Распределения сумм случайного числа непрерывных случайных величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

_НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ «CETERIS PARIBUS» №3/2015 ISSN 2411-717Х_

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 519.213, 519.214

Ганин Михаил Павлович,

докт. техн. наук, профессор, профессор ВУНЦ ВМФ «ВМА»,

г. Санкт-Петербург, РФ Поленин Владимир Иванович, докт. воен. наук, профессор, профессор ВУНЦ ВМФ «ВМА»,

г. Санкт-Петербург, РФ E-mail: polenin@mail.ru

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СУММ СЛУЧАЙНОГО ЧИСЛА НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Аннотация

При обработке данных различных измерений замечено, что эмпирическая плотность распределения отличается от нормальной плотности «тяжелыми» хвостами [3, 4]. Объяснительные мотивы состоят в существенном влиянии корреляции и неравновесности случайных компонент в допредельных распределениях. Выдвигается гипотеза о влиянии также фактора случайности в количестве компонент случайной величины, формирующих суммарный измеряемый отклик. Задача получения оценок степени расхождения эмпирического и теоретического распределений является актуальной для практических приложений. Рассматривается новое решение задачи определения аналитических представлений функций и моментов допредельных распределений. Приводится пример для варианта наибольшей практической значимости.

Ключевые слова

независимые случайные величины, функции и моменты распределений, композиция распределений,

допредельные распределения сумм

1. Введение.

Такой раздел теории вероятностей, как теория суммирования независимых случайных величин (СВ), имеет своим началом работу [3]. Одной из задач этой теории является аппроксимация распределений сумм независимых СВ. Для варианта детерминированного числа слагаемых задача аппроксимации имеет название композиции распределений.

Для варианта случайного числа слагаемых итоговые распределения формируются исходными дискретным распределением (для СВ-числа слагаемых) и непрерывным распределением (для непрерывных суммируемых СВ). Поэтому есть смысл называть эти аппроксимирующие распределения комбинированными, а задачу их отыскания (аппроксимации) - комбинированием распределений.

Для сумм случайного числа случайных слагаемых доказан ряд теорем (теорем переноса), в которых утверждается существование предельного распределения. Эти теоремы имеют в основном теоретический интерес. Решение прикладных задач требует разработки приемов или методов построения непредельных комбинированных распределений. Известны результаты решения этой задачи для ряда вариантов, характеризующихся различными распределениями как случайного числа слагаемых, так и самих СВ, полученные в работе [3]. Эту работу следует рассматривать как пионерскую в данной прикладной области, поставившую проблему вычисления и изучения допредельных и предельных распределений, исходя не из традиционного рассмотрения числа слагаемых в качестве детерминированных величин, а из их представления в виде дискретных СВ.

Один из этих вариантов может претендовать на абсолютную представительность в мире реальной стохастики. Он характеризуется схематизацией стохастического (вероятностного) эксперимента суммой случайного числа независимых СВ, которая по своим случайным компонентам характеризуется:

_НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ «CETERIS PARIBUS» №3/2015 ISSN 2411-717Х_

- для числа случайных слагаемых - законом распределения Пуассона;

- для суммируемых случайных величин - нормальным законом распределения.

Решение задачи комбинирования для этого варианта, полученное в работе [3], является приближенным. Однако подход к решению, принятый авторами, в сочетании со специальным методическим приемом, позволяет получить и точное решение проблемы, которое приводится ниже.

Теорию комбинирования, т.е. аппроксимации допредельных распределений сумм случайного числа независимых СВ, можно считать достаточно полной, если ее результаты содержат решение проблемы для всех сочетаний основных теоретических распределений, которые могут иметь распространение на практические приложения. Такого рода сочетания характеризуются табл.1.

Таблица 1.

