CC BY
96
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 5 (2), с. 181-189
УДК 621.54:519.8
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕСУРСОВ В ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С АКТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
© 2012 г. М.Х. Прилуцкий, К.И. Дикарев
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
Поступила в редакцию 28.09.2012
Строится и исследуется математическая модель функционирования сложных технических систем, транспортных сетей, систем распределения материальных ресурсов. В рамках построенной математической модели ставятся задачи оптимального планирования для иерархических систем с активными элементами. Предлагаются эффективные алгоритмы их решения. В качестве примера рассмотрена задача согласования входных и выходных параметров участка газотранспортной системы, содержащей в качестве активных элементов газоперекачивающие мощности.
Ключевые слова: математическое моделирование, активный элемент, иерархические системы, распределение ресурсов, газотранспортная система, компрессорный цех.
Введение
В работе [1] дано математическое описание подхода к решению оптимизационной задачи согласования параметров класса иерархических систем, связанных с передачей и распределением материального ресурса. В данной работе (в отличие от [1]) иерархическая система формализуется в виде совокупности активных и пассивных элементов. Применение того или иного управления для активного элемента при заданных входных параметрах по-разному реализует выходные параметры. При этом система приобретает «доход», связанный как со значениями входных и выходных параметров, так и с примененными управлениями. Пассивные элементы автоматически преобразуют входные параметры в выходные.
Решение задач распределения ограниченных ресурсов для многоуровневых иерархических систем представлено достаточно существенным объемом публикаций. Так, в работах [2, 3] задачи распределения ресурсов ставятся как задачи оптимального планирования, которые формализуются в виде многоиндексных транспортных задач линейного программирования. В работах [4-7] используется подход, связанный с формализацией транспортных систем в виде многоуровневых иерархических структур [8-10]. Общие проблемы моделирования иерархических многоуровневых систем рассматриваются в работе [11].
Концепция распределения ресурсов в иерархических системах с активными элементами
может быть применена в различных отраслях производственной деятельности. В промышленных системах в качестве активных элементов выступает оборудование, для которого возможен выбор различных технологических режимов. В задачах транспорта природного газа такими элементами являются газоперекачивающие агрегаты. В системах, осуществляющих транспорт жидких или сжиженных продуктов, активными элементами являются насосные станции. В системах электроснабжения в качестве активных элементов выступают генерирующие электрические мощности. Во всех этих системах «активность» элементов связана с возможностью выбора различных режимов функционирования, от которых зависит эффективность их работы.
В данной статье в качестве характерного примера применения концепции оптимального планирования для иерархических систем с активными элементами выбрана задача согласования входных и выходных параметров разветвленной газотранспортной системы, представляемой в виде иерархической структуры укрупненных элементов: линейных участков магистральных газопроводов, соединенных компрессорными мощностями. Участок газотранспортной системы представляется в виде обобщенных элементов, преобразующих параметры на входе в выходные параметры посредством математической модели, описывающей физические процессы, происходящие при функционировании системы. Математическая модель функционирования обобщенных элементов
представляется в форме математического описания физических процессов на линейных участках магистральных газопроводов. Решение задачи оптимального планирования предполагает проверку некоторого варианта конфигурации системы на допустимость, а в случае принципиальной возможности данного варианта -также и выработку рекомендаций, которые отвечают случаю согласования входов и выходов системы с минимальными суммарными затратами. Особенностью задач оптимального планирования сложных иерархических систем является отсутствие обратных связей, характерных для задач оперативного управления, в которых необходима своевременная коррекция управляющих воздействий с учетом отклика системы.
Задачи оптимального планирования в подобной интерпретации можно рассматривать как задачи оптимального распределения ресурсов в иерархических системах. Согласование параметров на входах системы с выходными параметрами, в качестве которых для газотранспортных систем выступают, в том числе, предписанные контрактными обязательствами объемы газа для поставки потребителю, характеризует задачу оптимального планирования как задачу нахождения управляющих параметров и воздействий для активных элементов, обеспечивающих оптимальное с точки зрения суммарных затрат системы распределение ресурсов.
