CC BY
117
УДК 624.042.7
К. А. Егупов
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЕЙСМИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ, ДЕЙСТВУЮЩЕЙ НА МНОГОЭТАЖНОЕ КАРКАСНОЕ ЗДАНИЕ
K. A. Egupov
DISTRIBUTION OF SEISMIC LOAD ACTING ON A MULTI-STOREY FRAME BUILDING
Проведена аналогия между симметричными свайными эстакадами, для которых опытным путём доказано наличие малых «случайных» эксцентриситетов между центрами масс и жёсткости, и многоэтажными каркасными зданиями. Модифицированным методом построения крутильно-поступательных форм собственных колебаний многоэтажных каркасных зданий проанализировано распределение сейсмической нагрузки, действующей на здания. Результаты расчёта по формулам совпадают с данными расчета, полученными с помощью программного комплекса Femap/Nastran. Анализ выявил неравномерное распределение сейсмической нагрузки между вертикальными несущими конструкциями здания. Сравнение сейсмической нагрузки, вычисленной с учётом крутильно-поступательных перемещений, с сейсмической нагрузкой, вычисленной по схеме сдвигового консольного стержня, показало 30 %-ю перегрузку наиболее загруженных конструкций.
Ключевые слова: каркасное здание, распределение сейсмической нагрузки, крутильнопоступательные колебания.
The analogy between the symmetrical pile trestle, which empirically proved the presence of small 'accidental' eccentricities between the centers of mass and stiffness, and multi-storey frame buildings, is analyzed. The distribution of seismic load acting on the building is examined by the modified method of constructing torsion-translational forms of natural vibrations of multi-storey timber frame buildings. The results obtained with the calculation formulas are consistent with the computer calculation made with the software package Femap/Nastran. The analysis showed the uneven distribution of seismic loads between the vertical load-bearing structures of the building. The comparison of seismic load calculated with the torsion-translational vibrations with the seismic load, calculated by the pattern of the shift cantilever beam showed a 30 % overload of the most loaded constructions.
Key words: frame building, distribution of seismic loads, torsion-translational vibrations.
Введение
Задача расчёта зданий и сооружений на сейсмическое воздействие не может считаться решенный, но тем не менее строительство в сейсмически опасных районах продолжается. Разработка различных расчётных схем и методов расчёта на действие сейсмических сил актуальна не только для использования на практике, но и для обучения будущих специалистов. Для этой цели особый интерес представляют простые и наглядные методы расчёта.
Для строительства в сейсмически опасных регионах специалисты рекомендуют проектировать симметричные в плане здания. Однако, при самом тщательном исполнении этого требования, в запроектированных зданиях возникают случайные эксцентриситеты между центрами масс и жёсткости, что вызывает вращение перекрытий вокруг центра масс. В [1] показано наличие малых «случайных» эксцентриситетов (e = (0,01...0,03)Z, L - размер здания в направлении, перпендикулярном действию сейсмических сил) в симметричной свайной эстакаде, при этом, за счёт кручения, смещение торцовой рамы увеличивается на 60 % и более по сравнению с расчётом без учёта эксцентриситета. Наличие таких случайных эксцентриситетов справедливо распространить и на многоэтажные здания, представляющие собой, в некотором смысле, совокупность поставленных друг на друга эстакад. Этим определяется наш интерес к исследованию распределения сейсмической нагрузки, действующей на многоэтажное здание, с учётом поворота перекрытий в своей плоскости. Следует отметить, что принятый метод анализа может использоваться при рассмотрении несимметричных в плане зданий, т. е. априори имеющих эксцентриситет между центром масс и центром жёсткости, а также при расчёте на действие пульсации ветровой нагрузки.
При рассмотрении консольной расчётной схемы, учитывающей только поступательные смещения, состояние системы описывается обобщёнными координатами, число которых рав-
но количеству этажей п. Для такой системы определяется п собственных частот и форм. Далее нами используется расчётная схема в виде консольного стержня, но учитывающая поворот перекрытий вокруг центра масс, который располагается в геометрическом центре в горизонтальной плоскости. Поворот перекрытий происходит за счёт эксцентриситета между центром масс и центром жёсткости. Состояние такой системы описывается двумя обобщёнными координатами (поступательное смещение и поворот) на каждом этаже и для неё определяется 2п собственных частот и форм.
Решение задачи
Для решения поставленной задачи воспользуемся методом, изложенным в [2]. Данный метод применим при соблюдении следующих условий.
1. Конструкция должна быть регулярной по высоте.
