Распознавание объектов из классов, замкнутых относительно группы преобразований Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2009. Вып. 3

УДК 004.93.51 Т. М. Косовская

РАСПОЗНАВАНИЕ ОБЪЕКТОВ ИЗ КЛАССОВ,

ЗАМКНУТЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

1. Введение. В процессе адаптации распознающей системы к окружающей среде часто существенную роль играет наличие преобразований, по отношению к которым отдельные объекты или вся наблюдаемая сцена являются инвариантными. Так, например, при растяжении или сжатии изображения в некоторых пределах человек всегда сумеет отождествить деформированное изображение с исходным. В этой статье адаптация распознающей системы к заданной совокупности преобразований будет рассматриваться именно в смысле ее способности отождествлять два объекта, отличающиеся друг от друга только преобразованиями, не выводящими из заданного класса объектов.

В работе рассмотрена способность к такого рода адаптации логико-предметной распознающей системы, введенной в [1]. Доказаны условия ее инвариантности к заданной группе преобразований с конечным числом образующих. Приведен алгоритм распознавания классов, замкнутых относительно группы преобразований с конечным числом при условии, что глубина вложенности терма, определяющего преобразование исходного объекта, не превосходит заданного числа. Получены оценки числа шагов этого алгоритма при различных способах решения стандартной задачи распознавания (алгоритм полного перебора и поиск вывода в исчислении предикатов).

Под логико-предметной распознающей системой понимается система, решающая задачи распознавания в следующей постановке.

Распознаваемые объекты ш представлены как множество составляющих его элементов ш = ...,wt}. Множество всех распознаваемых объектов Q разбито на K классов

Q = УК=1 Q. На элементах распознаваемых объектов ш задана совокупность предикатов {pi, ...,pn}, описывающих свойства элементов и отношения между ними.

Описанием S(ш) распознаваемого объекта ш называется множество истинных формул вида Piiji) или при г* С и>. Здесь и далее посредством т обозначается

упорядоченный набор элементов из т.

Описанием Ak(x) класса О. к называется формула, представленная в виде дизъюнкции элементарных конъюнкций атомарных формул с предикатами pi, ...,pn, такая, ЧТО U! G Ofc -ФФ- Ак(ш).

В дальнейшем, для того чтобы записать, что значения для переменных списка х, удовлетворяющие формуле А(х), различны, вместо формулы 3xi...3xm(xi ф х^ & х\ ф хз & ... & a:m_i ф xm & А(х 1, ...,хт)) будет использоваться обозначение 3хфА{х).

Рассматриваются следующие задачи распознавания.

Задача идентификации. Проверить, принадлежит ли объект ш или его часть классу Qk.

Косовская Татьяна Матвеевна — доцент кафедры теоретической кибернетики математикомеханического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 55. Научные направления: распознавание образов, теория сложности алгоритмов. E-mail: kosov@NK1022.spb.edu.

© Т. М. Косовская, 2009

В [1] эта задача сведена к доказательству выводимости формулы 3УфАк(у) из описания распознаваемого объекта в (си): в (си) Ь 3 уфАк(у).

Задача классификации. Найти все такие номера классов к, что и € Ок.

В [1] эта задача сведена к доказательству выводимости формулы \/^=1 Ак (й) из описания распознаваемого объекта S(и) с указанием всех таких номеров к, для которых соответствующий дизъюнктивный член истинен на ш: 5'(^) У к=\ Ак(й)-

Задача анализа сложного объекта. Найти и классифицировать все части т объекта и, для которых т € О.

В [1] эта задача сведена к доказательству выводимости формулы \] к=13уф Ак(у) из описания распознаваемого объекта Б (и) с указанием всех частей объекта и, поддающихся классификации, и идентифицировать их: Б(ш) Ь \/&=1 Ак(у)-

2. Инвариантность к заданному множеству преобразований. Инвариантные признаки и инвариантные описания классов. Пусть на множестве О задана совокупность преобразований О, отображающих это множество на себя. Обозначим посредством О(и) множество термов вида д(и), где д € О, и € О.

Определение 1. Логико-предметная распознающая система называется инвариантной относительно совокупности О, если она одинаково идентифицирует любые два объекта, отличающиеся только преобразованиями из совокупности О.

