Распределение расстояний между точечными геологическими объектами Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 519.24 : 550.84 + 550.8

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ МЕЖДУ ТОЧЕЧНЫМИ ГЕОЛОГИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ

В. В. Кириллова

Сыктывкарский лесной институт, Сыктывкар kirillenokvv@mail.ru

Распределение расстояний между геологическими объектами представляет особый интерес для прогноза полезных ископаемых. В настоящей статье предложена процедура проверки гипотез о размещениях, основанная на многократном компьютерном моделировании и сравнении параметров модельного распределения с конкретными наблюдаемыми в геологии.

Ключевые слова: статистический анализ, точечные геологические объекты, компьютерное моделирование, распределение расстояний.

DiSTRiOUTiÜN OF DiSTANCES BETWEEN DOT GEÜLÜGiCAL OBJECTS

V. V. Kirillova

Syktyvkar Forest Institute, Syktyvkar

Distribution of distances between geological objects represents special interest for the forecast of minerals. In present clause procedure of check of hypotheses about the accommodations, based on repeated computer modelling and comparison of parameters of modelling distribution with concrete observable in geology.

Keywords: the statistical analysis, dot geological objects, computer modelling, distribution of distances.

Теория вероятностей и математическая статистика успешно применяются в различных областях геологической науки: при обработке минералогических, геохимических и петрохимических данных, установлении законов частотного распределения наблюдаемых геологических величин. Вместе с тем традиционные методы выявления закономерностей размещения геологических объектов в большинстве случаев имеют приближенный, качественный характер (из-за визуального анализа положения геологических объектов на различных картах и текстовой информации). Причина этого заключается в почти полном отсутствии математических основ такого анализа. В данной работе анализируются свойства многомерного пространства с евклидовой метрикой. Результаты исследований могут использоваться в таких областях знаний, как геология, география, биология.

Предметом исследований служили для нас расстояния между точками в парах, размещенными случайным образом. При этом под случайным распределением понимается такое, при котором все компоненты координат всех точек независимы друг от друга и распределены по равномерному (прямоугольному) закону. Это распределение есть не что иное, как распределение длин отрезков, случайно расположенных в пространстве. При этом нельзя рассматривать пространство вообще, т. е. не ограниченное никакими пределами: в этом случае основные статистики — математическое ожидание и дисперсия — обратятся в бесконечность. Для получения содержательных сопоставимых результатов нами

рассматривалось пространство, ограниченное единичным пБ-мерным кубом (гиперкубом), превращающимся при пБ = 1 в отрезок, при пБ = 2 — в квадрат, при пБ = 3 — в обычный куб. Все расстояния нормировались на длину диагонали иД-мерно -го гиперкуба, т. е. на величину ^п[), где пБ — размерность пространства. Этим достигалась сравнимость распределения длин отрезков и независимость статистик от размерности пространства (как выяснилось, только в первом приближении).

Основой для теоретического анализа распределения длин случайных отрезков служит тот очевидный факт, подтверждаемый экспериментально, что для отрезка (пБ = 1) плотность распределения линейно уменьшается до нуля с увеличением длины исследуемого отрезка х:

1 ,

= ^2{\-x)xdx = — = 0.(3); о ^

= —-— = — = 0.055(5);

6 3 3 18 18 18

g(x) = 1 - x.

(1)

Из условия нормировки (интеграл плотности вероятности

должен быть равен 1) получаем

1

1

X

2

2 ’

jg(x) = J(1 - x)dx = x

о о

откуда плотность вероятности fx) равна

(2)

Математическое ожидание М(х)

и дисперсия Б(х) расстояний (длин

отрезков) в одномерном случае равны 1

М(х) = • / (х)с!х =

Для размерностей пространства пБ > 1 случайная величина, т. е. расстояние между точками в паре (или, другими словами, длина случайного отрезка), есть корень квадратный из суммы квадратов разностей одноименных компонент координат:

где и и V — компоненты координат 1, 2, .., пБ точек в паре и и V.

