CC BY
19Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies, 2019, 12(2), 159-170
yflK 62.52; 532.546; 519.9
Optimal Control of the Separation Process with Flow Restrictions
Nikolai D. Demidenkoa, Lyudmila V. Kulagina*b and Aleksandr G. Nikiforovc
aKrasnoyarsk Branch -Nauka Specialized Design Technology Office Institute of Computational Technologies SB RAS 53 Mira, Krasnoyarsk, 660049, Russia bSiberian Federal University 79 Svobodny, Krasnoyarsk, 660041, Russia cSmolensk State Agricultural Academy 10 Bolshaya Sovetskaya Str., Smolensk, 214000, Russia
Received 08.02.2019, received in revised form 10.02.2019, accepted 12.02.2019
Here we formulate the problem of optimal process control with distributed parameters, taking into account the constraints on the control and associated flows. The necessary optimality conditions are obtained. The analysis of the stationarity conditions is carried out and the method for constructing the domain of admissible controls is proposed. The developed optimization method is applied in the automation of industrial distillation plants for the sulfuric acid alkylation of isobutane with butylenes, ortho-xylene production, etc.
Keywords: optimal control, processes with distributed parameters, rectification, mathematical model.
Citation: Demidenko N.D., Kulagina L.V., Nikiforov A.G. Optimal control of the separation process with flow restrictions, J. Sib. Fed. Univ. Eng. technol., 2019, 12(2), 159-170. DOI: 10.17516/1999-494X-0125.
© Siberian Federal University. All rights reserved
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0). Corresponding author E-mail address: klvation@gmail.com
Оптимальное управление процессом разделения с ограничениями на потоки
Н.Д. Демиденкоа, Л.В. Кулагина6, А.Г. Никифоров1
аКрасноярский филиал - СКТБ «Наука» Института вычислительных технологий СО РАН Россия, 660049, Красноярск, пр. Мира, 53 бСибирский федеральный университет Россия, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79 вСмоленская государственная сельскохозяйственная академия Россия, 214000, Смоленск, ул. Большая Советская, 10
Здесь формулируется задача оптимального управления процессом с распределенными параметрами, при этом учитываются ограничения науправляющие и связанные с ними потоки. Получены необходимые условия оптимальности. Проведен анализ условий стационарности и предложена методика построения области допустимых управлений. Разработанный метод оптимизации применен при автоматизации промышленных ректификационных установок сернокислотного алкилирования изобутана бутиленами, получения ортоксилола и др.
Ключевые слова: оптимальное управление, процессы с распределенными параметрами, ректификация, математическая модель.
Введение
В настоящее время мощное развитие получили теория и практика систем с распределенными параметрами [1-9]. Это обусловлено, с одной стороны, наличием современных наукоемких технологий в металлургии, нефтепереработке и нефтехимии, энергетике и других отраслях промышленности, с другой - разработанным перспективным математическим методом анализа гидротермодинамических процессов и систем управления с целью проектирования высокоэффективных производств [10-24]. Произошло весьма продуктивное соединение современного математического аппарата с нуждами практических проблем в промышленности и современными вычислительными технологиями. Важным обстоятельством выступает тот факт, что основу большинства непрерывных промышленных производств составляют процессы тепломассообмена в условиях сложных гидродинамических явлений, например в условиях суперкавитации [11, 13, 23, 24]. Однако совместное рассмотрение и изучение вышеназванных процессов довольно сложная задача, и в последнее время в основном изучают с различных точек зрения теоретические и прикладные задачи раздельно, мало учитывая влияние одних процессов на другие.