Определение 2. Класс объектов Ок называется замкнутым относительно совокупности преобразований О, если любые два объекта, отличающиеся только преобразованиями из совокупности О, одновременно принадлежат (или не принадлежат) этому классу:

УиеП^и'е а(ш)(и € Ок и' € Ок).

Из определений 1 и 2 непосредственно следует утверждение.

Утверждение 1. Пусть классы Ок (к = ) замкнуты относительно со-

вокупности преобразований О ив каждом классе выделены подмножества Ок С Ок такие, что любой объект класса Ок может быть получен из объекта класса Ок некоторым преобразованием д из О, т. е. Уиепк 3и0^о (и € О (и0)).

Если логико-предметная распознающая система инвариантна относительно совокупности преобразований О и верно распознает классы Ок, то она верно распознает и классы Ок.

Наиболее простым случаем построения инвариантной логико-предметной распознающей системы является система, построенная на основании инвариантного набора исходных признаков.

Определение 3. Предикат р называется инвариантным относительно совокупности преобразований О, если

\/ч)еП\/ч)'еа{ш){р(Ъ) ^р(й')).

Утверждение 2. Для того чтобы логико-предметная распознающая система была инвариантной относительно совокупности преобразований О, достаточно, чтобы все исходные предикаты р\, ...,рп были инвариантны относительно совокупности С. ____

Доказательство. Для всякого преобразования д из О формулу Ак (д(х)) можно получить из формулы Ак(х) заменой всех входящих в нее атомарных формул вида (у) (у - подстрока списка аргументов х) на р^д(у)). В силу инвариантности исходных предикатов, по теореме об эквивалентной замене получаем, что Ак(д(х)) -фф- Ак(х). я

Проблема выбора исходных предикатов, в терминах которых описываются как объекты, так и классы объектов, - одна из сложных проблем, встающих при создании прикладных распознающих систем. Далеко не всегда исходные признаки инвариантны относительно тех преобразований, к воздействию которых инвариантны распознаваемые объекты.

3. Инвариантные описания классов с неинвариантными признаками. Далее будем рассматривать совокупность преобразований, являющуюся группой с конечным числом образующих. При этом множество образующих группы будем обозначать посредством О = {д1,..., дт}, а саму группу - О*. Образующие группы О* будем называть элементарными преобразованиями.

Пусть для каждого элементарного преобразования дц (] = 1, ...,Т) можно указать, как изменяются значения отдельных предикатов или их совокупностей при воздействии преобразования дц на распознаваемый объект. Для каждого дц таких изменений может быть несколько (обозначим их количество Ц). Эти изменения определяются эквивалентностями вида

В^(х) ^ С\(фГ)1 (1)

где В](ж) и х)) - элементарные конъюнкции атомарных формул; I = \\,..,Ц.

Равносильности указанного вида будем называть описаниями преобразования дц и обозначать Г^-(ж). Множество описаний для всех преобразований \Т^(х1ф) : j = 1 I = 1,/¿} будем обозначать Г (ж).

Теорема 1. Пусть на О задана группа О* с конечным числом образующих О = {дь ...,дТ}, для каждого преобразования дц которой справедливы Ц описаний этого преобразования вида (1).

Если для каждого ] описание к-го класса Ак(х) вместе с каждым дизъюнктивным членом, в который входит В^ (жх) & ... & В^ (хг), содержит дизъюнктивный член с элементарной конъюнкцией (ж1) & ... & (хг), причем все остальные

конъюнктивные члены этих дизъюнктов одинаковы и инвариантны относительно дц, то А]~ (ж) инвариантна относительно группы преобразований С*.

Доказательство. Пусть В*- (жх) & ... & В1^ (хг) и (жх) & ... & С1^ (хг) входят в дизъюнктивные члены Ак^{ж) и Ак^{х) описания к-то класса Ак(ж) соответственно. По теореме об эквивалентной замене Ак}\{ж) <(4- Akfl{gj{ж))- Следовательно, Ак{ж) -ФФ Ак(д^( ж)).

Так как эта равносильность имеет место при всех j = 1, ..., Т, то для любого преобразования д из группы С* верно Ак(ж) ФФ Ак(д(ж)). ■

4. Задача инвариантного распознавания как задача поиска логического вывода. Описания преобразований позволяют расширить понятие логико-предметной распознающей системы введением в нее равносильностей вида (1). При этом задачи инвариантного распознавания могут быть сведены к следующим задачам.