Если бы компоненты координат были распределены по гауссовскому закону N(0, 1), то из этого сразу вытекало бы, что распределение расстояний в многомерном пространстве подчиняется закону = % (закону х). Но распределение точек в пространстве нельзя осуществить по нормальному закону случайно: необходимо было бы выбрать точку концентрации и меру рассеивания. Единственно возможный вариант — равномерное (прямоугольное) распределение каждой компоненты на отрезке (0, 1) — стороне единичного гиперкуба. Это наводит на мысль о том, что распределение длин случайных отрезков, нормированных

Таблица 1

Распределение длин случайных отрезков (частости) в пространстве размерности пБ, (число точек 100, 1000, 10000)

Номер интер- вала Частости расстояний (\У) в пространствах различной размерности и верхние границы интервалов (БН)

1 * 2* 3 * 5 *

БИ \¥ БИ \У БЬ \¥

100 1000 10000 100 1000 10000 100 1000 10000 100 1000 10000

1 0.0500 0.0923 0.0967 0.0974 0.0707 0.0152 0.0149 0.0148 0.0866 0.0016 0.0025 0.0025 0.1118 0.0000 0.0001 0.0001

2 0.1000 0.0943 0.0883 0.0932 0.1414 0.0319 0.0403 0.0408 0.1732 0.0170 0.0154 0.0153 0.2236 0.0012 0.0018 0.0020

3 0.1500 0.0921 0.0839 0.0883 0.2121 0.0564 0.0605 0.0617 0.2598 0.0378 0.0364 0.0359 0.3354 0.0127 0.0103 0.0107

4 0.2000 0.0840 0.0800 0.0834 0.2828 0.0739 0.0760 0.0775 0.3464 0.0630 0.0631 0.0598 0.4472 0.0313 0.0295 0.0307

5 0.2500 0.0810 0.0758 0.0781 0.3536 0.0792 0.0860 0.0888 0.4330 0.0842 0.0867 0.0832 0.5590 0.0687 0.0604 0.0626

6 0.3000 0.0758 0.0702 0.0724 0.4243 0.0842 0.0915 0.0957 0.5196 0.1034 0.1081 0.1028 0.6708 0.1109 0.0989 0.1021

7 0.3500 0.0717 0.0650 0.0678 0.4950 0.0867 0.0959 0.0987 0.6062 0.1202 0.1211 0.1174 0.7826 0.1398 0.1376 0.1409

8 0.4000 0.0638 0.0604 0.0627 0.5657 0.0877 0.0960 0.0977 0.6928 0.1360 0.1270 0.1246 0.8944 0.1756 0.1656 0.1676

9 0.4500 0.0661 0.0576 0.0577 0.6364 0.0943 0.0932 0.0931 0.7794 0.1271 0.1226 0.1231 1.0062 0.1547 0.1709 0.1705

10 0.5000 0.0513 0.0546 0.0525 0.7071 0.0901 0.0873 0.0859 0.8660 0.1226 0.1083 0.1127 1.1180 0.1374 0.1457 0.1417

11 0.5500 0.0451 0.0459 0.0474 0.7778 0.0840 0.0775 0.0754 0.9526 0.0875 0.0890 0.0929 1.2298 0.0844 0.0976 0.0943

12 0.6000 0.0402 0.0421 0.0424 0.8485 0.0725 0.0650 0.0628 1.0392 0.0543 0.0607 0.0643 1.3416 0.0499 0.0524 0.0497

13 0.6500 0.0366 0.0387 0.0373 0.9192 0.0638 0.0503 0.0476 1.1258 0.0285 0.0337 0.0367 1.4534 0.0226 0.0213 0.0199

14 0.7000 0.0269 0.0343 0.0323 0.9899 0.0420 0.0335 0.0312 1.2124 0.0127 0.0162 0.0184 1.5652 0.0093 0.0065 0.0059

15 0.7500 0.0267 0.0308 0.0274 1.0607 0.0212 0.0172 0.0156 1.2990 0.0038 0.0066 0.0076 1.6771 0.0008 0.0013 0.0012

