Распределенная генерация волн неустойчивости протяженным колеблющимся участком обтекаемой поверхности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том XIX 1 988 №6

УДК 532.526.3

РАСПРЕДЕЛЕННАЯ ГЕНЕРАЦИЯ ВОЛН НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПРОТЯЖЕННЫМ КОЛЕБЛЮЩИМСЯ УЧАСТКОМ ОБТЕКАЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ

С. В. Мануйлович

Изучается процесс генерации волны Толлмина — Шлихтинга протяженным колеблющимся участком пластины, обтекаемой потоком вязкой несжимаемой жидкости. Строится фундаментальное решение задачи: начальная амплитуда волны, генерируемой источником, определяется в предположении параллельности основного течения; дальнейшее развитие возмущения вниз по потоку описывается законом эволюции волны неустойчивости в слабонеоднородном потоке. Проведено численное исследование процесса распределенной генерации волны Толлмина — Шлихтинга для вибраций различных типов.

Согласно современным представлениям [1], ламинарно-турбулентный переход в двумерном пограничном слое происходит в результате генерации и последующего роста вниз по потоку собственных колебаний течения — волн Толлмина — Шлихтинга (Т—Ш). Известно также, что вибрации обтекаемой поверхности играют важную (в ряде случаев — определяющую) роль в возбуждении таких волн. В связи с этим изучение указанного механизма генерации волн неустойчивости приобретает большое значение.

Теоретическому и экспериментальному исследованию этого вопроса посвящены работы [2—5], где рассматривалась задача о возбуждении волны Т—III вибратором — узкой полоской обтекаемой поверхности, совершающей малые гармонические колебания в направлении перпендикулярном потоку. Восприимчивость течения в пограничном слое по отношению к вибрациям профиля как целого экспериментально изучалась в [6]. Ниже теоретически исследуется процесс генерации волны неустойчивости протяженным колеблющимся участком пластины, обтекаемой потоком вязкой несжимаемой жидкости.

1. Метод расчета. Будем изучать возбуждение и развитие двумерных возмущений в стационарном течении вязкой несжймаемой жидкости около плоской полубесконеч-ной пластины. Набегающий поток будем предполагать равномерным и параллельным плоскости пластины. Все величины в дальнейшем будем считать безразмерными, используя в качестве основных единиц плотность жидкости р, скорость набегающего потока U оо и коэффициент вязкости V.

Введем декартову систему координат с началом на передней кромке пластины, осью х, направленной вдоль скорости набегающего потока и осью у перпендикулярной обтекаемой поверхности (рис. 1). Предположим, что возмущения основного течения вызваны вибрацией участка поверхности пластины, точки которого перемещаются в вертикальном направлении по закону

yw = ® / (■*) ехр (— i ® 0 . (1)

Здесь t — время, со — частота колебаний, а — амплитудный параметр. Функция / задает распределение интенсивности вибрации вдоль поверхности пластины; эта функция определена для х>0, причем ее носитель расположен на достаточном удалении от начала координат с тем, чтобы в окрестности вибратора к описанию невозмущенного течения была применима концепция пограничного слоя. Относительно амплитуды колебаний стенки будем предполагать, что при любом х она мала по сравнению с местной толщиной пограничного слоя.

Обозначим через ад{х, у)ехр(—Ш) возмущения компонент вектора скорости и давления (<? = к», иу, р). Если вибрирующий участок расположен на расстоянии § от носка пластины, а его продольный размер достаточно мал, при расчете поля возмущений в окрестности вибратора можно пренебречь зависимостью параметров основного течения от продольной координаты, положив х=%.

Метод расчета амплитуды волны Т—Ш, возбуждаемой гармоническими колебаниями узкого вибратора, был впервые разработан в [2] для случая <о~ 3,/4

(окрестность нижней ветви нейтральной кривой). Впоследствии этот метод был распространен на случай произвольных | и ю из области неустойчивости [5].

На основании [2, 5] амплитуда генерируемой волны Т—Ш определяется вычетом фурье — образа возмущенного решения.

ат~ = 2я / /"* (А0) гее 9* (к, у) ехр' (г к0 х),

к=к о

(2)

Здесь к — комплексное волновое число, ко — его значение, соответствующее неустойчивой моде; фурье-амплитуды с/* с помощью соотношений

с* <

¿у’

Vу =— 1к <

Р* =

йЦ

<1у

\ к ) <1у

(3)

могут быть’выражены через решение ц>(у) краевой задачи для уравнения типа Орра ■ Зоммерфельда [7] с неоднородными граничными условиями

и

<0 \ /¿2<Р

_ т)

■к?