Задача инвариантной идентификации. Проверить, принадлежит ли объект и или его часть классу Ок, если класс Ок замкнут относительно группы преобразований О* с конечным числом образующих О = {д1,..., дТ}.

Эта задача сводится к доказательству выводимости формулы 3уфАк(у) из описания распознаваемого объекта Б(и>) и совокупности описаний преобразований Г(ж) :

Б(ш) Г(ж) I- 3уфАк(у). (2)

Задача инвариантной классификации. Найти все такие номера классов к, что и € Ок, если класс Ок замкнут относительно группы преобразований О* с конечным числом образующих О = {д1,..., дТ}.

Эта задача сводится к доказательству выводимости формулы У^=1 Ак(й) из описания распознаваемого объекта Б(и>) и совокупности описаний преобразований Г (ж) с указанием всех таких номеров к, для которых соответствующий дизъюнктивный член истинен на и:

к

Б(ш) Г (ж) Ь \/ Ак(ш). (3)

к=1

Задача инвариантного анализа сложного объекта. Найти и классифицировать все части т объекта и, для которых т € О, если класс Ок замкнут относительно группы преобразований О* с конечным числом образующих О = {д1, ...,дТ}.

Эта задача сводится к доказательству выводимости формулы \/&=1 ^УфАк (у) из описания распознаваемого объекта Б (си) и совокупности описаний преобразований Г (ж) с указанием всех частей объекта и, поддающихся классификации, и идентифицировать их:

к

Б(ш) Г(ж) Ь \/ 3УфАк(у). (4)

к=1

Сведение сформулированных задач к формулам (2)-(4) базируется на теореме об эквивалентной замене и определении класса, замкнутого относительно группы преобразований.

5. Алгоритм инвариантной идентификации. Рассмотрим задачу инвариантной идентификации при ограничении, что глубина вложенности термов, задающих преобразования из группы О*, не превосходит заданного числа Я.

Для решения задачи введем обозначение Бг,](и) - описание объекта, из которого может быть получен распознаваемый объект применением г элементарных преобразований, список номеров которых задан в J. Результат добавления номера ] в конец списка .1 будем обозначать выражением J\Ц. д,] - суперпозиция элементарных преобразований, номера которых задает список J. То есть если J = {^ ...,зт}, то дз(х) = дцг (...дцг (х)...).

Решение задачи инвариантной идентификации может быть осуществлено последовательной реализацией следующих этапов:

1. Проверяем справедливость того, что из Б(си) следует 3уфАк(у). Если следствие имеет место, то выделяются такие подмножества т распознаваемого объекта и = {и1, ...,и^, что т € Ок. Задача идентификации решена и алгоритм заканчивает работу. В противном случае начинаем поиск такого преобразования д € О*, что д(т) € Ок для некоторых т (т С и).

2. г := 1, J := Л, Бг,] (и) := Б (и), помещаем Бг,] (и) в очередь.

3. 3 := 1. _

4. Для каждой элементарной конъюнкции (I = 1,..., /¿), входящей в равносильность вида (1), из подвергнутого преобразованию дз распознаваемого объекта с опи-

санием Бг,](и), находящемся первым в очереди, выделяем все его подмножества иЦ, для которых Бг,] (и) содержит все конъюнктивные члены этой элементарной конъюнкции. Обозначим совокупность таких подмножеств для каждого I посредством

Гл1,т] глт] I |17 гл1,т] I \

Оц и ОЦ = у 1=1 Оц , а их количество \ОЦ \ и \ОЦ \ соответственно.

5. Если \Orj’J\ = 0, то переходим к выполнению п. 7 алгоритма. В противном случае

в конец списка J добавляем j, т. е. J := J\\j, r := r + 1. В Sr,J заменяем конъюнктивные члены формул выделенные в п. 4, на конъюнктивные члены формул

BjltJj), входящие в равносильности вида (1). Удаляем из Sr,J(u;) атомарные формулы, не входящие в с предикатами, не инвариантными относительно gj.

Упорядочиваем множество Sr,J(ш).