16 0.8000 0.0198 0.0240 0.0220 1.1314 0.0109 0.0088 0.0076 1.3856 0.0002 0.0020 0.0023 1.7889 0.0006 0.0002 0.0002

17 0.8500 0.0129 0.0201 0.0166 1.2021 0.0036 0.0042 0.0035 1.4722 0.0000 0.0004 0.0005 1.9007 0.0000 0.0000 0.0000

18 0.9000 0.0125 0.0159 0.0117 1.2728 0.0012 0.0016 0.0013 1.5588 0.0000 0.0001 0.0001 2.0125 0.0000 0.0000 0.0000

19 0.9500 0.0044 0.0114 0.0069 1.3435 0.0008 0.0004 0.0003 1.6454 0.0000 0.0000 0.0000 2.1243 0.0000 0.0000 0.0000

20 1.0000 0.0022 0.0041 0.0023 1.4142 0.0002 0.0000 0.0000 1.7321 0.0000 0.0000 0.0000 2.2361 0.0000 0.0000 0.0000

г 0.3247 0.3458 0.3315 0.5524 0.5283 0.5206 0.6465 0.6531 0.6630 0.8718 0.8859 0.8787

ог 0.2269 0.2438 0.2339 0.2577 0.2523 0.2487 0.2384 0.2477 0.2506 0.2554 0.2502 0.2496

то<1 0.0738 0.0460 0.0479 0.6089 0.4973 0.4770 0.6616 0.6557 0.6775 0.8533 0.9141 0.9046

Аб 0.0824 0.1714 0.1920 -0.0303 0.0687 0.0386 0.0478 -0.0582 -0.0437

Ек -0.7868 -0.0957 -0.8905 -0.5780 -0.5531 -0.7749 -0.3969 -0.3766 -0.5898

Продолжение таблицы 1

Номер Частости расстояний (\¥) в пространствах различной размерности (*) и верхние границы интервалов (8Н)

10* 15* 20*

интер-

XV \У си XV

вал 3. 100 1000 10000 ОЙ 100 1000 10000 ОЙ 100 1000 10000

1 0.1581 0.0000 0.0000 0.0000 0.1936 0.0000 0.0000 0.0000 0.2236 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.3162 0.0000 0.0000 0.0000 0.3873 0.0000 0.0000 0.0000 0.4472 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.4743 0.0004 0.0004 0.0004 0.5809 0.0000 0.0000 0.0000 0.6708 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.6325 0.0040 0.0041 0.0044 0.7746 0.0008 0.0006 0.0006 0.8944 0.0004 0.0001 0.0001

5 0.7906 0.0261 0.0218 0.0226 0.9682 0.0065 0.0066 0.0073 1.1180 0.0020 0.0023 0.0025

6 0.9487 0.0784 0.0693 0.0715 1.1619 0.0426 0.0408 0.0433 1.3416 0.0307 0.0274 0.0268

7 1.1068 0.1735 0.1517 0.1544 1.3555 0.1394 0.1381 0.1431 1.5652 0.1325 0.1335 0.1315

8 1.2649 0.2545 0.2330 0.2334 1.5492 0.2691 0.2698 0.2720 1.7889 0.3053 0.3078 0.3054

9 1.4230 0.2479 0.2454 0.2423 1.7428 0.2972 0.2986 0.2941 2.0125 0.3311 0.3303 0.3326

10 1.5811 0.1420 0.1707 0.1691 1.9365 0.1729 0.1807 0.1754 2.2361 0.1644 0.1612 0.1638

11 1.7393 0.0574 0.0779 0.0765 2.1301 0.0572 0.0558 0.0551 2.4597 0.0299 0.0343 0.0344

12 1.8974 0.0147 0.0217 0.0215 2.3238 0.0129 0.0084 0.0086 2.6833 0.0036 0.0030 0.0029