Сочетания основных распределений в проблеме комбинирования (аппроксимации распределения

случайного числа случайных слагаемых)

Исходные дискретные Исходные непрерывные распределения независимых слагаемых СВ

слагаемых СВ Нормальное, N (0;1) Гамма-распределение, а>0 (показательное при а=1) Лапласа, Х>0

Равномерное

Биномиальное Результирующие комбинированные

Пуассона распределения

Геометрическое

Предметом рассмотрения прикладной теории вероятностей являются дифференциальные и интегральные представления распределений (плотности и функции распределений), характеристические функции, а также моменты распределений, обычно математические ожидания и дисперсии случайных величин. Поэтому и проблема комбинирования будет решена достаточно полно, если она охватит эти функции и моменты.

Основным средством решения проблемы аппроксимации допредельного распределения для произвольного сочетания распределений является аппарат производящих и характеристических функций.

Ниже последовательно приводятся:

- формирование этого аппарата для решения задачи аппроксимации распределений сумм случайного числа независимых СВ и их моментов для произвольных исходных теоретических распределений случайных величин;

- и его применение для варианта числа случайных слагаемых, подчиняющегося закону распределения Пуассона и суммируемых случайных величин, подчиняющихся нормальному закону распределения.

2. Постановка и методический аппарат решения задачи аппроксимации (комбинирования).

2.1. Задача аппроксимации распределений.

Случайная величина V представляет собой сумму случайного числа У случайных, одинаково распределенных, слагаемых X/.

^ (!)

}=1

где {X}} — конечное множество непрерывных независимых, одинаково распределенных СВ;

У — дискретная СВ.

Согласно определению (здесь и ниже выкладки выполнены согласно теории вероятностей в интерпретации [1]), производящая функция дискретной СВ У имеет вид:

/ \ " (2) в7 (и)=М (и7 ) = ^ Р(Х = к )ик .

к=1

Характеристическая функция для случайных слагаемых X}

НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ «CETERIS PARIBUS» №3/2015 ISSN 2411-717Х

EX] (u) = Ex (u) = M(eiuX ). (ЗГ"

Характеристическая функция СВ V согласно (1) формально записывается следующим образом:

Ev (u) = M (e'uV ) = M

i * Л

iu 2 X

e j= "

v

(4)

Если У — целочисленная случайная величина с п возможными значениями и известными вероятностями Р(У = к), (к = 1, п), то для произвольной СВ Ж ее математическое ожидание определяется формулой:

^ (5)

М(Ж) = 2 РУ = кМ(Ж / У = к).

к=1

С учетом (3), (5) и (2) формула (4) принимает вид:

Г ^ Л

= (6)

Ev (u) = 2 P{Y = k )M

k=1

n k ! \

= 2 P(Y = k)ПM (e'uXj)

e

v

■<2 xj j=i

k=1 j =1 n

2 P(Y = k Ex (u )]k = Gy [Ex (u )]

k=1

Таким образом, для решаемой задачи имеет место

Еу (и) = Ог [Ех (и)] (7)

Решение искомой проблемы отыскания плотности комбинированного распределения находится обратным преобразованием

1 » (8)

/у (V) = — | е~™ЕУ (и)йи .

—ад

2.2. Задача аппроксимации моментов распределений.

Аналогом соотношения (7) для начальных моментов распределений является его дифференциальная форма:

Е'у (и) = в'у[Ех (и )]Е'Х (и). (9)

Для математических ожиданий х, у, V случайных величин X, У, Vсправедливы выражения:

х = —1ЕX (0);

у = О- (1); (10)

V = —¡Е'у, (0). Поэтому с учетом (9) имеет место равенство

V = х у . (11)

Для дисперсий задача решается дифференцированием (9) по и с последующей заменой и=0:

Еу (0) = — х 20Иу (1) + уЕХ (0). (12)

Так как

0"г (1) = Бу — у + у 2,

EX (0) = -Х 2 - Dx,

(13)

то дисперсия искомой случайной величины V вычисляется по формуле

Dv = yDx + x2 Dv. (14)

_НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ «CETERIS PARIBUS» №3/2015 ISSN 2411-717Х_

2.3. Нормирование комбинированных распределений.