6. Проверяем справедливость Sr,J(uj) Ь 3ÿ^Ak(ÿ). Если следствие имеет место, то выделяются такие подмножества т, что gj(т) G Ok. Задача идентификации решена и алгоритм заканчивает работу. В противном случае, если r < R, то помещаем

Sr,J(ш) в очередь.

7. Если j < T, то j := j + 1 и возвращаемся к выполнению п. 4. Если j = T, то удаляем первый элемент очереди и если очередь не пуста, то в качестве Sr,J(ш) берем следующий элемент очереди (J - список номеров элементарных преобразований, уже проверенных при получении Sr,J (ш), r - длина этого списка) и возвращаемся к выполнению п. 3 алгоритма.

8. Если r = R, то задача инвариантного распознавания с глубиной вложенности терма, задающего преобразование из группы G*, не превосходящей R, не имеет решения. Замечание 1. Можно не прерывать работу алгоритма в пунктах 1 и 6. При этом

будут выделены все части распознаваемого объекта, которые при различных преобразованиях из G* (с глубиной вложенности задающего его терма, не превосходящего R) удовлетворяют описанию k-го класса.

6. Оценки числа шагов работы алгоритмов инвариантной идентификации. Для подсчета числа шагов описанного алгоритма введем обозначения:

\Ak \ - количество различных вхождений предметных переменных в описание k-го класса;

mk - количество различных предметных переменных в описании k-го класса;

\S\ - количество различных вхождений предметных констант в S(ш);

\C\ - максимальное количество различных вхождений предметных переменных в правые части эквивалентностей вида (1), задающих описания преобразований;

mc - количество различных предметных переменных в правых частях эквивалентностей вида (1), задающих описания преобразований;

L - максимальное количество описаний одного элементарного преобразования;

Д - максимальная разность количества различных вхождений предметных переменных в правую и левую части эквивалентностей вида (1), задающих описания преобразований.

В [2] доказано, что задача идентификации NP-трудна, если ее исходными данными являются как описание объекта, так и описание класса. Из доказательства этого результата следует, что решение задачи идентификации при использовании алгоритма полного перебора может быть осуществлено за O(tmk \Ak \ \S\) шагов, если множество S(lü) и элементарные конъюнкции формул Ai~(x) упорядочены по номерам предикатных символов. Эта оценка будет использована при доказательстве следующей теоремы.

Теорема 2. Если для доказательства следствия формулы 3ÿ^Ak(ÿ) из конечного множества постоянных формул использован алгоритм полного перебора, то число шагов инвариантной идентификации для класса, замкнутого относительно группы G* с конечным числом образующих G = {gi,gT} при ограничении, что глубина вложенности термов, задающих преобразования из группы G*, не превосходит заданного

числа R, составляет

O(TR R \S\ (tmk \Ak\ + tmC \C\ L) + R2 TR-1 Д (tm \Ak\ + tm° \C\ L)).

Доказательство. Из [2] следует, что число шагов выполнения п. 1 алгоритма составляет

S1 = O(tmk \Ak\ \S\),

где t - количество констант в ш.

Пункты 2, 3 и 7, 8 алгоритма выполняются за константу шагов и определяют количество выполнений п. 4-6 алгоритма.

Выполнение п. 4 равносильно тому, что из Sr'J^{uj) следует 3ÿ^Cj(ÿ) при I = 1,..., Ц с указанием тех значений для набора переменных у, для которых верны формулы Cj- (у). То есть фактически решается задача идентификации, в которой в качестве описаний классов выступают элементарные конъюнкции C’j(ÿ) при I = 1,

Пусть \Cj\, \Bj\ и |Sr,J| - количество различных вхождений предметных переменных в формулы C’j(ÿ), Bj(ÿ) и предметных констант в множество Sr,J(uj) соответственно. Заметим, что эти величины характеризуют длины записи формул C’j(ÿ), Bj-(ÿ) и множества Sr,J (ш), отличаясь от них только длиной записи входящих в них предикатных символов и разделительными знаками между атомарными формулами.

l ’ с

Из [2] следует, что число шагов выполнения п. 4 алгоритма составляет j=1 O(tmj \Cj | |^Jlb'|), где rrij i - количество различных предметных переменных в формуле C’j(ÿ).