13 2.0555 0.0010 0.0037 0.0035 2.5174 0.0014 0.0006 0.0006 2.9069 0.0000 0.0001 0.0001

14 2.2136 0.0000 0.0003 0.0003 2.7111 0.0000 0.0000 0.0000 3.1305 0.0000 0.0000 0.0000

15 2.3717 0.0000 0.0000 0.0000 2.9047 0.0000 0.0000 0.0000 3.3541 0.0000 0.0000 0.0000

16 2.5298 0.0000 0.0000 0.0000 3.0984 0.0000 0.0000 0.0000 3.5777 0.0000 0.0000 0.0000

17 2.6879 0.0000 0.0000 0.0000 3.2920 0.0000 0.0000 0.0000 3.8013 0.0000 0.0000 0.0000

18 2.8460 0.0000 0.0000 0.0000 3.4857 0.0000 0.0000 0.0000 4.0249 0.0000 0.0000 0.0000

19 3.0042 0.0000 0.0000 0.0000 3.6793 0.0000 0.0000 0.0000 4.2485 0.0000 0.0000 0.0000

20 3.1623 0.0000 0.0000 0.0000 3.8730 0.0000 0.0000 0.0000 4.4721 0.0000 0.0000 0.0000

г 1.2398 1.2734 1.2698 1.5736 1.5728 1.5673 1.8029 1.8051 1.8073

0.2384 0.2489 0.2497 0.2551 0.2492 0.2512 0.2529 0.2523 0.2518

шос1 1.2529 1.2874 1.2821 1.5849 1.5872 1.5796 1.8189 1.8151 1.8199

А8 -0.0444 -0.0653 -0.0622 -0.0178 -0.0721 -0.0542 -0.0768 -0.0293 -0.0457

Ек -0.3093 -0.2818 -0.5130 -0.1902 -0.3372 -0.5508 -0.4022 -0.4090 -0.6200

Примечание. Жирным шрифтом выделены максимальные значения.

(число пар расстояний) при 500 модельных точках составляет 124 750. Точная причина этого нам пока неизвестна. Вероятно, что увеличение размерности пространства расширяет его удельный объем так, что возрастает вероятность появления пар точек с большими расстояниями между ними.

В изменении среднего квадратического расстояния наблюдается интереснейшая картина. С одной стороны, увеличение доли больших расстояний должно увеличивать значение стг. С другой стороны, необходимо помнить, что при увеличении размерности пространства пропорционально увеличивается число случайных слагаемых — компонент координаты. Итоговую случайную величину мы делим при нормировании на л/гИ), что в результате приводит к уменьшению среднего квадратического отклонения пропорционально этой величине. Так, при nD = 1 стг = 0.242, а при пБ = 20 она должна быть 0.242Д/20 = 0.054. Оценка по данным моделирования равна 0.056!

С увеличением размерности пространства сильно меняется форма данного распределения. В случае nD = 1 гистограмма будет линейной, монотонно убывающей слева направо. Начиная с nD = 2 кривая становится колоколообразной одномодальной, сильно асимметричной и плосковершинной по сравнению

Т а б л и ц а 2

Распределение длин случайных отрезков (частости) в пространстве размерности пО, нормированных по диагонали единичного гиперкуба (число точек 500)

Номер интервала Верхняя граница интервала Размерность пространства пИ

1 2 3 5 10 15 20

1 0.0500 0.0949 0.0148 0.0026 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.1000 0.0904 0.0426 0.0155 0.0021 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.1500 0.0854 0.0659 0.0369 0.0118 0.0004 0.0000 0.0000