Наличие математического ожидания (11) и дисперсии (14) комбинированной случайной величины V позволяет преобразовать дифференциальные распределения (8) к стандартной форме относительно нормированной СВ

V — v (15)

W =

Эта форма получается очевидным преобразованием плотности (8) следующего вида:

/ж = /у (V + о-ум?)ау. (16)

Таким образом, с применением аппарата производящих и характеристических функций получена методика решения задачи аппроксимации для произвольных исходных теоретических распределений случайных величин Z и Х.

Остается применить эту методику к комбинированным распределениям по вариантам исходных распределений. Проводя преобразования согласно (2)-(8), (10) - (14) и (15), (16) для всех сочетаний исходных распределений согласно табл. 1, можно получить решение проблемы в целом.

Поскольку выполнение этих стереотипных операций не связано с какими-либо существенными затруднениями, иллюстративные выкладки достаточно произвести для наиболее сложного варианта распределения суммы случайного числа нормальных СВ, которое подчиняется закону Пуассона.

3. Решение задачи аппроксимации для варианта суммы пуассоновского числа независимых нормальных случайных величин.

Распределению Пуассона подчиняется СВ, являющаяся числом появления события при большом числе испытаний (теоретически неограниченном, т.е. при п ^ да).

Сложность этого варианта состоит в том, что, согласно постановке задачи, в (2) и (5) рассматриваются суммирование, начиная со слагаемого с индексом ]=1, в то время, как дискретная СВ с распределением Пуассона имеет ряд распределения, начиная с нулевого слагаемого:

/ \ А * , (17)

Р{2 = к) = — в-я (к = 0,1,...) .

Для согласования с аппаратом аппроксимации (2) - (8) допредельного распределения это вынуждает ввести дополнительное согласующее соотношение

У = 2 +1. (18)

Для (3) согласно нормальному закону нормированной СВ X имеет место:

(19)

ЕХ] (и) = Ех (и) = е 2 ;

Случайная величина Z с рядом распределения (17) имеет производящую функцию вида

О2 (и) = еЛ(-1). (2°)

Тогда производящую функцию СВ У , связанной со СВ Z соотношением (18), можно найти путем следующих преобразований:

О (и) = М (иу )=М (и2+1) = иМ (и2 ) = ив2 (и) = ие—(и . (21)

Объединяя в (7) выражения (19) и (21), получим

Еу (и) = Оу [Ех (и)] = Ех (и)е—Ех (И =

(22)

ад п к ад л к к+1

e (")Г+1 =^zV ^

= e z L X ч ^ z

к=0 к! к=0 к!

Искомая плотность распределения СВ V

1 ад —л ад п к х _к+1 2 (23)

fv (v) = ^ f e-'uvEv (u)du = z Л f e '"ve~ 2 " du 2n J 2n t~0 к! J

— ад к — О —ад

НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ «CETERIS PARIBUS» №3/2015 ISSN 2411-717Х

"71 ~ (24)"

или, окончательно, f, (v) = .— §-, е 2(k+1) .

v k^VkTT

В работе [2] эта же плотность распределения получена приближенно в виде:

Л ад л k _v(25)

fv (v) (i - ¡-^ § в. 4k

е 2k

При решении прикладных задач интерес представляет не только вид комбинированной плотности распределения сумм случайного числа непрерывных случайных величин, но и их соотношение с композиционной плотностью распределения для детерминированного числа слагаемых. Сопоставление плотностей целесообразно осуществлять относительно такой меры их соответствия, как равенство т = г детерминированного числа слагаемых т в задаче композиции и математического ожидания г случайного числа слагаемых в задаче комбинирования (аппроксимации).

Результаты решения задачи композиции и комбинирования (аппроксимации) применительно к суммированию случайного пуассоновского числа одинаково распределенных нормальных случайных величин представлены в табл. 2.

Таблица 2.