Таким образом, если mc - максимальное количество предметных переменных в формулах C’j(ÿ) при I = 1,..., lj, то

j

S4Jr = O(tmC \SrJ\J2\Cj\) = O(tmC \SrJ\ ljC). i=i

Выполнение п. 5 алгоритма может быть осуществлено за O(J2\=1 (\Olj’r’J\ (bj + cj))) шагов, где bj и с*- - количества атомарных формул в элементарных конъюнкциях В^(у) и C’j(ÿ) соответственно. Кроме того, сортировка полученного множества формул может быть осуществлена за линейное время O(sr’J + Y1 li=1(\OljT’J\ (bj + Cj))) слиянием, если множества Sr,J(uj) и элементарные конъюнкции Bj(ÿ) и C’j(ÿ) отсортированы. Здесь sr’ J - количество атомарных формул в множестве Sr’ J (ш). Так как оно не превосходит количества различных вхождений предметных констант в это множество, то

ij S5J’ r = O(sr J + J2(\j ’J \ (bj + cj ))) = O(\Sr’J\).

l = 1

Из [2] следует, что число шагов выполнения п. 6 алгоритма составляет

S6J’r = O(tmk \Ak\ \Sr’Jlj\).

При этом \Sr’J\ изменится по сравнению с \Sr’J\ на ДJ r = \Sr’J\ — \Sr’J\.

Общее число шагов работы алгоритма равно

R T

S = S1^^ 53 Y.(S4J,r + S5'J’r + S6J’r) =

r = 1 J - | J \ =r j = 1 RT

= O(tmk \Ak\ \S\ + ^ Y. Y.(tmC \SrJllj\ ljC + \Sr’J\ + tmk \Ak\ \Sr’Jllj\) =

r=1 J: |J|=r j=1

RT

= O(tmk \Ak\ \S\ + (tm LC + tmk \Ak\) E E 12\Sr’Jllj\), (5)

r = 1 J : \J\=r j=1

где L = max1^j^T lj.

Оценим сомножитель '^2R=1 J- \j\=r-1 '^T=1 \Sr’Jllj\ в (5). При этом будем полагать, что Дj = maxj- \ j=r , 1^r^R Дjrr, Д = птх^^т Дj :

E E E\Sr’Jllj\ = EE E \Sr’Jllj\ = EE E ( \Sr-1’J \ + д1г) =

r = 1 J : \ J l=r j=1 j=1 r=1 J - \ J\=r j=1 r=1 J - \ J\=r

T

= Y^(( \ s \ + длл) + (s \+длА + дц + ■■+ \ s \ + длл + дт?) +

j=1

+ + ( \S \ + ДЛ1 + s^’ r )+----К \S \ + ДлЛ1 + S^jTR'’T ))) ^

T

< ]T((\S\ + Д) + T (\S\ + 2 Д) + T2 ( \S \ + 3 Д) +

j=1

+ ■■■ + Tr-1 (\S\ + r ^j)+ ... + TR-1 (\S\ + R ^j)) =

T R-1 R-1

= Y,( \ S \ Y.Tr КДоТ. (r +1)Tr ) =

j=1 r = 0 r=0

T

= J2 O(\S\ R TR-1 + Д R2 TR-1) = O(R TR-1(T \S\ + Д R )).

j=1

Общее число шагов работы алгоритма составит

O(R TR-1 (tmk \Ak\ + tm° \C\ L) (T \S\ + Д R)).

Перегруппировав члены выражения, получим искомую оценку. ■

Замечание 2. Слагаемое с сомножителем Д является существенным, если элементарные конъюнкции Bj(x) и Cj(gj(x)) принципиально различаются по количеству различных вхождений предметных переменных.

Пусть

a - максимальное количество вхождений атомарных формул в элементарные конъюнкции, составляющие описание k-го класса;

в - максимальное количество вхождений одного и того же предиката (только без отрицаний или только с отрицаниями) в описание объекта Б(ш);

,1к - количество дизъюнктов в описании к-го класса;

6 - максимальное изменение количества атомарных формул с одним и тем же предикатом (только без отрицаний или только с отрицаниями) в множестве Бг,3(ш) после выполнения п. 5 алгоритма;

с - максимальное количество вхождений атомарных формул в элементарные конъюнкции С^(у).