Проведем некоторый обзор работ в данной области. В работе [12] решение задач нахождения оптимальных режимов функционирования сложных газотранспортных систем рассматривается с привлечением численных методов математического моделирования физических процессов при транспорте и компримировании газа. Оптимизации режимов работы газотранспортных систем на основе методов численного моделирования с применением принципа минимизации упрощений и допущений посвящена работа [13]. Существенное внимание в данных монографиях уделено методологии разработки высокоточных численных симуляторов как базиса для информационно-управляющих систем на газотранспортных предприятиях. Подобные системы предназначены для решения приоритетных задач автоматизированного диспетчерского управления, среди которых можно выделить автоматизированный оперативный расчет параметров распределения газа в газотранспортной сети и параметров ее состояния в режимах real-time и on-line [13], подразумевающих обязательный сбор и обработку данных
телеизмерений, а также решение задач ситуационного анализа. К последним можно отнести идентификацию мест разрыва магистральных ниток. Следует также отметить и монографию [14], авторы которой применяют системный подход при построении моделей процессов компримирования газа в газотранспортных системах, рассматривая данные процессы как объекты иерархического управления, и на этой основе описывают подходы к оптимальному управлению данными процессами.
Описанные выше задачи относятся к задачам оперативного управления. Задачи оптимального планирования являются не менее важными для практических приложений. В нефтегазовом комплексе такие задачи возникают, например, при технологическом проектировании, когда требуется указать на существование или отсутствие возможности увеличения производительности системы или количества потребителей при условиях неизменной топологии сети, а в случае существования такой возможности -найти оптимальный вариант реализации данного проекта.
Газотранспортная система представляет собой набор линейных частей магистральных газопроводов, разделенных компримирующими мощностями. Линейные части представляют собой протяженные (до 150 км) участки, состоящие обычно из нескольких параллельных трубных ниток, прокладываемых в одном коридоре и оснащенных лупингами (участками трубопровода, прокладываемыми параллельно основному трубопроводу), перемычками между нитками и крановыми площадками. Комприми-рующие мощности представляют собой компрессорные станции, в которых организована очистка газа от частиц примесей с помощью фильтров сепараторов и пылеуловителей, его компримирование до нужного давления в компрессорных газоперекачивающих агрегатах и последующее снижение температуры газа до необходимого значения в аппаратах воздушного охлаждения. Компримирование газа в компрессорных станциях выполняется компрессорными цехами, каждый из которых обслуживает одну из ниток газотранспортной системы. В цехе поток газа разделяется на несколько параллельных потоков, каждый из которых компримируется отдельным газоперекачивающим агрегатом или их группой.
На входах разветвленной газотранспортной системы задаются коммерческий расход, температура, давление и относительная плотность (концентрация) газа. На выходах задаются определяемые контрактными обязательствами
значения коммерческого расхода газа и значения давления газа. Температуры газа на выходах из компрессорных станций должны удовлетворять требованиям по температурному режиму. Варьируемыми параметрами для обеспечения нужного режима функционирования газотранспортной сети являются значения оборотов валов нагнетателей газоперекачивающих агрегатов, а также значения оборотов вентиляторов на аппаратах воздушного охлаждения. Требуется определить для всех газоперекачивающих агрегатов и вентиляторов такие значения частот оборотов, чтобы были согласованы заданные значения параметров газа на входах и выходах сети, то есть чтобы при заданных параметрах транспортируемого газа на выходах получались их требуемые значения. Суммарные затраты, включающие затраты топливного газа для всех турбинных приводов газоперекачивающих агрегатов и затраты на эксплуатацию объектов газотранспортной сети, должны быть минимальны.
В рассматриваемом примере роль активных элементов играют компрессорные станции, а пассивные элементы - это линейные участки газотранспортной сети без компрессорных мощностей. Для активных элементов системы применяются «управления», которые преобразуют входные характеристики в выходные с определенными «затратами». Фактически, для активного элемента реализуемыми являются несколько режимов преобразования входных параметров в выходные, при этом в каждом режиме для одного и того же набора входных параметров получаются различные наборы выходных параметров и различные затраты на их реализацию. Для пассивных элементов параметры входных характеристик однозначно определяют параметры характеристик на выходе элементов без возможности применения управлений.
Постановка задачи оптимизации функционирования иерархических систем с активными элементами
Рассматривается иерархическая система, моделируемая связным взвешенным ориентированным графом без петель и контуров, где вершины графа определяют элементы системы, а дуги - связи между элементами. Элементы системы соответствуют моделям реальных технических устройств и инженерных сетей, осуществляющих транспорт распределяемого материального ресурса.
Задача оптимизации функционирования
иерархических систем с активными элементами заключается в определении таких управлений активными элементами, при которых согласование заданных значений параметров входных и выходных элементов выполнялось бы с минимальными затратами.