Композиционная и комбинированная плотности и моменты распределения сумм независимых слагаемых

нормальных случайных величин

Итоговые Композиционная плотность распределения суммы детерминированного числа m независимых слагаемых СВ Комбинированная плотность распределения суммы случайного по закону Пуассона числа независимых слагаемых нормальных СВ

Распределения 1 -vi fmH (v) = -r— е 2m л12ж m f( П - Н )(v) = 2 -Лад л k v = е § Л е 2(k+1) V 2ж§ kU k +1

Моменты распределений v = 0; D = m ? v v = 0; D =Л +1

Композиционная плотность распределения проиндексирована буквами тН , означающими детерминированное число т слагаемых нормальных случайных величин, а результирующая комбинированная плотность распределения - парой букв (П-Н), первая из которых соответствует соответствующему дискретному (Пуассона), а вторая — непрерывному (нормальному) распределению.

Достоверность полученных теоретических результатов аппроксимации комбинированных распределений подтверждается очевидно выполняемым условием нормировки функций плотности распределений:

| / (у)^ = 1, (26)

□

где □ — область определения СВ V.

5. Сравнительный анализ композиционного и комбинированного распределений.

Для наглядности отличий между плотностями композиционного и комбинированного распределений они представляются графиками при одинаковых значениях параметра суммирования:

— композиционные плотности распределения — при значениях параметра т детерминированного числа суммируемых непрерывных случайных величин;

— комбинированные плотности распределения — при значениях параметра г = т, соответствующего математическому ожиданию числа суммируемых непрерывных случайных величин по закону Пуассона.

С изменением варьируемого параметра суммирования изменяется и размах распределений — интервал значений непрерывной случайной величины, на котором плотность распределения имеет значимый уровень.

_НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ «CETERIS PARIBUS» №3/2015 ISSN 2411-717Х_

Это обстоятельство заставляет изменять масштаб оси абсцисс, что затрудняет анализ характера изменения композиционной и комбинированной плотностей распределения от варианта к варианту.

Для устранения влияния этого фактора композиционные и комбинированные плотности распределения нормируются согласно преобразованию (16), т.е. приводятся к нулевому математическому ожиданию и единичной дисперсии. На рис. 1 приведены графики:

1) композиционной плотности распределения fmH (v) СВ Утн,

m (27)

V =У X

V mH ^ X j H '

j=1

представляющей собой сумму неслучайного числа m стандартных нормальных СВ Xjh;

2) аппроксимирующих плотностей распределения f^n-H)(v) комбинированных СВ Vn_H,

представляющих собой сумму случайного числа стандартных нормальных СВ Xjh, распределенного по закону Пуассона при z = m.

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

4 л m=l m=5

if t f s * \ V ■—■ m=5 0

I / I I t \ *

i i i i f \ 1

■fl ___ 1 / $ \ '1 t

Рисунок 1 - Графики композиционной плотности нормального распределения /тН (у) и комбинированной плотности распределения «Пуассона - нормальное» /(П-н) (у) •

Из сравнительного анализа графиков можно сделать вывод о том, что комбинированная плотность распределения _/(я_я)(у) проявляет, по сравнению с композиционной плотностью распределения /тН (у)

детерминированной суммы т нормальных слагаемых СВ, следующие свойства:

1) размыва плотности и «утяжеления» ее «хвостов» при малых значениях среднеожидаемого числа слагаемых г = т = 1 ..3;

2) «концентрации» плотности и заострения ее формы в области максимума по мере увеличения среднеожидаемого числа слагаемых г = т свыше 5..7;

3) асимптотического приближения формы кривой комбинированной плотности /(ц_н)(у) к

форме кривой композиционной плотности /тн по мере увеличения среднего значения случайного числа

слагаемых г = т свыше 5..7.

Таким образом, численный эксперимент подтвердил полученный выше качественный вывод о том, что комбинированные нормальные распределения отличаются от композционного нормального, а свойства,

_НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ «CETERIS PARIBUS» №3/2015 ISSN 2411-717Х_

характеризующие комбинированные распределения, свидетельствуют об их сложной природе.

Оценка асимптотической устойчивости комбинированных распределений на основе аппарата производящих и характеристических функций свидетельствует о том, что при увеличении математического ожидания z числа слагаемых комбинированные нормальные распределения сходятся к предельному композиционному нормальному распределению, что подтверждает предельную центральную теорему.