Вычислительные технологии объединяют новейшие достижения математических методов с нуждами производства, несмотря на то, что они развиваются самостоятельно, но тем не менее влияют друг на друга. И только в вычислительных технологиях достигается совершенство математических абстракций и реального производства, решаются различные системы уравнений в частных производных в области постановки краевых задач, аналитических и численных методов, вопросы качественного исследования краевых задач и задач оптимального управления. Результатом этого эволюционного процесса могут являться разработанные науч- 160 -
но обоснованные методы расчета основныхтехнологических и констру
(геометрических, гидротермодинамических и кавитационных) при проектировании надежных и высокопроизводи ло гическихаппаратоввразличныхотрасляхпромышленно-
сти, в которых проиоплдят провдосы тсплоогассос^мена и гидоадинлмики потоков. Важными отокыося иопдчсы откпеси ало^нтнлота матсыатинеского опмаыло осих процессов реальнык ^жчылы техао лагических ыапвтяы. Дыая позливных адекваа-
ность может быть paзоеH.HеаЯрoдимo,чзаЬытoчньcто нотeмaоррecяoгеoпиcорыя стответ-ствовала требованиям конкретногопроизвчиотви.
Значимым элементимвычисильелмоых теальлогиы яoлиютcяопи:гeмы с pлккиидииeнны-ми параметрами, коьорыьфтхоционируютв ycломыиутopaвлeнря,в том числеоптхмхлыюха. Распределенность папрмеьфтаороце OФoИывтодкачoалры cынаязe спсттмнихтрсыо
и управления. В чаотиоити, для таытх систео оотеытвечным моразоы оообхаинмо применяиь распределенный контроль и распределенное управление [1-3, 10, 11].
В статье рассмалривается зарача олоиуоры^аго утраввения поодессвмиалециркулынюый взаимодействующитплахков ]в нокаиНифщиокоых полоппех. ^цщжуняция приводит к тому, что одни и те же упнавхелпт как граи ичкыо, таноглИдемным^Поэтому для вывода необходимых условий оптимальности здесь непосредственно применяется метод вариаций; управления предполагаются кусочно-непрерывными, а соответствующие им решения - непрерывными и кусочно-гладкими [1,2,11].
Постановка задачи
Рассмотрим следующаюмoдлльывpоаляeмoгoтpo цеаса:
^ - ЩХ-=к (у- у (х»+^ ^ (/) ^ °
(1)
^^ - ^ = к(у(х) - у), 0 < , < Т, 0 < / < Г,
д д1 УУ.У
краевые условия: при I = 0:
А(Х) = ОД г)х(0, г) - к^ г)у^ г) - Жхк (г),
М (2)
у (0,г) = а[ ук (хк) - хк (г)] + Хк (г),
при l = 1:
4 (Н ха)
—т-М- = V,«)у, - (ьл (г)+Б (г))х, (г),
М (3)
г*У* (г)-V(1, г) у(1, г)=(г) - щ, г) х(1, г),
где х(1, у(1, ^ - концентрации целевого продукта в жидкой и паровой фазах; Ц1, ¥(1, 0 -жидкий и паровой поток; Е - поток сырья; у*(х) - равновесная концентрация в паровой фазе; Нх, Ну - удерживающие способности в жидкой и паровой фазах; хЕ - концентрация целевого продукта в сырье; D(t), Жф- отбор целевого продукта вверху и внизу колонны; ^ d относятся к параметрам в кубе идефлегматоре.
Начальные условия:
xm=x0(i), у{щ=уд\ o</<i,
(4)
■ХДО) =* ¿0, Х^С»^^ 0<а, Е^1. F(t) - поток в жидкой фазе, подводимый в колонну на промежутке l0 - с < l < l0 + с ; Ф^О характеризует распредележие потока по этомупромежутку. Функция Фпмужет иметь( например,
Ф, (О =
р-(/ Ч)2
при пру
\ I - Х 0| < ст I/ - /0| > а
или
Фi (/) =
-1 cos2m[и(/-/я)] пру |/-/я| <0- = ст к 2n .
я
пру
1-/я >сг
Во втором случае да выбирается достаточно большим для обеспечения нужной гладкости Фх(1); в обоих случаях Ж выбираетсятак, чтобы
/0 +СТ
у Фх(/у/ = 1.
/,-ст
Величины потоковприэтом удовлутвкряют условиям:
Щ0 + D(i) е y(t), D(t) + Ру (t) е М(/, i),
^(Ф)+В(0,учце,п), кдв)пк(/,t).