2. Должно выполняться подобие форм колебания вертикальных элементов. Проанализируем формулу для определения частот собственных колебаний [2, 3]:
ю12 =^(®П + юКр)/2±^(®П -®Кр)2/4 + Ь2/МЄ , (1)
где - квадраты парциальных частот поступательных и крутильных колебаний,
= а / М; ®КР = й /Є;
М - масса этажа (масса перекрытий и приведённых к нему стен, полезной нагрузки); а - суммарная жёсткость поперечных несущих конструкций при их горизонтальном смещении,
п
а = Ё Сг; і=1
Ь - сила, которую надо приложить к перекрытию в её центре масс, чтобы предотвратить её поступательное смещение при единичных поворотах,
п
Ь = £ С,1,;
і =1
й - жёсткость здания при повороте вокруг вертикальной оси,
п
й=1 С/г,
і =1
п - количество поперечных рам; Сі - расчётная горизонтальная жёсткость і-й рамы, С. = х1іС; С\ - жёсткость і-й рамы при горизонтальном смещении; %1; - коэффициент, учитывающий влияние верхних этажей на смещение первого этажа [3]; Іі - расстояние от і-й рамы до центра вращения, принимается с учётом знака; е - эксцентриситет между центром масс и центром жёсткости, е = Ь/а; Є - физический момент инерции перекрытия и приведённых к нему масс относительно центра масс,
L и В - длина и ширина перекрытия в плане.
Формулу (1) можно преобразовать к виду
®1,2 _ л/х® 1,2 , (1 )
где х - коэффициент, зависящий от высоты здания, т. е. количества этажей, и характеризующий влияние верхних этажей на горизонтальную жёсткость поперечных конструкций первого этажа; ®'12 - первая и вторая частоты собственных колебаний, вычисленные по формуле (1) для одноэтажной конструкции, т. е. без учёта коэффициента х, зависящего от этажности здания.
Коэффициент х был введён В. К. Егуповым [4] и определялся из рассмотрения системы уравнений, описывающих колебания многоэтажных зданий, которая распадается на отдельные независимые уравнения для отдельных перекрытий. Таким образом, В. К. Егупов определял коэффициент х для разных форм собственных колебаний и разных этажей.
Дифференциальное уравнение колебания к-го этажа «-этажной системы записывается в следующем виде (обозначения стандартные):
п
МА(^ О + Е гьр°р (*) = р (^ *).
р=1
п
Ряд Е гкрир (У, *), осуществляющий связь уравнения для к-го этажа со всеми другими,
Р=1
оказывается распавшимся, если соблюдается подобие форм колебания вертикальных элементов, т. е. выполняется равенство [5]:
и.
иг (У, I) = — (У, '),
где о ]г и о ]к - формы колебания вертикальных элементов в точках, соответствующих к-му и г-му этажам; ] - номер формы собственных колебаний. С учётом этого равенства имеем
п п и
Е %°р (У’ 0 = Е % — ик (У> *) = ] (У> *),
г,рОр (У, Ц = ^ г*р
р=і р=і и
где
п и ■
ск, =Е гкр -] = х к/;
р=1 и]к
г - коэффициенты жёсткости поперечных конструкций;
Рассмотрим сдвиговую конструкцию, для которой коэффициент х определяется из равенства
^ и]2
С1 ] = х1 ]г = г11 — г12-,
и]1
где г11 - коэффициент жёсткости для первого этажа, г11 = 2г ; г12 - коэффициент жёсткости для второго этажа, г12 = —г ; и]1 - ордината для первого этажа, соответствующая ]-й форме собственных колебаний; и] 2 - ордината для второго этажа, соответствующая ]-й форме собственных колебаний. Таким образом, коэффициент х для ]-й формы колебания определяется равенством
2
х1] = 2 — ]. (2)
°л
Для определения и]1 и и]2 воспользуемся формулой для форм собственных колебаний сдвигового стержня [2]:
из (Ур) = А] 8Ш(2] — 1)пУр / 2Н , (3)
где ур - вертикальная координатар-го этажа; Н - высота здания.
Подставляя выражения для и]1 и и]2 по формуле (3) в (2), получим
= 2 _ і*іп[(2./- 1)пУ2 / 2Н] (4)
1 sin[(2. _ 1)пу1/2Н]' ()
Значения коэффициента % для 9-этажного здания по В. К. Егупову и по формуле (4) отличаются на 2-10 % (табл. 1). Данное отличие снижается по мере увеличения этажности зданий.
