CC BY
7
13. Пипкин, Ю.В. Метод получения математических моделей станочных приспособлений / Ю.В. Пипкин // Сборник трудов пятой межд. науч.-техн. конф. "Современные технологии, экономика и экология в промышленности, на транспорте и в сельском хозяйстве", 7-12 сентября, г. Алушта. - К.: Институт системных исследований, 1998.
14. Пшкш, Ю.В. До питання про математичне моделювання затискно! можливосп обертаючих пристро1'в та оснастки / Ю.В.Шп-кш, А.Н.Зелшський // "Науюж нотатки" зб. наук. праць. - Луцьк : ЛДТУ. -1999. -№ 5. - С. 197-206.
15. Пипкин, Ю.В. Анализ силового замыкания в станочных приспособлениях / Ю.В.Пипкин // Вюник Сумського державного ушверситету. Серiя Техшчш науки (Машинобудування). - 2002. - № 2. - С. 88-93.
16. Зелинский, А.Н. Структурно - функциональные графовые модели технологических систем механической обработки / А.Н.Зелинский, Ю.В.Пипкин // Прогрессивные технологии и системы машиностроения. Международный сб. научных трудов: Специальный выпуск - Материалы V международной научно-техн. конф. "Машиностроение и техносфера на рубеже XXI века" в г. Севастополе 8-11 сентября 1998 г. В. 3-х томах. Т.2. - Донецк: ДонГТУ. Вып. 6, 1998. - С. 297—300.
17. Пипкин, Ю.В. Методика анализа силового замыкания технической системы станочного приспособления / Ю.В.Пипкин, А.Н.Зелинский, Н.В.Коцюбинская // Машиностроение и техносфера XXI века // Сборник трудов XII международной научно-технической конференции в г. Севастополе 12-17 сентября 2005 г. В 5-ти томах. - ДонНТУ: Донецк, 2005. - С. 64-69.
18. Пипкин, Ю.В. Базовая расчетная схема силового замыкания в станочных приспособлениях / Ю.В.Пипкин, А.Н.Зелинский, Н.В.Коцюбинская // Прогресивш технологи i системи машинобудування: Мiжнародний зб. наукових праць. - Донецьк: ДонНТУ, 2006. - Вип. 31. - С. 227-237.
19. Косаков, В.С. Основы конструирования приспособлений: Учебник для вузов. / В.С. Косаков - М.: Машиностроение, 1983. - 277 с.
-□ □-
Показаний один i3 cnoco6ie математичного моделювання робочого процесу в дискретних пневмоа-грегатах, що Грунтуеться на розглядi умов pieно-ваги одномасовог пружно-в'язтсног моделi (модель Максвела). Ршення, отримаш на цш основi, ком-пактш i мають достатню для практики розрахун-кову точтсть
Ключовi слова: дискретш пневмоагрегати, математичне моделювання робочого процесу, пружно-
в'язтсна модель
□-□
Показан один из способов математического моделирования рабочего процесса в дискретных пневмо-агрегатах, основанный на рассмотрении условий равновесия одномассовой упруго-вязкостной модели (модель Максвелла). Решения, полученные на этой основе, компактные и обладают достаточной для практики расчётной точностью
Ключевые слова: дискретные пневмоагрегаты, математическое моделирование рабочего процесса,
упруго-вязкостная модель
□-□
The one way of mathematical modeling of the workflow in digital pneumatic units, based on considering the equilibrium conditions for single-mass elastic-viscous model (Maxwell model) is shown. The solutions obtained in this way are compact and have the necessary accuracy for practical calculation
Keywords: discrete pneumatic units, mathematical
modeling of workflow, elastic-viscosity model -□ □-
УДК 621.5
РАСЧЁТ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ ДИСКРЕТНОГО ПНЕВМОАГРЕГАТА НА ОСНОВЕ ЕГО УПРУГО-ВЯЗКОСТНОЙ МОДЕЛИ
Г. А. Крути ков
Кандидат технических наук, доцент*
М.Г. Стрижак
Аспирант*
*Кафедра «Гидропневмоавтоматика и гидропривод» Национальный технический университет «Харьковский политехнический институт» ул. Фрунзе, 21, г. Харьков, 61002
Введение
Ввиду сложности термодинамических и газомеханических процессов в полостях пневмоагрегата (ПА) математическая модель таких агрегатов представля-
ется в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений, которую принято решать численным методом.