(5)
Предполагается, что удерживающие способности Нх, Ну постоянны, V не зависит от I, а Ь(1,() имеет вид
при 10+ст< /<1
10 + <7
Щ,/) = < 1(1,,) + У(?) | Фх(/)(Л при 10 -<< I < 10 +<, 1(1, г) + У (г) при 0 < I < 10 -<
что короче будем записыватьтакимобразом:
Ь(1, г)=1(1, г)+С (I, г) = Щ + С (/, г).
Такой вид Ь соответствует предположению, что изменение потока в жидкой фазе по высоте колонны происходит толькоза счет вводимого потоках(0. Приэтом условия(5) дают:
(6)
ИЧО + б (г) = Б(/)+ь, (/) = к (/),
ж «)+Г(0 = Ц()+у (/), Г(«) = у (г).
Из этих равенств следует, что (?) = ^ЧИ?) =И,(С,У).
Анализ условий (5) показывает, что только два из четырех потоков Ш, D, Ь, V являются независимыми. Выбор тех или иных двух независимых потоков в качестве управлений опре-
- юа-
№коЫ D. Demidenko,LyudrрilaV. Юи^ша. ..Орвта1 Сопро1о£Ше 8ерагаропргоое88 хрМк Р1(т Кео^йюш
деляет соответствующие задачи. Эти задачи, как задачи оптимального управления в классе кусочно-непрерывныаа управлений с критерием качества
Т 1
е = {{( я/д )--* (/,? ))-/цм, (7)
0 0
где в* - заданная функция.
Задача оптимального управления суправляющимипотоками Ь, №
Здесь рассматривается задача оптимального управления, в которой управляющими параметрами являются потоки Ь = Ь(0 и Ж = Ж((). Потоки V Д Ьа, V исключаются с помощью условий (5). Управления/,, Жвыбираютсяв рласре кусочнр-непрерогеных функций) прин-маюприх значения в промежутиал
Птп <п(в)<птах, ЮрХ) <ХНтах, (8)
поток Е считается заданным. Переходя к нормальной форме дифференциальных уравнений, получаем следующую задачу:
)
(ь + 1*)-дт + ^-ку(у-у )ФП
(9)
У
при краевых условиях:
У'= ^(^-¿--О-О^+Ы^-у], УП^, Н < / < Т, 0 </< 1,
Н У
х'ь = )- + -г-ь-Р)у- Xк,
н х
у-а\у1(хк)-х=]-хк=0^ 0< 1<Т, I = 0; (10)
х'А = +—[¿ + Е--V](у,! - х, -X,,
Нх<
-Ь+Р — )уй-у) - Д х) = 0,
-,-у-Е,)у-(хл)-У) = 0, 0<¡<т, 1 = 1
при начальных услояхях (4) и огранучениях на управлених:
(Ь -Х^)-(Ьтах-ь)-у2 = 0^ (ЯГ-Ж^-= 0.
Здесь и, z - вспомогательные управленяя.
