CC BY
60
РАСЧЁТ ПРЕЛОМЛЯЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ ДИАГРАММЫ НАПРАВЛЕННОСТИ В ВИДЕ ОТРЕЗКА
Дмитриев А.Ю.1, Досколович Л.Л.1'2
1 Учреждение Российской академии наук Институт систем обработки изображений РАН,
2 Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С.П. Королёва
(национальный исследовательский университет)
Аннотация
Рассмотрен расчёт преломляющей поверхности для формирования диаграммы направленности (ДН) в виде отрезка с заданным распределением интенсивности. Расчёт сведён к решению обыкновенного дифференциального уравнения, разрешённого относительно производной. Рассчитаны преломляющие поверхности, формирующие отрезок с постоянным распределением освещённости и диаграмму направленности в виде отрезка с постоянным распределением интенсивности.
Ключевые слова: геометрическая оптика, преломляющая поверхность, диаграмма направленности, лучи.
Введение
Формирование заданных диаграмм направленности является актуальным для задач лазерной оптики, радиофизики и светотехники. Расчёт оптического элемента для формирования заданной ДН состоит в определении формы преломляющей (отражающей) поверхности оптического элемента из условия, что преломлённые (отражённые) лучи имеют заданные направления.
Для формирования ДН в виде линии, заданной параметрически, разработан ряд методов. В [1-3] приведено общее решение задачи расчёта зеркала для формирования ДН в виде линии. Поверхность зеркала в [1-3] имеет вид огибающей семейства параболоидов вращения. В [4, 5] рассмотрен расчёт зеркала для формирования ДН в виде отрезка.
В [6] рассмотрена конструкция преломляющего оптического элемента для формирования ДН в виде отрезка. В конструкции элемента используются поверхности, работающие по принципу полного внутреннего отражения. Это позволяет достичь высокой энергетической эффективности (порядка 90%). Однако подход [6] эффективен только при формировании ДН в виде отрезка с большим угловым размером (90-100° и больше).
В [7] приведено общее решение задачи расчёта преломляющего элемента для формирования ДН в виде линии. Тем не менее, работа [7] не содержит законченного аналитического решения практически важной задачи формирования ДН в виде отрезка.
В данной работе рассматривается расчёт преломляющей поверхности для формирования ДН в виде отрезка с заданным распределением интенсивности. С использованием специальных криво -линейных координат решение данной задачи сведено к решению обыкновенного дифференциального уравнения, разрешённого относительно про -изводной. С помощью предложенного подхода были рассчитаны преломляющие поверхности, формирующие ДН в виде отрезка с постоянной интенсивностью, и отрезок с постоянным распределением освещённости.
1. Расчёт преломляющей поверхности для формирования ДН в виде линии
Для полноты изложения приведём основные результаты, полученные в [7] для задачи расчёта преломляющей поверхности из условия формирования ДН в виде линии. Геометрия задачи представлена на рис. 1. Поверхность О является границей раздела двух сред с показателями преломления щ = п и п2 = 1. Точечный (компактный) источник находится в начале координат в среде с показателем преломления п. Лучи, исходящие из источника, преломляются на поверхности О. Задача состоит в расчёте формы преломляющей поверхности из условия, что направления преломлённых лучей описываются заданной единичной векторной функцией одного аргумента
Р(О) = (рх (о),РУ(о),Р2 (о)), |р(а)| = 1, (1)
где с - некоторый параметр. Следуя работам [1-7], будем называть функцию (1) ДН в виде линии.
Р(°)
Преломляющая поверхность имеет вид огибающей семейства поверхностей 8 (и, у; с), каждая из которых преобразует сферический пучок от источника в плоский пучок с направлением р (с), где (и, у) -некоторые криволинейные координаты [7] на поверхности. Поверхность 8 (и, у; с) является эллипсоидом вращения с первым фокусом в начале координат и направлением большой оси р (с). Огибающая поверхность имеет вид [7]:
S(u, v; о) = e(u,v) •
1 -(1 и )(e(u, v), p(o))'
e(u, v),
v(O) |v(o)|
(2)
= cos (a(o)),
где
dy(o) dp (о) v(o) = 1 p(o^----—у(о)
5(a(o) ) =
do , dy(o) do I
do (v(o)l
(3)
е (и, V) - единичный вектор направления из точки О в точку (и, V) на поверхности, 1/п - эксцентриситет эллипсоида, у (с) - его фокальный параметр. Второе уравнение в (3) является уравнением кругового конуса с вершиной в начале координат. Таким образом, при фиксированном с уравнения (2) определяют кривую Ь (и, с), которая соответствует пересечению поверхности 8 (и, V; с) с конусом
(e(u,v), a(o)) = cos(a(o)),
(4)
где а (с) = V (с) / |у(с)| - единичный вектор оси, а а (о) - угол при вершине конуса. Это позволяет рассматривать поверхность (2) как семейство кривых Ь (и, с) по параметру с, на каждой из которых преломлённые лучи имеют направление р (с).
