Распределение напряжений в грунте от газового импульса Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.139

СТРОИТЕЛЬСТВО

В. С. ИВКИН, М. В. КУЛИКОВ

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В ГРУНТЕ ОТ ГАЗОВОГО ИМПУЛЬСА

Предельные нагрузки для полуплоскости, ослабленной отверстием, находящимся под равномерным давлением, были использованы для изучения возможности рыхления мёрзлого грунта газоимпульсным рыхлителем. Были найдены напряжения в грунте от давления сжатого воздуха при выхлопе из рабочей камеры и от радиуса винтовой лопасти газоимпульсного рыхлителя.

Ключевые слова: полуплоскость, грунт, напряжение, деформация.

Существуют задачи, в которых одну из осей координат можно отбросить, и все явления рассматривать как бы происходящими в одной плоскости. Этот класс задач носит название «плоская задача теории упругости». Плоская задача делиться на два вида:

1) плоская деформация;

2) обобщённое плоское напряжённое состояние.

Плоская деформация. Пусть длина тела в направлении оси велика, сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси <^», остаётся постоянным, все нагрузки лежат в плоскостях (рис. 1), перпендикулярных оси <^», и законы их распределения не меняются с изменением <^». Слои грунта деформируются в плоскости ХОУ. Отсюда и возникло название «плоская деформация».

Взаимодействие винтового газоимпульсного рыхлителя с грунтом при рыхлении в забой геометрически сходно с условиями напряжённого состояния грунта в области, которая ограничена окружностью, нагруженной равномерным давлением, и кромкой забоя.

© Ивкин В. С., Куликов М. В., 2015

При анализе взаимодействия рабочего оборудования газоимпульсного рыхлителя с грунтом были сделаны следующие допущения:

а) исследуемая область напряжённого состояния грунта рассматривается как упругое линейное деформируемое тело;

б) грунт представляет собой сплошную однородную среду, то есть во всех точках физические свойства грунта одинаковы;

в) влияние гравитационных сил на процесс разрушения грунта не учитывалось;

г) первоначальное разрушение грунта происходит под действием давления сжатого воздуха, величина которого принимается равной давлению в рабочей камере перед её разрядкой;

д) расширение сжатого воздуха в грунте (ввиду кратковременности процесса) - адиабатическое. Плоская задача теории упругости должна удовлетворять:

I уравнениям равновесия

Эох/Эх+Эгух/Эу=0. (1)

Эоу/Эу+Эгух/Эх=0. (2)

II уравнению неразрывности

Д2(ох+ Оу) =0, (3)

то есть оператор Лапласа от суммы нормальных напряжений равен нулю.

А2 =Э20/Эх2+Э20/Эу2. (4)

При постоянных объёмных силах или при отсутствии их объёмное расширение 0 удовлетворяет уравнению Лапласа

д20/дх2+д20/ду2=О. (5)

Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической функцией. Английский математик Д. Б. Эйри предложил искать решения уравнений равновесия и совместимости в следующем виде:

ох=Э2у/Эу2, оу=Э2у/Эх2, тху=тух= - Э2у/ЭхЭу, (6)

где у - функция напряжения Эйри. Тогда уравнение неразрывности можно записать так:

А2(ЭУду2+дУдх2)=0. (7)

Уравнение (7) называют бигармоническим уравнением плоской задачи теории упругости. Всякая функция, удовлетворяющая бигармоническому уравнению, называется бигармонической функцией.

Итак, решение плоской задачи теории упругости сводится к нахождению функции напряжений у (функции Эйри). С. Г. Гутман [1] предложил записать функцию напряжений Эйри для приведённой на рисунке 1 схемы нагружения грунта в таком виде:

^=Р г02 ((1р18 Г2 / Г1) / а + х [(1р - а)-ео8 01 / г - (1р + а)ео8 02 / Г2] / а}, (8)

где в нашем случае:

Р - давление, которое воспринимает грунт в начальный период разрушения; Г0 - радиус окружности, нарезаемой в грунте винтовой лопастью; 1р - расстояние от кромки забоя до центра окружности (см. рис. 1); а - расстояние до радикальной оси. Для построения радикальной оси необходимо найти величину отрезка касательной, проведённой из начала координат к окружности с радиусом Г0.