4 0.2000 0.0802 0.0838 0.0632 0.0340 0.0047 0.0006 0.0001

5 0.2500 0.0759 0.0956 0.0867 0.0709 0.0230 0.0074 0.0025

6 0.3000 0.0694 0.1041 0.1066 0.1124 0.0746 0.0431 0.0269

7 0.3500 0.0669 0.1035 0.1213 0.1507 0.1596 0.1415 0.1320

8 0.4000 0.0620 0.1005 0.1297 0.1730 0.2354 0.2721 0.3066

9 0.4500 0.0574 0.0933 0.1235 0.1677 0.2377 0.2906 0.3313

10 0.5000 0.0528 0.0818 0.1105 0.1308 0.1657 0.1767 0.1632

11 0.5500 0.0473 0.0686 0.0903 0.0820 0.0736 0.0571 0.0347

12 0.6000 0.0430 0.0550 0.0586 0.0422 0.0213 0.0099 0.0027

13 0.6500 0.0377 0.0407 0.0322 0.0162 0.0035 0.0009 0.0001

14 0.7000 0.0333 0.0266 0.0148 0.0048 0.0004 0.0000 0.0000

15 0.7500 0.0300 0.0131 0.0058 0.0011 0.0000 0.0000 0.0000

16 0.8000 0.0250 0.0061 0.0015 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000

17 0.8500 0.0201 0.0026 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

18 0.9000 0.0142 0.0011 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

19 0.9500 0.0102 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

20 1.0000 0.0037 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

г 0.3433 0.3551 0.3756 0.3833 0.3998 0.4054 0.4040

0.2417 0.1714 0.1415 0.1104 0.0793 0.0655 0.0563

пюс1 0.0250 0.2750 0.3750 0.3750 0.4250 0.4250 0.4250

те<1 0.3250 0.3250 0.3750 0.3750 0.4250 0.4250 0.4250

Ав 0.2644 0.0400 0.0082 -0.0391 -0.0319 -0.0456

Ек -0.5499 -0.5028 -0.2682 -0.0985 -0.0310 -0.0466

а2 3459.0486 1677.6348 474.0244 100.1063 34.6857 57.1557

по стороне или диагонали гиперкуба, следует не подгонять под другие распределения, а считать оригинальным, самостоятельным распределением, генерируемым распределением суммы квадратов случайных величин, равномерно распределенных на отрезке (0, 1), т. е. некоторым аналогом распределения х — основой анализа распределения точек в пространстве.

Моделирование велось по авторской программе, чтобы получить основу для дальнейших исследований, в том числе для сравнения с ним всех модификаций других распределений. Прежде всего было установлено, что число точек не влияет на центральные моменты, т. е. на такие статистики, как математическое ожидание расстояния, его дисперсия, асимметрия и эксцесс, тем самым и на форму распределения. Сначала этот факт кажется парадоксальным: плотность точек увеличивается, а расстояния между ними остаются неизменными. Однако очевидно, что добавление п+1-й точки в гиперкуб образует п новых пар, т. е. новых отрезков, которые в силу случайного распределения п предыдущих точек будут распределены так же, как и предыдущие пары.

Оценки статистик и частостей в гистограммах случайным образом колеблются, и тем сильнее, чем меньше точек, но их средние значения с увеличением числа точек не

меняются. При числе точек 100 они стабилизируются, а при 500 становятся практически постоянными. Дальнейшее увеличение числа точек сильно увеличивает время счета, но мало изменяет точность: число расстояний увеличивается как п2.

Моделирование на отрезке (nD = 1) показало полную сходимость модельного среднего расстояния с теоретическим, т. е. со значением г = 0.3333, М{г) = 0.(3), а также сходимость модельного среднего квадратического отклонения с теоретическим значением Бг = 0.24, стг = 0.236 (табл. 1). Частоты гистограммы строго линейно уменьшаются до нуля с увеличением г до 1. Это создает уверенность в правильности моделирования, так как для размерности пространства 2 и более используется то же самое ядро программы.

Совсем другая картина наблюдается в изменении статистик с увеличением размерности пространства. Поскольку мы нормировали расстояния на длину диагонали гиперкуба, которая увеличивается с увеличением nD, то предполагалось, что математическое ожидание расстояния не будет зависеть от nD. Так в первом приближении и оказалось (табл. 2). Однако все-таки наблюдается незначительное увеличение (на 21%) среднего расстояния и его нельзя квалифицировать как неточность оценки: объем выборки

с гауссовской кривой, однако с увеличением nD от трех и до 20 кривая плотности вероятности будет совершенно симметричной (^ = —0.046) и «нормально» плосковершинной (Ek = —0.047). Эта картина вполне объясняется центральной предельной теоремой: стремление к нормальности — следствие суммирования все большего числа компонент координат точек при увеличении размерности пространства (см. рис. 1).