Отметим, что вектор е (и, V) в (2) можно рассматривать как единичный вектор луча. Связав криволинейные координаты с положением луча на конусе, огибающую поверхность можно представить в параметрическом виде:
8(и, о) = е(и, о) • ё (и, о) = У(о)
= e(u, о) •
1 - - (e(u, о), p(o)) п
(5)
где е (и, с) - единичный вектор луча на поверхности конуса, а функция ё (и, с) определяет расстояние по направлению е (и, с) от точечного источника до эллипсоида. Вектор е (и, с) определён в координатах (и, с), где параметр с определяет конус, а параметр и выделяет луч на поверхности конуса.
Функция у (с) в (2), (5) определяет распределение интенсивности вдоль ДН и рассчитывается из условия формирования заданной интенсивности I (с) на ДН. Функция распределения интенсивности I (с) понимается как следующий предел
I (о) = lim
ДФ(о) АР
(6)
где ЛФ (с) - световой поток, направляемый в элемент
ДН Лр (с) с угловым размером Др = ^р(о)/^|До .
По построению поверхности световой поток ЛФ (с) равен световому потоку от точечного источника, заключённому между конусами (4) при значениях с и с + Лс. Таким образом, получаем
I (о)
dp (о)
do
= {Io(u, о)
5e(u, о) 5e(u, о)
х
du
Эо
du, (7)
где 1о (и, с) - интенсивность точечного источника. При заданной функции I (с) функция у (с) ищется из уравнения (7). Отметим, что функция у (с) входит в (7) в неявном виде через выражение для вектора е (и, с). Более конкретный вид уравнения (7) зависит от выбора параметра и и параметризации единичного вектора е (и, с) в (5). Согласно уравнениям (3)-(5), уравнение (5) является дифференциальным уравнением второго порядка относительно функции у (с).
2. Расчёт преломляющей поверхности для формирования ДН в виде отрезка
ДН в виде отрезка определим в виде [4, 5] р(о) = (яд(р(о)),0,ОО8(р(о))), |р(о)| = 1, (8)
где Р(о) - угол, который составляет преломлённый луч с осью Ох.
Аналогично [4, 5, 7], предлагается расчёт трёхмерной поверхности 8 (и, с) для формирования ДН (2) проводить через расчёт цилиндрического профиля, являющегося сечением поверхности плоскостью у = 0. Геометрия задачи расчёта цилиндрического профиля г (с) из условия формирования заданной функции лучевого соответствия, определяющей угол преломлённого луча в (с) в зависимости от угловой координаты с падающего луча, представлена на рис. 2.
Рис. 2. Цилиндрический профиль Функция радиус-вектора профиля г (с) определяется из дифференциального уравнения, разрешённого относительно производной [8, 9]
dr (о)=-г (о)_ 8Ш(о-р(о))
(9)
do " ' п - cos^ - Р(о)) Функция у (с) определяется в виде [7]:
y (о) = r (о) • [1 -—cos (о-Р(о)) |. (10)
Ранее было показано, что поверхность S (u, с) может быть рассмотрена как семейство кривых L (u, с), которые являются пересечениями эллипсоидов с конусами. В рассматриваемом случае косинус угла при вершине конуса в (2)-(4) и единичный вектор оси находятся из геометрии задачи в виде: п sin (о-Р(о))
cos (а(о)) =
•у/п2 - 2п cos (о - Р(о)) +1
(11)
г
\
I (о) -db = J I0(u, о)Т (u, o)x
а(о) = (т(о)) ,0,^ (т(о))), (12)
где т(о) = а(о) + о .
