CC BY
19
Расчет на прочность пластины, подкрепленной ребрами жесткости, на упругом основании обратным методом
Е.Э. Кадомцева, Н.В. Сикачёва, Ю.А. Кирсанов
Академия строительства и архитектуры Донского государственного технического университета, Ростов-на-Дону
Аннотация: В работе рассматривается изгиб пластины на упругом основании. Пластина в плане имеет прямоугольное очертание. Материал пластины изотропный. Пластина подкреплена рёбрами жёсткости, направленными параллельно сторонам пластины. Учитывается, что рёбра жёсткости, параллельные разным сторонам, имеют разные жёсткости на изгиб и кручение. За расчётную схему принимается ортотропная пластина, имеющая различные цилиндрические жёсткости в двух взаимно перпендикулярных направлениях, параллельных подкрепляющим рёбрам. Упругое основание принимается Винклеровским, т. е. считается, что реакция основания прямо пропорциональна прогибу пластины в каждой точке. Пластина опирается на упругое основание и нагружена распределённой нагрузкой
по следующему закону q = * sin ^р * cos ^.Задача решается обратным методом. Функция прогибов пластины задаются в виде: w = С*= siii^^ * с os ^Исследуется напря-
Эз airU
женное состояние и проводится расчет на грузоподъемность для различных параметров пластины и основания.
Ключевые слова: рёбра, пластина, упругое основание, обратный метод, тонкая, ортонор-мированная, изгиб, грузоподъёмность, прочность.
Расчёт различных конструкций из армированных элементов имеет широкое применение при проектировании железобетонных строительных сооружений.
Рассматривается прямоугольная пластина с рёбрами жёсткости, направленными параллельно краям пластины, нагруженная распределённой нагрузкой, перпендикулярной срединной плоскости (Рис. 1).
Проводилось исследование напряженного состояния и расчет на грузоподъемность для различных параметров пластины и основания. Выбор модели основания Винклера обусловлен тем, что винклеровская модель математически проста и дает достаточно хорошие результаты.
За расчётную схему принимается ортотропная шарнирно опёртая пластина, имеющая различные цилиндрические жёсткости в двух взаимно перпендикулярных направлениях, зависящих от жёсткости подкрепляющих рёбер [5 — 6].
длина пластины.
Дифференциальное уравнение изгиба ортотропной пластины на упругом основании в этом случае имеет вид [7-11]:
2А
&ЯГ4
5
где Д1 = О + ■
Ы2
щ
(1) (2)
(3)
(4)
Б - Цилиндрическая жёсткость пластинки, и - жёсткость
при изгибе рёбер, /¡^ и ¡щ- моменты инерции при кручении рёберД —ко-
эффициент постели, ц{хму)- распределённая нагрузка,лу- прогиб пластины, 11-толщина пластины,'!/- коэффициент Пуассона.
Нагрузка, действующая на пластину, распределена по закону:
Ц = ЕШ ^ * СОВ ^
(5)
Функция прогибов пластины задаются в следующем виде:
№ = С * ЕШ * СОВ ^
(6)
Постоянная С определяется из уравнения (1):
С =
Максимальные нормальные напряжения определяются по форму-
лам:
г™*-- ^ - ^ та* | + V ^ }\
Из условия прочности по нормальным напряжениям определяем
Как видно из результатов расчетов, что оптимальным подкреплением пластины рёбрами жёсткости, является 2 горизонтальных и 2 вертикальных ребра.
Таблица № 1
Грузоподъемность пластины в зависимости от количества рёбер жёсткости
Вертикальные рёбра, шт Горизонтальные рёбра, шт Максимальное нормальное напряжение Предельно допускаемая нагрузка Максимальное нормальное напряжение о^™5 Предельно допускаемая нагрузка ?0,МПа
2 2 0,53?: 301,88 762
3 3 0,6'.;: 266,67 0,25?; 640
2 3 0,53 301,88 0,33;.^ 485
3 2 0,6?: 266,67 0,18?: 888,88
- 2 0,53?; 301,88 0,14?; 1143
2 - 0,44?; 363,63 0,25 640
Зависимость предельно допускаемой нагрузки в зависимости от количества рёбер
жесткости
888,88
'301,88
266,67
301'88 266,67
301,88
2 горизонтальных 3 горизонтальных 3 горизонтальных 2 горизонтальных2 горизонтальных
2 вертикальных 3 вертикальных 2 вертикальных 3 вертикальных 2 вертикальных
■ Предельно допускаяемая нагрузка по оси X и Предельно допускаемая нагрузка по оси У
Диаграмма 1.
Как видно из результатов расчетов, что оптимальным подкреплением пластины рёбрами жёсткости, является 2 горизонтальных и 2 вертикальных ребра.
Таблица № 2
Грузоподъемность пластины в зависимости от толщины пластины.