В работе [2] была разработана линейная модель дискретного ПА на основе замены нелинейных зави-
симостей секущими, а не касательными, что в значительной степени повысило точность аналитических решений для всех переменных состояния ПА. Однако, общие решения системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений, соответствующих такой линейной модели, достаточно громоздки. Поэтому, для проведения оперативных инженерных расчётов возникает необходимость в более простых аналитических решениях.
Целью данной работы является получение более простых и компактных выражений для описания переходных процессов на основе рассмотрения условий равновесия упруго-вязкостной механической модели, которая заменяет дискретный ПА.
Основная часть
Линейная модель 3-го порядка ПА в размерной форме на основе принципов линеаризации, изложенных в работе [2], имеет вид:
Ф1 _ НЧРм
(а1°1 +Р1 )-
кр1у dx
(а 2О2 +Р2) +
(Х01 + Хс )
кр2у dx
х02 + L - хс dt'
(1)
С =
хт + х„
L + Х02 Хс
(2)
Проводимость впускного и выпускного тракта ПА находится из выражений
! _ ЭG1 _ ЭG1 _ ЭG1 _ ^^э
а _эАр _ _ эРТ _ 1р
к
RT„
1 дG2 а1 _—2 -
ЭG0
ЭАр Э(р2 -р0) Эр
_ £эр
RT„
(4)
где а1 и а 2 - коэффициенты линеаризации [2]. Постоянная времени для рабочей и выхлопной полостей т1 и т2:
т = -
Т =
(Х01 + хс Ж Ц'у/щ;а
(Ь + х02 - хс
ЩфЩМа 2
(5)
^ F1 (Х01 + Хс )
Ф2. _ -^^м Рм
dt ^ (Х02 - Хс + L)
Iх _ т(Р^1- p2F2-р),
где х , р1, р2, т, Р - параметры пневмоагрегата Р1 Р2
(рис. 1.а), - — , ^2 - — , а1, а2, р1, р2 - параметры
рм рм
секущих, аппроксимирующих переходную функцию Ф(а) [2].
Основными силами формирующими процесс свободного движения (в т. ч. свободных колебаний) рабочего органа ПА, являются силы инерции, а также силы вязкого трения и упругости, что связано со свойствами рабочего тела ПА - сжатого воздуха. Поэтому механическим эквивалентом двустороннего ПА может быть одномассовая упруго- вязкостная модель Максвелла [1, 3]. Изучение закономерностей движения такого механического аналога позволяет получить решения, которые имеют интерес для практики.
Введем понятие присоединенных жесткостей пружин С1 и С2, обусловленных сжатием воздуха в левой и правой полостях, а также присоединенных звеньев вязкого трения, обусловленного демпфированием сжатого воздуха на впускном и выпускном пневмотрактах. Коэффициенты вязкого трения звеньев демпфирования обозначим через ^ и ^
кр1у^. с = ^У^
Коэффициенты вязкого трения ^и ^ обусловлены дросселированием сжатого воздуха в питающем и выхлопном трактах
Р2уР2
Ь = . h2 = р
1 ^эам а/ а 2
(6)
На рис. 2.б представлено механический аналог двустороннего ПА, основой которого является упруго-вязкая модель Максвелла. Причем х1 и х2 - скрытые (фиктивные) координаты, и - усилия предварительного поджатия левой и правой пружины.
Рис. 1. Физическая модель дискретного ПА (а) и ее механический аналог (б)
Связь между коэффициентом вязкого трения h и жесткостью пневмопружин С для системы «дроссель-емкость» выразится зависимостью [1]:
W
Ь = *С=—-—С' (3)
т - постоянная времени звена «дроссель-емкость»; дG
а, =--проводимость дросселя.