Будем учитывать такжеограниченияна потаки ТН я ИХ
Ц^ В(г) Б = Е - Ж,
Ктт< V (О^тах, ^ V = Ь + Е - Ж. Из последних неравенств следует
(11)
(12)
W ■ < W(t ) < W или W ■ < W(t ) < W
D mm — F a x — — '' max, < mm — — — / ^ " max'
< , < F-W< D F-D <W<F-D ■
v mm — l ' — шах, ^max <' — min>
V ■ < <+ F-W < V < ■ + F - V < W < F + L - V ■
r min — ^ ' J ч —r max > ^min ' L r max — L ' ^max v min •
Итак,
W = max W ■ F - D F + L - V } <
mm 1Jncv ¡г' mm r ^maxL ^r vmm ^ max J—
<W < min W F-D ■ F + L -V }= W
— — ¡'max' mm' ^max min X "max
при уеловии,что любой элемент множества {W^F—Dmax,F-T-LmBm — Vmsx\ не превосходит лю-йойэлемеотмножества ^WVmsx,F-Dma,F+Lmax —Mpm}. Мто означоет, что параметьы задачи должны удовлетворятьусловиям
^Win "Т Lmax + О^Отах' Tnax — ipn + ^min' (13)
а поток F должен удовлаачорять чледрю щи м саттнопве нччм:
F>W■ +D ■ F <W + Х)
— nun 1 nun' д —"max max ? ^
F>W. + V. -L F<W + V -L
mm mm max' max max mm*
Будем предполагать, что эти условия выполнены. Заметим, что необходимость выполнения первых четырех из условий (13)-(14) естестве—но вытекает из первых двух у ело вий (5). Аналогичномьжно птлу—ить стотношвтие
L^^rmKiL^W-F+V^}<L0)<VToy5W-F+VmJ = LyW). (150
При этом границы изменения W постоянны или определяются потоком F, а границы изменения L зависят от у правлен ия W. Полу чаем следующую задачу: для про цесса, описываемого уравнениями (4), (9)-111), в>н)жеств>кус0чн0)не>р>рывныхуправленуй!,, ^удовтетворяю-щих условиям
(5хуту)(5т—х))--/ = 0, (¿хИт1П(ВТ)(Итах(4°) хИ)х.и2в о, (I6)
найти такие, что соответствующее им решение задачи (9)-(11), (15), (16), (4) дает минимум интегралу (7).
Необходимыеусловияоптимальности
Для получения необходимых условий оптимальности рассматривается вспомогательный интеграл
I у11+12у jjbdldt +j j/k,
п ыч
где ДупОу-ву+^-Х)*^-^)*^:-Y) + П(2)(yhC(2)),
% у ЛВ1 (Х'ьивХх)еЛ2))y тхх-а-Xе^^(x* ) -)) + Л> (х'dt-Xd) + + Л12) (L+F-Byiyt-y ) - L)xd - x)) f Л(в3) () x - у -Ес (n - y))+ Г (+L - L,^ Щ)
(ваЛяН-^-о'М^ - ЯвШ )-(Щ/вах-^)-г2),
- 16 4 -
где 4(1), 4(2), п(1), П(2) - функции, определенные на О = {(/,Г) | 0 < I < 1, 0 < t < Г}; , ^, У, е -функции, определенные на [0,Т] (ихможносчитать определонными на дО), причем
е = 4а=0 на ПД/{5/, 0|/ = °}, урА^иО нал ))Д /{(/, ?)|/ = 1}.
Пусть Ж - оптимальные управления; и, - - соответствнющие им (аогласно (И6)) вспомогательные управления; х, у, хк, хА уа - оптимальное решение задачи (9)-(11), (4), отвечающее этим управлениям; 5£,5Ж-нрриацсиупраьтенийо, Ж;тс,ю - вт.пацип фиктионыпущэав-лений и, z, 5х, 5у, 5хь 5,°,, «ззу?_ соотвитутсующте ьеяутпии тншений. Пользуяси аргумекеамилй теории вариационн огиисчисления,ши°имямнеоВмодтмые усеовуп дпмлмальночти упрлвляю-щих функций Ь и Ж при0< t < Т, 0 < I < О
L + L Hx
_=к И
( _ о H_____
Hx H„
' L+F-W ' .
v,--н—111 y
( _ A
H___н_
H Hy L
■2(_в*);
(17)
при l = 0, 0< t < T:
Hx Hx
= 0,
__ W
Hy Hxt
(L+F-W)- П =0,
dW- = H-W + W(_«(У) + « "I), WCO = 0;
dt H x
при t - T,0 < l <1:4 = 0, П = 0; при l = 1, 0 < t < T:
dt H x
(18)
(19)
при0< t < T:
+ H
H? .