Толщина пластин ык, м Количество рёбер жёсткости Максимальное нормальное напряжение а™* Предельно допускаемая нагрузка ?0, МПа Максимальное нормальное напряжение фтпах Предельно допускаемая нагрузка МПа
0,001 3 вертикальных и 3 горизонталь-ных ребра жёсткости 1,97?: 81,2 0,79>-^ 202,53
0,0015 0,94?: 170 0,38?; 421,1
0,002 0,6-> 266,67 0,25-> 640
0,0025 0,42^ 380,9 0,1^ 941,2
0,003 0,32?; 516 0,13?; 1230,77
Зависимость предельно допустимой нагрузки от толщины пластины
/У
* у-
202,53
/ /Ь
81,2
1230,77
640
421,1
И=1 мм
170
И=15 мм
266,67
И=2 мм
941,2
Л
380,9
ш~ в
И=25 мм
И=3 мм
I Предельно допустимая нагрузка по оси X ■ Предельно допустимая нагрузка по оси У
Диаграмма 2.
Вывод: чем больше толщина пластины, тем больше предельно допускаемая нагрузка по оси х и больше по оси у.
Таблица № 3
Грузоподъемность пластины в зависимости от коэффициента постели упру-
гого основания
Коэффициент постели основания К, Мпа/м Количество рёбер жёсткости Толщина пласт иньй, м Максимальное нормальное напряжение Предельно допустимая нагрузка ■, МПа Максимальное нормальное напряжение ^ тгд- Предельно допустимая нагрузка МПа
100(песок) 3 вертикальных и 3 горизонталь-ных ребра жёсткости 0,002 0,476; - 336,13 0,19;- 842,1
200 (грунт песчано-глинистый, уплотненный) 0,4283,;. 373,56 0,173,;- 924,8
400 (известняк) - 266,67 0,25 640
600 (бутовая кладка) 0,3;- 533,33 0,12;: 1333,33
800 (бетон) 0,26.;- 615 0,1,;. 1600
Зависимость предельно допускаемой нагрузки в заисимости от упругого основания
К=100 К=200 К=400 К=600 К=800
■ Предельно допускаемая нагрузка по оси X ■ Предельно допускаемая нагрузка по оси У
Диаграмма 3 - К - коэффициент постели.
Вывод: из расчетов видно, что между коэффициентом жесткости упругого основания и предельно допустимой нагрузкой по оси х и у, прямо пропорциональная зависимость.
В ходе исследования был проведен сравнительный анализ предельно допустимой нагрузки для пластины, подкреплённой рёбрами жёсткости и прямоугольной плоской пластины. Результаты расчетов показали, что выгоднее использовать пластину, подкреплённую рёбрами жёсткости.
Таблица № 4
Результаты расчетов прямой прямоугольной и пластины, подкреплённой
рёбрами жёсткости
Толщина пластины, к м Максимальное нормальное напряжение Предельно допустимая нагрузка ;., МПа (расчёт поя™*) Максимальное нормальное напряжение 3? Предельно допустимая нагрузка МПа (расчёт пост™**)
Плоская пластина 0,002 0,177,;: 903,95 2,24
Пластина, подкреплённая рёбрами жёсткости 0,6:;. 266,67 0,25:;- 640
Вывод: исследование показало, что грузоподъёмностьпластины, подкреплённой рёбрами жёсткости выше, чем прямоугольной. Несмотря на то, что предельно допустимая нагрузка по оси х намного больше у прямой пластины, предельно допустимая нагрузка по оси у в 285,7 раз в прямой пластине меньше, чем в пластине, подкреплённой рёбрами жёсткости.
Исследование показало, что напряженное состояние и грузоподъемность пластины, подкреплённой рёбрами жёсткости на упругом основании, во многом зависит от количества и расположения рёбер жёсткости, геомет-
рических параметров пластины и от жесткости основания, на которое опирается сама пластина.
Зависимость предельно допустимой нагрузки плоской и подкреплённой рёбрами
пластин
903'95 266,67
2,24
Пластина, подкреплённая Плоская пластина рёбрами жёсткости
1 Предельно допустимая нагрузка по оси X ■ Предельно допустимая нагрузка по оси У
Диаграмма 4. ffQ - Предельно допустимая нагрузка(МПа).
Данный метод позволяет исследовать влияние параметров пластины, рёбер и характеристик упругого основания на прочность пластины, подкреплённой ребрами жёсткости на упругом основании при изгибе и востребован при расчёте элементов инженерных конструкций [12-14].
Литература
1. Кадомцева Е.Э., Моргун Л.В. Учёт влияния отличия модулей упругости на сжатие и растяжение при расчёте на прочность армированных балок с заполнителем из фибропенобетона. // Инженерный вестник Дона, 2013, №2 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1655/.
2.Кадомцева Е.Э., Бескопыльный А.Н. Расчёт на прочность армированных балок с заполнителем из бимодульного материала с использованием различ-
640
ных теорий прочности. // Инженерный вестник Дона, 2013, №4 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/2125/.