По теореме Пифагора: Г1 и Г2 - радиусы векторы

а =

к -

Г! = ^ (л- — й)г + у*

Со801 и Со802 могут быть выражены через тангенсы этих углов

^ 01 = у/(х - а), 18 02 = у/(х + а),

(9)

(10) (11)

(12) (13)

где «у» и «х» — текущие значения абсциссы и ординаты точки М.

Комплексное число ъ=х+1-у условимся геометрически изображать точкой М, у которой в прямоугольной системе координат ось X (ось абсцисс) называется вещественной осью, а ось У (ось ординат) - мнимой.

Представим радиусы векторы Г1 и Г2 в комплексной форме:

ъ - а=гг(со8 01+г8т 01)=гге1'91 . ъ + а=г2(со8 02+1-8т 02)=г2е102 . Обратные величины радиусов векторов записываются соответственно:

1/(ъ - а)=(со8 01 - гбш 01)/г1 .

1/(ъ + а)=(со8 02 - 1'81П 02)/г2 .

Обозначим в функции комплексного переменного А(ъ)=:(х+1у)

R[f(z)] - вещественную часть;

ФВДъ)] - мнимую часть.

Тогда функция А(ъ) запишется так:

Цъ^ГСъ)] + 1-Ф[^ъ)].

(14)

(15)

(16) (17)

(18)

Представив функцию напряжений Эйри (см. уравнение 8) как вещественные части соответствующих функций комплексного переменного «ъ», напишем:

У = Рг20((1р/а)^- [1е(ъ + а) / (ъ - а)] + + (х/а)^- [(1р - а) / (ъ - а) - (1р + а) / (ъ + а)]}. Из теории функции комплексного переменного известны зависимости [2]:

дФ:(ъ)] / дх = - щад] / ду = Ф[дад / дъ] дR[f(z)] / дх = дФВДъ)] / ду = R[дf(z) / дъ]. Найдем производные от функции напряжений Эйри (см. уравнение 19):

дУ / дх = - Рг20^[1 / (ъ - а) + 1/ (ъ + а)] + + (х/а)^- [(1р - а) / (ъ - а)2 - (1р + а) / (ъ + а)2]}.

(19)

(20) (21)

(22)

дУ / ду = Рг20{(1р/а)Ф[1 / (ъ - а) - 1/ (ъ + а)] + + (х/а)Ф[(1р - а) / (ъ - а)2 - (1р + а) / (ъ + а)2]}. Повторным дифференцированием найдем выражение соответствующих напряжений:

(23)

ох = / Эу2 = - Рг2о{(1р/а)Я- [1 / (2 - а)2 - 1/ ^ + а)2] + + (2х/а)Я[(1р - а) / (2 - а)3 - (1р + а) / (2 + а)3]}.

Оу = / Эх2 = Рг2о{(К/а)[(2а - 1р) / (2 - а)2 + (2 а + 1р) / (2 + а)2] + + (2х/а)Я[(1р - а) / (2 - а)3 - (1р + а) / (2 + а)3]}.

(25)

Тху = - Э2^ / Эу-Эх = Рг2о{Ф[1 / (2 - а)2 + 1 / (2 + а)2] + + (2-х/а)-Ф[(1р - а) / (2 - а)3 - (1р + а) / (2 + а)3]}. Компоненты главных напряжений выразятся соответственно:

(Оу + Ох) / 2 = Р-Я-г2о [(1р + а) / а(2 + а)2 - (1р - а) / а-^ - а)2].

(26) (27)

(Оу - Ох) / 2 = Р-г2о {Я[1 / (2 - а)2 + 1 / (2 + а)2] + + (2-х/а)-Я-[(1р - а) / (2 - а)3 - (1р + а) / (2 + а)3]}.

(28)

Тху = Р-г2о{Ф-[1 / (2 - а)2 + 1 / (2 + а)2] + + (2-х/а)-Ф[(1р - а) / (2 - а)3 - (1р + а) / (2 + а)3]}.

(29)

Раскрыв выражения входящих сюда функций комплексного переменного «2», получим в окончательном виде (см. рис. 1):

(Оу + Ох) / 2 = Р-г2о {[(1р + а) / а] • (0082-02 / Г22) -- [(1р - а) / а] • (0082-01 / Г12)}.

(3о)

(Оу - Ох) / 2 = Р-Г2о -{(0082-02) / Г22 + (СОЙ^) / Г!2 + + 2х-[((1р - а) / а) - (оо83-01) / г13 - ((1р + а) / а) - (ОО83-02) / Г23]}.