Пусть Є = (V, А), А с V - одностороннесвязный ориентированный граф без петель и контуров. Множество вершин графа V соответствует элементам системы, множество дуг А -связям между ними. Через Vа и Vе обозначим соответственно множество активных и пассив-
Гвх т лвых
и V -
множество входных и выходных элементов, Vа с V, Vе с V, Vа и Vе = V, Vа п Vе = 0 , Vв с V, Vвых с V . Через К(V) обозначим множество элементов, непосредственно предшествующих элементу V , V єV .
Пусть I - множество характеристик системы, иу - множество допустимых управлений (векторов), соответствующих элементу V , V є є Vа; У - вектор, определяющий значения ха-
рактеристик на входе v-го элемента системы,
V єV, " є Л1; Иг1'г и Q^ - минимальные и мак-
симальные возможные значения характеристики і на входе v-го элемента системы, а И' и Б'
- минимальные и максимальные возможные значения характеристики і на выходе v-го элемента системы, 0 < ^ < Qv, 0 < Иv < Б”, і є I,
? І і^і ? і і ? ?
V є V; и1', 8) - вектор-функция, преобразующая входные характеристики элемента V в его выходные характеристики под воздействием
допустимых управлений и, фv (wv, и, 8) є , где 8 - параметр, принимающий значение 1, если V є Vа (соответствующий элемент V является активным), и 0, если V єVp (элемент V является пассивным), ^ є^ , VєV; fv^(w*,и5,8),
5 є К(V)) - вектор-функция, которая определяет входные характеристики элемента V по выходным характеристикам всех элементов, непосредственно предшествующих элементу V ,
V єV; (wv, и) - функция, определяющая
затраты, которые понесет система, если для активного элемента V будут применены заданные
допустимые управления ^, V є Vа.
Обозначим через qv заданные значения ха-
тт-вх
рактеристик для входного элемента V, V є V , а
V
через g - заданные значения характеристик для выходного элемента V, V є Vвых , qv є Л1,
g" є . Из всех введенных обозначений варь-
V
ируемыми параметрами являются векторы w ,
V є V, и и, и” єUV, V є Vа.
Математическая модель рассматриваемой системы включает в себя следующие ограничения:
< wvi < , і є I, V єV; (1)
Щ < ф ^, uv ,0) < Б*, і є I, V є Vе; (2)
Щ <ф](wvl, uv,1) < Б;, і є I, V є Vа; (3)
wv = qv, V є Vвх; (4)
ф’'(wv, uv,0) = є’', V є (Vвых п Vе); (5)
ф’' (wv, и ,1) = gv, V є ^вьіх П Vа); (6)
wv = f (фv (w5, и5,0), 5 є К(V)), vє(Vp \ Vвх); (7)
wv = f (фv (w5, и5,1), 5 є К(V)), V є (Vа \ Vвх). (8)
Здесь условия (1) определяют ограничения характеристик на входах элементов, условия (2) и (3) - на выходах соответственно пассивных и активных элементов. Условия (4) согласуют характеристики для входных элементов. Условия (5) и (6) согласуют характеристики для соответственно пассивных и активных выходных элементов. Условия (7) и (8) определяют условия баланса между входами и выходами соответственно пассивных и активных элементов.
В рамках построенной математической модели могут быть поставлены различные оптимизационные задачи, такие, как задача синтеза многоуровневых иерархических сложных систем, задача проектирования и модернизации магистральных газотранспортных систем, задача расчета параметров существующей газотранспортной системы и др.
В качестве примера рассмотрим задачу согласования параметров участка газотранспортной системы по критерию минимизации суммарных затрат на согласование входных и выходных параметров. Тогда формально критерий может быть представлен функционалом
(wv, и) ^ тіп. (9)
vєVa
Математическое описание активных элементов газотранспортных систем
В работе [1] дается формальное описание пассивных элементов системы в виде линейной части газотранспортной системы. В качестве активных элементов будем рассматривать компрессорные цеха компрессорных станций. Тогда, используя описанные в [1] пассивные элементы линейной части газотранспортной сис-
темы, можно составить модель практически любого достаточно протяженного участка газотранспортной системы.
Активный элемент газотранспортной системы преобразует «входные» параметры транспортируемого газа в «выходные» параметры, значения которых кроме значений входных характеристик определяются также и параметрами управлений. В качестве входных характеристик для компрессорного цеха выступают значения давления газа на входе и выходе цеха, коммерческого расхода газа на входе цеха, температуры и относительной плотности газа на входе цеха. Выходными характеристиками элемента являются значения коммерческого расхода газа на выходе цеха, температуры газа, относительной плотности и теплотворной способности газа на выходе цеха.
