Распределение ресурсов в условиях конфликта Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Распределение ресурсов в условиях конфликта

Строцев А.А. (apl@aaanet.ru), Долотина Ю.И.

Донской филиал автономной некоммерческой организации «Евразийский открытый институт»

Введение. Рыночная экономика требует высокого уровня использования ресурсов хозяйствующих субъектов. Российская Федерация по эффективности использования ресурсов значительно отстает от промышленно развитых стран и мобилизация резервов, оптимальное распределение ресурсов являются основными и обязательными условиями для стабилизации экономики. Понимание этого факта привело к повышению интереса к задачам оценки и оптимального распределения ресурсов. Об этом свидетельствуют публикации теоретической и практической направленности, связанные с этой проблемой и относящиеся к различным областям экономики и иерархическим звеньям управления, например, [1] - [5].

С другой стороны действия субъектов рынка всегда связаны с риском и конфликтом интересов. Поэтому задачи оптимизации распределения ресурсов следует рассматривать с теоретико-игровых позиций. Однако констатация этого факта не означает фактической возможности использовать теоретико-игровые методы для решения практических задач [6]. Это связано с тем, что установление соответствия между конкретными содержательными явлениями и их математическими моделями оказывается достаточно трудным.

Преодоление этих трудностей идёт по двум встречным направлениям: со стороны прикладной математики - увеличение числа теоретико-игровых моделей; со стороны практики - уточнение постановок задач, имеющих практическую ценность и допускающих применение теоретико-игровых моделей для их описания.

Одной из моделей конфликта, имеющей большую практическую значимость в силу простоты построения и возможностей описания широкого круга ситуаций, является модель матричных игр. Задачи распределения дискретных ресурсов на основе такой модели рассмотрены, например, в [7], [8]. Однако непосредственное применение таких моделей в задачах распределения ресурсов затруднительно, т. к., как правило, множество допустимых для выбора вариантов распределения ресурсов является бесконечным и, следовательно, модель игры переходит в более сложный класс бесконечных игр.

Поэтому исследование возможности теоретико-игровой оптимизации распределения ресурсов на основе аппарата матричных игр и их смешанного расширения является актуальной задачей.

1. Постановка задачи оптимального распределения ресурсов в условиях конфликта. Рассмотрим конфликтную ситуацию, в которой первый игрок (лицо, принимающее решение (ЛИР)) имеет П стратегий поведения и бесконечное множество вариантов распределения ресурсов £, направленных на совершенствование этих стратегий по отношению к т возможным стратегиям второго игрока. Эффективность

стратегий (выигрыш) ЛИР определяется матрицей игры А с элементами а у , I = 1, П,

у = 1, т, характеризующие приращение эффективности стратегий ЛИР, где Яу -

элементы матрицы £ е £, характеризующие количество ресурсов, идущих на совершенствование г - ой стратегии ЛИР при у - ом варианте действий второго игрока.

Общее количество ресурсов ограничено значением гр , т. е.

Требуется распределить ресурсы на совершенствование стратегий ЛИР в соответствии с теоретико-игровым подходом на основе применения аппарата матричных игр.

2. Критерии оптимальности распределения ресурсов и поведения игроков. В

теории матричных игр можно выделить три модели. В порядке увеличения сложности (и, в некотором смысле, обобщения предыдущих) это собственно матричная игра в чистых стратегиях, смешанное расширение матричной игры классического типа и смешанное расширение матричной игры неклассического типа [9] - [11].

В первой модели реализуемые стратегии оптимальны относительно минимаксного (максиминного) критерия (ММ-критерия) [12]. Во второй модели стратегии, принадлежащие спектру, а, следовательно, реализуемые в процессе разыгрывания, оптимальны относительно критерия Байеса-Лапласа (8£-критерий) [12]. Ири построении

у = 1,

т. Известны неубывающие непрерывные функции

п т

(1)

модели смешанного расширения матричнои игры неклассического типа имеется возможность учёта предпочтении игроков, соответствующих другим критериям, в том числе и производным.

Отметим, что применение ММ-критерия обеспечивает получение максимального гарантированного, а ^-критерия - максимального среднего выигрыша. Для исследования применения теоретико-игрового подхода к распределению ресурсов остановимся на этих двух критериях, поскольку они наиболее применяемы в практике.

Рассмотрим условия применения модели матричных игр (ММ-критерия), т.е. условия при которых возможна теоретико-игровая оптимизация распределения ресурсов, обеспечивающая максимальный гарантированный выигрыш первого игрока. Они следуют из условия применения модели матричных игр в чистых стратегиях. Т.е. необходимо,

чтобы матрица игры А с элементами ау ($ у ) = ау + /у ($у ), I = 1, П ,

j — 1Ш, в результате распределения ресурсов имела хотя бы одну седловую точку. Сформулируем две теоремы. Теорема 1. Пусть

a * ^ a ** ^ a * (2)

ij I j i j , K^J

тогда для всех a ij , f у , S , определённых выше, если

S * — arg max (max min ~у (Sy )) (3)

S i j

при выполнении (1), то

jSij) ^ ~У(Si*) ^ ~*j (Si*). (4)

Доказательство.