<р (0) = ■

— (0) = <*у 1 '

'¿у

1 Й4 <р г£ ¿у4

(0), ср (оо) = 0.

(4)

В формулах (3), (4) функция и (у) обозначает профиль скорости основного течения в точке *=£.

Обобщим решение (2)—(4) на случай протяженных вибрирующих участков. Для этого построим фундаментальное решение задачи, т. е. вычислим амплитуду волны, генерируемой «точечным» вибратором ¡=6(х — £). Подстановка в (2) дает выражение для коэффициента порождения волны Т—Ш (т. е. для начальной амплитуды волны, возбуждаемой источником)

(? = г гее я* (к, у), <? = Ух, Уу, Р.

к=к0 у

(5)

9—Ученые записки № 6

115

В соответствии с законом эволюции волн в слабонеоднородных потоках, при я>1 волна с начальной амплитудой <3 имеет вид

х

Применяя операцию свертки, получим выражение для волны Т—Ш, возбуждаемой вибрациями вида (1) в случае протяженных колеблющихся участков

Следует отметить, что полученное выше выражение для волны Т—Ш, генерируемой источником, не является фундаментальным решением в общепринятом смысле (оно определено только при *>§)> поэтому функции (6) являются решением линеаризованной системы уравнений Навье — Стокса лишь в области, лежащей вниз по потоку от вибрирующего участка. Для значений х, принадлежащих носителю функции f, формула (6) описывает процесс формирования начальной амплитуды волны Т—III.

2. Результаты вычислений. Перейдем к изложению результатов расчета интенсивности волны Т—Ш, возбуждаемой вибрациями различных типов. Для вычисления возмущений параметров течения по формуле (6) необходимо знать величины коэффициента порождения Q и моды ko, определяемые в процессе решения задачи (3)—(5).

Построение решения этой задачи проводилось методом, описанным в [5]. Результаты расчетов коэффициента порождения Р(|, 0) (для возмущения давления на поверхности пластины) приведены на рис. 2 в виде линий уровня на плоскости параметров |, о). Кривые 1—4 соответствуют значениям модуля | /*| ={0,5; 1; 1,5; 2}- 10-9, а кривые 5—8 — значениям фазы arg Р={1,2; 1,4; 1,6; 1,8}. Сплошной жирной линией обозначена нейтральная кривая.

Исследование влияния положения вибратора и его длины на амплитуду генерируемой волны проведем на примере вибраций вида

Несмотря на то, что формула (7) дает отличную от нуля амплитуду колебаний пластины вблизи передней кромки (что вообще говоря противоречит сделанным ранее предложениям), тем не менее при расчете интенсивности генерируемой волны можно пользоваться описанным методом, поскольку во всех рассматриваемых ниже случаях х0~>а, так что вибрация носика пластины дает исчезающе малый вклад в результирующую амплитуду волны Т—Ш.

В качестве величины, характеризующей интенсивность волны неустойчивости, будем всюду использовать функцию А = |рТ5 (х, 0) ¡. На рис. 3, а приведены результаты исследования зависимюсти амплитуды возбуждаемой волны Т—Ш от длины вибрирующего участка для вибраторов типа (7), установленных в точке лг0 = 8-105 и

х х

(6)

(7)

Рис. 3

колеблющихся с частотой со=2,5-10-5: линии 1—3 соответствуют значениям параметра а={3; 5; 7}-104. Из проведенных расчетов следует, что волну наибольшей интенсивности генерируют вибраторы, имеющие характерную длину порядка половины длины волны Т—Ш. При расчете начальной амплитуды волны, возбуждаемой таким узким вибратором, можно пренебрегать зависимостью коэффициента порождения и волнового числа от ^ подобно тому, как это делалось в [5].

На рис. 3, 6 изображены кривые нарастания амплитуды водны для вибраторов (7) с о=3-104 (ю=2,5-10^5) в зависимости от величины х0 — расстояния от колеблющегося участка до передней кромки пластины (дг0={4; 8; 12}-105 для кривых 4—6). Ввиду того, что модуль коэффициента порождения слабо зависит от переменной | (см. рис. 2), наибольшую амплитуду колебаний вниз по потоку дает вибратор, установленный вблизи нейтральной точки.