Проведём расчёт функции в (с) из условия формирования заданной интенсивности I (с) на основе закона сохранения светового потока с учётом фре-нелевских потерь:
Эе(и,о) Эе(и,о)
х х ци,
Эи Эо
где Т(и, с) - коэффициент пропускания Френеля для неполяризованного света, е (и, с) - единичный вектор луча на поверхности конуса с параметрами (11), (12). Коэффициент пропускания Френеля Т (и, с) для неполяризованного света равен среднему арифметическому коэффициентов пропускания для базовых поляризаций (случаи, когда вектор электрического поля перпендикулярен или параллелен плоскости падения) и зависит от углов падения 0г- (с) и преломления (с) луча [10]: Т (и,о) = (Т (и, о) + Т± (и, о))/2, (14)
Т(u, о)=:
П2 cos ( е, ) 2nl cos(е,)
n cos (е,) n1 cos (е, ) + n2cos ( е, )
. (16)
Величины cos (0, (с)) и cos (0, (с)) в (15), (16) можно получить в виде:
cos(е,.(u,o)) = (hn(u,o),e(u,o)), (17)
(18)
cos (е, (u, о)) = 1 —2 sin2 (е, (u,o))
где
h „ (u,o) =
P(o) -(nj П2) e(u,o) p(o) -(nj n2) e(u,o)
(19)
TL(u, o)=-
n2 cos ( е, ) 2n,cos (е,)
n cos(е,) n2 cos (е, ) + П1 cos (е, )
(15)
- нормаль к поверхности в точке преломления луча. Выражения (17), (18) получены из закона Снеллиуса по известным векторам падающего е (и, с) и преломлённого р (с) лучей.
Определим параметр и в (5) как полярный угол в плоскости, перпендикулярной оси конуса. Угол и описывает положение точки на окружности в основании конуса и отсчитывается от плоскости ХО2. В этом случае единичный вектор луча на поверхности конуса имеет вид:
e(u ,о) =
^ sin(а(о))sin(t(o))cos(u) + cos(а(о))cos(t(o)) ^ sin(u )sin (а(о)) - sin (а(о)) cos (t(o)) cos(u) + cos (а(о)) sin (t(o))
(20)
Подставив (20) в (13) и проведя преобразования, получим
db (о) g(0)
I (Р(о))-
d
= J Io (u,о})
. , da(о) dt(o)
x sin (а(о)) | —^^ - cos(u)
(21)
du,
Цо Цо
где верхний предел интегрирования g (с) есть некоторая функция, определяющая размер поверхности по переменной и.
Из (11) и (21) получим для расчёта функции в (с) дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной: Цр(о) Г(и,о,Р(о)) + ¥2 (и,о)
где
do -W (u, о, Р( о)) -1 (Р(о))/ sin (а(о)) W (u, о, Р(о)) =
= K (о,Р(о))[F (u,о)-F2 (u,о)], K (о, Р(о))=т('-e2cos (о-Р<о,))
- 2e cos (о-Р(о)) + е2
g (о)
F1(u, о) = J I0(u,o)T (u,o;Р(o)) du,
0
g( )
F2(u,о) = J I0(u,o)T(u,o;Р(o))cos(u)du.
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
Формулы (5), (9), (10), (20), (22) представляют законченное решение задачи формирования ДН вида (8). С точки зрения численной реализации, расчёт поверхности сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений (9), (22), разрешённых относительно производной. При этом начальное условие для (22) - в (0) = 0, а начальное условие для (9) - г(0) = V, т.к. это влияет только на размер поверхности О, но не на её форму.
С использованием полученных формул была рассчитана преломляющая поверхность для формирования ДН в виде отрезка с угловым размером 150°, т.е. ое [-75°; +75°]. Показатель преломления материала поверхности п = 1,5; г (0) = 10. Расчёт производился для ламбертовского источника, излучающего в полусферу г > 0 . Рассчитанная поверхность представлена на рис. 3. Максимальные размеры поверхности вдоль осей координат Ох, Оу, Ох составляют 22,3 мм, 10,4 мм и 10 мм, соответственно.
Для подтверждения правильности расчётов было выполнено моделирование работы оптического элемента на рис. 3 с использованием специализированной программы по светотехнике ТгасеРго [11]. На рис. 4 приведено расчётное распределение интенсивности, формируемое при компактном ламбертов-ском источнике с диаметром 0,5 мм.
Результат моделирования показывает высокое качество ДН и подтверждает правильность и работоспособность предложенного метода расчёта.