Таблица 1
Сравнение значений коэффициента %
№ формы По В. К. Егупову По формуле (4)
1 0,0275 0,0304
2 0,2411 0,268
3 0,6455 0,7144
4 1,1965 1,316
5 1,8351 2
6 2,4912 2,684
7 3,0839 3,2856
8 3,5782 3,7321
9 3,8915 3,97
Углы поворота перекрытия, соответствующие вычисленным частотам собственных колебаний,
ф12 = -(а -Мю22) / Ь . (5)
Выполнив преобразования формулы (5), получим
ф12 =-(а'-Мю\22)/ Ь', (6)
где а’ - суммарная сдвиговая жёсткость поперечных несущих конструкций для одноэтажного здания, т. е. без учёта коэффициента %; Ь’ - сила, которую надо приложить к перекрытию в её центре масс, чтобы предотвратить её поступательное смещение при единичных поворотах, вычисленная без учёта коэффициента %.
Анализируя преобразованные формулы для частот (1’) и соответствующих им углов поворота (6), можно сделать следующие выводы:
1. Частоты одинаковых в плане зданий разной этажности отличаются от частот одноэтажного здания, такого же в плане, в -у/% раз, т. е. после вычисления значений частот для одноэтажного здания, значения частот для зданий разной этажности определяются автоматически,
умножением полученных значений частот на коэффициент .
2. Значения углов поворота не зависят от этажности здания и являются постоянными для зданий разной этажности, но одинаковых в плане.
Для контроля результатов была выполнена серия расчётов с использованием программного комплекса Femap/Nastran (табл. 2).
Таблица 2
Сравнение значений частот собственных колебаний
Количество этажей Частота первой формы, Гц
Предлагаемый метод F emap/N
10 1,1 1,15
15 0,73 0,78
20 0,62 0,6
25 0,49 0,47
30 0,38 0,4
35 0,32 0,34
40 0,28 0,3
Частоты и углы собственных колебаний позволяют построить пространственные формы собственных колебаний всего здания, используя равенства:
ир = ир + ф % ,
V
где ир - смещение точки пересечения 7-й рамы и р-го этажа, соответствующее р-й крутильнопоступательной форме; ир - смещение р-й поступательной формы, соответствующее р-му этажу; фР - угол поворота р-го этажа, соответствующий р-й собственной крутильно-поступательной частоте; цр;+1)- ордината точки пересечения 7-й рамы и р-го этажа, соответствующая (/+1)-й крутильно-поступательной форме; фр/+1) - угол поворота р-го этажа, соответствующий (/+ 1)-й крутильно-поступательной частоте; - расстояние от 7-й рамы до центра вращения с учётом знака.
Поступательные смещения и углы поворота р-го этажа получаются нормированными относительно смещения первого этажа, принятого равным единице: ц = 1. Тогда поступательные смещения и углы поворота вышележащих этажей определяются умножением и1 и ф1 на коэффициент рр, равный для р-го этажа
Для определения сейсмической силы и сейсмического момента т воспользуемся нормативным спектральным методом [6]. В соответствии с этим методом сейсмическая сила и момент, действующие по р-й собственной форме в уровне р-го перекрытия, равны:
где К - произведение нормативных коэффициентов - А, КА, Кт, Р;- [6]; М р - масса, отнесённая к р-му перекрытию; 0р - физический момент инерции р-го перекрытия; п / и п -коэффициенты формы.
= 8Іп[(2р - 1)кур / 2Н] р sin[(2р - 1)пу1 / 2Н],
т. е.
ир =и1 • /р =и1
sin[(2р - 1)пур / 2Н] sin[(2р - 1)пу1 / 2Н],
ап[(2р - 1)пУр / 2Н] sin[(2р - 1)щ / 2Н]
(7)
(8)
(9)
Используя равенства (7) и (8), формулы (9) можно привести к следующему виду:
Обобщённые сейсмические силы равны: Sp = Мп¿і = Мпю2У,, тр = 0рфтях = 0 „ю2Ф,, оті ] Р тах Р J , 7 ] Р ~ тах Р ] , 7
куда определяются действительные смещение и угол поворота от сейсмической силы и сейсмического момента, соответствующие ,-й форме колебания: V. = Sp / М ю2, Ф. = тр / 0 ю2.
Суммарное перемещение ^й рамы от сейсмической силы и сейсмического момента равно:
Vі = V +ФА.