3.Матвеев С.А., Мартынов Е.А., Литвинов Н.Н. Расчёт армированной дорожной одежды как многослойной плиты на упругом основании. // Вестник Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. Сер.: Механика. 2015. Вып.4(45) с. 72-76.
4.Большаков А. А. Прямоугольная пластина, упруго опертая по контуру // Интернет-вестник ВолгГАСУ. Сер.: Политематическая. 2011. Вып. 4 (19). URL: vestnik.vgasu.ru
5. Belen'kii D.M., Beskopyl'nyi A.N., Vernezi N.L., Shamraev L.G. New approach to the strength analysis of a welded butt joint. Industrial Laboratory. 1996. V., C. 62. №8. pp. 517-520.
6. Беленький Д.М., Бескопыльный А.Н. Измерение вектора механических свойств материала деталей машин. Вестник машиностроения. 1997. № 8. С. 44.
7.Кадомцева Е.Э., Бескопыльный А.Н., Бердник Я.А. Расчёт на жёсткость пластины, подкреплённой рёбрами, на упругом основании методом Бубнова-Галёркина. // Инженерный вестник Дона, 2016, №3 URL:ivdon.ru/magazine/archive/n3y2016/3699/
8. Филин А.П. Прикладная механика твёрдого деформируемого тела. Т.1. -М. изд-во" Наука", Гл. ред. физ.-мат. литературы, 1981. -832 с.
9.Симвулиди И.А. Расчет инженерных конструкций на упругом основании. -М. Высшая школа 1987. - 576 с.
10. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трёх томах. Под общей редакцией Биргер И.А. и Пановко Я.Г. Т.2. - М., изд-во "Машиностроение", 1988. - с.464.
11. Мышкис А. Д. Прикладная математика для инженеров. Специальные курсы. - М. изд-во "Физматлит", МАИК «Наука/Интерпериодика», 2007. -687 с.
12. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках: Пер. с анг. -М.: Мир, 1984. -494 с.
13. Shukla S.K. Shallow foundations in geosynthetics and their applications. -Editor Thomas Telford, London. 2002. pp. 123-163
14. Yin J.H. Comparative modeling study on reinforced beam on elastic foundation.In Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, Vol.126, No.3., pp.265-271.
15. Кадомцева Е.Э., Кирсанов Ю.А., Сикачёва Н.В. Расчёт на прочность гофрированной тонкой пластины на упругом основании обратным методом. // Инженерный вестник Дона, 2017, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2017/4251
References
1. Kadomceva E.E., Morgun L.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №2. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1655/.
2. Kadomceva E.E., Beskopyl'nyj A.N. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №4. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/2125/.
3. Matveev S.A., Martynov E.A., Litvinov N.N. Vestnik Sibirskoj gosu-darstvennoj avtomobil'no-dorozhnoj akademii. Ser.: Mehanika. 2015. Vyp.4(45^. 72.76.
4. Bol'shakov A.A. Internet-vestnik VolgGASU. Ser.: Politematicheskaja. 2011. Vyp. 4 (19). URL.vestnik.vgasu.ru
5. Belen'kii D.M., Beskopyl'nyi A.N., Vernezi N.L., Shamraev L.G. Industrial Laboratory. 1996. V. 62. № 8. pp. 517-520.
6. Belen'kij D.M., Beskopyl'nyj A.N. Vestnik mashinostroenija. 1997. № 8. p. 44.
7. Kadomceva E.Je., Beskopyl'nyj A.N., Berdnik Ja.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2016, №3. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2016/3699/.
8. Filin A.P. Prikladnaja mehanika tvjordogo deformiruemogo tela. [Applied mechanics of a rigid deformable body.] V.1. M. izd.vo" Nauka", Gl. red.fiz.mat. literatury, 1981p. 832.
9. Simvulidi I.A. Raschet inzhenernyh konstrukcij nauprugom osnovanii. [Calculation of engineering structures on an elastic foundation]M. Vysshajashkola. 1987. p.576.
10. Prochnost', ustojchivost', kolebanija. Spravochnik v trjohtomah. Pod obshhe-jredakciej Birger I.A. I Panovko Ja.G. [Strength, stability, vibrations. Reference book in three volumes]. V.2. M., izd-vo"Mashinostroenie", 1988. p.464.
11. Myshkis A.D. Prikladnaja matematika dlja inzhenerov. Special'nye kursy. [Applied mathematics for engineers. Special courses.] M. izd.vo "Fizmatlit", MAIK «Nauka. Interperiodika», 2007 p. 687.
12. Benerdzhi P., Batterfild R. Metod granichnyh jelementov v prikladnyh nau-kah.: Per. s ang. [Method of boundary elements in applied sciences: Trans. with eng.]M.: Mir, 1984. 494 p.
13. Shukla S.K. Editor Thomas Telford, London. 2002. pp. 123-163
14. Yin J.H. In Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, Vol.126, No.3, pp.265-271.
15. Kadomceva E.E., Kirsanov Y.A., Sikachoyva N.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2017, № 2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2017/4251