Исследуем влияние частотного параметра со на интенсивность возбуждаемой волны. Из рис. 2 видно, что в рассматриваемом диапазоне параметров модуль коэффициента порождения (характеризующий амплитуду генерируемой волны Т—Ш) возрастает с ростом <а. Указанная закономерность является следствием сильной зависимости решения задачи (3)—(5) от граничного условия для вертикальной компоненты скорости: согласно условию прилипания, при у=0 эта скорость пропорциональна частоте вибрации.

На рис. 4 приведены кривые нарастания волны неустойчивости для значений <о={4; 3; 2,5; 2}-10—5 (линии 1—4). Рассматриваемые колебания генерируются вибраторами из класса (7), установленными в нейтральных точках (для соответствующих частот) и имеющими длину порядка половины длины волны Т—Ш. Вибраторы такого типа будем называть «резонансными»; они порождают волну наибольшей интенсивности. Отметим, что кривые нарастания, построенные на рис. 3, 4, не учитывают амплитуду вибрации а. Величина логарифма истинной амплитуды пульсаций безразмерного давления может быть получена смещением построенных кривых на величину 1п а.

Изучим теперь влияние вибраций поверхности на длину ламинарного участка. Согласно амплитудному критерию [1], в точке ламинарно-турбулентного перехода амплитуда безразмерных пульсаций, вычисленная на основе линейной теории развития волн неустойчивости, достигает значения — 10~2 (на рис. 4 область А>10~2 заштрихована). Как показывает анализ расчетов, с точки зрения этого критерия наиболее «опасной» является частота со»3-10~5 (см. рис. 4): колебаниям «резонансного» вибратора с такой частотой нужно придать наименьшую амплитуду ао>0,1, чтобы длина ламинарного участка стала меньше «естественной» (равной 2,8-10е, согласно измерениям Шубауэра и Скрэмстеда [8]). Заметим, что полученное значение со несколько выше значения 2,5-10из классического ея — метода [1] учитывающего лишь коэффициент усиления волны Т—Ш. Смещение в сторону большей частоты обусловлено учетом начальной амплитуды, пропорциональной коэффициенту порождения (возрастающему вместе с <в).

Рассмотрим теперь более общий, чем (7), класс вибраторов, отличающихся местоположением и длиной

где Р — некоторая финитная функция. Как уже упоминалось выше, начальная амплитуда волны Т—Ш, генерируемой «резонансным» вибратором, может быть рассчитана по формуле (2). Поскольку при 1т6о = 0

тах | /* (£с) I = тах ) Ч, (£) |/£0 ,

а &

то кривая нарастания для «резонансного» вибратора из класса (8) с точностью до аддитивной постоянной определяется выражением

X

1п А = 1п | Р (дг0, 0) I — 1п ¿о (лг0) — J 1т К (£) ¿С. (9)

Хо

Как это видно из (9), относительное расположение кривых на рис. 4 не зависит от вида функции /\

В заключение заметим, что формула (9) может быть использована для предсказания положения точки перехода, вызванного вибрациями обтекаемой поверхности (без конкретизации вида вибраций), если в е^-методе при сравнении различных типов течений использовать не коэффициент усиления N [последнее слагаемое в (9)], а полное выражение (9).

Автор благодарит В. В. Михайлова и М. Н. Когана за плодотворные дискуссии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Качанов Ю. С., Козлов В. В., Левченко В. Я. Возникновение турбулентности в пограничном слое. — Новосибирск: Наука, 1982.

2. Терентьев Е. Д. Линейная задача о вибраторе в дозвуковом пограничном слое. — ПММ, 1981, т. 45, вып. 6.

3. Ту мин А. М., Федоров А. В. Возбуждение волн неустойчивости локализованным вибратором в пограничном слое.— ПМТФ, 1984, №6.

4. Г и л е в В. М., Козлов В. В. Возбуждение волн Толлмина — Шлихтинга в пограничном слое на вибрирующей поверхности. — ПМТФ, 1984, № 6.

5. М а н у й л о в и ч С. В. О возбуждении волн Толлмина — Шлихтинга вибрирующим участком обтекаемой поверхности. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1987, № 4.

6. Пилипенко А. А., Шаповалов Г. К. Влияние вибраций модели на переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный. — Ученые записки ЦАГИ, 1986, т. 17, № 6.

7. Михайлов В. В. Об асимптотике нейтральных кривых линейной задачи устойчивости ламинарного пограничного слоя. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, № 5.

8. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.— М.: Наука, 1974.

Рукопись поступила 29/У1 1987 г.