Для иллюстрации предложенной методики вычислим сейсмические силы, действующие на поперечные рамы 9-этажного здания, для которого в [2] построены крутильно-поступательные формы собственных колебаний. Для расчёта примем: размеры здания в плане L = 42 м, В = 18 м; шаг поперечных рам 6 м; величина их пролёта 6 м; эксцентриситет между центром масс и центром жёсткости примем е = 0,03, L = 1,26 м; модуль упругости для бетона В20 Е = 2,7 • 1010 Па; размер сечения колонн а = 0,4 м; размер сечения ригелей: 0,6 х 0,4 м; высота этажа h = 3 м; высота всего здания Н = 27 м; толщина перекрытия t = 0,14 м; масса здания Мо = 3 834 000 кг. Ригель принимается жёстким, т. к. выполняется условие ір/ік = 2,53 > 2,5, где ір, ік - погонные жёсткости ригеля и колонны соответственно; ір = Е!р//р, ік = Е!к/^; 1р, 1к - момент инерции ригеля и колонны; /р - длина ригеля; ^ - высота колонны. Жёсткость поперечной рамы равна: С = 48ЕІК / =
= 102 400 000 Н/м. Первые две крутильно-поступательные частоты и соответствующие им углы поворота: ю1 = 7,35 рад/с; ю2 = 8,29 рад/с; ф1 =-0,034; ф2 = 0,171. Для простоты расчёта произведение коэффициентов, входящих в формулы для сейсмической силы и момента, примем равным единице.
Результаты расчёта по первой собственной частоте представлены в табл. 3.
Таблица 3
Значения обобщённых сейсмических сил и соответствующих им перемещений
№ этажа V Ф пФ S т V Ф
1 1 -0,034 0,18 -0,006 76680 -444600 0,003332 -0,00011
2 1,97 -0,067 0,354 -0,012 150804 -889200 0,006553 -0,00022
3 2,879 -0,098 0,517 -0,018 220242 -1333800 0,00957 -0,00033
4 3,702 -0,126 0,665 -0,023 283290 -1704300 0,01231 -0,00043
5 4,411 -0,150 0,793 -0,027 337818 -2000700 0,014679 -0,0005
6 5,987 -0,204 0,896 -0,03 381696 -2223000 0,016586 -0,00056
7 5,411 -0,184 0,972 -0,033 414072 -2445300 0,017993 -0,00061
8 5,671 -0,193 1,019 -0,035 434094 -2593500 0,018863 -0,00065
9 5,759 -0,196 1,035 -0,035 440910 -2593500 0,019159 -0,00065
Вычислим поэтажные смещения для крайних рам (11 = 21м; 12 =—21м ): V = 0,001, V12 = 0,0019, V3 = 0,0026, V = 0,0034, V,5 = 0,0042, = 0,0049, V'7 = 0,0052, V8 = 0,0053,
V9 = 0,0056; V1 = 0,0057, V,2 = 0,0112, V,3 = 0,0166, V,4 = 0,0213, V,5 = 0,0252, V,6 = 0,0282, V7 = 0,0308, V8 = 0,0325, V,9 = 0,0328 .
Умножая полученные значения смещений на жёсткость рамы (С = 102 400 000 Н/м) получим величины сейсмических сил, действующих на раму в уровне перекрытий, кН: 5 = 102,4,Я2 = 193,3, 53 = 263,5, 54 = 345, ^ = 428,4, 5;6 = 504,2, 57 = 528,9, 58 = 538,3,
59 = 568,6, = 580, Я2 = 1148,7, 523 = 1696,5, 524 = 2176, Я25 = 2577,9, 526 = 2892,5, 527 = 3156,
Я28 = 3324,7, 529 = 3355.
При вычислении сейсмических сил, действующих на рассматриваемое здание без учёта эксцентриситета, т. е. без учёта поворота перекрытий, получаем следующие значения сил, действующих на раму в уровне перекрытия (т. к. жёсткость всех рам одинаковая, то и действующие на них силы будут одинаковыми), кН: Я1 = 374, = 736, Я3 = 1077,1, = 1383,6, Я5 = 1648,5,
Я6 = 1863,2 , Я7 = 2023,5 , = 2119,5 , Я9 = 2152,4 . При этом значение частоты юсд = 7,69 рад/с .
Выводы
1. При учёте эксцентриситета поперечные несущие элементы (рамы) загружены неодинаково.
2. При учёте эксцентриситета часть поперечных конструкций перегружена, а часть недогружена относительно сдвигового консольного стержня.
3. Наиболее загруженные конструкции при учёте поворота перекрытий испытывают действие сил, превышающих на 30 % силы, вычисленные по схеме сдвигового консольного стержня.