В табл. 3 и на рис. 2 компактно представлена изложенная выше и другая информация, из которой наиболее любопытным является тот факт, что коэффициент вариации (показатель, широко применяемый в геологии), нормированный на величину у[п5, постоянен и независим от nD и составляет около 70 %.

Мы исследовали два совершенно разных объекта. Первым из них была облицовочная плитка керамогранита, содержащая на фоне смеси светлых ингредиентов много мелких черных вкраплений (рис. 3). Расположение этих вкраплений было перенесено на кальку и сняты их координаты. В пределах исследуемого нами квадрата оказалось 575 таких зерен. Результаты обработки по нашему программному комплексу представлены в табл. 4 и рис. 4. Сравнение табл. 4 с табл. 2 свидетельствует об идентичности распределений. Еще нагляднее это видно при сопоставлении гистограмм на рис. 4 и на рис. 1.

Таким образом, мы имеем теперь надежный критерий отнесения распределения точек к случайному. Судя по рис. 3, темноцветные вкрапления имеют некоторую тенденцию к группировке. Однако наш статистический анализ показал, что количество и плотность сгущений не выходит за пределы случайных флуктуаций плотности. Этого и следовало ожидать, так как плитки получают после тщательного перемешивания исходного материала.

Второй пример — распределение 747 горных вершин одного из участков Приполярного Урала (рис. 5). Логика подсказывает, что вершины должны обнаруживать тенденцию к линейной группировке вдоль водораздельных линий хребтов.

Статистический анализ по программам созданного нами комплекса показал, что распределение расстояний между вершинами похоже на типовую кривую случайного распределения для nD = 2. Тенденция к линейной группировке выражается в увеличении частот в левых интервалах (с малыми расстояниями!) гистограммы (табл. 4 и 2). «Перегрузка» левых интервалов «уравновешивается» перегрузкой крайних правых. В итоге распределение характеризует-

Рис. 1. Гистограммы распределения длин отрезков в пространствах размерности 1, 2, 3, 5, 10, 15, 20, нормированных по диагонали единичного гиперкуба

Т а б л и ц а 3

Статистические показатели распределения расстояний между случайно расположенными точками (длин случайных отрезков) в зависимости от размерности пространства (500 точек)

Показатель Размерность пространства п!)

1 2 3 5 10 15 20

г 0.343 0.355 0.376 0.383 0.400 0.405 0.404

Ur 0.242 0.171 0.141 0.110 0.079 0.066 0.056

As - 0.264 0.040 0.008 -0.039 -0.032 -0.046

Ек - -0.550 -0.503 -0.268 -0.098 -0.031 -0.047

V, % 71 47 37 29 20 17 15

v-JnD,% 71 67 64 65 63 66 67

Т а б л и ц а 4 Распределение расстояний между темноцветными вкраплениями на плитке керамогранита (число точек 575), нормированных по диагонали единичного квадрата