В качестве допустимых управлений для рассматриваемого активного элемента выступают значения величин оборотов валов газоперекачивающих агрегатов компрессорного цеха и величин оборотов вентиляторов аппаратов воздушного охлаждения. Однако ввиду того, что на температуру газа на выходе компрессорных станций накладываются ограничения, обусловленные требованиями не контрактного, а технологического характера, которые неукоснительно обеспечиваются аппаратами воздушного охлаждения, можно исключить из управляющих параметров обороты вентиляторов аппаратов воздушного охлаждения. Таким образом, в качестве управляющих воздействий мы будем рассматривать частоты вращения валов нагнетателей газоперекачивающих агрегатов компрессорного цеха.
Транспортируемый газ подается от входа в цех к выходу по системе технологических газопроводов, проходит через фильтры-сепараторы и пылеуловители, параллельные группы газоперекачивающих агрегатов и аппараты воздушного охлаждения. При прохождении через технологические газопроводы обвязки, фильтры-сепараторы и пылеуловители давление газа понижается ввиду гидравлических потерь. Оценка величины указанных потерь выполняется на основе газодинамических расчетов либо с привлечением упрощенного формульного выражения, либо посредством численного анализа системы одномерных газодинамических дифференциальных уравнений.
Оценка величины повышения давления транспортируемого через компрессорный цех газа при его компримировании в нагнетателях газоперекачивающих агрегатов выполняется на основании паспортных приведенных характери-
стик нагнетателя, снимаемых в процессе заводских испытаний.
Повышение температуры транспортируемого газа при компримировании оценивается на основании его температуры на входе в нагнетатель и текущих значений степени сжатия, по-литропического коэффициента полезного действия и показателя политропы газа, получаемых из заводских зависимостей нагнетателя при заданном режиме функционирования. Снижение температуры газа в трубках аппаратов воздушного охлаждения оценивается на основании моделей процесса теплообмена в режиме вынужденной или свободной конвекции.
В дальнейшем буквами P, J, H, T, d мы будем обозначать соответственно давление, коммерческий расход газа, удельную объемную теплоту сгорания транспортируемого газа, температуру и относительную плотность газа (относительно воздуха). Верхние индексы «вх» и «вых» будут определять соответствующие значения параметров на входе и выходе.
Рассмотрим активный элемент v, моделирующий отдельный компрессорный цех, внутри которого отсутствуют путевые притоки и отборы транспортируемого газа. Тогда вектор, определяющий значения характеристик на входе этого элемента, зададим следующим образом:
№ V = (р^вх, р»«, JBЫX, ^вх, dвx, и™), v е Vа. (10)
Вектор, определяющий значения характеристик на выходе v -го активного элемента системы, определяется как
Фv ^, uv ,1) = (JV;X, тВЬ1х, dVBЬIX, иВЬ1х),
и” еи, V е Vе1. (11)
Здесь и” = (м",м2,...,М|'Т(”))- вектор допустимых
управлений, компоненты которого определяют значения величин оборотов валов газоперекачивающих агрегатов "-го компрессорного цеха, в котором находится |Г(")| газоперекачивающих агрегатов, Г(")- множество газоперекачивающих агрегатов "-го компрессорного цеха, и” е и", V еVa.
Таким образом, в качестве исходных параметров активный элемент получает значения давления газа на его входе и выходе, коммерческий расход газа на выходе, а также относительную плотность газа (относительно воздуха) и низшую удельную объемную теплоту сгорания газа на входе. Результирующими характеристиками рассматриваемого активного элемента, образующимися под воздействием допустимых управлений, являются коммерческий
расход газа на входе элемента, а также температура, относительная плотность по воздуху, и низшая удельная теплота сгорания газа на выходе элемента.
На температуру газа на выходе компрессорных станций не накладываются ограничения коммерческого характера. В то же время объемная теплота сгорания газа и относительная плотность газа по воздуху не изменяются при прохождении через компрессорный цех (при отсутствии притоков и отбора газа в цехе). Это дает основание заключить, что основными параметрами, зависящими от управляющих воздействий на активный элемент, являются значения входного или выходного давления и коммерческого расхода газа. Остальные параметры транспортируемого через компрессорный цех газа, включая его температуру, объемную теплоту сгорания, относительную плотность по воздуху, массовую плотность либо полностью определяются посредством давлений и расходов на входах и выходах активного элемента компрессорного цеха, либо имеют несущественную зависимость от прикладываемых управляющих воздействий. По аналогии со сказанным, можно считать, что входные параметры активного элемента, такие, как теплота сгорания, относительная плотность, температура газа на входе цеха имеют слабое влияние на выходные параметры. Поэтому при решении задачи оптимального планирования функционирования газотранспортной системы с активными элементами указанного типа будем считать, что основными характеристиками активного элемента являются только коммерческие расходы газа и давление.