Из результата работы [2] следует, что решение задачи идентификации при поиске вывода в исчислении предикатов может быть осуществлено за 0(3к • ва) шагов. Эта оценка будет использована при доказательстве следующей теоремы.

Теорема 3. Если для доказательства следствия формулы 3уфАк(у) из конечного множества постоянных формул использован алгоритм поиска вывода в исчислении предикатов, то число шагов инвариантной идентификации для класса, замкнутого относительно группы О* с конечным числом образующих О = {д1, ...,дт} при ограничении, что глубина вложенности термов, задающих преобразования из группы О*, не превосходит заданного числа Е, составляет

0(Тп (3 (в + Е6)а + (в + Е6)с)).

Доказательство. Из [2] получаем, что число шагов выполнения п. 1 алгоритма равно

Б1 = 0(3 ва).

Пункты 2, 3, 7 и 8 алгоритма выполняются за константу шагов и определяют количество выполнений п. 4-6 алгоритма.

Выполнение п. 4 равносильно тому, что из следует ЗуфС^(у) при I = 1,..., Ц

с указанием тех значений для набора переменных у, для которых верны формулы (у). То есть фактически решается задача идентификации, в которой в качестве описаний классов выступают элементарные конъюнкции С1^(у) при I = 1,

Пусть вг,3 - максимальное количество вхождений одного и того же предиката (только без отрицаний или только с отрицаниями) в описание объекта Бт'3(ш). Аналогично оценке величины Б1 число шагов выполнения п. 4 алгоритма равно 0(^2 Ц (вг,3)с).

Если Ь - максимальное количество описаний одного элементарного преобразования, то £т=1 Іц ^ Ь Т. Следовательно,

Б43г = 0(Ь Т (вг3)с).

Оценка числа шагов выполнения п. 5 алгоритма такая же, как и в доказательстве теоремы 2, при этом, так как £\=1(\о!‘.-г’3\ • (ЬЦ + сЦ)) < 4 п вг03,

Ь

Б53}г = 0(вг'3 + '3\ • (ЬЦ + Ц))) = 0(п вг,3).

1=1

Из [2] следует, что число шагов выполнения п. 6 алгоритма составляет

Б63 гг = 0(3к • (вг,3)а).

Общее число шагов работы алгоритма

к т

Я = $ 1 + ^Т. Е^,г + $51 г + Бб^г) =

' = 1 7: | 7\=Г 3 = 1

к т

= 0(Л 8а Е Т,(ЬТ )С + П8'^ + Л (*'^)а)) =

г=1 J:7\=г 3 = 1

= 0(Лк ва + ЬТ £ £ £ (>г^ )С + п £ £ £ +

Г = 1 J:\7\=Г 3 = 1 '=1 J:\7\=г 3=1

К т

+ Е Т.’,-7)а)- (6)

'=1 7:\7\=г 3 = 1

Оценим сумму каждого из слагаемых в (6). Для этого рассмотрим выражение

^ ';Рт (’',7 )п

¿^,' = 12^,7:\7\=г 2-^3=1\’ ) '

Пусть 67' = в', 7\\3 — в', 7 - максимальное изменение количества атомарных формул с одним и тем же предикатом (только без отрицаний или только с отрицаниями) в множестве Я',7\\3(ш) после выполнения п. 5 алгоритма; 63 = тах7: 7\=', 1^'^к 67';

6 = тах1^3^т 63. Тогда

£ £ £’,7)п = £ £ £(’'М1 )п =

' = 1 7: \ 7 \ =' 3=1 ' = 1 7: \ 7 \ ='-1 3=1

= £ £ £ (’',7 + € >п = £ £ £ + 7 )п =

'=1 7: \7\='-1 3 = 1 3 = 1 ' = 1 7: \7\='-1

т

= ^2((’ + бЛ,1)П + ((’ + 3,1 + 632)П + ’ + (’ + 3,1 + 63\2)П) +

3=1

+ в + (в + 6Л1 + в + б7' )п + в + (в + 6Л1 + в + б(к , ))П) ^ т < Е((’ + 63)п + Т (’ + 2 63)п + Т2 (в + 3 63)п+

3=1

+ в + Т'-1 (в + г 63)п + в + ТК-1 (в + Я 63)п) < т К <ЕЕ т'-1 (в+г6)п <

3=1 '=1 К

< (в + Я6)п Т^Т'-1 = 0(ТК ((в + Я 6)п)).