2
2
2
0
Рис. 3. Преломляющая поверхность для формирования ДН в виде отрезка с угловым размером 150°
Рис. 4. Распределение интенсивности вдоль ДН, формируемой поверхностью на рис. 3 Во многих задачах светотехники требуется формирование не ДН, а некоторого распределения освещённости в плоскости. Предложенный в работе метод был применён для решения задачи формирования отрезка с равномерной освещённостью в плоскости. В случае, когда размерами поверхности по сравнению с расстоянием до этой плоскости можно пренебречь, для формирования отрезка необходимо, чтобы преломляющая поверхность формировала ДН следующего вида:
I (P) = Eo—LT, (27)
cos
(P)'
где E0 - константа.
В качестве примера была рассчитана поверхность для формирования освещённости в виде равномерного отрезка размером 20 м в плоскости, находящейся на расстоянии 3 м от источника. Рассчитанная поверхность приведена на рис. 5. Максимальные размеры поверхности вдоль осей координат Ox, Oy, Oz составляют 35,8 мм, 16,2 мм и 11,3 мм, соответственно.
На рис. 6 приведён результат моделирования работы рассчитанной поверхности в программе Trace-Pro. Результат моделирования показывает высокое качество формируемого отрезка.
Заключение
Задача расчёта преломляющей поверхности для формирования ДН в виде отрезка с заданным распределением интенсивности сведена к решению обыкновенного дифференциального уравнения, разрешённого относительно производной. Проведён расчёт преломляющей поверхности для формирова-
ния ДН в виде равномерного отрезка с угловым размером 150°. С использованием предложенного метода проведён расчёт преломляющей поверхности для формирования распределения освещённости в плоскости в виде отрезка.
Рис. 5. Поверхность для формирования распределения освещённости в виде равномерного отрезка
0.045 0.0375 0.03 0.0225 0.015 0.0075 0
4000 _ 2000
-2000 -1000
-10000 -5000 0 5000 10000
х(ггмШте(егз)
Рис. 6. Распределение освещённости в плоскости, формируемое поверхностью на рис. 5
Благодарности Работа выполнена при поддержке российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (грант CRDF PG08-014-1), Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ 09-07-12147-офи_м), гранта Президента РФ поддержки ведущих научных школ (НШ-7414.2010.9).
Литература
1. Досколович, Л.Л. Расчёт зеркала для формирования однопараметрической диаграммы направленности / Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский // Автометрия. -2004. - Т. 40, № 5. - С. 104-111.
2. Doskolovich, L.L. Designing reflectors to generate a line-shaped directivity diagram / L.L. Doskolovich, N.L. Ka-zanskiy, S.I. Kharitonov, P. Perlo, S. Bernard // Journal of Modern Optics. - 2005. - V. 52, No. 11. - P. 1529-1536.
3. Досколович, Л. Л. Расчёт формы поверхности зеркал для формирования изображения в виде линии / Л. Л. Досколович, С.И. Харитонов // Оптический журнал. - 2005. -Т. 72, № 4. - С. 34.
4. Doskolovich, L.L. Designing a mirror to form a line-shaped directivity diagram / L.L. Doskolovich, N.L. Ka-zanskiy, S. Bernard // Journal of Modern Optics. - 2007. -V. 54, No. 4. - P. 589-597.
5. Досколович, Л.Л. Расчёт зеркала для формирования диаграммы направленности в виде отрезка / Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, М.А. Тренина // Автометрия. - 2006. - Т. 42, № 4. - С. 67-75.
6. Досколович, Л.Л. Расчёт преломляющего оптического элемента, формирующего диаграмму направленности в виде отрезка / Л.Л. Досколович, М.А. Моисеев // Компьютерная оптика - 2008. - Т. 32, № 4. - С. 366-369.
7. Дмитриев, А.Ю. Расчёт преломляющей поверхности для формирования диаграммы направленности в виде
линии / А.Ю. Дмитриев, Л. Л. Досколович // Компьютерная оптика. - 2010. - Т. 34, № 3. - С. 297-301.
8. Elmer, W.B. Optical design of reflectors / W.B. Elmer. -N.Y.: Willey, 1985.
9. Досколович, Л.Л. Расчёт радиально-симметричных преломляющих поверхностей с учётом френелевских потерь / Л.Л. Досколович, М.А. Моисеев // Компьютерная оптика. - 2008. - Т. 32, № 2. - С. 201-203.