— + H3)
H i
(L + f - W) + (1 = 0,
l = H2) Ei (y* )' = 0,
H-+H
H„
W L + F - W) - H3) = 0;
0 ' П A / - ~ ~ ^ A о V — ' H ,
1 i
<« -77-(«) -y(0, О)*)(У, -*,,) +
H x H x
xk xd
+Af \y(1)-yd +xd-'UV-YLn +Lmx -2L) = 0,
1 „ .1(1) ¿(I)
J - n- yd + (xk - y(0,t) ) - H- (yd-xd)- Af (y(U) - yrf) +
о Hy
H'
(20)
(21)
(22)
yu = 0, £Z = 0. Так какувдвиения(21Х(22) определяют
функции £ ¡7, Я^Я« А?>, Л<3>
полностью, то случаи, когдафункции е равны нулю,связаны с дополнительными я®сткими условиями на параметры задачи. Поэтому основнымслучаемследует считатьтот, при ковороме = 0, u = 0, у Ф 0, e Ф 0, т.е. W = HCniijl, W = Wmax или Г = F(t) + С1, где С1 = const, L = Lmin, L = Lmax или L = -F(t) + C2, гдеСД = соиН.Условид (13)-(14)—нжзо использоватьдля постронния областей значений оптимальных у правлений. В частности, пусть
m-D^F^y^^-v^.
Область значений управлений W(t) для этого случая приведена на рис. 1. Пусть оптимальное управление; ОЛ) ллелт вид, п^дутьвленныу на рис. 2, лооттетсчвенно отому учрао-лению W(t) на рис. 3 приведена область значений управления L(t). Из этих двух рисунков следует:
1)если W = Wmm, то
хах&хо W0c^T^n-iOCyb}< ХШ^, ^^-М«};
2)если W = Wmто
maoO^ ^nO^-^O^min^ Fmax + f°niax-JF(t)};
3)если W = F(i) -DmsK, то
max^, V<m-Z)^n^^LF(i)<min{Zmax, ^ - Д«}.
Рис. 1. Областьд-пуст-мых управлений^: 1- W = F- Dmi„ ; 2 - 3 = F+Lmax - Vmi„, 3 3 -W = F- Dm
4 - w = F + L . - v
' 11 ± ^min ' max
Fig. 1. The scope of admissible controls W: 1- W = F - Dmin; 2 - W = F+Lmax - Vmin; 3 3 - W = F - Dm
4 - w = F + L ■ - V
min max
Рис. 2. График оптимального управления отбором внизу колонны Fig. 2. Schedule optimal control selection column bottom
Рис. 3. Область значенийу правления ¿приоптимальном у правлении Ж(см. рис. 2) 1 -— = Vmax-F +Wm 2 - L = V - F + W ■ 3 - L = V ■ F WW ■ 4-L = V -F +W-
max i " mim ^ ^ ' min i +" T32 — 'ran 1 — mm
Fig. 3. The range bf values о f Lwitb optimal control W(seь Fig. 2): - — L = - F +Wm
2 - L = V - F + W ■ 3 - L = V ■ -F W ■ 4 - L = V-- F + W
i max ± 11 mim ^ J-' ' min ± + " max? ' J-' ' min ± 11 min
Пусть теперь график оптимальнгго управления +у имеет вид, приведенный на рис. 4. Область изменения управления Д/) построева на рис. 5 при следующих условиях:
1 если W = F(t) + Д„ - Fmax, то + = Zшах;
2) если W = Wm ах, то
max-L^, Г^ + Т^-ДфДО <mm-L^, !=л + Wma( - F(л)};
3) еслиЖ = Д) - Д л, то
max{Lmin> ^min" Amax )}< L(t) < min{Lmax - ^max " Amax} •
Разраболанный метод оптимизауии применен при автоматизации промышленных ректификационных установок сернокислотного алкилирования изобутана бутиленами, получения ортоксилола и др. [1, 3, 11].
Рис. 4. График оптимального управления W:
1 L F + Lmax Vmin; 2 L F Dmax
Fig. 4. Graph of optimal control W: 1 -L = F + Lm=- Vmin,
2 L _ F Dmax
Рис. 5. Область значений управления
L = Vmi
F + Wmax при оптимальном управлении
W (cM.puc.4)
Fig. 5. Control Value Area L = Vmi optimal control W (see Fig. 4)
F
Благодарность
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Красноярского края в рамках научныхпроектов №№ 18-48-242001, 18-41-242004, 18-41-242008.