' = 1

Общее число шагов работы алгоритма равно

0(3к ва + ТК ((в + Я 6)С) + 2пТК (в + Я 6) + 3к ТК ((в + Я 6)а)) = = 0(ТК (Лк (в + Я6)а + (в + Я 6)С)).

■

7. Примеры инвариантных распознающих систем с неинвариантными признаками.

1. Пусть имеется множество контурных изображений, составленных из отрезков

прямых, задаваемых своими концами. Заданы два предиката V и Ь, определяемых равносильностями: V(х, у, г) (Аухг < п) и Ь(х, у, г,) х лежит на отрезке

с концами у и г.

Оба эти предиката инвариантны относительно таких афинных преобразований как сдвиг на I, поворот на угол р и растяжение в к раз. Предикат Ь инвариантен также относительно зеркального отображения дт. Предикат V не инвариантен относительно дт, для которого справедливо описание преобразования

V(х, у, г) & V(дт(х),дт(г),дт(у)).

Кроме того, глубина вложенности терма с преобразованием дт не превышает 1, так как дт(дт(х)) = х.

Таким образом, система, распознающая контурные изображения многогранников, содержащая их эталонные описания в различных ракурсах посредством предикатов V и Ь, а также описание зеркального отображения дт, инвариантна относительно афин-ных преобразований. При этом время распознавания изображения многогранника, отличающегося от эталонного афинным преобразованием, увеличится разве лишь в 2 раза по сравнению с распознаванием эталонного изображения.

2. Пусть имеется множество контурных изображений, составленных из отрезков прямых, задаваемых своими концами. В работе [3] показано, что изображения многогранников, в каждой вершине которых пересекается не более трех плоскостей, могут быть описаны с помощью предикатов У, Ш, Т, определяемых следующим образом:

Эти предикаты также инвариантны к афинным преобразованиям, кроме зеркального отображения дт. Описания преобразования дт для данных предикатов имеют вид

У(х, у, г, и) & У(дт(х),дт(и),дт(г),дт(у)),

Ш(х, у, г, и) & Ш(дт(х),дт(и),дт(г),дт(у)),

Т(х, у, г, и) & Т(дт(х), дт(и), дт(г), дт(у)).

Так же, как и в примере 1, система, распознающая контурные изображения многогранников, в каждой вершине которых пересекаются не более трех плоскостей, основанная на предикатах У, Ш и Т, содержащая эталонные описания таких многогранников в различных ракурсах и описания зеркального отображения дт, инвариантна относительно афинных преобразований. При этом время распознавания изображения многогранника, отличающегося от эталонного афинным преобразованием, увеличится разве лишь в 2 раза по сравнению с распознаванием эталонного изображения.

В примерах 1 и 2 параметры Д и S, присутствующие в оценках числа шагов алгоритма, равны нулю.

3. Пусть имеется множество изображений на экране дисплея, заданных матрицей яркости. Такие изображения могут быть описаны с помощью одного предикатаp(x, i,j) & «пиксель с координатами (i, j) имеет яркость x». Этот предикат не инвариантен относительно афинных преобразований, но для него можно выписать их описания. Приведем пример описания растяжения в 2 раза по оси OX

p(x,i,j) & p(x, 2i,j)&p(x, 2i + l,j)

и пример сжатия в 2 раза по оси OX

x i + x2

p(x!,2i,j)&p(x2,2i+ 1 ,j) &p(----------

В примере 3 Д = 0, S = 1.

Литература

1. Косовская Т. М., Тимофеев А. В. Об одном новом подходе к формированию логических решающих правил // Вестн. Ленингр. ун-та. 1985. № 8. С. 22—29.

2. Косовская Т. М. Доказательства оценок числа шагов решения некоторых задач распознавания образов, имеющих логические описания // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2007. Вып. 4. С. 82—90.

3. Guzman A. Computer Recognition of Tree Dimensional Objects in a Visual Scene // Ph. D. thesis, MAC-TR-59, Project MAC, MIT. Cambridge, Mass.: Cambridge Univ. Press, 1968.

Статья рекомендована к печати член-кор. РАН, проф. Г. А. Леоновым.

Статья принята к печати 5 марта 2009 г.