10. Борн, М. Основы оптики / М. Борн, Э. Вольф. - М.: Наука, 1973.
11. http://www.lambdares.com/software_products/tracepro/
References
1. Doskolovich, L.L. Designing reflectors to generate a line-shaped directivity diagram / L.L. Doskolovich, N.L. Ka-zanskiy // Avtometriya. - 2004. - V. 40, No. 5. - P. 104111. - (in Russian).
2. Doskolovich, L.L. Designing reflectors to generate a line-shaped directivity diagram / L.L. Doskolovich, N.L. Kazanskiy, S.I. Kharitonov, P. Perlo, S. Bernard // Journal of Modern Optics. - 2005. - V. 52, No. 11. -P. 1529-1536.
3. Doskolovich, L.L. Designing a mirror to form a line-shaped directivity diagram / L.L. Doskolovich, S.I. Kharitonov // Optics journal. - 2005. - V. 72, No. 4. - P. 34. -(in Russian).
4. Doskolovich, L.L Designing a mirror to form a line-shaped directivity diagram / L.L. Doskolovich, N.L. Kazanskiy, S. Bernard // Journal of Modern Optics. - 2007. -V. 54, No. 4. - P. 589-597.
5. Doskolovich, L.L Designing a mirror to form a linesegment directivity diagram / L.L. Doskolovich, N.L. Kazanskiy, M.A. Trenina // Avtometriya. - 2006. - V. 42, No. 4. - P. 67-75. - (in Russian).
6. Doskolovich, L.L Designing a refractive elements to form a line-segment directivity diagram / L.L. Doskolovich, M.A. Moiseev // Computer Optics. - 2008. -V. 32, No. 4. - P. 366-369. - (in Russian).
7. Dmitriev, A.Yu. Designing of reafracting surface to gena-rate a line-shaped directivity diagram / A.Yu. Dmitriev, L.L. Doskolovich // Computer Optics. - 2010. - V. 34, No. 3. - P. 297-301. - (in Russian).
8. Elmer, W.B. Optical design of reflectors / W.B. Elmer. -N.Y.: Willey, 1985.
9. Doskolovich, L.L Designing a radial-symmetric refractive elements taking into account Fresnel losses / L.L. Doskolovich, M.A. Moiseev // Computer Optics. - 2008. -V. 32, No. 2. - P. 201-203. - (in Russian).
10. Born, M. Principles of optics / M. Born, E. Wolf. - Moscow: "Nauka" Publisher, 1973. - (in Russian).
11. http://www.lambdares.com/software_products/tracepro/
DESIGN OF REFRACTING SURFACE TO GENERATE A LINE-SEGMENT DIRECTIVITY DIAGRAM
A. Yu. Dmitriev1, L.L. Doskolovich12
1Image Processing Systems Institute of the RAS,
2S. P. Korolyov Samara State Aerospace University
Abstract
A method of designing a refracting surface to generate a directivity diagram represented as a vector function of one argument is presented. A design of a refracting surface that generates a linesegment directivity diagram with specified intensity distribution is reduced to solving of a firstorder differential equation solved for the derivative. We design a refracting surface to generate a wide angle size line-segment directivity diagram.
Key words: geometric optics, refractive freeform surface, directivity diagram, rays.
Сведения об авторах
Дмитриев Антон Юрьевич, стажёр-исследователь Учреждения Российской академии наук Институт систем обработки изображений РАН. Учёной степени не имеет. Область научных интересов: геометрическая оптика, дифракционная оптика.
E-mail: tonydm@yandex.ru
Anton Yurievich Dmitriev, apprentice-researcher of the Image Processing Systems Institute of the RAS. Academic degree: none. Research interests: geometric optics, diffraction optics.
Досколович Леонид Леонидович, доктор физико-математических наук, профессор Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С .П. Королёва; ведущий научный сотрудник Учреждения Российской академии наук Институт систем обработки изображений РАН. Область научных интересов: дифракционная оптика, лазерные информационные технологии, нанофотоника.
E-mail: leonid@smr.ru
Leonid Leonidovich Doskolovich, Doctor of Physical and Mathematical Sciences; Professor of the Samara State Aerospace University named after S.P. Korolyov. Leading researcher of the Image processing systems institute of the RAS. Research interests: diffraction optics, laser information technologies, nanophotonics.
Поступила в редакцию 10 ноября 2010 г.