Таким образом, единственным выходным параметром, имеющим существенное значение для определения отклика активного элемента на заданные входные параметры и управления, является коммерческий расход газа на входе цеха. С учетом вышесказанного, выражения (10) и (11) можно переписать в следующем виде:
^ V = (рвх рвых Jвых)
ф"(wv,и",1) = JV;X, и" еи",VеVa,
где
Jvвх = Jвыx + £ J™п(и"), V е Va. (12)
iеT(v)
Здесь Ji°п (и") - функция, определяющая расход топливного газа, потребляемого ьм нагнетателем "-го компрессорного цеха, при условиях, что к агрегатам будут применены управления, задаваемые вектором и", и" е и", i е Г("),
V е V, которая линейно зависит от значения мощности, потребляемой на валу нагнетателя, и вычисляется с использованием следующего соотношения [12]:
JJоп (и") = А" • N (Р"ВХ, р;ых, и")+в". (13)
Здесь АV, ВV - коэффициенты, зависящие от типа ьго нагнетателя, конфигурации технологических газопроводов обвязки компрессорной станции, атмосферного давления, плотности и температуры газа на входе в компрессорный
цех, а N (Рв, Р"ВЬ1х, и") - соответствующее значение мощности, потребляемой на валу ьго нагнетателя, i еГ("), V еVa.
Функция ф" , и"), определяющая затраты
элемента V , учитывает как затраты, связанные с эксплуатационным обслуживанием элемента, так и затраты, связанные с расходом топливного газа на функционирование приводов нагнетателей:
ф" ^, и") = Ссп + Лоп, и" е и", V еVa. Здесь - затраты, связанные с эксплуатационным обслуживанием компрессорного цеха газотранспортного предприятия, представляемого активным элементом vеVa; Л"оп - затраты, связанные с расходом топливного газа на функционирование приводов нагнетателей в рамках рассматриваемого компрессорного цеха, представляемого активным элементом V, V е
е V1', которые определяются с использованием следующей зависимости:
Лт"оп = Стоп £ 5ТСП • Jгтоп (и"). (14)
iеT(v)
Здесь Стоп - стоимость единицы объема топ-
оэксп
ливного газа с учетом его подготовки; -
время работы ьго нагнетателя "-го компрессорного цеха, i еГ("), vеVa .
При этом эксплуатационная составляющая затрат в соотношении для функции затрат не зависит от применяемых управлений и может быть исключена из рассмотрения. С учетом этого, а также принимая во внимание соотношение (14), функцию затрат активного элемента при заданных управлениях запишем в следующем виде:
ф" , и") = Стоп £ £”сп • JIтоп (и").
iеГ(v)
В дальнейшем, принимая во внимание тот факт, что расход топливного газа является линейной функцией потребляемой на валах газоперекачивающих агрегатов мощности (см. зависимость (13)), приведенную выше функцию за-
трат можно переписать в терминах мощности, которую необходимо минимизировать. Также учитывая, что потребляемая на валах нагнетателей мощность слабо зависит от входного и выходного давлений, (14) можно переписать в следующем виде:
ф" , и") = £ N (и").
iеГ(v)
Постановка задачи оптимального планирования
Итак, исходную задачу (1)-(9), формализующую процесс согласования параметров участка газотранспортной системы по критерию минимизации суммарных затрат, можно сформулировать следующим образом: необходимо при заданных давлениях и коммерческих расходах на входах и выходах газотранспортной системы определить такие управляющие воздействия на активные элементы, моделирующие компрессорные цеха, при которых с наименьшими суммарными затратами оказываются согласованными заданные значения входных и выходных характеристик.
Определяющим фактором здесь является необходимость оптимизировать функционирование активных элементов, которыми для газотранспортной системы являются цеха компрессорных станций. При оптимизации процесса функционирования компрессорного цеха необходимо учитывать функциональную зависимость, связывающую потребляемую приводом газоперекачивающего агрегата мощность с коммерческим расходом перекачиваемого газа при условии, что все прочие параметры фиксированы. В данной статье, как и в [4], эта зависимость аппроксимируется посредством конечного числа кусочно-линейных участков, при этом весь интервал аппроксимации по расходам разбивается на п подынтервалов с равномерным шагом и заменой на каждом из них исходной зависимости линейной функцией [4].