Список литературы
[1] Демиденко Н.Д. Управляемые распределенные системы. Новосибирск: Наука, 1999. 393 с. [Demidenko N.D. Managed distributed systems. Novosibirsk: Nauka, 1999. 393 p. (in Russian)]
[2] Демиденко Н.Д., Кулагин В.А., Шокин Ю.И. Моделирование и вычислительные технологии распределенных систем. Новосибирск: Наука, 2012. 424 с. [Demidenko N.D., Kulagin V.A., Shokin Yu.I. Modeling and computing technologies of distributed systems. Novosibirsk: Nauka, 2012. 424 p. (in Russian)]
[3] Демиденко Н.Д., Потапов В.И., Шокин Ю.И. Моделирование и оптимизация систем с распределенными параметрами. Новосибирск: Наука, 2006. 551 с. [Demidenko N.D., Potapov V.I., Shokin Yu.I. Modeling and optimization of systems with distributed parameters. Novosibirsk: Nauka, 2006.551 p.(inRussian)]
[4] ДемиденкоН.Д., УшатинскаяН.П. Моделирование,распределенный контроль иуправление процессами ректификации. Новосибирск: Наука, 1978.285 c. [Demidenko N.D., Ushatinskaya N.P. Modeling, distributed control and management of rectification processes. Novosibirsk: Nauka, 1978. 285 p. (in Russian)]
[5] Демиденко Н.Д., Кулагина Л.В. Моделирование и оптимизация технических систем с распределенными параметрами. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2006. 210 с. [Demidenko N.D., Kulagina L.V. Modeling and optimization of technical systems with distributed parameters. Krasnoyarsk: CPI KSTU, 2006. 210 p. (in Russian)]
[6] Демиденко Н.Д., Кулагина Л.В., Мельник И.Н. Анализ нестационарных режимов в системах контроля и управления распределенными процессами. Вестник СибГАУ, 2006, 2, 89-92. [Demidenko N.D., Kulagina L.V., Melnik I.N. Analysis of non-stationary modes in
systems for monitoring and controlling distributed processes. Vestnik SibSAU, 2006, 2, 89-92. (in Russian)]
[7] Kulagina L.V. Mathematical Modeling of Control Systems for Production Processes with Distributed Parameters. Chemical and Petroleum Engineering, 2007, 43(5-6), 319-322.
[8] Демиденко Н.Д., Кулагина Л.В. Исследование систем с распределенными параметрами на базе математического моделирования. Химическое и нефтегазовое машиностроение, 2007, 3, 25-27. [Demidenko N.D., Kulagina L.V. The study of systems with distributed parameters based on mathematical modeling. Chemical and oil and gas engineering, 2007, 3, 25-27. (in Russian)]
[9] Демиденко Н.Д., Кулагина Л.В. Численное исследование систем с распределенными параметрами. Вестник КрасГАУ, 2007, 2, 103-112. [Demidenko N.D., Kulagina L.V. Numerical research of systems with distributed parameters. VestnikKrasGAU, 2007, 2, 103-112. (in Russian)]
[10] Демиденко Н.Д. Моделирование и оптимизация тепломассообменных процессов в химической технологии. М.: Наука, 1991. 240 с. [Demidenko N.D. Modeling and optimization of heat and mass transfer processes in chemical technology. M.: Nauka, 1991. 240 p. (in Russian)]
[11] Демиденко Н.Д., Кулагин В.А., Шокин Ю.И., Ли Ф.-Ч. Тепломассообмен и суперкавитация. Новосибирск: Наука, 2015. 436 с. [Demidenko N.D., Kulagin V.A., Shokin U.I., Lee F.-C. Heat and Mass Transfer and Supercavitation, Novosibirsk: Nauka, 2015. 436 p. (in Russian)].
