Russian)].
[4] Demidenko N.D., Kulagina L.V. Optimal Control of Thermal engineering Processes in Tube Furnaces. Chemical and Petroleum engineering. 2006. Vol. 42, Issue 3/4, P. 128-130.
- 227 -
[5] Демиденко Н.Д., Кулагина Л.В. Численное исследование систем с распределенными параметрами. Вестник КрасГАУ, 2007 (2), 103-112. [Demidenko N.D., Kulagina L.V. Numerical study of systems with distributed parameters. KrasGAU Vestnik, 2007 (2), 103-112 (in Russian)].
[7] Демиденко Н.Д., Кулагина Л.В. Моделирование и оптимизация технических систем с распределенными параметрами. Красноярск, ИПЦ КГТУ, 2006. 210 с. [Demidenko N.D., Kulagina L.V. Simulation and Optimization of Engineering Systems with Distributed Parameters. Krasnoyarsk, Publishing Center KSTU, 2006. 210 p. (in Russian)].
[8] Demidenko N.D., Kulagina L.V. Stationary and dynamic processes in process furnaces, J. Sib. Fed. Univ. Eng. technol, 2016, 9(1), 6-14. DOI: 10.17516/1999-494X-2016-9-1-6-14.
[9] Кулагина Л.В. Моделирование тепломассообменных процессов в технологических печах, автореф. дисс. ... канд. техн. наук, Красноярск, СФУ, 2010. 22 с. [Kulagina L.V. Modeling of heat-mass-exchange processes in technological furnaces, thesis. diss. ... cand. of techn. sci., Krasnoyarsk, SFU, 2010. 22 p.].
[10] Демиденко Н.Д., Кулагина Л.В. Оптимальное управление режимами работы технологических печей в нефтеперерабатывающей промышленности, Фундаментальные исследования, 2005 (2), 43-44. [Demidenko N.D., Kulagina L.V. Optimal control of operating modes of process furnaces in the refining industry, Basic Research, 2005 (2), 43-44. (in Russian)]
[11] Демиденко Н.Д., Кулагин В.А., Шокин Ю.И., Ли Ф.-Ч. Теплообмен и суперкавитация. Новосибирск, Наука, 2015. 436 с. [Demidenko N.D., Kylagin V.A., Shokin U.I., Lee F.-C. Heat and Mass Transfer andSupercavitation. Novosibirsk, Nauka, 2015. 436 p. (in Russian)].