Множество всех агрегатов разобьем на подмножества, которые будем называть «группами», предполагая, что каждая группа содержит множество агрегатов с близкими характеристиками. Пусть i = 1, т - номера групп газоперекачивающих агрегатов компрессорного цеха, 7 = 1, п - номера подынтервалов, на которые дискретизированы возможные объемы перекачиваемого газа для всех групп агрегатов. Обозначим через т- и т+ соответственно минимально возможное и максимально допустимое число агрегатов ьй группы, которое может быть
использовано, г = 1, т ; J у и Ji+ , соответственно,
- минимально возможный и максимально допустимый коммерческий объем газа, который может быть перекачан г-м агрегатом, если производительность агрегата будет соответствовать
у-му интервалу, 0 < J~ < JJ+, г = 1, т , у = 1, п ; а у и Ь у - коэффициенты линейной функции, определяющей зависимость потребляемой при функционировании агрегатов мощности от объ-
твых ^
ема компримируемого газа; Jv — плановый коммерческий объем газа, который компрессорный цех должен перекачать.
Обозначим через х.г количество агрегатов г-й группы, которые будут работать в планируемом периоде в компрессорном цехе, г = 1, т ; у1 — объем газа, который будет перекачан агрегатом г-й группы, г = 1, т; 2 у = 1, если агрегат г-й
группы будет работать в у-м интервале допустимых объемов производительности, и ггу = 0 в
противном случае, г = 1, т, у = 1, п.
Ограничения математической модели включают в себя следующие условия. Плановый объем газа для компрессорной станции должен быть выполнен:
т
I ху = Jr.
г=1
Ограничения по возможному количеству используемых агрегатов
т- < хг. < т +, г = 1, т.
Ограничения на возможные объемы перекачиваемого газа для каждого агрегата
1*Л < У <1^ , г= 1 т.
у=1 у=1
Для каждого агрегата выбирается только один «рабочий» интервал производительности, что выражается следующим условием:
п ___
I ^ ^ г = l, т.
у=1
Естественные условия на переменные: хг. - целые, г = 1, т,
2у £ {0,1}, г = 1,т, у = 1,п.
В качестве критерия оптимальности определим условия минимизации объема топливного газа, затрачиваемого на работу турбинных приводов всех функционирующих газоперекачивающих агрегатов компрессорной станции. Так как объем потребляемого топливного газа является линейной функцией от мощности, потребляемой
на валу нагнетателя газоперекачивающего агрегата [12], то суммарная мощность, потребляемая при работе всех агрегатов компрессорного цеха должна иметь минимальное значение:
т п
Р(Х У, 2) = 11 (ауУ , + Ьу уХг ^ т1п.
г=1 у=1
Решение поставленной задачи определяет, какие газоперекачивающие агрегаты и с какой производительностью должны работать в каждом компрессорном цехе. Поставленная задача является задачей частично-целочисленного математического программирования и относится к классу -трудных задач [15]. Для ее решения
не существует точных алгоритмов, в общем случае отличных от полного перебора. Для подобных задач можно предложить различные эвристические методы, позволяющие находить приближенные решения. Анализ значений параметров реальных компрессорных станций показал, что для решения таких задач, учитывая современное состояния средств вычислительной техники, можно находить точные решения, используя приведенную ниже переборную схему решения.
Для решения поставленной задачи необходимо проверить на совместность
т
N = 2тпт П (т+ - т- +1)
=1
наборов и из совместных выбрать тот, на котором достигается минимальное значение критерия. Здесь п - число интервалов, на которое мы разбиваем значения коммерческого объема газа между минимально возможным и максимально допустимым, т - число различных групп агрегатов. Пусть к1, к2, ..., кт — произвольный допустимый набор, где к^ количество агрегатов г-й группы, которые будут использованы в планируемом периоде, = 1, т. Тогда для этого на-
бора решаем следующую задачу:
т
IкгУг = JВых , (15)
=1
п п ____
1- < Уг < 1J+ , г = 1,m, (16)
у=1 у=1
Тгу = 1, г = 1,т, (17)
у=1
£ {0,1}, г = 1,т, у = 1,п, (18)
тп
Р 2 ) = 11 (ау У г + Ь у ) 2 у кг ^ тт. (19)
г=1 у=1
Эту задачу предлагается решать перебором всевозможных наборов значений
2і] є {0,1}, і = 1,т, ] = 1,п. Количество таких различных наборов будет пт.