[12] Демиденко Н.Д., Кулагина Л.В. Численный метод исследования стационарных режимов в технологических печах. Журнал СФУ. Техника и технологии, 2014, 7(1), 55-61. [Demidenko N.D., Kulagina L.V. Numerical method for studying stationary modes in process furnaces. Journal SFU. Technics and technology, 2014, 7(1), 55-61. (in Russian)]
[13] Кашкина Л.В., Кулагин В.А., Кулагина Л.В., Стебелева О.П. Изучение эффектов кави-тационного диспергирования твердофазных материалов. Энергетика в глобальном мире. Сборник тезисов, 2010. 415-416. [Kashkina L.V., Kulagin V. A., Kulagina L.V., Stebeleva OP Study of the effects of cavitation dispersion of solid-phase materials. Energetika in the global world. Collection of theses, 2010. 415-416. (in Russian)]
[14] Demidenko N.D., Kulagina L.V. Optimal Control of Thermal-Engeneering Processes in Tube Funaces. Chemical and Petroleum Engineering, 2006, 42(3-4), 128-130.
[15] Демиденко Н.Д., Кулагина Л.В. Оптимальное управление технологическими процессами в трубчатых печах. Химическое и нефтегазовое машиностроение, 2006, 3, 8-9. [Demidenko N.D., Kulagina L.V. Optimal process control in tube furnaces. Chemical and oil and gas engineering, 2006, 3, 8-9. (in Russian)]
[16] Демиденко Н.Д., Кулагина Л.В. Оптимальное управление режимами работы технологических печей в нефтеперерабатывающей промышленности. Фундаментальные исследовании, 2005, 2, 43-44. [Demidenko N.D., Kulagina L.V. Optimal control of operating modes of process furnaces in the oil refining industry. Basic research, 2005, 2, 43-44. (in Russian)]
[17] Демиденко Н.Д., Кулагина Л.В. Математическое описание процессов в технологических печах. Вестник СибГАУ, 2005, 238-239. [Demidenko N.D., Kulagina L.V. Mathematical description of processes in technological furnaces. Vestnik SibSAU, 2005, 238-239. (in Russian)]
[18] Демиденко Н.Д., Кулагина Л.В. Математическое моделирование процессов в технологических печах. Вестник СибГАУ,. 2006, 7, 91-95. [Demidenko N.D., Kulagina L.V. Mathematical modeling of processes in technological furnaces. Vestnik SibSAU, 2006, 7, 91-95. (in Russian)]
[19] Демиденко Н.Д., Кулагина Л.В. Численное моделирование технологических режимов в трубчатых печах. Омский научный вестник, 2009, 2, 242-246. [Demidenko N.D., Kulagina L.V. Numerical modeling of technological regimes in tube furnaces. Omsky Nauchny Vestnik, 2009, 2, 242-246. (in Russian)]
[20] Кулагина Л.В., Демиденко Н.Д. Особенности моделирования процессов тепломассообмена. Компрессорная техника и пневматика, 2009, 9, 11-13. [Kulagina L.V., Demidenko N.D. Features of the modeling of heat and mass transfer processes. Compressors Technics and pneumatics, 2009, 9, 11-13. (in Russian)]
[21] Евстигнеев В.В., Кулагин В.А. Кавитация в технология очистки сточных вод. В мире научных открытий, 2010, 5(11), 87-90. [Evstigneev V.V., Kulagin V.A. Cavitation in wastewater treatment technology. In the world of scientific discoveries, 2010, 5 (11), 87-90 (in Russian)]
[22] Дубровская О.Г., Евстигнеев В.В., Кулагин В.А. Кондиционирование сточных вод энергетических систем и комплексов. J. Sib. Fed. Univ. Eng. technol, 2011 6(4), 629-641. [Dubrovskaya OG, Evstigneev V.V., Kulagin V.A. Conditioning of waste water of power systems and complexes. J. Sib. Fed. Univ. Eng. technol, 2011 6(4), 629-641. (in Russian)]
[23] Kulagin V.A., Pyanykh T.A. Modeling of processes in supercavitation evaporator with consideration of thermodynamic effects. Chemical and Petroleum Engineering. 2014, 50(1-2), 2429. DOI: 10.1007/s10556-014-9848-3.
[24] Kulagin V.A., Stebeleva O. P.,Kashkina L. V., Kulagina L. V. Preparation of carbon-containing nanostructures by cavitation technology. Chemical and Petroleum Engineering. 2011, 46, Issue 11-12, 767-773.