(31)

ху

= - Р-г2о -{(81и2-02 / Г22) + (81и2-01 / г12) +

+ 2-х-[((1р - а) / а) - (81П3-01) / Г13 - ((1р + а) / а) - (8ш3-02) / Г23]}.

(32)

Рис. 2. Расчётная схема для определения расстояния до кромки забоя в полярной системе координат Примем «a» за единицу измерения длины. Тогда компоненты главных напряжений (смотри формулы (30), (31), (32) запишутся так [1]:

(oy + ох) / 2 = P r2o •{[cos2-0i / ri2 + cos2-02 / Г22] -

- Xo [cos2 0i / ri2 - cos2^02 / Г22]}. (33)

(oy - Ox) / 2 = P r2o {[cos2 0i / ri2 + cos2^02 / Г22 -

- 2-x-(cos3-0i / ri3 + cos3-02 / Г23)] + (34) + xo [2x(cos3 0i / ri3 - cos3^02 / r23)]}.

Txy = - Pr2o {[sin2 0i / ri2 + sin2 02 / r22 -

- 2 x (sin3 0i / ri3 + sin3 02 / r23)] + xo [2x(sin3 0i / ri3 - sin3 • 02 / r23)]}. (35)

Условие предельного равновесия для мёрзлых грунтов [3] записывается так:

(Oy - Ox) / (Oy + Ox + 2coctg ф) = sin ф, (36)

где Oy и ox - наибольшие и наименьшие главные напряжения;

co - сцепление грунта, которое равно напряжению разрыва при чистом сдвиге [3];

ф - угол внутреннего трения грунта.

Из уравнения (36) легко найти угол внутреннего трения грунта, который при превышении допустимой нагрузки принимается равным углу сдвига грунта [4].

Распределение напряжений по внутреннему кругу.

Полярные координаты выражаются через декартовые (прямоугольные) следующим образом (см. рис. i, рис. 2):

+ (37)

0 = аГ018 (у / (х - 1р)). (38) По данным С. Г. Гутмана [1] геометрическими условиями для внутреннего контура будут:

01 + 02 = о, (39)

Г1 - Г2 = 2-х-Го, (4о)

Г12 / Г22 = (1р - а) / (1р + а). (41)

Тогда уравнения (31), (32) в полярной системе координат запишутся так [1]:

(о9 - Ог) / 2 = Р-Г2о -{0082(0 - 02) / Г22 + 0082(0 - 01) / Г12 +

+ 2-х-[((1р - а) / а) - 008(2-0 - 3-01) / Г13 - (42)

- ((1р + а) / а) - 008(2-0 - 3-02) / Г23]}

Тг0 = Р-Г2о -{81п2(0 - 02) / Г22 + 81п2(0 - 01) / Г^ +

+ 2 х-[((1р - а) / а) - 81п(2-0 - 3-01) / Г13 - (43)

- ((1р + а) / а) - 81п(2-0 - 3-02) / Г23]}.

Подставив зависимости (39), (40), (41) в уравнения (42), (43), получим для внутреннего круга

Тге = 0;

(о0 - Ог) / 2 = Р • ((х2 + у2) / х2). (44)

Подставим зависимости (39), (40), (41) в уравнение (30):

(Оу + Ох) / 2 = (О0 + Ог) / 2 = Р • (у2/ х2). (45)

При сложении и вычитании выражений (44) и (45) найдём главные напряжения по внутреннему контуру:

Тг0 = 0, (46)

Ог = - Р, (47)

О0 = Р(1 + 2(у2 / х2)). (48)

Распределение напряжений по оси «х» (см. рис. 1, рис. 2).

В этом случае у = 0 и зависимость у/х также будет равна нулю [1]. Тогда уравнение (48) упростится, и мы будем иметь:

О0т1П = Р. (49)

В точках «А» и «В» напряжение о0 будет минимальным и не зависит ни от кривизны отверстия г0, ни от расстояния до кромки забоя.

Распределение напряжений по касательной ОС к окружности (см. рис. 1).

В этом случае принимают [1]: у = г0; х = а.

Из уравнения (9) следует: х = а= — Т^) . Тогда отношение у/х запишется уже так:

у/х = г0/а = го/^Й -Г,2} (50)

Подставим зависимость (50) в уравнение (48). После математических преобразований будем иметь:

О0тах = Р(( 1р2 + г02) / ( 1р2 - г02)). (51)

Распределение напряжений по оси симметрии.