Таким образом, надо решить пт задач линейного программирования с номерами
1 Л т
5 = 1,2,..., п следующего вида:
т ____
£ кг У, = 3вых, ЗГЛ < У, < 3 + ,, і =1 m,
і=1
£ аг]ху, + Ьі'
\
(20)
Для решения каждой такой задачи достаточ-
-»т
но рассмотреть 2 точек, «подозрительных» на допустимость, для каждой точки проверить ее на допустимость (подставив значения координат точки в уравнение 1”=1 кгуг = Jвых), и среди
допустимых точек найти точку с минимальным значением критерия.
Рассмотрим конкретный пример, параметры которого соответствуют реальным значениям одного из цехов КС-21 ЛПУ МГ «Моркинское», ООО «Волготрансгаз» [2]. В компрессорном цехе функционируют 5 полнонапорных газоперекачивающих агрегатов: с двумя центробежными нагнетателями типа РСЬ-1002 и с тремя нагнетателями типа 235-21-1. Характеристики нагнетателей каждого типа достаточно близки, поэтому групп газоперекачивающих агрегатов для рассматриваемого компрессорного цеха т = 2. Давление на входе компрессорного цеха составляет Р*х = 5.472 МПа. Требуемое выходное давление для цеха составляет Р^ = 7.114 МПа. Известно также, что компрессорный цех должен перекачивать газ в количестве, равном Jвы* = 90 млн. м3/сут. Для рассматриваемого примера примем число интервалов для диапазона расходов п = 5. Ограничения по возможному количеству использованных агрегатов для каждой группы следующие: т1- = 0, т- = 0, т1+ = 2, т+ = 3.
Тогда для решения задачи необходимо проверить на совместность N = 1200 вариантов, то есть выполнить 1200 проверок.
Построим все наборы, определяющие различные допустимые варианты работы агрегатов. Их будет П”+1(т<+ - т- +1) = (2 - 0 + 1)х
х(3 - 0 + 1) = 12. Это наборы:
0-0, 0-1, 0-2, 0-3,
1-0, 1-1, 1-2, 1-3,
2-0, 2-1, 2-2, 2-3.
Для каждого набора со значениями к1, к2 ре-
шается задача (15)-(19). Тогда минимальное значение функционала на допустимом решении задачи среди всех 12 вариантов определит оптимальное решение всей задачи.
Для нашего примера различных наборов значений будет пт = 52 = 25.
Таким образом, надо решить 25 задач линейного программирования (20) с номерами 5 = = 1, 2, ..., 25.
Рассмотрим допустимый набор к1 = 2, к2 = 1. Для газоперекачивающих агрегатов с центробежными нагнетателями типа РСЬ-1002/40 при заданных значениях давлений на входе и выходе цеха допустимые значения коммерческих расходов газа лежат в интервале [31. 144;48.054] млн. м3/сут. Аналогично, при заданных значениях Р*х и Рувых для агрегатов с нагнетателями типа 235-21-1 значения коммерческих расходов транспортируемого газа лежат в интервале значений [13.15; 28.29] млн. м3/сут. Данным интервалам значений коммерческих расходов соответствуют интервал рабочих частот вращения валов [3616; 4073] об/мин для газоперекачивающих агрегатов с центробежными нагнетателями типа РСЬ-1002/40 и [3945;5390] об/мин для газоперекачивающих агрегатов с центробежными нагнетателями типа 235-21-1, соответственно. Вне указанных диапазонов для заданных значений входного и выходного давлений находятся недопустимые рабочие точки. Каждый из указанных интервалов дискретизируется на п = 5 подынтервалов. Получаем задачу линейного программирования:
2у1 + 1у = 90; 31.14 < у < 35.71;
17.42 < у2 < 20.71;
Р (у1, у2) = 2(332.776у1 + 309.372) +
+ (438.027у2 -1527.408) ^ тш.
Проверяем 22 = 4 точки на допустимость, подставляя их в первое уравнение:
у = 31.14, тогда у2= 27.72 (> 20.71) - данная точка не является допустимой,
у = 35.71, тогда у2 = 18.57 (< 20.71) - получили первую допустимую точку,
у2 = 17.42, тогда у = 36,29 (> 35.71) - данная точка не является допустимой,
у2 = 20.71, тогда у2 = 34.65 (< 35.71) - получили вторую допустимую точку.