4. При учёте поворота перекрытий для «-этажного здания вычисляется 2n собственных частот и соответствующих им форм колебания, при этом для малых эксцентриситетов частоты попарно имеют близкие значения.
Хотя расчётные значения суммарных сейсмических сил с учётом пространственной работы здания снижаются, поскольку за счёт снятия «запрета» на поворот они становятся податливее, в отдельных частях здания, тем не менее, наблюдается перегрузка.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сапожников А. И. Численное исследование пространственной работы свайной эстакады при сейсмическом воздействии / А. И. Сапожников, Е. А. Гуляев // Сб. докл. к IV науч.-техн. конф. (гидротехническая секция). Владивосток: ДальморНИИпроект, 1972. С. 52-54.
2. Егупов К. А. Метод построения крутильно-поступательных форм собственных колебаний многоэтажных зданий / К. А. Егупов // Вестн. Дагестан. гос. техн. ун-та. Техн. науки. 2012. № 27. С. 69-76.
3. Сапожников А. И. Исследование сейсмостойкости свайных пирсов и набережных при учёте пространственных эффектов / А. И. Сапожников, Л. Ф. Штаньков // Сейсмостойкость транспортных, гидротехнических и других сооружений. Тбилиси: АН ГССР, 1976. С. 57-60.
4. Егупов В. К. Расчёт зданий на прочность, устойчивость и колебания / В. К. Егупов. Киев: Будівельник, 1965. 256 с.
5. Сапожников А. И. Распадаемость системы дифференциальных уравнений в задачах колебания многоэтажных пространственных сооружений / А. И. Сапожников // Сб. докл. к IV науч.-техн. конф. (гидротехническая секция). Владивосток, ДальморНИИпроект, 1972. С. 33-35.
6. СП 14.13330.2011. Строительство в сейсмических районах. Актуализированная редакция СНиП II-7-81*. М., 2011. 91 с.
REFERENCES
1. Sapozhnikov A. I., Guliaev E. A. Chislennoe issledovanie prostranstvennoi raboty svainoi estakady pri seis-micheskom vozdeistvii [Numerical study of the spatial work of the pile trestle while seismic action]. Sbomik dokladov k IV nauchno-tekhnicheskoi konferentsii (gidrotekhnicheskaia sektsiia). Vladivostok, Dal'morNIIproekt, 1972, pp. 50-54.
2. Egupov K. A. Metod postroeniia krutil'no-postupatel'nykh form sobstvennykh kolebanii mnogoetazhnykh zdanii [Method of construction of torsional-translational forms of own vibrations of multi-storey buildings]. Vestnik Dagestanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Tekhnicheskie nauki, 2012, no. 27, pp. 69-76.
3. Sapozhnikov A. I., Shtan'ko L. F. Issledovanie seismostoikosti svainykh pirsov i naberezhnykh pri uchete prostranstvennykh effektov [Study of seismic stability of pile piers and quays while taking into account spatial effects]. Seismostoikost' transportnykh, gidrotekhnicheskikh i drugikh sooruzhenii. Tbilisi, AN GSSR, 1976, pp. 57-60.
4. Egupov V. K. Raschet zdanii na prochnost', ustoichivost' i kolebaniia [Testing of the buildings for strength, stability and vibrations]. Kiev, Budivel'nik Publ., 1965. 256 p.
5. Sapozhnikov A. I. Raspadaemost' sistemy differentsial'nykh uravnenii v zadachakh kolebaniia mnogoetazhnykh prostranstvennykh sooruzhenii [Disintegration of the system of differential equations in tasks of vibrations of multi-storey spatial constructions]. Sbornik dokladov k IV nauchno-tekhnicheskoi konferentsii (gidrotekhnicheskaia sektsiia). Dal'morNIIproekt. Vladivostok, 1976, pp. 33-35.
6. SP 14.13330.2011. Stroitel’stvo v seismicheskikh raionakh. Aktualizirovannaia redaktsiia SNiP II-7-81* [Constructing in seismic regions. Actualized revision of SNiP II-7-81*]. Moscow, 2011. 91 p.
Статья поступила в редакцию 12.11.2014, в окончательном варианте - 16.05.2014
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Егупов Кирилл Александрович - Астраханский государственный технический университет, аспирант кафедры «Строительство»; egupov.kirill@mail.ru.
Egupov Kirill Aleksandrovich - Astrakhan State Technical University; Postgraduate Student of the Department "Construction"; egupov.kirill@mail.ru.