Список использованной литературы:

1. Ганин М.П., Свешников А.А. Теория вероятностей и ее применение для решения задач ВМФ. Учебник.

— Л.: ВМОЛУА, 1968. — 650 с.

2. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин.

— М.: Физматгиз, 1949.

3. Ивченко Б.П., Мартыщенко Л.А., Монастырский М.Л. Теоретические основы информационно-статистического анализа сложных систем. — СПб: «Лань», 1997. — 320 с.

4. Макшанов А.В., Смирнов А.В., Шашкин А.К. Робастные методы обработки сигналов в радиотехнических системах синхронизации. — СПб, СПбГУ, 1991 — 173 с.

© Ганин М. П., Поленин В.И., 2015

_НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ «CETERIS PARIBUS» №3/2015 ISSN 2411-717Х_

БИОЛОГИЧЕСКИЕ НАУКИ

Белецкая Екатерина Яковлевна

канд. биол. наук, доцент, ОмГПУ г. Омск, РФ E-mail: regehr53@mail.ru Кротова Людмила Анатольевна докт. с.-х.наук, профессор ОмГАУ г. Омск, РФ E-mail: Kroto001@yandex.ru Поползухина Нина Алексеевна докт. с.-х. наук, профессор, ОмГАУ

г. Омск, РФ E-mail: popolzuxinana@mail.ru

ЭФФЕКТИВНОСТЬ МУТАНТНО-СОРТОВОЙ ГИБРИДИЗАЦИИ В АДАПТИВНОЙ СЕЛЕКЦИИ

МЯГКОЙ ПШЕНИЦЫ ЗАПАДНОЙ СИБИРИ

Аннотация

Впервые представлено обобщение результатов трех самостоятельных экспериментов по включению мутантных серий мягкой пшеницы разного происхождения в программы скрещивания. Обоснована эффективность мутантно-сортовой гибридизации для создания сортов яровой мягкой пшеницы в условиях Западной Сибири. Созданы и включены в Госреестр селекционных достижений России сорта яровой мягкой пшеницы: Росинка 3, Катюша, Серебристая.

Ключевые слова

Мутагенез, сорт, мутант, гибридизация, гибрид, селекция, адаптивность.

В последние годы вызывает беспокойство обеднение генетического разнообразия главных сельскохозяйственных культур, в том числе - пшеницы, в связи с чем проводятся масштабные исследования с целью расширения генетического базы пшеницы за счет разнообразных источников ее изменчивости. Одним из способов расширения спектра генетической изменчивости и адаптивных свойств популяций является индуцирование мутантов. Как прямое использование мутантов, так и включение их в скрещивания позволяют существенно повысить уровень генетического разнообразия за счет рекомбинации генных комплексов, реорганизовать генотип растений в нужном для генетика и селекционера направлении [4, 7]. Для более эффективного использования генофонда мутантов в селекции широко практикуется метод мутантно-сортовой гибридизации [6].

С целью выявления возможностей использования индуцированных мутантов в гибридизации изучались: степень развития, характер наследования, наследуемость количественных признаков, особенности корреляционных зависимостей между ними, степень проявления гетерозиса у мугантно-сортовых гибридов, комбинационная способность исходных и мутантных форм.

Экспериментальная часть работы проводилась в Западно - Сибирском селекцентре (СибНИИСХ, г. Омск). Уникальность обсуждаемого эксперимента состоит в том, что он проводился одновременно, при одинаковых метеорологических и почвенных условиях, по общей методике, в связи с чем влияние случайных факторов на изучаемый материал сводилось к минимуму.

Объекты и методы.

Одна из серий мутантов озимой пшеницы была получена в результате воздействия этиленимина (ЭИ) и нитрозоэтилмочевины (НЭМ) на семена озимых сортов ППГ-186, Мироновская 808 и Ильичевка. В качестве материнских форм были отобраны озимые мутанты, сочетавшие повышенную урожайность с высокой зимостойкостью и устойчивостью к полеганию. Отцовскими компонентами скрещивания служили