Для первой допустимой точки Р(у1, у2) = = 34047.175, а для второй допустимой точки Р(у1, у2) = 34279.068. Таким образом, лучшая для данного варианта точка (35.71, 18.57).
г=1
Заключение
В работе описан подход к оптимальному планированию процессов функционирования сложных иерархических систем с активными элементами, который может быть положен в основу создания пользовательских программных средств, предназначенных для решения задач оптимального планирования и синтеза магистральных газотранспортных систем. В частности, он был положен в основу создания программного продукта, предназначенного для расчета, проектирования и модернизации магистральных газотранспортных систем, который был внедрен в ОАО «Гипрогазцентр» (Н. Новгород).
Кроме того, данный подход может быть применен для научно-обоснованного нахождения эффективных вариантов модернизации и расширения реальных участков газотранспортных систем в процессе их адаптации к эволюции входных и выходных параметров, а также при возрастании требуемых объемов газа у его потребителей.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Минобрнауки РФ (гос. соглашение о предоставлении гранта №14.В37.21.0878)
Список литературы
1. Прилуцкий М.Х., Дикарев К.И. Оптимизационные задачи согласования параметров для участков газотранспортной системы // Системы управления и информационные технологии. 2011. № 3.1(45). С. 185-189.
2. Прилуцкий М.Х. Многокритериальные многоиндексные задачи объёмно-календарного планирования // Известия академии наук. Теория и системы управления. 2007. № 1. С. 78-82.
3. Афраймович Л.Г., Прилуцкий М.Х. Многоиндексные задачи оптимального планирования производства // Автоматика и телемеханика. 2010. № 10. С. 148-155.
4. Костюков В.Е., Прилуцкий М.Х. Распределение ресурсов в иерархических системах. Оптимиза-
ционные задачи добычи, транспорта газа и переработки газового конденсата. Учеб. пособие - Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2010. 78 с.
5. Прилуцкий М. Х., Костюков В. Е. Оптимизационные задачи планирования транспортировки газа // Информационные технологии и вычислительные системы. 2007. № 2. С. 67-73.
6. Прилуцкий М.Х., Шумилов В.Б., Афраймович Л.Г., Старостин Н.В., Филимонов А.В. Оптимизационные задачи планирования транспорта газа в магистральном газопроводе // Электронный журнал «Исследовано в России». 2008. 033. С. 383-391. http://zhurnal.ape.relam.ru/articles/2008/033.pdf
7. Прилуцкий М.Х., Бухвалова И.Р., Афраймо-вич Л. Г., Старостин Н. В., Филимонов А. В. Оптимизационные задачи оперативного управления работой компрессорной станцией. Электронный журнал «Исследовано в России». 2008 032 С. 375-382. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2008/032.pdf
8. Прилуцкий М.Х. Многокритериальное распределение однородного ресурса в иерархических системах //Автоматика и телемеханика. 1996. № 2. С. 139-146.
9. Батищев Д.И., Гудман Э.Д., Норенков И.П., Прилуцкий М.Х. Метод декомпозиций для решения комбинаторных задач упорядочения и распределения ресурсов // Информационные технологии. 1997. № 1. С. 29-33.
10. Афраймович Л. Г., Прилуцкий М. Х. Многоиндексные задачи распределения ресурсов в иерархических системах // Автоматика и телемеханика. 2006. № 6. С. 194-205.
11. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. М.: Мир, 1973. 344 с.
12. Сарданашвили С. А. Расчетные методы и алгоритмы (трубопроводный транспорт газа). М.: Изд-во «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2005. 577 с.
13. Селезнев В.Е., Алешин В. В., Прялов С.Н. Математическое моделирование трубопроводных сетей и систем каналов: методы, модели и алгоритмы. М.: МАКС Пресс, 2007. 695 с.
14. Балавин М.А., Продовиков С.П., Шайхутдинов А.З. и др. Автоматизация процессов газовой промышленности. СПб.: Наука, 2003. 496 с.
15. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982. 416 с.
RESOURCE ALLOCATION IN HIERARCHICAL SYSTEMS CONTAINING ACTIVE COMPONENTS
М.Kh Prilutsky, K.I. Dikarev
A mathematical model for the operation of complex technical systems, transport networks, resource allocation systems is developed and studied. In the framework of this model, the optimal scheduling problems are stated for hierarchical systems containing active elements. The effective solution algorithms for such problems are suggested. The problem of input-output parameter coordination for a section of a gas transportation system with gas compressor units as active elements is considered as an example.
Keywords: mathematical simulation, active element, hierarchical systems, resource allocation, gas transportation system, gas compressor department.