дАр
Рис. 2. Упрощенная упруго-вязкая модель ПА
В соответствии с принятыми обозначениями линейная модель ПА может быть представлена в следующем виде:
а
к
а
dp1 C C, . С, P<
~rr ^irPi +ттх --¡г—Pm; dt h, F, h, a,
dp C, C, . C, B,
_ p2 +—x —pM; dt h2 F2 h2 a2
(7)
dx _ F_ dt _ mpr
P2 —. m m
При решении системы неоднородных линейных уравнений третьего порядка (7) возникают трудности из-за нахождения корней характеристического уравнения. Поэтому упростим ее, сведя к системе второго порядка.
Как показали пробные расчеты, наиболее удачным упрощением является предположение, что С1 = то есть пружина, соответствующая левой полости, заменяется на стержень (рис. 2), а сжатый воздух в полости, как бы заменяется несжимаемой средой. Такое предположение основано на том, что, как показывает анализ осциллограмм ПА давление в рабочей полости устанавливается достаточно быстро (значительно быстрее, чем изменяется скорость).
1 dp1 p1 x 1 P1
lim--f1 = ^---——p„ ^ 0 ,
C1 dt h1 F1 h1 a/"
откуда
hi ■ Pi
pi=-FT-ap"
(8)
(9)
В соответствии с этим предположением система уравнений (7) упрощается:
dp C, C, . C, Ро
м + -1Г Рм'
dt h2 F2 h2 a2
(10)
dv = f
dt m
- niV_ ^Pm
Fi «1
~ P2
_P
m
Сравнивая выражения (11) и (13) убедимся в их полной идентичности. Кроме того, устанавливается механическая аналогия для свободных членов в уравнении (11):
= N01 - предварительное сжатие левой
а4
пневмопружины;
-— PмF2 = N02 - предварительное сжатие правой а2
пневмопружины.
Решение однородного линейного уравнения второ-
го порядка ищется в форме:
V = AeM + Be"
(14)
Корни характеристического уравнения и находят как решения квадратного уравнения. В случае комплексных корней (Д<0) общее решение однородного дифференциального уравнения находится в виде:
V = e-0 (C' cos ф1 + C2 sin ф^
Частное решение
V* = R/ ш2,
с
где V* = Vy; R = — (Р>2pMF2 -ft/a^ F -Р); y h2m
C
' г, 4
iT +1
V h2 7
собственная частота колебаний
ПА.
Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения
R
V = e-0t (C' cos ф1 + C2 sin ф^ + — .
ю„
(15)
Значения C' и C2 определяются из начальных условий
C' = V0 - R/ю0; C'2 = W0 + oV0 - 0 R<»2,
Сведем систему (10) к одному уравнению, положив
^ = V dt
d2V
C2 + h1
+1 v h2 m
dt2
= C. в2 PmF2 h2 a2 m
dV dt
Cq h C Q
T"2 + — V h2 m m
V=
(11)
P , P1 PmF1
m a m
h,
Рассмотрим условие статического равновесия упруго-вязкой модели, изображенной на рис. 2.
Ь2х2 +(х2 - х)С2 = 0. (12)
Освободившись от скрытой координаты, получим
у+(£+1)у+С (1+£)у=4 - -р). (13)
В случае разгона рабочего органа ПА начальные параметры V0=W0=0. При рассмотрении задачи торможения V0 Ф 0 и W0 Ф 0.
Ограничимся рассмотрением задачи движения рабочего органа без торможения в конце хода ^0=0, W0=0). Тогда общее решение имеет вид:
R
V = [1 - e-0t (cos фt + 0 sin фt)] = <
R
2 <2
1
0=
2
1 - e ,|1 + ^Vcos ф2
фt + arctg
/ \ 0
(16)
hi+C m h27
показатель затухания процесса;
ф = Cm2 m
h1
1
2
h1h2 + C2m
2mh
циклическая часто-
2
та.