Для того чтобы (4) было верным необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

a * *( s *) — max min a у (s *) — min max a .. (s *) (5)

i j 4 У y ; U lJ У ; U У • W/

i J j i

Т.к. выполняется (2), то

max mm aj — mm max aj

ч ч

i j j i

кроме того, из (3) следует, что

max min ~ .. (s*) > max min аи

i j lJ lJ i j lJ'

а так как при любых а ij (s,j) = a,j + f j (s ij ) выпОлняется услОвие

max min aij (sij ) < min max aij (sij ) , то выражение (5) является

i J J i

верным и, следовательно, выполняется (4).

Теорема 2. Пусть задана матрица A , такая, что выполняется условие

min max aij - max min аи = р

ч ч •

j ' i j

Если значение Sгр в (1) и fj , A таковы, что найдётся такая матрица

S * = arg max (maax min ~ j (sj )) , что

S i ]

max min a .. (s^) - max min a ij > р

i j i j

то найдётся хотя бы одна пара стратегий I и 7 , для которой

а * (s* ) < а * * (s*) < а * (s* )

Ij 4 У 7 I j 4 j ' ij J

Доказательство теоремы следует из теоремы 1.

Теоремы 1 и 2 определяют условия наличия хотя бы одной седловой точки в

матрице А , сформированной по результатам оптимального распределения ресурсов. Выполнение этих условий обеспечивает возможность применения критерия оптимальности в виде максимизации гарантированного выигрыша ЛПР в задаче распределения ресурсов.

Алгоритм решения этой задачи несложно получить на основе последовательного

анализа элементов матрицы А с оптимальным распределением ресурсов по строкам (чистым стратегиям ЛПР) с последующим выбором наилучшего из П вариантов.

Рассмотрим теперь в качестве критерия максимизацию среднего выигрыша Как было отмечено выше, этот критерий соответствует модели смешанного расширения матричных игр. Для этой модели множества стратегий первого и второго игроков X и У являются симплексами

X = \x = ) >0, i = 1,n, ££ = l[,

y =|г = (^i,...,nm) > ° j =1 m Xn = ,

а задача может быть сформулирована следующим образом: найти {X *, S *} такие, что

n m р -щ n m р 1

со(Х\S*) = maxmm(X2kj + f (sj) = mYinmax(XXk + f (sj),(6)

X ,SY Y X ,S

i=1 j=1 i=1 j=1

при наличии ограничений (1).

Игру с функцией выигрыша

п т р -|

н(х, 5,7) = Х£[я„ + Л (»«(7)

г =1 «=1

обозначим в виде четвёрки Г5 = (X, 5,7, Н) .

Седловая точка в такой модели игры для задачи распределения ресурсов существует всегда, что следует из теоремы фон Неймана, с учётом того, что функция (7) линейна по X, 7, множество вариантов распределения ресурсов 5 - выпуклое ограниченное замкнутое, X и 7 - симплексы, а (^«) > 0 - неубывающие непрерывные функции.

3. Решение задачи оптимального распределения ресурсов. Рассмотрим построение одного из общих методов решения задачи распределения ресурсов в условиях конфликта, описываемого моделью игры Г5 .

Несложно показать, что игра Г5 обладает свойством аффинной эквивалентности.

Тогда с использованием этого свойства решение поставленной задачи распределения ресурсов можно свести к решению стандартной задачи нелинейного программирования.

Будем полагать, что все элементы матрицы А положительны. Если это не так, то можно сформировать аффинно эквивалентную игру путём добавления ко всем элементам некоторого достаточно большого числа.

Пусть X - произвольная стратегия первого игрока в игре Г5 . Обозначим

£ =

» ¿=1

тогда из положительности элементов матрицы А и свойств смешанной стратегии следует, что

0 <3Х£ (У +АПу ), у = 1, т . (8)

=1

Для игры Г£ можно показать по аналогии с [6], что значение игры

е Ж»+аа у )!=

- £

Г п

*

с = max тт

X »

V ¿=1

/ т л

= min max max

У ¿ £

Е»

V »=1 )

Ы» +Аа»

причём внешние экстремумы достигаются на оптимальных стратегиях игроков.

Тогда если {х *, £ *} - оптимальная стратегия, то для неё выполняется равенство

5Х * = mXaXSх,£ =с . (9)

5 X

Введём в рассмотрение вектор X = (Й1 ,^2,...,Йп)Т такой, что

~ х

х = Т~ (10)

°Х £

Тогда из свойств стратегии X и выражений (8) - (10) следует, что стратегия первого игрока будет оптимальна тогда, когда

^ mi^ (11)

¿=1

в условиях ограничений (1) и

ЕЙ (а»+ /у(8»))) 1, У = 1, т, (12)

¿=1

> 0, й > 0, I = 1, п, у = 1, т. (13)

В результате решения задачи нелинейного программирования (11) - (13) получим

* *

величину, обратную С , оптимальное распределение ресурсов £ и оптимальную смешанную стратегию ЛПР по выражению, следующему из (10)

X = Xс .