Геометрические условия для оси симметрии [1]:

у = 0, (52)

8Ш01 = 81И02 = 0, (53)

г1 = х - а, (54)

г2 = х + а (55)

Подставив зависимости (52), (53), (54), (55) в уравнения (30), (31), (32) и выполнив математические преобразования, получим:

Тху = 0.

Ох= Р(4г02х2 [х2 - 41рх + 3а2] / (х2 - а2)3). (56)

Оу= Р(4г02[21рх(х2 + а2) - а2(3х2 + а2)] / (х2 - а2)3). (57) Распределение напряжений по кромке забоя.

Граничными условиями для этого случая будут [1]:

х = 0, (58)

01 + 02 = п, (59)

Г1=Г2=^(й' +ЗГ) (60)

Подставив зависимости (58), (59), (60) в уравнения (30), (31), (32) и выполнив математические преобразования, получим:

Txy = 0. (61)

Ox= 0. (62)

Oy= P(4r02(a2 - y2) / (a2 + y2)). (63)

На участке - a < y < a наружная грань растянута. Максимум растяжения имеет место в точке грани на оси симметрии (x = 0; y = 0) и равен при подстановке зависимости (9) в уравнение (63):

Oymax= P(4r02 / (lp2 - Г02)). (64)

При y > a грунт возле кромки забоя испытывает сжатие [1]. Максимальное сжатие будет при:

у = ± V 3 - а. (65)

Подставив зависимости (9) и (65) в уравнение 63, получим:

0ymin= - p/2-(r02 / (lp2 - Г02)) . (66)

Как следует из формул (61), (62), (63), у кромки забоя (см. рис. 1) действует только напряжение растяжения [1].

Поэтому рыхление грунта в забое возможно, если:

max ^ im\

Oy > Op , (67)

где op - прочность грунта на разрыв.

Из зависимостей (64), (67) можно определить расстояние до кромки забоя:

1р = г0у4Р/^ + 1 . (68)

С увеличением радиуса г0 будет увеличиваться расстояние до кромки забоя, а, следовательно, объём рыхления. Но рост радиуса г0 возможен только при увеличении диаметра винтовой лопасти.

Газоимпульсное рыхление грунта отличается от традиционных способов рыхления тем, что грунт непосредственно испытывает давление расширяющегося воздуха [5].

Расширяющийся воздух, внедряясь в трещины (имеющиеся в грунте, в силу неоднородности его структуры, полученные в процессе завинчивания рыхлителя и в первый период разрушения) и

действуя как клин, усиливает процесс разрушения. Грунт сдвигается, отрывается в сторону открытой стеки забоя [6, 7].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гутман С. Г. К расчёту тоннелей (полуплоскость, ослабленная круговым отверстием под равномерным давлением) // Известия научно-исслед. института гидротехники. - 1939. - Т. 25. -С.148-168.

2. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М. : Наука, 1966. - 7о7 с.

3. Зеленин А. Н., Баловнев В. И., Керов И. П. Машины для земляных работ : учебное пособие для вузов. - М. : Машиностроение, 1975. - 424 с.

4. Ивкин В. С., Максимов С. В., Тимофеев А. С. Определение зоны разрушения мерзлого грунта в забой газоимпульсным рыхлителем // Вестник УлГТУ. - 2о11. — №1. - С. 68-72.

5. Ивкин В. С., Максимов С. В., Ефремов А. Д. Выполнение зимних земляных работ газодинамическим рыхлителем // Вестник УлГТУ. - 2о1о. — №1. - С. 66-72.

6. Ивкин В. С., Чикилев С. В. Преимущества газоимпульсного способа рыхления мёрзлых грунтов // Вестник УлГТУ. - 2о14. — №1. - С. 63-7о.

7. Ивкин В. С., Максимов С. В., Муртаков А. Ю. Применение энергии сжатого газа высокого давления на рабочих органах землеройных машин // Вестник УлГТУ. - 2о11. — №2. - С. 55-6о.

Ивкин Валерий Семёнович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Строительные конструкции» УлГТУ. Имеет учебные пособия и статьи, изобретения и патенты в области механизации строительных работ.

Куликов Михаил Владимирович, студент 5-го курса строительного факультета УлГТУ. Поступила 18.02.2015 г.