0.5Г

Номер интервала Верхняя граница интервала Частость расстояний

nD2

1 0.0500 0.0149

2 0.1000 0.0411

3 0.1500 0.0601

4 0.2000 0.0748

5 0.2500 0.0837

6 0.3000 0.0896

7 0.3500 0.0960

8 0.4000 0.0950

9 0.4500 0.0925

10 0.5000 0.0885

11 0.5500 0.0796

12 0.6000 0.0679

13 0.6500 0.0522

14 0.7000 0.0334

15 0.7500 0.0169

16 0.8000 0.0087

17 0.8500 0.0036

18 0.9000 0.0012

19 0.9500 0.0002

20 1.0000 0.0000

F 0.3749

о,. 0.1782

тос! 0.3250

тес1 0.3750

Аб 0.1346

Ек -0.7011

0.5

О

0J

0.1

^ 1 *-»* ***

! I I I i 1 1 i 1 1 “ L - - 4- - 4 шт + L J 1 _

0.5 i — / i * 1.0 / i 1 1 i F i i и 1 - 1 Í >- а

t / \ / ' ! f : ..■< 1 .***' ,г **■ 1 1 , 1 1 1 1 1

! ' 'уГ г*' ! w 1 1 i i 1 1 i 1 1 1 ] 1 1 1 i

t \ t 1 / f 1 1 1 i 1 1 1 i i 1 1 1 1 1 1 1 1 1

m

15

Размерность щюстранствае.югорифмтесхам масштабе

Рис. 2. Изменение средней длины отрезков между 500 точками при случайном их размещении в зависимости от размерности пространства от 1 до 20)

Рис. 3. Участок плитки керамогранита с темноцветными вкраплениями ингредиентов

Рис. 4. Распределение расстояний между темноцветными вкраплениями на плитке

керамогранита

Рис. 5. Участок физической карты Приполярного Урала в пределах, указанных по углам координат. Точки — горные вершины. М-б 1:200 000

(\ ■ ц ‘

■ ' УУ—

У'

■■ ■ г

* 1

'V '

. '.V ■'

.. д% ■■ .

■ . ча, ■ ' С’’-''

59"55' - в.д. 64°54' - с.ш.

61°37' - в.д. 64°54' - с.ш.

Рис. 6. Распределение расстояний между горными вершинами участка Приполярного

Урала

Т а б л и ц а 5 Распределение расстояний между горными вершинами Приполярного Урала (северной части национального парка «Югыд-Ва», М. 1:200 000) в двумерном пространстве, нормированных по диагонали единичного квадрата (число вершин 747)

Номер интервала Верхняя граница интервала Частость расстояний

nD2

1 0.0500 0.0168

2 0.1000 0.0446

3 0.1500 0.0652

4 0.2000 0.0783

5 0.2500 0.0858

6 0.3000 0.0918

7 0.3500 0.0948

8 0.4000 0.0244

9 0.4500 0.0391

10 0.5000 0.0411

11 0.3500 0.0749

12 0.0000 0 .0630

13 0.3500 0 .0202

14 0.7000 0 .0335

15 0.3500 0 .0168

16 0.0000 0 .0164

17 0.3000 0 .0042

18 0.9000 0 .0117

19 0.3500 0 .0094

20 1.0000 0 .0000

г 0 . 3692

°Г 0 .1812

то й 0 . 3290

тей 0 . 3750

А* 0 .1980

Ек -0 .6749

г = 29.536 км; ог = 14.496 км; mod = 26.0 км; med = 30.0 км.

ся большим средним квадратическим отклоне нием, лушей симметрично-стьюи большей плосковаршинно-стью(рис. 6). Однако эти не очень контрастные отличия не могут служить надежными критериями тенденции к линейной группировке, что заставило нас перейти к анализу так называемых порядковых расстояний.

Благодарю Ю. А. Ткачева за идеи и неоценимую помощь в проведении исследований.

Литература

1. Кириллова В. В., Разманова О. Ф. Статистические характеристики размещения геологических объектов в многомерном пространстве// Структура, вещество, история литосферы Тимано-Североуральского сегмента: Материалы 19-й науч. конф. Сыктывкар: Геопринт, 2010. С. 77—82.

2. Ткачев Ю. А. Структурно-статистический анализ пространственного взаимного расположения геологических

объектов // Уральский геологический журнал, 2010. № 5. С. 53—62.

3. Усманов Ф. А. Математические методы в региональной геологии и металлогении. Ташкент: ФАН, 1985. 210 с.

4. Шторм Р. Теория вероятностей. Математическая статистика. Статистический контроль качества. М.: Мир, 1970. 368 с.

Рецензент к. г.-м. н. Т. И. Иванова