4. Пример решения задачи оптимального распределения ресурсов в условиях

конфликта. В качестве примера рассмотрим задачу распределения ресурсов, в которой

выигрыш первого игрока в конфликтной ситуации определяется матрицей игры А

(2,83 2,58 2,24 2,46 2,58 2,54^

2,37 2,92 2,33 2,67 2,75 2,46

А = 2,58 2,37 2,17 2,25 2,62 2,45

2,48 2,56 2,48 2,46 2,61 2,74

ч2,67 2,91 2,35 2,55 2,55 2,64у

а зависимость приращения выигрыша ЛПР от расхода ресурсов имеет вид

а = •/г«() = к ■(1 - ехР( - ^ )), г = 15, « = 16,

где к > 0 .

Решение (1), (11) - (13) получим для различных значений 5гр в ограничении (1) и к в модели приращения выигрыша.

При 5гр = 0 имеем со* = 2,47, X* = (0 0,0556 0 0,9444 0)г,

7* = (0 0 0,5833 0,4167 0 0)г. Результаты решения задачи оптимального распределения ресурсов представлены в табл. 1, где в скобках указана структура оптимальной стратегии первого игрока: СС - оптимальной является смешанная стратегия; 4 - оптимальной является четвёртая чистая стратегия; 5 - оптимальной является пятая чистая стратегия.

Таблица 1

Значение игры (средний выигрыш)

к Значение 5 гр

0,2 2,0 4,0

0,2 2,49 (СС) 2,57 (СС) 2,61 (4)

0,4 2,50 (СС) 2,64 (4) 2,73 (4)

1,0 2,54 (4) 2,87 (5) 3,07 (5)

Сравним результаты оптимального распределения ресурсов для к = 1 при 5гр = 0,2 и 5гр = 2,0 .

Для £ гр = 0,2 £ * представляет собой матрицу, в которой для четвёртой стратегии ЛПР £4* = (0,0595 0,0000 0,0595 0,0810 0,0000 0,0000), остальные = 0. При этом оптимальной является четвёртая чистая стратегия ЛПР. Для £ гр = 2,0 получим = (0,2248 0,0000 0,7368 0,3876 0,3876 0,2631), остальные = 0 и

оптимальной является пятая чистая стратегия ЛПР.

Таким образом, при последовательной оптимизации (например, при поэтапном выделении ресурсов на модернизацию) результат получится в общем случае хуже, чем при оптимальном распределении суммарных ресурсов.

Кроме того, при больших значениях £ гр и отсутствия ограничений на приращения эффективностей стратегий первого игрока относительно всех стратегий второго игрока наблюдается эффект «универсальной стратегии», т.е. ресурсы распределяются на совершенствование одной стратегии ЛПР так, что она становится одинаково эффективной против любых стратегий противника. При этом максимальная гарантированная и средняя эффективности стратегий ЛПР сравниваются.

Заключение. Разработанная модель теоретико-игровой оптимизации распределения ресурсов позволяет на основе аппарата матричных игр и их смешанного расширения построить метод, который сводит решение исходной задачи к решению задачи нелинейного программирования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Козьмина З.Ю., Бродов Ю.М., Домников А.Ю., Плотников П.Н., Домникова Л.В. Оценка экономической эффективности модернизации энергетического оборудования // Электронный журнал "Исследовано в России", 2003. С. 1369 - 1376. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/ 2003A13.pdf.

2. Штабнова А. А., Лабунько Л. О. Малый бизнес юга России: инвестиционный потенциал // Вестник ДГТУ, 2002, Т.2, №4. С. 429 - 437.

3. Апарина Н., Курбатова М. Взаимодействие региональной администрации и бизнеса в процессе использования ресурсов региона // Вопросы экономики, 2003, №11. С.110-119.

4. Сергиенко Я. О финансовом механизме длинноволновых технико-экономических изменений // Вопросы экономики, 2004, №1.

5. Виленский В.П. Об одном подходе к учёту влияния неопределённости и риска на эффективность инвестиционных проектов // Экономика и математические методы, 2002, т.38, вып.4. С. 24 - 31.

6. Воробьёв Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. М.: Наука, 1985.

7. Жиров В.С. Решение игровой задачи распределения дискретных ресурсов // Автоматика и телемеханика, 1981, №6. С. 109 - 114.

8. Брэгман Л.М., Фокин И.Н. О суммах матричных игр. // Экономика и математические методы, 1973, т.9, № 1. С. 148 - 154.

9. Строцев А.А. Построение смешанного расширения матричных игр "неклассического" типа // Изв. РАН. Теория и системы управления, 1998, № 3. С. 119 - 124.

10. Строцев А.А. Оптимизация управления многопозиционной РЛС на основе применения аппарата смешанного расширения матричных игр "неклассического" типа. // Электронный журнал РАН. Журнал радиоэлектроники, 2001, № 9.

11. Строцев А.А. Модифицированный метод Брауна решения матричной игры "неклассического" типа // Экономика и математические методы, 2001, т.37, № 3. С. 106 - 110.

12. Мушик Э., Мюллер П. Методы принятия технических решений. М.: Мир, 1990.