F
P
<0 =
m
F
C
2
ф
В случае действительных некратных корней общим решением дифференциального уравнения ПА будет:
V = —
2
1 - е-0'(Лф1 + -shфt)
Ф
(17)
Выражение для координаты поршня находим в результате интегрирования.
Для случая комплексных корней:
; = | Vdt = х0 + — ю
Я I ое
о2 -ф2
о+1
sin фt +1 1 - ф | cos фt
+1 -
Для нелинейных решений кроме скорости и перемещения получены также и внутренние переходные процессы [р4 (Ч), р2 (t)] .
Хорошее совпадение таких параметров процесса, как время срабатывания (для линейной модели = 3,43 с), декремент затухания, частота и амплитуда колебаний ( ю0 и А ) свидетельствуют о достаточно высокой расчётной точности предложенной методики. На практике чаще всего интерес представляет не сама форма переходного процесса, а время срабатывания , декремент собственная и цикли-
о(1 -ф/о)
о2 +ф2
(18)
затухания о ческая частота
ю
В случае действительных корней:
Я I ое-'
ю2 |о2 + ф2
о2 + ф2 ф
shфt + 2фcht
0 и ф. Например, при расчёте режима торможения необходим выбор параметров ПА, обеспечивающий максимум декремента затухания процесса.
Полученные на основании рассмотрения упруго-вязкой механической модели решения хорошо сходятся с нелинейными решениями, полученными на основании численного интегрирования выходной системы, и имеют б о л е е к о м п а к т н у ю ф о р м у, чем выражения, полученные в работе [2].
Режим торможения описывается той же системой уравнений (10), но при ненулевых начальных условиях: при t=0;; V=Vo;; W=0.
Движение в момент начала торможения установившееся со скоростью V0. При этих условиях:
V, м с
0.6 \0.8 /1.0
Рис. 3. Переходные процессы при разгоне и торможении рабочего органа пневмоагрегата полученные по нелинейной (сплошная линия) и линейной моделям
Выводы
Я
С' = V--2 = Vo; С2 = ф ю2 ф
V - А
у0 2 -0у
(20)
При таких постоянных скорость при торможении РО определяется по выражению:
V =Л + ( Vo -2 I -2
1 + 1.
ф2
ф1 + агС^ I--
ф
(21)
Представленная упруго-вязкостная модель дискретного пневмоагрегата при условии использования наиболее рациональной формы линеаризации позволяет иметь достаточно точные для инженерной практики аналитические выражения для скорости и перемещения рабочего органа ПА. Это позволяет более оперативно подбирать параметры ПА в целях обеспечения неколебательного характера разгона и торможения рабочего органа.
Координата поршня в режиме торможения (хт):
,= Г Vdt = х0 + ^
3 0 -2 I (о2 + ф2)
о
— +1
sin фt + I 1 - о | cos фt
+1 —
о(1 -ФО)
о2 + Ф2
Литература
(22)
На рис. 3 представлены переходные процессы для пневмоагрегата, полученные в результате численного интегрирования системы нелинейных уравнений (сплошная линия) и с использованием линейных решений 17, 18, 21 и 22 при следующих исходных данных: Dп = 50 мм, dHB = 16 мм, Ь = 500 мм,
^ = 0,5 10-4 мм хв = 200 мм.
Р = 100 Н, т = 50 кг, тормозной путь
1. Крутиков Г.А. О стабилизации давления в быстродействующих пневмоприводах// Гидропривод и гидропневмоавтоматика. -Киев: Техшка, 1981, Вып. 17. - С. 108-113.
2. Крутиков Г.А., Пекарь Л.А. О разработке линейной мо-
дели дискретного пневмопривода//В кн. Пневматика и гидравлика. Приводы и системы управления. - М., Машиностроение, 1990. - Вып. 15. - С. 120-128.
3. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колеба-
ний//Учебное пособие для ВТУЗов. - М., Наука, 1986, 270 с.
ф
х = х. +
е
х
